[<] Trigonalisabilité [>] Application de la trigonalisabilité

 
Exercice 1  5156  

On étudie la matrice réelle

A=(1-311-2001-2).
  • (a)

    Justifier que la matrice A est trigonalisable sans pour autant être diagonalisable.

  • (b)

    Déterminer une matrice PGL3() dont la première colonne est vecteur propre de A et calculer B2() telle que

    P-1AP=(-1**0B0).
  • (c)

    Déterminer QGL2() telle que Q-1BQ soit triangulaire supérieure.

  • (d)

    En déduire RGL3() telle que R-1AR soit triangulaire supérieure.

 
Exercice 2  5155  

On étudie la matrice réelle

A=(11-10101-33).
  • (a)

    Justifier que la matrice A est trigonalisable.

  • (b)

    Déterminer une matrice PGL3() dont les deux premières colonnes sont vecteurs propres de A et vérifier que P-1AP est triangulaire supérieure.

 
Exercice 3  4342  

Montrer que les matrices réelles suivantes sont trigonalisables et les trigonaliser11 1 Trigonaliser une matrice carrée A signifie déterminer une matrice inversible P telle que P-1AP soit triangulaire supérieure. Une telle matrice P est alors appelée matrice de trigonalisation de A..

  • (a)

    A=(1-311-2001-2)

  • (b)

    B=(0-10-111-3-22)

  • (c)

    C=(11-10101-33).

 
Exercice 4  2526     CCP (MP)Correction  

Montrer que la matrice

(13-5-2-27-8-547)

est trigonalisable et préciser une matrice de passage.

Solution

Notons A la matrice étudiée.

Après calculs, son polynôme caractéristique est χA=(X-9)3.

Celui-ci est scindé et par conséquent la matrice A est trigonalisable. Après résolution,

E9(A)=Vect{(11-1/2)}

dimE9(A)=1 et X1=(11-1/2)t est vecteur propre. Complétons ce vecteur en une base et considérons la matrice de passage associée

P=(100110-1/201).

On a

P-1AP=(9-5-2012-603/26).

Considérons alors la sous matrice

A=(12-63/26)

de polynôme caractéristique (X-9)2 car χA(X)=(X-9)χA(X). Après résolution,

E9(A)=Vect{(1,1/2)}.

Considérons la matrice de passage

P=(101/21).

On a

(P-1)AP=(9-609).

Enfin, pour

Q=P×(100P)=(100110-1/21/21)

on obtient

Q-1AQ=(9-6-209-6009).
 
Exercice 5  820   Correction  

Soit

A=(2-1-121-23-1-2).
  • (a)

    Calculer le polynôme caractéristique de A.

  • (b)

    Déterminer une matrice de passage rendant la matrice A semblable à

    T=(-100011001).

Solution

  • (a)

    On obtient χA(X)=(X+1)(X-1)2.

  • (b)

    Après résolution,

    E-1=Vect{(112)},etE1=Vect{(101)}.

    On prend les colonnes C1=(112)t, C2=(101)t et l’on détermine C3 telle que AC3=C3+C2. Après résolution, la colonne C3=(0-10)t convient.

    Finalement, obtient A=PTP-1 pour

    P=(11010-1210).
 
Exercice 6  3583     CCP (MP)Correction  

Soit

A=(10000-1012).
  • (a)

    Calculer le polynôme caractéristique de A.

  • (b)

    Déterminer une matrice de passage rendant la matrice A semblable à

    T=(100011001).

Solution

  • (a)

    Après calculs, χA=(X-1)3.

  • (b)

    On a

    E1(A)=Vect{(100),(0-11)}

    et puisque

    A(001)=(0-12)=(001)+(0-11)

    on a A=PTP-1 avec

    P=(1000-10011).
 
Exercice 7  821   Correction  

Soit

A=(011-111-112).
  • (a)

    Calculer le polynôme caractéristique de A.

  • (b)

    Déterminer une matrice de passage rendant la matrice A semblable à

    T=(110011001).

Solution

  • (a)

    On obtient χA(X)=(X-1)3.

  • (b)

    Après résolution,

    E1=Vect{(101)}.

    On prend C1=(101)t.

    On détermine C2 telle que AC2=C2+C1. C2=(010)t convient.

    On détermine C3 telle que AC3=C3+C2. C3=(0-11)t convient.

    Finalement, A=PTP-1 pour

    P=(10001-1101).
 
Exercice 8  3809     CCP (PSI)Correction  
  • (a)

    Déterminer l’ensemble Ω des réels a tels que

    A=(21-21a-111-1)

    n’est pas diagonalisable.

  • (b)

    Pour aΩ, trouver P inversible telle que P-1AP soit triangulaire supérieure.

Solution

  • (a)

    χA=X(X-1)(X-a).
    Si a0,1 alors A est diagonalisable.
    Si a=0 alors rg(A)=2 donc dimKer(A)=1<m0(A) et la matrice A n’est pas diagonalisable.
    Si a=1 alors rg(A-I)=2 et par le même argument qu’au dessus, A n’est pas diagonalisable.
    On conclut

    Ω={0,1}.
  • (b)

    Cas: a=0.

    Ker(A)=Vect{(101)}etKer(A-I3)=Vect{(312)}.

    Par conséquent, la matrice suivante convient

    P=(130010121).

    Cas: a=1.

    Ker(A)=Vect{(101)}etKer(A-I3)=Vect{(111)}

    Par conséquent, la matrice suivante convient

    P=(110010111).

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Édité le 08-11-2019

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