Introduisons la colonne $X_n={}^t\left(\begin{array}{ccc}\hfill u_n\hfill & \hfill v_n\hfill & \hfill w_n\hfill \end{array}\right)$ et la matrice

de sorte que l’on ait $X_{n+1}=A{X}_n$ et donc $X_n=A^n{X}_0$.
Après réduction, on a $A=PD{P}^{-1}$ avec

On a alors $A^n=P{D}^n{P}^{-1}$ puis

La suite $(X_n)$ converge si, et seulement si, la suite $(P^{-1}{X}_n)$ converge. Or

converge si, et seulement si, les deux dernières coefficients de la colonne $P^{-1}{X}_0$ sont nuls ce qui donne $X_0$ de la forme

Finalement, les suites ${(u_n)}_{n\ge 0}$, ${(v_n)}_{n\ge 0}$ et ${(w_n)}_{n\ge 0}$ convergent si, et seulement si, $u_0=v_0=w_0$ (et ces suites sont alors en fait constantes…)

Introduisons la colonne $X_n={}^t\left(\begin{array}{cccc}\hfill u_n\hfill & \hfill u_{n+1}\hfill & \hfill \mathrm{\cdots }\hfill & \hfill u_{n+p-1}\hfill \end{array}\right)$. On vérifie $X_{n+1}=A{X}_n$ avec

Pour déterminer la limite de $(u_n)$, on va chercher une constance le long de la dynamique. Il parait naturel de la considérer linéaire et fonction de $p$ termes consécutifs de la suite. Nous cherchons donc une ligne $L\in {ℳ}_{p\mathrm{,1}}(ℂ)$ telle que $L{X}_{n+1}=L{X}_n$. Il suffit pour cela de déterminer $L$ vérifiant $L=LA$ et donc de trouver ${}^{t}L$ vecteur propre de ${}^{t}A$ associé à la valeur propre 1. Après calculs, on obtient

sachant $P(1)=1-(a_0+\mathrm{\cdots }+a_{p-1})=0$.
En posant $\mathrm{\ell }$ la limite de la suite ${(u_n)}_{n\in \mathbb{N}}$, la relation $L{X}_n=L{X}_0$ donne à la limite

Puisque $1$ est racine simple de $P$,

et donc

• (a)

  Supposons que l’équation étudiée admet une solution $\theta$.
  En passant aux parties réelle et imaginaire, on obtient

  $$\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill \cos (\theta )+\cos (k\theta )=1& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill \sin (\theta )+\sin (k\theta )=0\text{.}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

  La deuxième équation donne

  $$\theta \equiv -k\theta \left[2\pi \right]\text{ ou }\theta \equiv \pi -k\theta \left[2\pi \right]\text{.}$$

  Si $\theta \equiv \pi -k\theta \left[2\pi \right]$ alors $\cos (\theta )+\cos (k\theta )=0$ et le système initial n’est pas vérifié.
  Si $\theta \equiv -k\theta \left[2\pi \right]$ alors

  $$\cos (\theta )+\cos (k\theta )=1\iff \cos (\theta )=1/2$$

  ce qui donne $\theta \equiv \pi /3\left[2\pi \right]$ ou $\theta \equiv -\pi /3\left[2\pi \right]$.

  Cas: $\theta \equiv \pi /3\left[2\pi \right]$. On obtient

  $$\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill \theta & =\pi /3+2p\pi \hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill (k+1)\theta & =2q\pi \hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

  avec $p,q\in \mathbb{Z}$.
  On a alors

  $$(6p+1)(k+1)=6\mathrm{\ell }\text{.}$$

  Puisque $6\mathrm{\ell }\wedge (6p+1)=1$, le théorème de Gauss donne $6\mid (k+1)$.
  Inversement, si $6\mid (k+1)$ alors on peut écrire $k+1=6\mathrm{\ell }$ et pour $\theta =\pi /3$

  $${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi /3}+{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(6\mathrm{\ell }-1)\pi /3}={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi /3}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\pi /3}=1$$

  donc l’équation étudiée admet au moins une solution.

  Cas: $\theta \equiv -\pi /3\left[2\pi \right]$. Une étude semblable conduit à la même condition.
  Finalement, l’équation étudiée possède une solution réelle si, et seulement si,

  $$6\mid (k+1)$$

• (b)

  Supposons que $6$ divise $k+1$. Pour $\theta =\pi /3$ on a

  $${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }+{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}k\theta }=1$$

  donc en multipliant par ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}k\theta }$

  $${\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}k\theta }=1+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}(k-1)\theta }\text{.}$$

  La suite $v$ de terme général $v_n={\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}n\theta }$ vérifie alors

  $$\forall n\in \mathbb{N},v_{n+k}=v_n+v_{n+k-1}$$

  et donc la suite $u=\mathrm{Re}(v)$ est un élément non nul de $S_k$. Puisque

  $$u_n=\cos \left(\frac{n\pi }{3}\right)$$

  la suite $u$ est périodique et non nulle.
  Inversement, montrons qu’il est nécessaire que 6 divise $k+1$ pour qu’il existe une suite périodique non nulle dans $S_k$. On vérifie aisément que $S_k$ est un $ℝ$-espace vectoriel de dimension $k$ dont une base est formée par les suites $e_0,e_1,\mathrm{\dots },e_{k-1}$ déterminées par

  $$\forall 0\le n\le k-1,e_j(n)={\delta }_{n,j}\mathit{\hspace{1em}}\text{et}\mathit{\hspace{1em}}\forall n\in \mathbb{N},e_j(n+k)=e_j(n)+e_j(n+k-1)\text{.}$$

  Considérons l’endomorphisme $T:(u_n)\mapsto (u_{n+1})$ opérant sur ${ℝ}^{\mathbb{N}}$.
  On vérifie aisément que $T$ laisse stable $S_k$ ce qui permet d’introduire l’endomorphisme induit par $T$ sur $S_k$ que nous noterons encore $T$. Affirmer l’existence d’une suite périodique non nulle dans $S_k$ signifie que 1 est valeur propre d’une puissance $T^q$ de $T$.
  La matrice de $T$ dans la base $(e_0,\mathrm{\dots },e_{k-1})$ est

  $$\left(\begin{array}{ccccc}\hfill 0\hfill & \hfill \mathrm{\cdots }\hfill & \hfill \mathrm{\cdots }\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \hfill & \hfill \mathrm{⋮}\hfill & \hfill \mathrm{⋮}\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \mathrm{⋮}\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill \mathrm{⋮}\hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill \mathrm{\cdots }\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right)$$

  car $T(e_{k-1})=e_{k-1}+e_0$. Le polynôme caractéristique de $T$ est

  $${\chi }_T(X)=\left|\begin{array}{ccccc}\hfill -X\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill \mathrm{\cdots }\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill -X\hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \mathrm{⋮}\hfill & \hfill \mathrm{⋮}\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill \mathrm{⋮}\hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill -X\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill \mathrm{\cdots }\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 1-X\hfill \end{array}\right|\text{.}$$

  Par l’opération $L_1\leftarrow L_1+X{L}_2+X^2{L}_3+\mathrm{\cdots }+X^{k-1}{L}_k$, on obtient

  $${\chi }_T(X)={(-1)}^k\left(X^k-X^{k-1}-1\right)\text{.}$$

  Les valeurs propres complexes de $T$ sont alors les racines du polynôme

  $$X^k-X^{k-1}-1\text{.}$$

  On vérifie que ce polynôme et son polynôme dérivé n’ont pas de racines en commun; on en déduit que $T$ admet exactement $k$ valeurs propres complexes distinctes. L’endomorphisme $T$ est diagonalisable dans le cadre complexe, il en est de même de $T^q$ dont les valeurs propres sont alors les puissances $q$-ième des valeurs propres de $T$. Ainsi, $1$ est valeur propre de $T^q$ si, et seulement si, il existe $\lambda \in ℂ$ tel que

  $${\lambda }^k-{\lambda }^{k-1}-1=0\mathit{\hspace{1em}}\text{et}\mathit{\hspace{1em}}{\lambda }^q=1\text{.}$$

  Un tel nombre complexe peut s’écrire $\lambda ={\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\theta }$ et l’on parvient alors à l’existence d’une solution à l’équation

  $${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }+{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}k\theta }=1$$

  et donc à la condition $6\mid (k+1)$.