[<] Réduction et sous-espaces stables

 
Exercice 1  863  Correction  

Soit An() une matrice nilpotente.

  • (a)

    Montrer que A est semblable à une matrice triangulaire supérieure stricte.

  • (b)

    Le résultat est-il encore vrai pour An()?

Solution

  • (a)

    Si An() alors A est triangularisable et lors de cette triangularisation les valeurs propres de A apparaissent sur la diagonale. Or A est nilpotente donc 0 est sa seule valeur propre et la diagonale de la matrice triangulaire obtenue est nulle. Le polynôme caractéristique de An() est alors égal à Xn.

  • (b)

    Pour An(), on a aussi An() et le polynôme caractéristique est calculé par la même formule dans les deux cas. Par suite, le polynôme caractéristique pour An() est scindé et donc à nouveau A est triangularisable avec des 0 sur la diagonale.

 
Exercice 2  5159  

Soit An(𝕂) une matrice nilpotente. Montrer An=On.

 
Exercice 3  3372  

Soient A,Bn(𝕂) vérifiant AB=BA avec A nilpotente. Calculer tr(AB).

 
Exercice 4  3474     X (MP)Correction  

Soient 𝕂= ou et A1,A2,,An des matrices de n(𝕂) nilpotentes commutant deux à deux.
Montrer

A1A2An=On.

Solution

Commençons par établir pour A,Bn(𝕂):

AOn,AB=BA et B nilpotente rg(AB)<rg(A).

Supposons donc AOn, AB=BA et B nilpotente.
Par l’absurde, supposons aussi rg(AB)rg(A).
Puisque rg(AB)min(rg(A),rg(B)), on a rg(AB)=rg(A).
Par la formule du rang, on obtient

dimKer(AB)=dimKer(A).

Or Ker(A)Ker(BA)=Ker(AB) donc Ker(A)=Ker(AB).

Considérons ensuite φ:Im(A)Im(A) donné par φ(Y)=BY. L’application φ est linéaire et bien définie car Im(A) est stable par B puisque A et B commutent. Soit Y=AXIm(A). Si φ(Y)=0 alors BAX=ABX=0 donc XKer(AB)=Ker(A) puis Y=0. L’application linéaire φ est donc injective.

Or il existe p* tel que Bp=On et donc φp:YBpY=On,1 est l’application nulle.

Sachant l’espace Im(A) non réduit à {0}, il y a absurdité et ainsi rg(AB)<rg(A).

En revenant à l’énoncé initial, on montre alors par récurrence

1pn,rg(A1A2Ap)n-p

En particulier, rg(A1A2An)=0 et la matrice A1A2An est nulle.

 
Exercice 5  866   Correction  

Soit An() telle que 0 soit la seule valeur propre de A.

  • (a)

    Montrer que An=0.

  • (b)

    Calculer det(A+In).

  • (c)

    Soit MGLn() commutant avec A. Calculer det(A+M).

  • (d)

    Inversement, quelles sont les matrices A vérifiant:

    MGLn(),AM=MAdet(A+M)=det(M)?.

Solution

  • (a)

    A est semblable à une matrice triangulaire supérieure stricte T. Cette dernière vérifie Tn et l’on a donc An. On peut aussi appliquer le théorème de Cayley-Hamilton.

  • (b)

    On peut écrire A=PTP-1 donc

    det(A+In)=det(T+In)=1.
  • (c)

    On écrit

    det(A+M)=det(M)det(AM-1+In).

    Puisque

    (AM-1)n=AnM-n=On,

    0 est la seule valeur propre de AM-1 et, par l’étude qui précède,

    det(A+M)=det(M).
  • (d)

    Si A est solution alors pour tout λ0, det(A-λIn)0 donc 0 est seule valeur propre de A.

 
Exercice 6  4361   

Soient u et v deux endomorphismes d’un espace réel E de dimension n1. On suppose que u et v commutent et que v est nilpotent. Montrer det(u+v)=det(u).

 
Exercice 7  3765   Correction  

Soient A,Mn() avec M matrice nilpotente.

  • (a)

    On suppose MA=On. Montrer que les matrices A+M et A ont le même polynôme caractéristique.

  • (b)

    Même question en supposant cette fois-ci AM=On.

Solution

  • (a)

    Sachant MA=On, on a Im(A)Ker(M). Introduisons F un sous-espace vectoriel supplémentaire de Ker(M) dans n,1(). En considérant une matrice de passage P traduisant un changement de base vers une base adaptée à la supplémentarité

    n,1()=Ker(M)F

    on obtient les écritures par blocs

    P-1AP=(A1A2OO)etP-1MP=(OM1OM2).

    On a alors

    χA=χA1×XdimF et χA+M=χA1χM2.

    Or M2 est une matrice nilpotente complexe, sa seule valeur propre étant 0, on obtient

    χM2=XdimF

    et l’identité voulue est établie.

  • (b)

    C’est le même raisonnement avec Im(M)Ker(A) et l’introduction d’un sous-espace vectoriel F tel que

    n,1()=Ker(A)F.

    On a alors

    P-1AP=(OA1OA2)etP-1MP=(M1M2OO)

    avec M1 nilpotente.

 
Exercice 8  1956     MINES (PC)

Soit n avec n2.

On considère A=(ai,j)1i,jnn() avec11 1 δx,y désigne le symbole de Kronecker, il est égal à 1 si x=y et 0 sinon. ai,j=δi,j+1 pour tous i,j1;n. Existe-t-il une matrice Bn() vérifiant B2=A?

 
Exercice 9  5160   

Soit E un espace vectoriel réel de dimension finie.

À quelle condition un endomorphisme nilpotent peut-il s’écrire comme une somme de projections vectorielles?

 
Exercice 10  4959     X (PC)Correction  

À quelle condition une matrice de 2() peut-elle s’écrire comme somme de matrices nilpotentes?

Solution

Les valeurs propres complexes d’une matrice nilpotente sont toutes nulles. La trace d’une matrice réelle étant la somme de ses valeurs propres complexes comptées avec multiplicité, la trace d’une matrice nilpotente réelle est assurément nulle. Par combinaison linéaire, si une matrice de 2() est somme de matrices nilpotentes, elle est aussi de trace nulle.

Inversement, soit M2() une matrice de trace nulle. On peut écrire

M=(abc-a) avec a,b,c

et alors

M=(a-aa-a)+(0b+a00)+(00c-a0)

ce qui décompose M comme somme de matrices nilpotentes.

Notons que le résultat se généralise à la taille n en employant, par exemple, la nilpotence des matrices élémentaires non diagonales et la nilpotence des matrices

Ni=(Oi(0)N(0)On-i-2) avec N=(1-11-1)eti0;n-2
 
Exercice 11  3031   Correction  

Soit An(). On considère l’endomorphisme T de n() défini par

T(M)=AM-MA.
  • (a)

    On suppose que la matrice A est nilpotente.
    Montrer que l’endomorphisme T est aussi nilpotent.

  • (b)

    Que dire de la réciproque?

Solution

  • (a)

    Soit λ une valeur propre de l’endomorphisme T.

    Il existe une matrice M non nulle vérifiant T(M)=λM et alors MA=(A+λIn)M.

    Par une récurrence facile, MAp=(A+λIn)pM pour tout p. Or pour un certain p*, Ap=On donc (A+λIn)pM=On. Cependant la matrice M n’est pas nulle et la matrice (A+λIn)p n’est donc pas inversible puis la matrice A+λIn ne l’est pas non plus. Ainsi, λ est valeur propre de A et donc λ=0 car 0 est la seule valeur propre d’une matrice nilpotente.

    On en déduit Sp(T){0} puis Sp(T)={0} car le corps de base assure l’existence d’au moins une valeur propre.

    On peut alors conclure car un endomorphisme d’un espace complexe de dimension finie dont 0 est la seule valeur propre est nécessairement nilpotent (car trigonalisable semblable à une matrice triangulaire supérieure stricte).

    Finalement, l’endomorphisme T est nilpotent.

  • (b)

    Pour A=In, on a T=0~. Ainsi, l’endomorphisme T est nilpotent alors que A ne l’est pas. La réciproque est fausse.

 
Exercice 12  3095     X (PC)Correction  

Soit Φ:2() vérifiant

A,B2(),Φ(AB)=Φ(A)Φ(B)etΦ(0110)Φ(I2).
  • (a)

    Démontrer que Φ(O2)=0.

  • (b)

    Si A est nilpotente, démontrer que Φ(A)=0.

  • (c)

    Soient A2() et B la matrice obtenue à partir de A en permutant les lignes de A.
    Démontrer que Φ(B)=-Φ(A).

  • (d)

    Démontrer que A est inversible si, et seulement si, Φ(A)0.

Solution

  • (a)

    O22=O2 donc Φ(O2)2=Φ(O2) d’où Φ(O2)=0 ou 1.
    Si Φ(O2)=1 alors pour tout A2(), Φ(A)=Φ(A)×Φ(O2)=Φ(A×O2)=1.
    Ceci est exclu car la fonction Φ n’est pas constante. On en déduit Φ(O2)=0.

  • (b)

    Si A est nilpotente alors A2=O2 (car A est de taille 2) et donc Φ(A)2=0 puis Φ(A)=0.

  • (c)

    I22=I2 donc Φ(I2)2=Φ(I2) puis Φ(I2)=0 ou 1.
    Si Φ(I2)=0 alors pour tout A2(), Φ(A)=Φ(A×I2)=Φ(A)×0=0.
    Ceci est exclu car la fonction Φ n’est pas constante. On en déduit Φ(I2)=1.
    Notons E=(0110).
    On remarque E2=I2 donc Φ(E)2=1 puis Φ(E)=-1 car Φ(E)Φ(I2).
    Puisque B=EA, on en déduit Φ(B)=-Φ(A).

  • (d)

    Si A est inversible alors Φ(I2)=Φ(A)×Φ(A-1) et donc Φ(A)0 puisque Φ(I2)=10.
    Inversement, supposons A non inversible. 0 est valeur propre de A.
    On vérifie aisément que deux matrices A et B semblables vérifient Φ(A)=Φ(B).
    Si A est diagonalisable alors A est semblable à

    (000tr(A)).

    Par suite,

    Φ(A)=Φ(000tr(A))=-Φ(0tr(A)00)=0

    car cette dernière matrice est nilpotente.
    Si A n’est pas diagonalisable A est trigonalisable (car χA scindé sur ) et A est semblable à

    (0100)

    et par suite Φ(A)=0 car cette dernière matrice est nilpotente.

 
Exercice 13  3763     MINES (PC)Correction  

Pour n2, on note H un hyperplan de n(𝕂) ne contenant aucune matrice inversible.

  • (a)

    Montrer que H contient toutes les matrices nilpotentes.

  • (b)

    En déduire que tout hyperplan de n(𝕂) rencontre GLn(𝕂).

Solution

  • (a)

    Puisque H est un hyperplan et que InH, on a

    HVect(In)=n(𝕂).

    Soit A une matrice nilpotente. On peut l’écrire A=B+λIn avec BH. La matrice B n’étant pas inversible, il existe une colonne X non nulle telle que BX=0 et alors AX=λX. Le scalaire λ est une valeur propre de la matrice A. Or les seules valeurs propres d’une matrice nilpotente sont nulles. On en déduit λ=0 puis A=BH.

  • (b)

    Les matrices élémentaires Ei,j avec ij sont nilpotentes car de carrées nulles; elles sont donc toutes éléments de H et par combinaison linéaire la matrice

    M=(01(0)(0)110)

    appartient à H. Cependant, celle-ci est notoirement inversible.

 
Exercice 14  3616     CENTRALE (PC)Correction  

Soient n et E=n(). On note E*=(E,) le -espace vectoriel des formes linéaires sur E.

  • (a)

    Montrer que L:EE*, ALALA est la forme linéaire Mtr(AM) est un isomorphisme
    d’espaces vectoriels. En déduire une description des hyperplans de E.

  • (b)

    Soit Tn() une matrice triangulaire supérieure non nulle et H=Ker(LT).
    On note Tn+(respectivement Tn-) le sous-espace vectoriel des matrices triangulaires supérieures (respectivement inférieures) à diagonales nulles.
    Déterminer HTn+.
    En discutant selon que T possède ou non un coefficient non nul (au moins) hors de la diagonale, déterminer la dimension de HTn-.

  • (c)

    Une matrice An() est dite nilpotente s’il existe k tel que Ak=0.
    Prouver que les éléments de Tn+Tn- sont des matrices nilpotentes.
    En déduire que H contient au moins n2-n-1 matrices nilpotentes linéairement indépendantes.

  • (d)

    Montrer que tout hyperplan de E contient au moins n2-n-1 matrices nilpotentes linéairement indépendantes.
    Énoncé fourni par le CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Solution

  • (a)

    Notons qu’il est immédiat de vérifier que LA est une forme linéaire sur E.
    Par linéarité de la trace, on vérifie tr((λA+μB)M)=λtr(AM)+μtr(BM) ce qui fournit la linéarité de l’application L.
    Puisque dimE=dimE*<+, il suffit désormais de vérifier l’injectivité de L pour assurer qu’il s’agit d’un isomorphisme. Si LA=0 (l’application nulle) alors en particulier LA(A¯t)=0 et donc tr(AA¯t)=tr(A¯tA)=0.
    Or

    tr(A¯tA)=i,j=1n|ai,j|2

    donc A=0.
    Puisque les hyperplans sont exactement les noyaux des formes linéaires non nulles, on peut assurer que pour tout hyperplan H de E, il existe An() non nulle telle que

    H={Mn()|tr(AM)=0}.
  • (b)

    Pour tout matrice MTn+, le produit TM est triangulaire à coefficients diagonaux nuls donc tr(TM)=0. Ainsi, Tn+H puis HTn+=Tn+.
    Concernant HTn-, ou bien c’est un hyperplan de Tn-, ou bien c’est Tn- entier.
    S’il n’y a pas de coefficient non nul dans le bloc supérieur strict de T alors T est diagonale et un calcul analogue au précédent donne HTn-=Tn- (de dimension n(n-1)/2)
    Sinon, on peut déterminer une matrice élémentaire dans Tn- qui n’est pas dans H (si [T]i,j0 alors Ej,i convient) et donc HTn- est un hyperplan de Tn- (de dimension n(n-1)/2-1).

  • (c)

    Les matrices triangulaire strictes sont bien connues nilpotentes…
    Une base de Tn+ adjointe à une base de HTn- fournit une famille libre (car Tn+ et Tn- sont en somme directe) et celle-ci est formée d’au moins n(n-1)/2+n(n-1)/2-1=n2-n-1 éléments.

  • (d)

    Soit H un hyperplan de E. Il existe An() non nulle telle que

    H={Mn()|tr(AM)=0}.

    La matrice A est trigonalisable donc on peut écrire A=PTP-1 avec PGLn() et T triangulaire supérieure non nulle. Posons alors l’isomorphisme φ:MP-1MP et considérons l’hyperplan

    K={Nn()|tr(TN)=0}.

    On constate

    MHφ(N)K.

    Par l’isomorphisme φ, on transforme une famille de n2-n-1 matrices nilpotentes linéairement indépendantes d’éléments de K en une famille telle que voulue.

 
Exercice 15  2724      MINES (MP)

Montrer qu’une matrice An() est nilpotente si, et seulement si, tr(Ap)=0 pour tout p1;n.

[<] Réduction et sous-espaces stables



Édité le 08-11-2019

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