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Exercice 1  809   Correction  

Soit f un endomorphisme d’un 𝕂-espace vectoriel E de dimension n admettant exactement n valeurs propres distinctes.

  • (a)

    Montrer qu’il existe aE tel que la famille (a,f(a),,fn-1(a)) soit une base de E.

  • (b)

    Quelle est la forme de la matrice de f dans cette base?

Solution

  • (a)

    Notons λ1,,λn les n valeurs propres distinctes de f et x1,,xn des vecteurs propres associés. La famille (x1,,xn) est base de E.
    Posons a=x1++xn. Pour tout k{0,1,,n-1},

    fk(a)=λ1k.x1++λnk.xn.

    Supposons

    α0.a+α1.f(a)++αn-1.fn-1(a)=0E.

    En exprimant cette relation en fonction des vecteurs de la famille libre (x1,,xn), on parvient à P(λ1)==P(λn)=0 avec

    P=α0+α1X++αn-1Xn-1.

    Le polynôme P admet plus de racines que son degré donc P=0 puis α0==αn-1=0.
    Ainsi la famille (a,f(a),,fn-1(a)) est libre et finalement base de E.
    En fait, n’importe quel vecteur dont les coordonnées sont toutes non nulles dans la base de vecteur propre est solution.

  • (b)

    La matrice de f dans la base considérée est de la forme

    (00α01001αn-1)

    avec

    fn(a)=α0.a+α1.f(a)++αn-1.fn-1(a).
 
Exercice 2  3454   Correction  

Soit f un endomorphisme d’un 𝕂-espace vectoriel E de dimension n*.
On suppose que f possède exactement n valeurs propres distinctes. Montrer que seuls les polynômes en f commutent avec f.

On pourra introduire un polynôme interpolateur convenable.

Solution

Il est bien connu que les polynômes en f commutent avec f.
Inversement, soit g un endomorphisme commutant avec f.
Notons λ1,,λn les valeurs propres deux à deux distinctes de f et e1,,en des vecteurs propres associés. La famille (e1,,en) est une base de E diagonalisant f et les sous-espaces propres de f sont de dimension 1. Puisque f et g commutent, ses sous-espaces propres de f sont stables par g et donc, pour tout k{1,,n}, il existe μk tel que g(ek)=μkek. Considérons alors un polynôme interpolateur P vérifiant

k{1,,n},P(λk)=μk.

On a pour tout k{1,,n},

P(f)(ek)=P(λk)(ek)=μkek=g(ek).

Puisque les applications linéaires P(f) et g sont égales sur une base, on peut conclure

P(f)=g.
 
Exercice 3  4354   

Soit f un endomorphisme diagonalisable d’un espace vectoriel E de dimension n1.

  • (a)

    Montrer qu’un endomorphisme g commute avec f si, et seulement si, les sous-espaces propres de f sont stables par g.

  • (b)

    On suppose de nouveau f diagonalisable et l’on note λ1,,λm ses valeurs propres et α1,,αm leurs multiplicités respectives. Montrer que l’ensemble des endomorphismes qui commutent avec f est un sous-espace vectoriel de (E) et donner sa dimension.

 
Exercice 4  3252   

Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel réel E de dimension n1 possédant exactement n valeurs propres distinctes.

  • (a)

    Déterminer les dimensions des sous-espaces propres de f.

  • (b)

    Soit g un endomorphisme de E vérifiant g2=f. Montrer que g et f commutent. En déduire que les vecteurs propres de f sont aussi des vecteurs propres de g.

  • (c)

    Combien y a-t-il d’endomorphismes g de E solutions de l’équation g2=f?

 
Exercice 5  2502     CCP (MP)Correction  

Soient E un -espace vectoriel de dimension finie et u(E), v(E) diagonalisables vérifiant

u3=v3.

Montrer que u=v.

Solution

Soient λSp(u) et xEλ(u) non nul. On a

v3(x)=u3(x)=λ3.x.

Or v est diagonalisable donc, en notant μ1,,μp les valeurs propres de v, on a la décomposition en somme directe

E=j=1pEμj(v).

On peut alors écrire x=j=1pxj avec xjEμj(u). L’égalité v3(x)=λ3.x donne

j=1pμj3.xj=j=1pλ3.xj.

Les espaces Eμj(v) étant en somme directe, on peut identifier les termes de ces sommes

μj3.xj=λ3.xj.

Si xj0E, on obtient μj=λ et donc μj.xj=λ.xj.
Si xj=0E, l’identité μj.xj=λ.xj reste vraie.
On en déduit

v(x)=λ.x=u(x).

Ainsi, les endomorphismes v et u coïncident sur Eλ(u). Or, l’endomorphisme u étant diagonalisable, E est la somme des sous-espaces propres de u. Les endomorphismes v et u coïncident donc sur E.

 
Exercice 6  806    

Soit u un endomorphisme diagonalisable d’un espace vectoriel complexe E de dimension finie n1. On étudie l’équation v2=u d’inconnue v(E).

  • (a)

    Montrer qu’il existe au moins un endomorphisme v de E solution.

  • (b)

    Justifier que l’on peut déterminer une solution qui soit un polynôme en u.

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Édité le 08-11-2019

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