• (a)

  Après calculs, on obtient

  $${\chi }_A={(X-1)}^3\text{.}$$

• (b)

  Après résolution,

  $$E_1=\mathrm{Vect}\left\{\left(\begin{array}{c}\hfill 1\hfill \\ \hfill 0\hfill \\ \hfill 1\hfill \end{array}\right)\right\}\text{.}$$

  On prend $C_1={\left(\begin{array}{ccc}\hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right)}^{\top }$ que l’on complète de deux colonnes pour former une matrice inversible $P$:

  $$P=\left(\begin{array}{ccc}\hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right)\mathit{\hspace{1em}}{P}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}\hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill -1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right)\mathit{\hspace{1em}}\text{et}\mathit{\hspace{1em}}T=P^{-1}AP=\left(\begin{array}{ccc}\hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right)\text{.}$$

  On a eu de la chance… car on a obtenu de suite une matrice triangulaire supérieure. Sinon, il aurait fallut continuer le processus en raisonnant par blocs.

• (a)

  Après calculs, on obtient

  $${\chi }_A=(X+1){(X-1)}^2\text{.}$$

• (b)

  Après résolution,

  $$E_{-1}=\mathrm{Vect}\left\{\left(\begin{array}{c}\hfill 1\hfill \\ \hfill 1\hfill \\ \hfill 2\hfill \end{array}\right)\right\}\mathit{\hspace{1em}}\text{et}\mathit{\hspace{1em}}{E}_1=\mathrm{Vect}\left\{\left(\begin{array}{c}\hfill 1\hfill \\ \hfill 0\hfill \\ \hfill 1\hfill \end{array}\right)\right\}\text{.}$$

  On prend les colonnes $C_1={\left(\begin{array}{ccc}\hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 2\hfill \end{array}\right)}^{\top }$, $C_2={\left(\begin{array}{ccc}\hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right)}^{\top }$ et l’on détermine $C_3$ telle que $(C_1,C_2,C_3)$ soit une famille libre, par exemple, $C_3={\left(\begin{array}{ccc}\hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right)}^{\top }$.

  On peut alors écrire $A=PT{P}^{-1}$ avec

  $$P=\left(\begin{array}{ccc}\hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 2\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right),P^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}\hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill -1\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill -1\hfill & \hfill -1\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right)\mathit{\hspace{1em}}\text{et}\mathit{\hspace{1em}}T=P^{-1}AP=\left(\begin{array}{ccc}\hfill -1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill -2\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right)\text{.}$$

Notons $A$ la matrice étudiée.

Après calculs, son polynôme caractéristique est ${\chi }_A={(X-9)}^3$.

Celui-ci est scindé et par conséquent la matrice $A$ est trigonalisable. Après résolution,

$$E_9(A)=\mathrm{Vect}\left\{\left(\begin{array}{ccc}\hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill -1/2\hfill \end{array}\right)\right\}$$

$dim{E}_9(A)=1$ et $X_1={\left(\begin{array}{ccc}\hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill -1/2\hfill \end{array}\right)}^{\top }$ est vecteur propre. Complétons ce vecteur en une base et considérons la matrice de passage associée

$$P=\left(\begin{array}{ccc}\hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill -1/2\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right)\text{.}$$

On a

$$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{ccc}\hfill 9\hfill & \hfill -5\hfill & \hfill -2\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 12\hfill & \hfill -6\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 3/2\hfill & \hfill 6\hfill \end{array}\right)\text{.}$$

Considérons alors la sous matrice

$$A^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}\hfill 12\hfill & \hfill -6\hfill \\ \hfill 3/2\hfill & \hfill 6\hfill \end{array}\right)$$

de polynôme caractéristique ${(X-9)}^2$ car ${\chi }_A(X)=(X-9){\chi }_{A^{\prime }}(X)$. Après résolution,

$$E_9(A^{\prime })=\mathrm{Vect}\left\{\left(\begin{array}{c}\hfill \mathrm{1,1}/2\hfill \end{array}\right)\right\}\text{.}$$

Considérons la matrice de passage

$$P^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}\hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 1/2\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right)\text{.}$$

On a

$$(P^{\prime -1})A^{\prime }{P}^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}\hfill 9\hfill & \hfill -6\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 9\hfill \end{array}\right)\text{.}$$

Enfin, pour

$$Q=P\times \left(\begin{array}{cc}\hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill P^{\prime }\hfill \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill -1/2\hfill & \hfill 1/2\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right)$$

on obtient

$$Q^{-1}AQ=\left(\begin{array}{ccc}\hfill 9\hfill & \hfill -6\hfill & \hfill -2\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 9\hfill & \hfill -6\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 9\hfill \end{array}\right)\text{.}$$

• (a)

  On obtient ${\chi }_A(X)=(X+1){(X-1)}^2$.

• (b)

  Après résolution,

  $$E_{-1}=\mathrm{Vect}\left\{\left(\begin{array}{c}\hfill 1\hfill \\ \hfill 1\hfill \\ \hfill 2\hfill \end{array}\right)\right\}\mathit{\hspace{1em}}\text{et}\mathit{\hspace{1em}}{E}_1=\mathrm{Vect}\left\{\left(\begin{array}{c}\hfill 1\hfill \\ \hfill 0\hfill \\ \hfill 1\hfill \end{array}\right)\right\}\text{.}$$

  On prend les colonnes $C_1={\left(\begin{array}{ccc}\hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 2\hfill \end{array}\right)}^{\top }$, $C_2={\left(\begin{array}{ccc}\hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right)}^{\top }$ et l’on détermine $C_3$ telle que $A{C}_3=C_3+C_2$. Après résolution, la colonne $C_3={\left(\begin{array}{ccc}\hfill 0\hfill & \hfill -1\hfill & \hfill 0\hfill \end{array}\right)}^{\top }$ convient.

  Finalement, obtient $A=PT{P}^{-1}$ pour

  $$P=\left(\begin{array}{ccc}\hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill -1\hfill \\ \hfill 2\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill \end{array}\right)\text{.}$$

• (a)

  Après calculs, ${\chi }_A={(X-1)}^3$.

• (b)

  On a

  $$E_1(A)=\mathrm{Vect}\{\left(\begin{array}{c}\hfill 1\hfill \\ \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill \end{array}\right),\left(\begin{array}{c}\hfill 0\hfill \\ \hfill -1\hfill \\ \hfill 1\hfill \end{array}\right)\}$$

  et puisque

  $$A\left(\begin{array}{c}\hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill \\ \hfill 1\hfill \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\hfill 0\hfill \\ \hfill -1\hfill \\ \hfill 2\hfill \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill \\ \hfill 1\hfill \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}\hfill 0\hfill \\ \hfill -1\hfill \\ \hfill 1\hfill \end{array}\right)$$

  on a $A=PT{P}^{-1}$ avec

  $$P=\left(\begin{array}{ccc}\hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill -1\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right)\text{.}$$

• (a)

  On obtient ${\chi }_A(X)={(X-1)}^3$.

• (b)

  Après résolution,

  $$E_1=\mathrm{Vect}\left\{\left(\begin{array}{c}\hfill 1\hfill \\ \hfill 0\hfill \\ \hfill 1\hfill \end{array}\right)\right\}\text{.}$$

  On prend $C_1={\left(\begin{array}{ccc}\hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right)}^{\top }$.

  On détermine $C_2$ telle que $A{C}_2=C_2+C_1$. $C_2={\left(\begin{array}{ccc}\hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill \end{array}\right)}^{\top }$ convient.

  On détermine $C_3$ telle que $A{C}_3=C_3+C_2$. $C_3={\left(\begin{array}{ccc}\hfill 0\hfill & \hfill -1\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right)}^{\top }$ convient.

  Finalement, $A=PT{P}^{-1}$ pour

  $$P=\left(\begin{array}{ccc}\hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill -1\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right)\text{.}$$

• (a)

  ${\chi }_A=X(X-1)(X-a)$.
  Si $a\ne \mathrm{0,1}$ alors $A$ est diagonalisable.
  Si $a=0$ alors $\mathrm{rg}(A)=2$ donc $dim\mathrm{Ker}(A)=1<m_0(A)$ et la matrice $A$ n’est pas diagonalisable.
  Si $a=1$ alors $\mathrm{rg}(A-\mathrm{I})=2$ et par le même argument qu’au dessus, $A$ n’est pas diagonalisable.
  On conclut

  $$\mathrm{\Omega }=\{\mathrm{0,1}\}\text{.}$$

• (b)

  Cas: $a=0$.

  $$\mathrm{Ker}(A)=\mathrm{Vect}\left\{\left(\begin{array}{c}\hfill 1\hfill \\ \hfill 0\hfill \\ \hfill 1\hfill \end{array}\right)\right\}\mathit{\hspace{1em}}\text{et}\mathit{\hspace{1em}}\mathrm{Ker}(A-{\mathrm{I}}_3)=\mathrm{Vect}\left\{\left(\begin{array}{c}\hfill 3\hfill \\ \hfill 1\hfill \\ \hfill 2\hfill \end{array}\right)\right\}\text{.}$$

  Par conséquent, la matrice suivante convient

  $$P=\left(\begin{array}{ccc}\hfill 1\hfill & \hfill 3\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right)\text{.}$$

  Cas: $a=1$.

  $$\mathrm{Ker}(A)=\mathrm{Vect}\left\{\left(\begin{array}{c}\hfill 1\hfill \\ \hfill 0\hfill \\ \hfill 1\hfill \end{array}\right)\right\}\mathit{\hspace{1em}}\text{et}\mathit{\hspace{1em}}\mathrm{Ker}(A-{\mathrm{I}}_3)=\mathrm{Vect}\left\{\left(\begin{array}{c}\hfill 1\hfill \\ \hfill 1\hfill \\ \hfill 1\hfill \end{array}\right)\right\}\text{.}$$

  Par conséquent, la matrice suivante convient

  $$P=\left(\begin{array}{ccc}\hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right)\text{.}$$