[<] Applications du polynôme caractéristique [>] Détermination des éléments propres d'une matrice

 
Exercice 1  772  Correction  

Soit An(𝕂) vérifiant rg(A)=1. Montrer qu’il existe λ𝕂 tel que A2=λA et que ce scalaire λ est valeur propre de A.

Solution

On retraduit le problème en termes d’endomorphismes.

Soit u un endomorphisme d’un 𝕂-espace vectoriel de dimension finie vérifiant rg(u)=1. Le noyau de u est un hyperplan et si l’on fixe xKer(u), on obtient

Vect(x)Ker(u)=E.

Puisque u(x)E, on peut écrire u(x)=λx+y avec yKer(u) de sorte que

u2(x)=λu(x).

Les applications linéaires u2 et λu sont alors égales sur Vect(x) mais aussi bien sûr sur Ker(u), ces applications linéaires sont donc égales sur E.
De plus, pour yIm(u){0}, on peut écrire y=u(a) et alors

u(y)=u2(a)=λu(a)=λy.

Ainsi λ est bien valeur propre de u.

 
Exercice 2  4355  

Montrer que la trace d’une matrice réelle de rang 1 en est valeur propre.

 
Exercice 3  773  Correction  

Pour An(), on pose

A=sup1inj=1n|ai,j|.

Montrer que

Sp(A)[-A;A].

Solution

Soient λSp(A) et X0 tels que AX=λX.

Posons i{1,,n} tel que

|xi|=max1kn|xk|.

On a xi0 et

|λxi|=|j=1nai,jxj|j=1n|ai,j||xi|A|xi|

d’où |λ|A.

 
Exercice 4  5002   Correction  

Soit A une matrice diagonalisable de n() admettant une valeur propre multiple λ. Pour i1;n, montrer que λ est valeur propre de la matrice Ai obtenue par suppression de la i-ème et de la i-ème colonne de A.

Solution

Soit a l’endomorphisme de E=n canoniquement associé à la matrice A. Le réel λ est valeur propre de a et l’espace propre associé Eλ(a) est de dimension au moins 2 car, a étant diagonalisable, la multiplicité d’une valeur propre correspond à la dimension de l’espace propre associé. Introduisons aussi Fi le sous-espace de n constitué des (x1,,xn)n tels que xi=0. L’espace Fi est de dimension11 1 Si (e1,,en) désigne la base canonique de n, la famille des vecteurs e1,,ei-1,ei+1,,en est une base de Fi. (PSI) On peut aussi simplement dire que Fi est un hyperplan car noyau de la forme linéaire non nulle xxi. n-1.

Méthode: On montre que l’intersection de Fi et de Eλ(a) n’est pas réduite au vecteur nul.

Par la formule de Grassmann

dim(Fi+Eλ(a))n=dimFi=n-1+dimEλ(a)2-dim(FiEλ(a))

On a donc dim(FiEλ(a))1 et l’on peut introduire un vecteur x=(x1,,xn) de Fi non nul vérifiant a(x)=λ.x. Matriciellement, si X désigne la colonne de hauteur n dont les éléments sont les x1,,xn, on obtient l’égalité AX=λX avec X non nulle. Cependant, l’élément xi est nul et l’égalité précédente donne AiXi=λXi en introduisant Xi la colonne de hauteur n-1 obtenue à partir de X par suppression de sa i-ème ligne. La colonne Xi étant non nulle, on peut conclure que λ est valeur propre de Ai.

 
Exercice 5  3280     ENS CachanCorrection  

Soit A=(ai,j)n() vérifiant pour tout i,j{1,,n} ai,j+ et pour tout i{1,,n}, j=1nai,j=1.

  • (a)

    Montrer que 1Sp(A).

  • (b)

    Justifier que si λ est valeur propre de A alors |λ|1.

  • (c)

    Observer que si λ est valeur propre de A et vérifie |λ|=1 alors λ est une racine de l’unité.

Solution

  • (a)

    Le vecteur X=(11)t est évidemment vecteur propre associé à la valeur propre 1.

  • (b)

    Soient λSp(A) et X=(x1xn)t un vecteur propre associé. Soit i0 l’indice vérifiant

    |xi0|=max1in|xi|.

    On a |xi0|0 et la relation AX=λX donne λxi0=j=1nai0,jxj donc

    |λ||xi0|=|j=1nai0,jxj|j=1n|ai0,j||xj|j=1nai0,j|xi0|=|xi0|

    puis |λ|1.

  • (c)

    Si de plus |λ|=1 alors il y a égalité dans l’inégalité précédente.
    L’égalité dans la deuxième inégalité entraîne |xj|=|xi0| pour tout j tel que ai0,j0.
    L’égalité dans la première inégalité entraîne que les complexes engagés sont positivement liés et donc qu’il existe θ tel que pour tout j{1,,n},

    ai0,jxj=ai0,j|xj|eiθ.

    Ces deux propriétés donnent pour tout j{1,,n}, ai0,jxj=ai0,j|xi0|eiθ que ai0,j0 ou non.
    En injectant cela dans la relation λxi0=j=1nai0,jxj, on obtient λxi0=|xi0|eiθ.
    Pour j{1,,n} tel que ai0,j0, xj=λxi0.
    Posons i1=j et reprenons la même démarche, ce qui est possible puisque |xi1|=max1in|xi|.
    On définit ainsi une suite (ip){1,,n} vérifiant λxip=xip+1.
    Cette suite étant non injective, il existe p et q* tel que ip=ip+q ce qui donne λq=1.

 
Exercice 6  774    

Soit A=(ai,j)n() une matrice11 1 On dit que la matrice A est stochastique. à coefficients positifs vérifiant

j=1nai,j=1pour tout i1;n.
  • (a)

    Montrer que 1 est valeur propre de A et que toute autre valeur propre complexe λ vérifie |λ|1.

On suppose désormais les coefficients de A tous strictement positifs.

  • (b)

    Établir que, si λ est une valeur propre de A vérifiant |λ|=1, alors λ=1.

  • (c)

    Montrer que l’espace propre associé à la valeur propre 1 est une droite.

 
Exercice 7  4990    

(Théorème de Perron-Frobenius)

Si x=(x1,,xn) et y=(y1,,yn) sont deux éléments de n, on écrit xy pour signifier xiyi pour tout i1;n.

On étudie une matrice A carrée de taille n dont tous les coefficients sont des réels strictement positifs et l’on introduit:

Ω ={x=(x1,,xn)+n|x(0,,0)} et
S ={x=(x1,,xn)+n|x1++xn=1}.
  • (a)

    Pour xΩ, justifier que l’on peut introduire

    θ(x)=max{α+|α.xAx}.

    Vérifier θ(λx)=θ(x) pour tous λ>0 et xΩ.

  • (b)

    Soit xΩ. Montrer que les éléments de Ax sont tous strictement positifs et vérifier θ(x)θ(Ax)

  • (c)

    Montrer qu’il existe xS tel que θ(Ax)θ(Ax) pour tout xS. En déduire l’existence d’un élément yΩ tel que θ(x)θ(y) pour tout x de Ω.

  • (d)

    Montrer que y est alors vecteur propre de A associé à la valeur propre μ=θ(y).

  • (e)

    Établir que les autres valeurs propres complexes λ de A vérifient |λ|<μ.

  • (f)

    Vérifier que les éléments de y sont tous strictement positifs puis que l’espace propre complexe associé à la valeur propre μ est de dimension 1.

 
Exercice 8  3173    

Soit n2. Déterminer les valeurs propres de la comatrice de An() en fonction de celles de A.

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Édité le 08-11-2019

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