[<] Réduction et sous-espaces stables
Soit une matrice nilpotente.
Montrer que est semblable à une matrice triangulaire supérieure stricte.
Le résultat est-il encore vrai pour ?
Solution
Si alors est triangularisable et lors de cette triangularisation les valeurs propres de apparaissent sur la diagonale. Or est nilpotente donc est sa seule valeur propre et la diagonale de la matrice triangulaire obtenue est nulle. Le polynôme caractéristique de est alors égal à .
Pour , on a aussi et le polynôme caractéristique est calculé par la même formule dans les deux cas. Par suite, le polynôme caractéristique pour est scindé et donc à nouveau est triangularisable avec des sur la diagonale.
Soit une matrice nilpotente. Montrer .
Soient vérifiant avec nilpotente. Calculer .
Soit un endomorphisme nilpotent d’une espace vectoriel réel de dimension finie .
Montrer que .
On suppose . Justifier qu’il existe une base de telle que la matrice représentant dans soit
Résoudre l’équation d’inconnue .
Solution
Notons l’indice de nilpotence de . Pour , on montre que la famille est libre. On en déduit et donc .
Pour , la famille est libre et constituée de vecteurs de , c’est donc une base de . La matrice de dans cette base est de la forme voulue.
Soit vérifiant . Puisque la matrice est nilpotente, la matrice l’est aussi. Or alors que . C’est absurde. L’équation étudiée ne possède pas de solutions.
Soient ou et des matrices de nilpotentes commutant deux à deux.
Montrer
Solution
Commençons par établir pour :
Supposons donc , et nilpotente.
Par l’absurde, supposons aussi .
Puisque , on a .
Par la formule du rang, on obtient
Or donc .
Considérons ensuite donné par . L’application est linéaire et bien définie car est stable par puisque et commutent. Soit . Si alors donc puis . L’application linéaire est donc injective.
Or il existe tel que et donc est l’application nulle.
Sachant l’espace non réduit à , il y a absurdité et ainsi .
En revenant à l’énoncé initial, on montre alors par récurrence
En particulier, et la matrice est nulle.
Soit telle que soit la seule valeur propre de .
Montrer que .
Calculer .
Soit commutant avec . Calculer .
Inversement, quelles sont les matrices vérifiant:
Solution
est semblable à une matrice triangulaire supérieure stricte . Cette dernière vérifie et l’on a donc . On peut aussi appliquer le théorème de Cayley-Hamilton.
On peut écrire donc
On écrit
Puisque
est la seule valeur propre de et, par l’étude qui précède,
Si est solution alors pour tout , donc est seule valeur propre de .
Soient et deux endomorphismes d’un espace réel de dimension . On suppose que et commutent et que est nilpotent. Montrer .
Soient avec matrice nilpotente.
On suppose . Montrer que les matrices et ont le même polynôme caractéristique.
Même question en supposant cette fois-ci .
Solution
Sachant , on a . Introduisons un sous-espace vectoriel supplémentaire de dans . En considérant une matrice de passage traduisant un changement de base vers une base adaptée à la supplémentarité
on obtient les écritures par blocs
On a alors
Or est une matrice nilpotente complexe, sa seule valeur propre étant 0, on obtient
et l’identité voulue est établie.
C’est le même raisonnement avec et l’introduction d’un sous-espace vectoriel tel que
On a alors
avec nilpotente.
Soit avec . On considère la matrice avec11 1 désigne le symbole de Kronecker, égal à si et sinon.
Montrer que la matrice est nilpotente et déterminer son indice de nilpotence.
Existe-t-il une matrice vérifiant ?
Soit un espace vectoriel réel de dimension finie.
À quelle condition un endomorphisme nilpotent peut-il s’écrire comme une somme de projections vectorielles?
À quelle condition une matrice de peut-elle s’écrire comme somme de matrices nilpotentes?
Solution
Les valeurs propres complexes d’une matrice nilpotente sont toutes nulles. La trace d’une matrice réelle étant la somme de ses valeurs propres complexes comptées avec multiplicité, la trace d’une matrice nilpotente réelle est assurément nulle. Par combinaison linéaire, si une matrice de est somme de matrices nilpotentes, elle est aussi de trace nulle.
Inversement, soit une matrice de trace nulle. On peut écrire
et alors
ce qui décompose comme somme de matrices nilpotentes.
Notons que le résultat se généralise à la taille en employant, par exemple, la nilpotence des matrices élémentaires non diagonales et la nilpotence des matrices
Soit . On considère l’endomorphisme de défini par
On suppose que la matrice est nilpotente.
Montrer que l’endomorphisme est aussi nilpotent.
Que dire de la réciproque?
Solution
Soit une valeur propre de l’endomorphisme .
Il existe une matrice non nulle vérifiant et alors .
Par une récurrence facile, pour tout . Or pour un certain , donc . Cependant la matrice n’est pas nulle et la matrice n’est donc pas inversible puis la matrice ne l’est pas non plus. Ainsi, est valeur propre de et donc car 0 est la seule valeur propre d’une matrice nilpotente.
On en déduit puis car le corps de base assure l’existence d’au moins une valeur propre.
On peut alors conclure car un endomorphisme d’un espace complexe de dimension finie dont est la seule valeur propre est nécessairement nilpotent (car trigonalisable semblable à une matrice triangulaire supérieure stricte).
Finalement, l’endomorphisme est nilpotent.
Pour , on a . Ainsi, l’endomorphisme est nilpotent alors que ne l’est pas. La réciproque est fausse.
Soit vérifiant
Démontrer que .
Si est nilpotente, démontrer que .
Soient et la matrice obtenue à partir de en permutant les lignes de .
Démontrer que .
Démontrer que est inversible si, et seulement si, .
Solution
donc d’où ou 1.
Si alors pour tout , .
Ceci est exclu car la fonction n’est pas constante. On en déduit .
Si est nilpotente alors (car est de taille 2) et donc puis .
donc puis ou .
Si alors pour tout , .
Ceci est exclu car la fonction n’est pas constante. On en déduit .
Notons .
On remarque donc puis car .
Puisque , on en déduit .
Si est inversible alors et donc puisque .
Inversement, supposons non inversible. 0 est valeur propre de .
On vérifie aisément que deux matrices et semblables vérifient .
Si est diagonalisable alors est semblable à
Par suite,
car cette dernière matrice est nilpotente.
Si n’est pas diagonalisable est trigonalisable (car scindé sur ) et est semblable à
et par suite car cette dernière matrice est nilpotente.
Pour , on note un hyperplan de ne contenant aucune matrice inversible.
Montrer que contient toutes les matrices nilpotentes.
En déduire que tout hyperplan de rencontre .
Solution
Puisque est un hyperplan et que , on a
Soit une matrice nilpotente. On peut l’écrire avec . La matrice n’étant pas inversible, il existe une colonne non nulle telle que et alors . Le scalaire est une valeur propre de la matrice . Or les seules valeurs propres d’une matrice nilpotente sont nulles. On en déduit puis .
Les matrices élémentaires avec sont nilpotentes car de carrées nulles; elles sont donc toutes éléments de et par combinaison linéaire la matrice
appartient à . Cependant, celle-ci est notoirement inversible.
Soient et . On note le -espace vectoriel des formes linéaires sur .
Montrer que , où est la forme linéaire est un isomorphisme
d’espaces vectoriels. En déduire une description des hyperplans de .
Soit une matrice triangulaire supérieure non nulle et .
On note (respectivement ) le sous-espace vectoriel des matrices triangulaires supérieures (respectivement inférieures) à diagonales nulles.
Déterminer .
En discutant selon que possède ou non un coefficient non nul (au moins) hors de la diagonale, déterminer la dimension de .
Une matrice est dite nilpotente s’il existe tel que .
Prouver que les éléments de sont des matrices nilpotentes.
En déduire que contient au moins matrices nilpotentes linéairement indépendantes.
Montrer que tout hyperplan de contient au moins matrices nilpotentes linéairement indépendantes.
Énoncé fourni par le CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA
Solution
Notons qu’il est immédiat de vérifier que est une forme linéaire sur .
Par linéarité de la trace, on vérifie ce qui fournit la linéarité de l’application .
Puisque , il suffit désormais de vérifier l’injectivité de pour assurer qu’il s’agit d’un isomorphisme. Si (l’application nulle) alors en particulier et donc .
Or
donc .
Puisque les hyperplans sont exactement les noyaux des formes linéaires non nulles, on peut assurer que pour tout hyperplan de , il existe non nulle telle que
Pour tout matrice , le produit est triangulaire à coefficients diagonaux nuls donc . Ainsi, puis .
Concernant , ou bien c’est un hyperplan de , ou bien c’est entier.
S’il n’y a pas de coefficient non nul dans le bloc supérieur strict de alors est diagonale et un calcul analogue au précédent donne (de dimension )
Sinon, on peut déterminer une matrice élémentaire dans qui n’est pas dans (si alors convient) et donc est un hyperplan de (de dimension ).
Les matrices triangulaire strictes sont bien connues nilpotentes…
Une base de adjointe à une base de fournit une famille libre (car et sont en somme directe) et celle-ci est formée d’au moins éléments.
Soit un hyperplan de . Il existe non nulle telle que
La matrice est trigonalisable donc on peut écrire avec et triangulaire supérieure non nulle. Posons alors l’isomorphisme et considérons l’hyperplan
On constate
Par l’isomorphisme , on transforme une famille de matrices nilpotentes linéairement indépendantes d’éléments de en une famille telle que voulue.
Soit .
Montrer que est nilpotente si, et seulement si, pour tout .
[<] Réduction et sous-espaces stables
Édité le 29-08-2023
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