Exercice 1 5118

Soit $f$ un endomorphisme d’un espace vectoriel réel $E$ de dimension finie.

Montrer que l’espace $Ker (f^{2} + {Id}_{E})$ est de dimension paire.

Exercice 2 3205 CCINP (MP)Correction

Soient $E$ un $ℝ$ -espace vectoriel de dimension finie et $u$ un endomorphisme de $E$ vérifiant

u^{3} + u = 0 .

(a)

Montrer que l’espace $Im (u)$ est stable par $u$ .

Soit $v$ l’endomorphisme induit par $u$ sur $Im (u)$ .

(b)

Calculer $v^{2}$ .
(c)

En déduire que le rang de l’endomorphisme $u$ est un entier pair.
(d)

Retrouver le résultat précédent en étudiant la diagonalisabilité de la matrice figurant $u$ dans une base de $E$ .

Solution

(a)

L’image d’un endomorphisme est toujours stable par celui-ci… En effet,

$\forall x \in Im (u), u (x) \in Im (u) .$
(b)

Si $x \in Im (u)$ alors il existe $a \in E$ tel que $x = u (a)$ . On a alors

$v^{2} (x) = u^{3} (a) = - u (a) = - x .$

Ainsi, $v^{2} = - {Id}_{Im (u)}$ .
(c)

D’une part,

$\det (v^{2}) = {(\det (v))}^{2} > 0$

et, d’autre part,

$\det (v^{2}) = \det (- {Id}_{Im (u)})) = (- 1)^{dim Im (u)}$

donc

${(- 1)}^{dim Im (u)} > 0 .$

On en déduit que la dimension de l’image de $u$ est paire.
(d)

La matrice $A$ de $u$ dans une base de $E$ vérifie $A^{3} + A = 0$ . Elle annule le polynôme $X^{3} + X$ qui est scindé à racines simples ( $0$ , $i$ et $- i$ ) sur $ℂ$ . La matrice $A$ est donc diagonalisable semblable à une matrice dont le rang est la somme des multiplicités des valeurs propres $i$ et $- i$ . Or $A$ est une matrice réelle et ses multiplicités sont égales. On en déduit que $A$ est de rang pair.

Exercice 3 5334 Correction

Soit $E$ un $𝕂$ -espace vectoriel de dimension finie $n \in ℕ^{*}$ .

(a)

Soient $f$ et $g$ deux endomorphismes commutants de $E$ avec $f$ non nul et $g$ nilpotent. Montrer

$rg (g \circ f) < rg (f) .$
(b)

Que dire du produit de $n$ endomorphismes de $E$ nilpotents et commutant deux à deux?

Solution

(a)

L’image de $f$ est stable par $g$ et l’endomorphisme induit par $g$ sur $Im (f)$ ne peut pas être inversible. On en déduit que $g (Im (f))$ est strictement inclus dans $Im (f)$ et donc $rg (g \circ f) < rg (f)$ .
(b)

Soient $f_{1}, \dots, f_{n}$ des endomorphismes nilpotents de $E$ commutant deux à deux. Par récurrence, on établit $rg (f_{1} \circ \dots \circ f_{k}) \leq n - k$ et l’on en déduit $f_{1} \circ \dots \circ f_{n} = 0$ .

Exercice 4 5282 NAVALE (MP)Correction

Soit $E$ l’espace $ℳ_{n} (ℝ)$ des matrices carrées réelles de taille $n \in ℕ^{*}$ .

Déterminer l’ensemble des endomorphismes $u$ de $E$ vérifiant

u (M^{⊤}) = {(u (M))}^{⊤} .

Solution

Soit $u$ un endomorphisme de $E$ vérifiant la propriété proposée. Si $M$ est une matrice symétrique, on constate que $u (M)$ l’est aussi. Il en est de même pour les matrices antisymétriques. Ainsi, l’endomorphisme $u$ laisse stable les espaces des matrices symétriques et des matrices antisymétriques. La réciproque est aussi vraie car toute matrice $M$ de $E$ peut s’écrire comme la somme $S + A$ d’une matrice symétrique $S$ et d’une matrice antisymétrique $A$ ce qui entraîne

u (M^{⊤}) = u (S - A) = u (S) - u (A) = {(u (S))}^{⊤} + {(u (A))}^{⊤} = {(u (M))}^{⊤} .

En résumé les endomorphismes solutions sont ceux laissant stables les deux espaces des matrices symétriques et des matrices antisymétriques. En fait, la transposition est un endomorphisme diagonalisable de $E$ et les endomorphismes $u$ commutant avec celle-ci sont ceux stabilisant ses sous-espaces propres.

Exercice 5 4363

Une matrice $A = (a_{i, j}) \in ℳ_{n} (ℝ)$ est dite magique si les sommes de ses coefficients par lignes et par colonnes sont toutes égales. On note $J$ la colonne de $ℳ_{n,1} (ℝ)$ dont tous les coefficients sont égaux à $1$ .

(a)

Montrer que la matrice $A$ est magique si, et seulement si, $J$ est vecteur propre de $A$ et de $A^{⊤}$ .
(b)

Vérifier que l’ensemble $ℳ 𝒢_{n}$ des matrices magiques de taille $n$ est une sous-algèbre de $ℳ_{n} (ℝ)$ . Que dire de l’inverse d’une matrice magique inversible?

On introduit le produit scalaire canonique¹¹ 1 Le produit scalaire de deux colonnes $X, Y$ de $ℳ_{n,1} (ℝ)$ est donné par $⟨ X, Y ⟩ = X^{⊤} Y$ . sur l’espace $ℳ_{n,1} (ℝ)$ et les espaces $D = Vect (J)$ et $H = D^{⊥}$ .

(c)

Montrer qu’une matrice $A$ de $ℳ_{n} (ℝ)$ est magique si, et seulement si, elle laisse stable les espaces $D$ et $H$ .
(d)

En déduire la dimension de l’algèbre des matrices magiques de $ℳ_{n} (ℝ)$ .

Exercice 6 759 Correction

Soient $u$ et $v$ deux endomorphismes d’un $𝕂$ -espace vectoriel de dimension $n \in ℕ^{*}$ .
On suppose $u \circ v = v \circ u$ et $v$ nilpotent.
On désire montrer

\det (u + v) = \det (u)

en raisonnant par récurrence sur la dimension $n \geq 1$ .

(a)

Traiter le cas $n = 1$ et le cas $v = 0$ .
(b)

Pour $n \geq 2$ et $v \neq 0$ , former les matrices de $u$ et $v$ dans une base adaptée à l’espace $Im (v)$ .
(c)

Conclure en appliquant l’hypothèse de récurrence aux restrictions de $u$ et $v$ au départ de $Im (v)$ .

Solution

(a)

Le cas $n = 1$ est immédiat car $v$ est alors nécessairement nul.

Le cas $v = 0$ est tout aussi immédiat.
(b)

L’espace $F = Im (v)$ est stable par $u$ et $v$ et, puisque $v$ n’est pas bijectif, $1 \leq dim F < n$ : on peut donc appliquer l’hypothèse de récurrence (forte) sur $F$ .

Dans une base adaptée à $F$ , les matrices de $u$ et $v$ sont de la forme

$(\begin{matrix} A & B \\ O & C \end{matrix}) et (\begin{matrix} D & E \\ O & O \end{matrix}) .$
(c)

$A$ et $D$ sont associées aux endomorphismes induits par $u$ et $v$ sur $F$ . Ces endomorphismes induits vérifient les hypothèses initiales et donc $\det (A + D) = \det (A)$ puis

$\det (u + v) = \det (A) \times \det (C) = \det (u) .$

Exercice 7 4989

Soit $D : P \mapsto P^{'}$ l’endomorphisme de dérivation sur $ℝ [X]$ .

Existe-t-il un endomorphisme $Δ$ de $ℝ [X]$ tel que $Δ^{2} = D$ ?

[<] Détermination d'espaces stables [>] Éléments propres d'un endomorphisme

Édité le 29-08-2023

Applications des sous-espaces stables