[<] Détermination d'espaces stables [>] Éléments propres d'un endomorphisme
Soit un endomorphisme d’un espace vectoriel réel de dimension finie.
Montrer que l’espace est de dimension paire.
Soient un -espace vectoriel de dimension finie et un endomorphisme de vérifiant
Montrer que l’espace est stable par .
Soit l’endomorphisme induit par sur .
Calculer .
En déduire que le rang de l’endomorphisme est un entier pair.
Retrouver le résultat précédent en étudiant la diagonalisabilité de la matrice figurant dans une base de .
Solution
L’image d’un endomorphisme est toujours stable par celui-ci… En effet,
Si alors il existe tel que . On a alors
Ainsi, .
D’une part,
et, d’autre part,
donc
On en déduit que la dimension de l’image de est paire.
La matrice de dans une base de vérifie . Elle annule le polynôme qui est scindé à racines simples (, et ) sur . La matrice est donc diagonalisable semblable à une matrice dont le rang est la somme des multiplicités des valeurs propres et . Or est une matrice réelle et ses multiplicités sont égales. On en déduit que est de rang pair.
Soit un -espace vectoriel de dimension finie .
Soient et deux endomorphismes commutants de avec non nul et nilpotent. Montrer
Que dire du produit de endomorphismes de nilpotents et commutant deux à deux?
Solution
L’image de est stable par et l’endomorphisme induit par sur ne peut pas être inversible. On en déduit que est strictement inclus dans et donc .
Soient des endomorphismes nilpotents de commutant deux à deux. Par récurrence, on établit et l’on en déduit .
Soit l’espace des matrices carrées réelles de taille .
Déterminer l’ensemble des endomorphismes de vérifiant
Solution
Soit un endomorphisme de vérifiant la propriété proposée. Si est une matrice symétrique, on constate que l’est aussi. Il en est de même pour les matrices antisymétriques. Ainsi, l’endomorphisme laisse stable les espaces des matrices symétriques et des matrices antisymétriques. La réciproque est aussi vraie car toute matrice de peut s’écrire comme la somme d’une matrice symétrique et d’une matrice antisymétrique ce qui entraîne
En résumé les endomorphismes solutions sont ceux laissant stables les deux espaces des matrices symétriques et des matrices antisymétriques. En fait, la transposition est un endomorphisme diagonalisable de et les endomorphismes commutant avec celle-ci sont ceux stabilisant ses sous-espaces propres.
Une matrice est dite magique si les sommes de ses coefficients par lignes et par colonnes sont toutes égales. On note la colonne de dont tous les coefficients sont égaux à .
Montrer que la matrice est magique si, et seulement si, est vecteur propre de et de .
Vérifier que l’ensemble des matrices magiques de taille est une sous-algèbre de . Que dire de l’inverse d’une matrice magique inversible?
On introduit le produit scalaire canonique11 1 Le produit scalaire de deux colonnes de est donné par . sur l’espace et les espaces et .
Montrer qu’une matrice de est magique si, et seulement si, elle laisse stable les espaces et .
En déduire la dimension de l’algèbre des matrices magiques de .
Soient et deux endomorphismes d’un -espace vectoriel de dimension .
On suppose et nilpotent.
On désire montrer
en raisonnant par récurrence sur la dimension .
Traiter le cas et le cas .
Pour et , former les matrices de et dans une base adaptée à l’espace .
Conclure en appliquant l’hypothèse de récurrence aux restrictions de et au départ de .
Solution
Le cas est immédiat car est alors nécessairement nul.
Le cas est tout aussi immédiat.
L’espace est stable par et et, puisque n’est pas bijectif, : on peut donc appliquer l’hypothèse de récurrence (forte) sur .
Dans une base adaptée à , les matrices de et sont de la forme
et sont associées aux endomorphismes induits par et sur . Ces endomorphismes induits vérifient les hypothèses initiales et donc puis
Soit l’endomorphisme de dérivation sur .
Existe-t-il un endomorphisme de tel que ?
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Édité le 29-08-2023
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