Exercice 1 5598 Correction

Soit $u$ un endomorphisme d’un espace vectoriel réel $E$ diagonalisable et à valeurs propres toutes positives.

Montrer qu’il existe $v \in ℒ (E)$ tel que $v^{2} = u$ .

Solution

Soit $e = (e_{1}, \dots, e_{n})$ une base de $E$ formée de vecteurs propres de $u$ . La matrice de $u$ dans $e$ s’écrit

D = (\begin{matrix} λ_{1} & (*) \\ ⋱ \\ (0) & λ_{n} \end{matrix})

avec $λ_{1}, \dots, λ_{n}$ les valeurs propres de $u$ qui sont des réels positifs.

On peut alors introduire $v$ l’endomorphisme de $E$ déterminé par

{Mat}_{e} (v) = Δ = (\begin{matrix} \sqrt{λ_{1}} & (*) \\ ⋱ \\ (0) & \sqrt{λ_{n}} \end{matrix}) .

On remarque $Δ^{2} = D$ et l’on a donc $v^{2} = u$ .

Exercice 2 809 Correction

Soit $f$ un endomorphisme d’un $𝕂$ -espace vectoriel $E$ de dimension $n \in ℕ^{*}$ admettant exactement $n$ valeurs propres distinctes.

(a)

Montrer qu’il existe $a \in E$ tel que la famille $(a, f (a), \dots, f^{n - 1} (a))$ soit une base de $E$ .
(b)

Quelle est la forme de la matrice de $f$ dans cette base?

Solution

(a)

Notons $λ_{1}, \dots, λ_{n}$ les $n$ valeurs propres distinctes de $f$ et $x_{1}, \dots, x_{n}$ des vecteurs propres associés. La famille $(x_{1}, \dots, x_{n})$ est base de $E$ .
Posons $a = x_{1} + \dots + x_{n}$ . Pour tout $k \in {0,1, \dots, n - 1}$ ,

$f^{k} (a) = λ_{1}^{k} . x_{1} + \dots + λ_{n}^{k} . x_{n} .$

Supposons

$α_{0} . a + α_{1} . f (a) + \dots + α_{n - 1} . f^{n - 1} (a) = 0_{E} .$

En exprimant cette relation en fonction des vecteurs de la famille libre $(x_{1}, \dots, x_{n})$ , on parvient à $P (λ_{1}) = \dots = P (λ_{n}) = 0$ avec

$P = α_{0} + α_{1} X + \dots + α_{n - 1} X^{n - 1} .$

Le polynôme $P$ admet plus de racines que son degré donc $P = 0$ puis $α_{0} = \dots = α_{n - 1} = 0$ .
Ainsi la famille $(a, f (a), \dots, f^{n - 1} (a))$ est libre et finalement base de $E$ .
En fait, n’importe quel vecteur dont les coordonnées sont toutes non nulles dans la base de vecteur propre est solution.
(b)

La matrice de $f$ dans la base considérée est de la forme

$(\begin{matrix} 0 & 0 & α_{0} \\ 1 & ⋱ & ⋮ \\ ⋱ & 0 & ⋮ \\ 0 & 1 & α_{n - 1} \end{matrix})$

avec

$f^{n} (a) = α_{0} . a + α_{1} . f (a) + \dots + α_{n - 1} . f^{n - 1} (a) .$

Exercice 3 6056 CCINP (PC)Correction

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n \in ℕ$ , $n \geq 2$ .

On dit qu’un endomorphisme $f \in ℒ (E)$ est cyclique lorsqu’il existe $x \in E$ tel que $(x, f (x), \dots, f^{n - 1} (x))$ est une base de $E$ .

1.

On suppose ici $n = 3$ et on note $ℬ$ une base de $E$ . On considère $f \in ℒ (E)$ donné par

${Mat}_{ℬ} (f) = (\begin{matrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \\ - 2 & - 2 & - 3 \end{matrix}) .$

Calculer ${Mat}_{B} (f^{2})$ et en déduire que $f$ est cyclique.
2.
On suppose $E = ℝ_{n - 1} [X]$ et l’on considère $f : P \mapsto P (X + 1) - P (X)$ .
1. (a)
  
  Soit $Q \in E$ tel que $\deg (Q) \geq 1$ . Montrer que $\deg (f (Q)) = \deg (Q) - 1$ . En déduire que $f$ n’est pas bijectif.
2. (b)
  
  L’endomorphisme $f$ est-il cyclique?
  
  On pourra calculer $\deg (f^{j} (X^{n - 1}))$ .
3.
On suppose $Ker (f^{n - 1}) \neq E$ et $Ker (f^{n}) = E$
1. (a)
  
  Montrer qu’il existe $x_{0} \in E$ tel que $f^{n - 1} (x_{0}) \neq 0_{E}$ .
2. (b)
  
  Montrer que $f$ est cyclique.
4.

On suppose que $f$ est cyclique. Établir que les sous-espaces propres de $f$ sont de dimension $1$ .
5.

On suppose que $f$ est diagonalisable. Établir que $f$ est cyclique si, et seulement si, ses sous-espaces propres sont de dimension $1$ .

Solution

1.

Par élévation au carré,

${Mat}_{ℬ} (f^{2}) = (\begin{matrix} - 1 & 2 & 0 \\ - 1 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 1 \end{matrix}) .$

En notant $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ les vecteurs de la base, on remarque que $x = e_{2} - e_{3}$ est convenable.
2.
1. (a)
  
  Posons $q = \deg (Q) \geq 1$ . On écrit $Q = a_{q} X^{q} + \dots + a_{0}$ avec $a_{q} \neq 0$ . À l’aide de la formule du binôme de Newto, $f (Q) = q a_{q} X^{q - 1} + R$ avec $\deg (R) < q - 1$ . On a donc $\deg (f (Q)) = q - 1$ . En particulier, l’endomorphisme $f$ ne peut pas être surjectif et il n’est donc pas bijectif.
2. (b)
  
  On remarque $\deg (f^{j} (X^{n - 1})) = n - 1 - j$ pour $j \in ⟦ 0; n - 1 ⟧$ . La famille des $f^{j} (X^{n - 1})$ pour $j = 0, \dots, n - 1$ est une famille de polynômes de degrés étagés donc une base de $ℝ_{n - 1} [X]$ .
3.
1. (a)
  
  Le vecteur $x_{0}$ existe car $f^{n - 1} \neq 0$ .
2. (b)
  
  On établit que la famille $(x_{0}, f (x_{0}), \dots, f^{n - 1} (x_{0}))$ est libre car $f^{n} = 0$ et $f^{n - 1} (x_{0}) \neq 0$ . Cette famille est alors une base de $E$ .
4.

Dans une base adaptée à la cyclicité, la matrice de $f$ est de la forme

$M = (\begin{matrix} 0 & (0) & a_{0} \\ 1 & ⋱ & ⋮ \\ ⋱ & 0 & ⋮ \\ (0) & 1 & a_{n - 1} \end{matrix}) .$

Pour tout $λ \in ℝ$ , on remarque que $rg (M - λ I_{n}) \geq n - 1$ car la matrice $M - λ I_{n}$ contient une sous-matrice inversible de taille $n - 1$ . On en déduit $dim Ker (M - λ I_{n}) \leq 1$ .
5.

Le sens direct a été vu au-dessus.

Inversement, si $f$ est diagonalisable et si ses sous-espaces propres sont de dimension $1$ , on peut affirmer que $f$ possède $n$ valeurs propres distinctes. À l’aide d’un déterminant de Vandermonde, on établit que $x$ égal à la somme des vecteurs d’une base de diagonalisation permet d’affirmer que $f$ est cyclique (c’est un exercice classique).

Exercice 4 3454 Correction

Soit $f$ un endomorphisme d’un $𝕂$ -espace vectoriel $E$ de dimension $n \in ℕ^{*}$ .
On suppose que $f$ possède exactement $n$ valeurs propres distinctes. Montrer que seuls les polynômes en $f$ commutent avec $f$ .

On pourra introduire un polynôme interpolateur convenable.

Solution

Il est bien connu que les polynômes en $f$ commutent avec $f$ .
Inversement, soit $g$ un endomorphisme commutant avec $f$ .
Notons $λ_{1}, \dots, λ_{n}$ les valeurs propres deux à deux distinctes de $f$ et $e_{1}, \dots, e_{n}$ des vecteurs propres associés. La famille $(e_{1}, \dots, e_{n})$ est une base de $E$ diagonalisant $f$ et les sous-espaces propres de $f$ sont de dimension 1. Puisque $f$ et $g$ commutent, ses sous-espaces propres de $f$ sont stables par $g$ et donc, pour tout $k \in {1, \dots, n}$ , il existe $μ_{k}$ tel que $g (e_{k}) = μ_{k} e_{k}$ . Considérons alors un polynôme interpolateur $P$ vérifiant

\forall k \in {1, \dots, n}, P (λ_{k}) = μ_{k} .

On a pour tout $k \in {1, \dots, n}$ ,

P (f) (e_{k}) = P (λ_{k}) (e_{k}) = μ_{k} e_{k} = g (e_{k}) .

Puisque les applications linéaires $P (f)$ et $g$ sont égales sur une base, on peut conclure

P (f) = g .

Exercice 5 4354

Soit $f$ un endomorphisme diagonalisable d’un espace vectoriel $E$ de dimension $n \geq 1$ .

(a)

Montrer qu’un endomorphisme $g$ commute avec $f$ si, et seulement si, les sous-espaces propres de $f$ sont stables par $g$ .
(b)

On note $λ_{1}, \dots, λ_{m}$ les valeurs propres de $f$ et $α_{1}, \dots, α_{m}$ leurs multiplicités respectives.

Montrer que l’ensemble des endomorphismes qui commutent avec $f$ est un sous-espace vectoriel de $ℒ (E)$ et déterminer sa dimension.

Exercice 6 3252

Soit $f$ un endomorphisme d’un espace vectoriel réel $E$ de dimension $n \geq 1$ possédant exactement $n$ valeurs propres distinctes.

(a)

Déterminer les dimensions des sous-espaces propres de $f$ .
(b)

Soit $g$ un endomorphisme de $E$ vérifiant $g^{2} = f$ . Montrer que $g$ et $f$ commutent. En déduire que les vecteurs propres de $f$ sont aussi des vecteurs propres de $g$ .
(c)

Combien y a-t-il d’endomorphismes $g$ de $E$ solutions de l’équation $g^{2} = f$ ?

Exercice 7 2502 CCINP (MP)Correction

Soient $E$ un $ℝ$ -espace vectoriel de dimension finie et $u \in ℒ (E)$ , $v \in ℒ (E)$ diagonalisables vérifiant

u^{3} = v^{3} .

Montrer que $u = v$ .

Solution

Soient $λ \in Sp (u)$ et $x \in E_{λ} (u)$ non nul. On a

v^{3} (x) = u^{3} (x) = λ^{3} . x .

Or $v$ est diagonalisable donc, en notant $μ_{1}, \dots, μ_{p}$ les valeurs propres de $v$ , on a la décomposition en somme directe

E = \oplus_{j = 1}^{p} E_{μ_{j}} (v) .

On peut alors écrire $x = \sum_{j = 1}^{p} x_{j}$ avec $x_{j} \in E_{μ_{j}} (u)$ . L’égalité $v^{3} (x) = λ^{3} . x$ donne

\sum_{j = 1}^{p} μ_{j}^{3} . x_{j} = \sum_{j = 1}^{p} λ^{3} . x_{j} .

Les espaces $E_{μ_{j}} (v)$ étant en somme directe, on peut identifier les termes de ces sommes

μ_{j}^{3} . x_{j} = λ^{3} . x_{j} .

Si $x_{j} \neq 0_{E}$ , on obtient $μ_{j} = λ$ et donc $μ_{j} . x_{j} = λ . x_{j}$ .
Si $x_{j} = 0_{E}$ , l’identité $μ_{j} . x_{j} = λ . x_{j}$ reste vraie.
On en déduit

v (x) = λ . x = u (x) .

Ainsi, les endomorphismes $v$ et $u$ coïncident sur $E_{λ} (u)$ . Or, l’endomorphisme $u$ étant diagonalisable, $E$ est la somme des sous-espaces propres de $u$ . Les endomorphismes $v$ et $u$ coïncident donc sur $E$ .

Exercice 8 806

Soit $u$ un endomorphisme diagonalisable d’un espace vectoriel complexe $E$ de dimension finie $n \geq 1$ . On étudie l’équation $v^{2} = u$ d’inconnue $v \in ℒ (E)$ .

(a)

Montrer qu’il existe au moins un endomorphisme $v$ de $E$ solution.
(b)

Justifier que l’on peut déterminer une solution qui soit un polynôme en $u$ .

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Édité le 17-06-2025

Applications de la diagonalisabilité d'un endomorphisme