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Exercice 1  5118  

Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel réel E de dimension finie.

Montrer que l’espace Ker(f2+IdE) est de dimension paire.

 
Exercice 2  3205     CCP (MP)Correction  

Soient E un -espace vectoriel de dimension finie et u un endomorphisme de E vérifiant

u3+u=0.
  • (a)

    Montrer que l’espace Im(u) est stable par u.

Soit v l’endomorphisme induit par u sur Im(u).

  • (b)

    Calculer v2.

  • (c)

    En déduire que le rang de l’endomorphisme u est un entier pair.

  • (d)

    Retrouver le résultat précédent en étudiant la diagonalisabilité de la matrice figurant u dans une base de E.

Solution

  • (a)

    L’image d’un endomorphisme est toujours stable par celui-ci… En effet,

    xIm(u),u(x)Im(u).
  • (b)

    Si xIm(u) alors il existe aE tel que x=u(a). On a alors

    v2(x)=u3(a)=-u(a)=-x.

    Ainsi, v2=-IdIm(u).

  • (c)

    D’une part,

    det(v2)=(det(v))2>0

    et, d’autre part,

    det(v2)=det(-IdIm(u)))=(-1)dimIm(u)

    donc

    (-1)dimIm(u)>0.

    On en déduit que la dimension de l’image de u est paire.

  • (d)

    La matrice A de u dans une base de E vérifie A3+A=0. Elle annule le polynôme X3+X qui est scindé à racines simples (0, i et -i) sur . La matrice A est donc diagonalisable semblable à une matrice dont le rang est la somme des multiplicités des valeurs propres i et -i. Or A est une matrice réelle et ses multiplicités sont égales. On en déduit que A est de rang pair.

 
Exercice 3  5334   Correction  

Soit E un 𝕂-espace vectoriel de dimension finie n*.

  • (a)

    Soient f et g deux endomorphismes commutants de E avec f non nul et g nilpotent. Montrer

    rg(gf)<rg(f).
  • (b)

    Que dire du produit de n endomorphismes de E nilpotents et commutant deux à deux?

Solution

  • (a)

    L’image de f est stable par g et l’endomorphisme induit par g sur Im(f) ne peut pas être inversible. On en déduit que g(Im(f)) est strictement inclus dans Im(f) et donc rg(gf)<rg(f).

  • (b)

    Soient f1,,fn des endomorphismes nilpotents de E commutant deux à deux. Par récurrence, on établit rg(f1fk)n-k et l’on en déduit f1fn=0.

 
Exercice 4  5282     Navale (MP)Correction  

Soit E l’espace n() des matrices carrées réelles de taille n*.

Déterminer l’ensemble des endomorphismes u de E vérifiant

u(Mt)=(u(M))t.

Solution

Soit u un endomorphisme de E vérifiant la propriété proposée. Si M est une matrice symétrique, on constate que u(M) l’est aussi. Il en est de même pour les matrices antisymétriques. Ainsi, l’endomorphisme u laisse stable les espaces des matrices symétriques et des matrices antisymétriques. La réciproque est aussi vraie car toute matrice M de E peut s’écrire comme la somme S+A d’une matrice symétrique S et d’une matrice antisymétrique A ce qui entraîne

u(Mt)=u(S-A)=u(S)-u(A)=(u(S))t+(u(A))t=(u(M))t.

En résumé les endomorphismes solutions sont ceux laissant stables les deux espaces des matrices symétriques et des matrices antisymétriques. En fait, la transposition est un endomorphisme diagonalisable de E et les endomorphismes u commutant avec celle-ci sont ceux stabilisant ses sous-espaces propres.

 
Exercice 5  4363   

Une matrice A=(ai,j)n() est dite magique si les sommes de ses coefficients par lignes et par colonnes sont toutes égales. On note J la colonne de n,1() dont tous les coefficients sont égaux à 1.

  • (a)

    Montrer que la matrice A est magique si, et seulement si, J est vecteur propre de A et de At.

  • (b)

    Vérifier que l’ensemble 𝒢n des matrices magiques de taille n est un sous-espace vectoriel de n() stable par produit. Que dire de l’inverse d’une matrice magique inversible?

On introduit le produit scalaire défini sur n,1() par X,Y=XtY et les espaces D=Vect(J) et H=D.

  • (c)

    Montrer qu’une matrice A de n() est magique si, et seulement si, elle laisse stable les espaces D et H.

  • (d)

    En déduire la dimension de l’espace des matrices magiques de n().

 
Exercice 6  759   Correction  

Soient u et v deux endomorphismes d’un 𝕂-espace vectoriel de dimension n*.
On suppose uv=vu et v nilpotent.
On désire montrer

det(u+v)=det(u)

en raisonnant par récurrence sur la dimension n1.

  • (a)

    Traiter le cas n=1 et le cas v=0.

  • (b)

    Pour n2 et v0, former les matrices de u et v dans une base adaptée à l’espace Im(v).

  • (c)

    Conclure en appliquant l’hypothèse de récurrence aux restrictions de u et v au départ de Im(v).

Solution

  • (a)

    Le cas n=1 est immédiat car v est alors nécessairement nul.

    Le cas v=0 est tout aussi immédiat.

  • (b)

    L’espace F=Im(v) est stable par u et v et, puisque v n’est pas bijectif, 1dimF<n: on peut donc appliquer l’hypothèse de récurrence (forte) sur F.

    Dans une base adaptée à F, les matrices de u et v sont de la forme

    (ABOC)et(DEOO).
  • (c)

    A et D sont associées aux endomorphismes induits par u et v sur F. Ces endomorphismes induits vérifient les hypothèses initiales et donc det(A+D)=det(A) puis

    det(u+v)=det(A)×det(C)=det(u).
 
Exercice 7  4989    

Soit D:PP l’endomorphisme de dérivation sur [X].

Existe-t-il un endomorphisme Δ de [X] tel que Δ2=D?

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Édité le 08-11-2019

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