$T_n$ est le noyau d’une forme linéaire non nulle sur ${ℳ}_n(ℂ)$, c’est donc un espace vectoriel de dimension $n^2-1$.

Les matrices $D_{i,j}$ avec $(i,j)\ne (n,n)$ sont au nombre de $n^2-1$ et appartiennent toutes à $T_n$.

La famille ${(D_{i,j})}_{(i,j)\ne (n,n)}$ à laquelle on adjoint $E_{n,n}$ engendre ${ℳ}_n(ℂ)$ car les éléments de la base canonique de ${ℳ}_n(ℂ)$ en sont combinaisons linéaires. Cette famille de $n^2$ vecteurs est donc libre et la sous-famille ${(D_{i,j})}_{(i,j)\ne (n,n)}$ l’est aussi.

L’application ${\phi }_M$ est bien un endomorphisme de $T_n$ car linéaire et que l’on sait l’égalité $\mathrm{tr}(MN)=\mathrm{tr}(NM)$..

Supposons $M=PD{P}^{-1}$ avec $D=\mathrm{diag}(u_1,\mathrm{\dots },u_n)$ et $P\in {\mathrm{GL}}_n(ℂ)$.

Posons $M_{i,j}=P{D}_{i,j}{P}^{-1}$. La famille ${(M_{i,j})}_{(i,j)\ne (n,n)}$ est une base de $T_n$ car $X\mapsto PX{P}^{-1}$ est un automorphisme de $T_n$.

L’application $M\mapsto {\phi }_M$ est linéaire de $T_n$ vers $ℒ(T_n)$.

Soit $M\in T_n$ tel que ${\phi }_M=0$. On a $MN=NM$ pour tout $N\in T_n$. En particulier, $M{D}_{i,j}=D_{i,j}M$ pour $i\ne j$. Or

$${\left[M{D}_{i,j}\right]}_{j,j}=m_{j,i}\text{et}{\left[D_{i,j}M\right]}_{j,j}=0\text{.}$$

La matrice $M$ est donc diagonale. Aussi,

$${\left[M{D}_{i,j}\right]}_{i,j}=m_{i,i}\text{et}{\left[D_{i,j}M\right]}_{i,j}=m_{j,j}\text{.}$$

La matrice $M$ est donc scalaire. Enfin, $M$ est de trace nulle, c’est donc la matrice nulle.

On écrit $ax-xa=\lambda .x$ avec $\lambda \ne 0$.

Par hypothèse, l’endomorphisme ${{\phi }_x|}_V$ est diagonalisable et donc ${\phi }_x$ est nul. En particulier ${\phi }_x(a)=0$ et donc ${\phi }_a(x)=0$.

Toutes les valeurs propres de l’endomorphisme diagonalisable ${{\phi }_a|}_V$ sont nulles et c’est donc l’endomorphisme nul sur $V$.

On a $u\circ v-v\circ u=au$.

Par l’absurde, si $u$ est inversible alors

$$u\circ v\circ u^{-1}-v=a{\mathrm{Id}}_E$$

et donc

$$\mathrm{tr}(u\circ v\circ u^{-1})-\mathrm{tr}(v)=adimE\text{.}$$

Or

$$\mathrm{tr}(u\circ v\circ u^{-1})=\mathrm{tr}\left((u\circ v)\circ u^{-1}\right)=\mathrm{tr}\left(u^{-1}\circ (u\circ v)\right)=\mathrm{tr}\left((u^{-1}\circ u)\circ v\right)=\mathrm{tr}(v)$$

ce qui entraîne une absurdité. On en déduit que l’endomorphisme $u$ est non inversible.

Par récurrence sur $n\in \mathbb{N}$, on vérifie

$$u^n\circ v-v\circ u^n=na{u}^n\text{.}$$

En effet, la propriété est immédiate pour $n=0$ et on obtient l’hérédité en écrivant

	$u^{n+1}\circ v-v\circ u^{n+1}$	$=u^n\circ \left(u\circ v\right)-v\circ u^{n+1}$
		$=u^n\circ \left(au+v\circ u\right)-v\circ u^{n+1}$
		$=a{u}^{n+1}+\left(u^n\circ v-v\circ u^n\right)\circ u$

L’endomorphisme $\phi :w\mapsto w\circ v-v\circ w$ défini sur $ℒ(E)$ n’admet qu’un nombre fini de valeurs propres car opère en dimension finie. Si $u$ n’est pas nilpotent alors pour tout $n\in \mathbb{N}$, $na$ est valeur propre de $\phi$. C’est absurde et donc $u$ est nilpotent.

Enfin, soit $x\in \mathrm{Ker}(u)$. On a $u(v(x))=v(u(x))+au(x)=0$ donc $v(x)\in \mathrm{Ker}(u)$.

$u\circ v-v\circ u=au+bv$.

Si $a=0$ il suffit de transposer l’étude précédente.

Si $a\ne 0$, considérons $w=au+bv$.

Par l’absurde, supposons l’endomorphisme $u$ est inversible. On peut introduire $u^{-1}$ et écrire

$$u\circ v\circ u^{-1}=v+{\mathrm{Id}}_E\text{.}$$

Or

$$\mathrm{tr}(u\circ v\circ u^{-1})=\mathrm{tr}\left((u\circ v)\circ u^{-1}\right)=\mathrm{tr}\left(u^{-1}\circ (u\circ v)\right)=\mathrm{tr}\left((u^{-1}\circ u)\circ v\right)=\mathrm{tr}(v)$$

et l’égalité précédente donne alors

$$\mathrm{tr}(v)=\mathrm{tr}(v)+dimE\text{.}$$

Cela est absurde. On en déduit $\mathrm{Ker}(u)\ne \{0\}$.

Par récurrence, on établit que deux endomorphismes $u$ et $v$ d’un $ℂ$-espace vectoriel de dimension $n\in {\mathbb{N}}^{*}$ vérifiant $u\circ v-v\circ u=u$ sont cotrigonalisables.

Pour $n=1$, il n’y a rien à démontrer.

Supposons la propriété acquise pour $n-1\in {\mathbb{N}}^{*}$.

Soient $u$ et $v$ deux endomorphismes d’un $ℂ$-espace vectoriel de dimension $n$ vérifiant $u\circ v-v\circ u=u$. Il existe $e_1$ vecteur propre commun à $u$ et $v$. Par le théorème de la base incomplète, on forme $e=(e_1,\mathrm{\dots },e_n)$ une base de $E$. Dans cette base les matrices de $u$ et $v$ sont respectivement de la forme

$$A=\left(\begin{array}{cc}\lambda & *\\ 0& A^{\prime }\end{array}\right)\text{et}B=\left(\begin{array}{cc}\mu & *\\ 0& B^{\prime }\end{array}\right)\text{.}$$

Par opérations par blocs, on vérifie $A^{\prime }{B}^{\prime }-B^{\prime }{A}^{\prime }=A^{\prime }$ car $AB-BA=A$. Par hypothèse de récurrence, les endomorphismes canoniquement associés aux matrices $A^{\prime }$ et $B^{\prime }$ sont cotrigonalisables. Il existe donc $Q\in {\mathrm{GL}}_{n-1}(ℂ)$ telle que

$$Q^{-1}{A}^{\prime }Q=T\text{et}{Q}^{-1}{B}^{\prime }Q=U\text{ avec }T,U\in {𝒯}_{n-1}^{+}(ℂ)\text{.}$$

Considérons ensuite la matrice étendue

$$P=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& Q\end{array}\right)\text{.}$$

On vérifie

$$P\in {\mathrm{GL}}_n(ℂ)\text{ avec }{P}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& Q^{-1}\end{array}\right)\text{.}$$

Par produit par blocs,

$$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cc}\lambda & *\\ 0& T\end{array}\right)\text{et}{P}^{-1}BP=\left(\begin{array}{cc}\mu & *\\ 0& U\end{array}\right)\text{.}$$

Les matrices $A$ et $B$ sont donc cotrigonalisables et la matrice de passage $P$ détermine alors une base dans laquelle les matrices de $u$ et $v$ sont triangulaires supérieures.

L’étude qui précède est aussi valable pour une identité du type $u\circ v-v\circ u=au$ avec $a\ne 0$. Dans le cas où $a=0$, le résultat est encore vraie car deux endomorphismes $u$ et $v$ qui commutent possèdent une valeur propre commune. En effet, $u$ possède au moins une valeur propre, le sous-espace propre associé est stable par $v$ et l’endomorphisme induit par $v$ sur celui-ci possède au moins une valeur propre. Cela permet de déterminer un vecteur propre commun à $u$ et $v$. On peut alors adapter la démonstration précédente et acquérir la propriété de cotrigonalisabilité.