[<] Applications de la diagonalisabilité d'un endomorphisme [>] Trigonalisabilité
Diagonaliser la matrice
En déduire une expression des termes généraux des suites et vérifiant
en fonction de et .
Solution
Le polynôme caractéristique de est
La matrice est de taille et possède valeurs propres distinctes, elle est donc diagonalisable de valeurs propres et .
Après calculs des espaces propres,
Posons pour .
On vérifie et une simple récurrence donne pour tout .
Or
On en déduit
(Suite récurrente linéaire)
Soit une suite réelle vérifiant, pour tout ,
Pour tout , on pose la colonne de coefficients .
Déterminer une matrice telle que .
Diagonaliser la matrice et en déduire une expression de valable pour .
Exprimer en fonction de et de .
On considère trois suites réelles , et vérifiant, pour tout ,
À quelle condition sur , ces trois suites sont-elles convergentes?
Solution
Introduisons la colonne et la matrice
de sorte que l’on ait et donc .
Après réduction, on a avec
On a alors puis
La suite converge si, et seulement si, la suite converge. Or
converge si, et seulement si, les deux dernières coefficients de la colonne sont nuls ce qui donne de la forme
Finalement, les suites , et convergent si, et seulement si, (et ces suites sont alors en fait constantes…)
On considère trois suites réelles , et vérifiant, pour tout ,
À quelle condition sur , ces trois suites convergent-elles?
Soit . On suppose que est racine simple du polynôme
On suppose la convergence d’une suite déterminée par ses premiers termes et la relation de récurrence
Déterminer la limite de .
Solution
Introduisons la colonne . On vérifie avec
Pour déterminer la limite de , on va chercher une constance le long de la dynamique. Il parait naturel de la considérer linéaire et fonction de termes consécutifs de la suite. Nous cherchons donc une ligne telle que . Il suffit pour cela de déterminer vérifiant et donc de trouver vecteur propre de associé à la valeur propre 1. Après calculs, on obtient
sachant .
En posant la limite de la suite , la relation donne à la limite
Puisque est racine simple de ,
et donc
Déterminer les entiers pour lesquelles l’équation
admet au moins une solution .
Soit l’ensemble des suites réelles telles que
À quelle condition sur , contient-il une suite périodique non nulle.
Solution
Supposons que l’équation étudiée admet une solution .
En passant aux parties réelle et imaginaire, on obtient
La deuxième équation donne
Si alors et le système initial n’est pas vérifié.
Si alors
ce qui donne ou .
Cas: . On obtient
avec .
On a alors
Puisque , le théorème de Gauss donne .
Inversement, si alors on peut écrire et pour
donc l’équation étudiée admet au moins une solution.
Cas: .
Une étude semblable conduit à la même condition.
Finalement, l’équation étudiée possède une solution réelle si, et seulement si,
Supposons que divise . Pour on a
donc en multipliant par
La suite de terme général vérifie alors
et donc la suite est un élément non nul de . Puisque
la suite est périodique et non nulle.
Inversement, montrons qu’il est nécessaire que 6 divise pour qu’il existe une suite périodique non nulle dans . On vérifie aisément que est un -espace vectoriel de dimension dont une base est formée par les suites déterminées par
Considérons l’endomorphisme opérant sur .
On vérifie aisément que laisse stable ce qui permet d’introduire l’endomorphisme induit par sur que nous noterons encore . Affirmer l’existence d’une suite périodique non nulle dans signifie que 1 est valeur propre d’une puissance de .
La matrice de dans la base est
car . Le polynôme caractéristique de est
Par l’opération , on obtient
Les valeurs propres complexes de sont alors les racines du polynôme
On vérifie que ce polynôme et son polynôme dérivé n’ont pas de racines en commun; on en déduit que admet exactement valeurs propres complexes distinctes. L’endomorphisme est diagonalisable dans le cadre complexe, il en est de même de dont les valeurs propres sont alors les puissances -ième des valeurs propres de . Ainsi, est valeur propre de si, et seulement si, il existe tel que
Un tel nombre complexe peut s’écrire et l’on parvient alors à l’existence d’une solution à l’équation
et donc à la condition .
[<] Applications de la diagonalisabilité d'un endomorphisme [>] Trigonalisabilité
Édité le 29-08-2023
Bootstrap 3
-
LaTeXML
-
Powered by MathJax