Soit $\lambda \in 𝕂$. Puisqu’une matrice et sa transposée ont le même rang, on remarque

Par la formule du rang,

On en déduit que les matrices $A$ et $A^{\top }$ ont les mêmes valeurs propres et que les espaces propres associés ont les mêmes dimensions.

Soient $\lambda \in \mathrm{Sp}(A)$ et $X\ne 0$ tels que $AX=\lambda X$.

Posons $i\in \{1,\mathrm{\dots },n\}$ tel que

On a $x_i\ne 0$ et

d’où $|\lambda |\le \parallel A\parallel$.

Soit $a$ l’endomorphisme de $E={ℝ}^n$ canoniquement associé à la matrice $A$. Le réel $\lambda$ est valeur propre de $a$ et l’espace propre associé $E_{\lambda }(a)$ est de dimension au moins $2$ car, $a$ étant diagonalisable, la multiplicité d’une valeur propre correspond à la dimension de l’espace propre associé. Introduisons aussi $F_i$ le sous-espace de ${ℝ}^n$ constitué des $(x_1,\mathrm{\dots },x_n)\in {ℝ}^n$ tels que $x_i=0$. L’espace $F_i$ est de dimension¹¹ 1 Si $(e_1,\mathrm{\dots },e_n)$ désigne la base canonique de ${ℝ}^n$, la famille des vecteurs $e_1,\mathrm{\dots },e_{i-1},e_{i+1},\mathrm{\dots },e_n$ est une base de $F_i$. (PSI) On peut aussi simplement dire que $F_i$ est un hyperplan car noyau de la forme linéaire non nulle $x\mapsto x_i$. $n-1$.

Méthode: On montre que l’intersection de $F_i$ et de $E_{\lambda }(a)$ n’est pas réduite au vecteur nul.

Par la formule de Grassmann

On a donc $dim\left(F_i\cap E_{\lambda }(a)\right)\ge 1$ et l’on peut introduire un vecteur $x=(x_1,\mathrm{\dots },x_n)$ de $F_i$ non nul vérifiant $a(x)=\lambda .x$. Matriciellement, si $X$ désigne la colonne de hauteur $n$ dont les éléments sont les $x_1,\mathrm{\dots },x_n$, on obtient l’égalité $AX=\lambda X$ avec $X$ non nulle. Cependant, l’élément $x_i$ est nul et l’égalité précédente donne $A_i{X}_i=\lambda X_i$ en introduisant $X_i$ la colonne de hauteur $n-1$ obtenue à partir de $X$ par suppression de sa $i$-ème ligne. La colonne $X_i$ étant non nulle, on peut conclure que $\lambda$ est valeur propre de $A_i$.

• (a)

  Le vecteur $X={(1\mathrm{\dots }1)}^{\top }$ est évidemment vecteur propre associé à la valeur propre 1.

• (b)

  Soient $\lambda \in \mathrm{Sp}(A)$ et $X={(x_1\mathrm{\dots }{x}_n)}^{\top }$ un vecteur propre associé. Soit $i_0$ l’indice vérifiant

  $$|x_{i_0}|=\underset{1\le i\le n}{\max }|x_i|\text{.}$$

  On a $|x_{i_0}|\ne 0$ et la relation $AX=\lambda X$ donne $\lambda x_{i_0}={\sum }_{j=1}^n{a}_{i_0,j}{x}_j$ donc

  $$|\lambda ||x_{i_0}|=\left|\sum _{j=1}^n{a}_{i_0,j}{x}_j\right|\le \sum _{j=1}^n|a_{i_0,j}||x_j|\le \sum _{j=1}^n{a}_{i_0,j}|x_{i_0}|=|x_{i_0}|$$

  puis $|\lambda |\le 1$.

• (c)

  Si de plus $|\lambda |=1$ alors il y a égalité dans l’inégalité précédente.
  L’égalité dans la deuxième inégalité entraîne $|x_j|=|x_{i_0}|$ pour tout $j$ tel que $a_{i_0,j}\ne 0$.
  L’égalité dans la première inégalité entraîne que les complexes engagés sont positivement liés et donc qu’il existe $\theta \in ℝ$ tel que pour tout $j\in \{1,\mathrm{\dots },n\}$,

  $$a_{i_0,j}{x}_j=a_{i_0,j}|x_j|{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\text{.}$$

  Ces deux propriétés donnent pour tout $j\in \{1,\mathrm{\dots },n\}$, $a_{i_0,j}{x}_j=a_{i_0,j}|x_{i_0}|{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }$ que $a_{i_0,j}\ne 0$ ou non.
  En injectant cela dans la relation $\lambda x_{i_0}={\sum }_{j=1}^n{a}_{i_0,j}{x}_j$, on obtient $\lambda x_{i_0}=|x_{i_0}|{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }$.
  Pour $j\in \{1,\mathrm{\dots },n\}$ tel que $a_{i_0,j}\ne 0$, $x_j=\lambda x_{i_0}$.
  Posons $i_1=j$ et reprenons la même démarche, ce qui est possible puisque $|x_{i_1}|={\max }_{1\le i\le n}|x_i|$.
  On définit ainsi une suite $(i_p)\in {\{1,\mathrm{\dots },n\}}^{\mathbb{N}}$ vérifiant $\lambda x_{i_p}=x_{i_{p+1}}$.
  Cette suite étant non injective, il existe $p\in \mathbb{N}$ et $q\in {\mathbb{N}}^{*}$ tel que $i_p=i_{p+q}$ ce qui donne ${\lambda }^q=1$.