[<] Diagonalisation d'une matrice [>] Applications de la diagonalisabilité d'un endomorphisme

 
Exercice 1  4357  

On étudie l’équation (E):M2-M=A d’inconnue M2() avec

A=(4144).
  • (a)

    Diagonaliser la matrice A en précisant une matrice de passage P.

  • (b)

    Soit M2() solution de (E). Justifier que la matrice P-1MP est diagonale.

  • (c)

    Déterminer toutes les matrices solutions de l’équation (E).

 
Exercice 2  814  Correction  

Soit

A=(5313)2().
  • (a)

    Diagonaliser la matrice A en précisant la matrice de passage P

  • (b)

    Soit M2() une matrice telle que M2+M=A.
    Justifier que la matrice P-1MP est diagonale.

  • (c)

    Déterminer les solutions de l’équation M2+M=A.

Solution

  • (a)

    det(A-λI)=(λ-2)(λ-6).
    {5x+3y=2xx+3y=2yx+y=0 et (1-1) est vecteur propre associé à la valeur propre 2.
    {5x+3y=6xx+3y=6y-x+3y=0 et (31) est vecteur propre associé à la valeur propre 6.
    On a A=PDP-1 avec

    P=(13-11) et D=(2006).
  • (b)

    Si M est solution alors P-1MP est solution de l’équation X2+X=D donc P-1MP et D commutent or D est diagonale à coefficients diagonaux distincts donc P-1MP est diagonale

  • (c)

    Les coefficients diagonaux a,b vérifient a2+a=2 et b2+b=6 donc a=1 ou a=-2 et b=2 ou b=-3. Au termes des calculs on obtient les solutions

    14(7315),(-2-3-10),(131-1),14(-11-3-1-9).
 
Exercice 3  813   Correction  
  • (a)

    Déterminer les valeurs propres de

    A=(1303-2-10-11).
  • (b)

    Combien y a-t-il de matrice M telle que M2=A dans n()? dans n()?

Solution

  • (a)

    Sp(A)={1,3,-4}.

  • (b)

    Il existe une matrice P inversible tel que A=PDP-1 avec D=diag(1,3,-4).

    Si Mn() est solution de l’équation M2=A alors (P-1MP)2=D et donc P-1MP commute avec la matrice D. Or celle-ci est diagonale à coefficients diagonaux distincts donc P-1MP est diagonale de coefficients diagonaux a,b,c vérifiant a2=1, b2=3 et c2=-4. La réciproque est immédiate.

    Il y a 8 solutions possibles pour (a,b,c) et donc autant de solutions pour M (car l’application NP-1NP est injective).

    Les solutions réelles sont a fortiori des solutions complexes or toutes les solutions complexes vérifient tr(M)=a+b+c. Il n’existe donc pas de solutions réelles.

 
Exercice 4  3122  Correction  

Soient p,q* et A,B,Mn() avec A,B diagonalisables. Montrer

ApMBq=OnAMB=On.

Solution

On peut écrire

A=PDP-1etB=QΔQ-1

avec P,QGLn(𝕂) et D,Δn(𝕂) diagonales.

Si ApMBq=On alors

DpNΔq=On

avec N=P-1MQ=(ni,j).

En notant λ1,,λn et μ1,,μn les coefficients diagonaux de D et Δ, on obtient

(i,j){1,,n}2,λipni,jμjq=0

et donc

(i,j){1,,n}2,λini,jμj=0

puis

DNΔ=On

ce qui permet de conclure.

 
Exercice 5  2453   Correction  

Soient A,Bn() avec B diagonalisable.
Montrer

AB3=B3AAB=BA.

Solution

Il existe des matrices PGLn() et DDn() telles que

B=PDP-1.

Si AB3=B3A alors

APD3P-1=PD3P-1A

puis on obtient

MD3=D3M

avec M=P-1AP.
Notons mi,j le coefficient général de M et λ1,,λn les coefficients diagonaux de D.
La relation MD3=D3M donne

(i,j){1,,n}2,mi,jλj3=mi,jλi3

et donc

(i,j){1,,n}2,mi,j=0 ou λi3=λj3.

Comme la fonction xx3 est injective sur , on obtient

(i,j){1,,n}2,mi,j=0 ou λi=λj

et donc

MD=DM

puis

AB=BA.
 
Exercice 6  815   Correction  

Pour n2, on considère la matrice

J=(01(0)01100).
  • (a)

    Montrer que la matrice J est diagonalisable dans n().

  • (b)

    Application: Exprimer

    |a0a1an-1an-1a1a1an-1a0|.

Solution

  • (a)

    En développant selon la dernière ligne

    det(λIn-J)=|λ-1000λ-100-1-100λ|=λn-1

    J possède exactement n valeurs propres qui sont les racines n-ième de l’unité ω0,,ωn-1 avec ωk=e2ikπn.

  • (b)

    Soit PGLn() la matrice de passage telle que J=PDP-1 avec D=diag(ω0,,ωn-1).

    A=(a0a1an-1an-1a1a1an-1a0)=a0I+a1J+a2J2++an-1Jn-1

    donc

    P-1AP=a0I+a1D+a2D2++an-1Dn-1=diag((k=0n-1akωik)0in-1

    puis

    det(A)=det(P-1AP)=i=0n-1k=0n-1akωik.
 
Exercice 7  2692     MINES (MP)Correction  

Les matrices

(123312231)et(132213321)

sont-elles semblables?

Solution

La colonne (111)t est vecteur propre associé à la valeur propre 6.

Les deux matrices ont le même polynôme caractéristique et celui-ci a pour racines

6,-3+i32et-3-i32.

Ces deux matrices sont semblables à

diag(6,-3+i32,-3-i32)

et donc a fortiori semblables entre elles dans n(), mais aussi, et c’est assez classique, dans n().

 
Exercice 8  3113     CENTRALE (PC)Correction  
  • (a)

    Soit Dn(). Déterminer l’inverse de

    (InDOnIn).
  • (b)

    Soient A,Bn() diagonalisables telles que Sp(A)Sp(B)=.
    Montrer que pour tout matrice Cn(), les matrices suivantes sont semblables

    (ACOnB)et(AOnOnB).

Solution

  • (a)

    On vérifie

    (InDOnIn)-1=(In-DOnIn).
  • (b)

    On observe

    (InDOnIn)-1(ACOnB)(InDOnIn)=(AEOnB)

    avec E=AD+C-DB.

    Pour conclure, montrons qu’il existe Dn() vérifiant DB-AD=C. Considérons pour cela l’endomorphisme φ de n() défini par

    φ(M)=MB-AM.

    Pour MKer(φ), on a MB=AM. Pour tout X vecteur propre de B associé à une valeur propre λ, on a

    AMX=MBX=λMX.

    Puisque λ est valeur propre de B, λ n’est pas valeur propre de A et donc MX=On,1.

    Puisqu’il existe une base de vecteurs propres de B et puisque chacun annule M, on a M=On.

    Ainsi, l’endomorphisme φ est injectif, or n() est de dimension finie donc φ est bijectif. Ainsi, il existe une matrice D telle φ(D)=C et, par celle-ci, on obtient la similitude demandée.

 
Exercice 9  2980     X (MP)Correction  

Soit φ une application de 2() vers vérifiant:

(A,B)2()2,φ(AB)=φ(A)φ(B)etφ(λ001)=λ.

Montrer que φ=det.

Solution

φ(I2)=1 donc, si P est inversible, alors φ(P-1)=φ(P)-1. Par suite, si A et B sont semblables alors φ(A)=φ(B).

Puisque (μ001) et (100μ) sont semblables, φ(100μ)=μ puis, par produit,

φ(λ00μ)=λμ.

Ainsi, pour A diagonale, φ(A)=det(A) et, plus généralement, cela vaut encore pour A diagonalisable.

Si A est une matrice de 2() non diagonalisable, celle-ci est semblable à une matrice de la forme

(λα0λ).

Cas: λ=0. On a A2=0 et donc φ(A)=0=det(A).

Cas: λ0. Puisque

(λα0λ)(1002)=(λα02λ)

et que (λα02λ) est diagonalisable, on obtient 2φ(A)=2λ2=2det(A) et l’on peut conclure.

 
Exercice 10  3858    Correction  

Soit Mn() telle que M123 soit triangulaire supérieure à coefficients diagonaux deux à deux distincts. Montrer que M est aussi triangulaire supérieure.

Solution

Posons T=M123. Les coefficients diagonaux λ1,,λn de T déterminent ses valeurs propres et la matrice T est donc diagonalisable car possède n valeurs propres deux à deux distinctes. On peut donc écrire T=PDP-1 avec P inversible et

D=diag(λ1,,λn).

Puisque M est T commutent, les matrices N=P-1MP et D commutent. Or les matrices commutant avec une matrice diagonale à coefficients diagonaux distincts sont elles-mêmes diagonales. La matrice N est donc diagonale

N=diag(μ1,,μn).

En considérant un polynôme d’interpolation Q[X] vérifiant

1kn,Q(λk)=μk

on obtient N=Q(D) puis M=Q(T). En particulier, la matrice M est triangulaire supérieure.

 
Exercice 11  3145    

Soit G un sous-groupe de (GLn(),×) tel que M2=In pour tout MG.

  • (a)

    Montrer que le groupe G est commutatif.

  • (b)

    Établir que les éléments de G sont simultanément11 1 Autrement dit, il existe une matrice PGLn() telle que P-1MP est diagonale pour toute matrice M de G. diagonalisables.

  • (c)

    En déduire Card(G)2n.

  • (d)

    Application: Montrer que (GLn(),×) et (GLm(),×) sont isomorphes si, et seulement si, n=m.

 
Exercice 12  4152      CENTRALE (MP)Correction  

On dit qu’une matrice An() vérifie la propriété (𝒫) si

α,A+Comt(A)=αIn.
  • (a)

    Traiter le cas n=2.

Désormais, on suppose n3.

  • (b)

    Rappeler le lien entre la comatrice et l’inverse d’une matrice inversible.

  • (c)

    Soient A,BGLn(). Montrer Com(AB)=Com(A)Com(B)

  • (d)

    Montrer que si AGLn() vérifie (𝒫) alors toutes les matrices semblables à A vérifient aussi (𝒫).

  • (e)

    On suppose la matrice A inversible, non scalaire et ne possédant qu’une seule valeur propre.

    Montrer que A vérifie (𝒫) si, et seulement si, il existe une matrice N telle N2=On et un complexe λ telle que λn-2=1 pour lesquels A=λIn+N.

  • (f)

    On suppose que A vérifie la propriété (𝒫) et possède au moins deux valeurs propres distinctes. Montrer que A est diagonalisable et conclure quelles sont les matrices de cette forme vérifiant (𝒫).

Solution

  • (a)

    Si A=(abcs) alors Com(A)=(d-c-ab) et la propriété (𝒫) est satisfaite avec α=a+d.

  • (b)

    Com(A)=det(A)(A-1)t.

  • (c)
    Com(AB) =det(AB)(AB)-1t=det(AB)(B-1A-1)t
    =det(A)A-1tdet(B)B-1t=Com(A)Com(B).
  • (d)

    Si A=PBP-1 alors Com(A)=Com(P)Com(B)Com(P-1). Or Com(P)=det(P)(P-1)t et, après simplification des déterminants, on a Com(A)=P-1tCom(B)Pt. Dès lors, si A+Comt(A)=α.In, on obtient P(B+Com(B))P-1=α.In puis B+Com(B)=α.In.

  • (e)

    Si A vérifie (𝒫), il existe α tel que

    A+Comt(A)=αIn.

    En multipliant par A et en réordonnant les membres, on obtient l’équation équivalente

    A2-αA+det(A)In=On. (1)

    La matrice A ne possédant qu’une valeur propre et n’étant pas scalaire, n’est pas diagonalisable. Le polynôme annulateur qui précède n’est donc pas à racines simples. En notant λ son unique racine (la valeur propre de A, non nulle) on a les conditions

    α2-4det(A)=0,λ=α/2etdet(A)=λn.

    On en déduit α=2λ, det(A)=λ2 et λn-2=1. Au surplus, l’équation (1) se relit

    (A-λIn)2=On.

    Ceci permet d’écrire A=λIn+N avec N vérifiant N2=On.

    Inversement, si la matrice A est de cette forme, il est possible de remontrer les calculs jusqu’à constater que A vérifie (𝒫).

  • (f)

    Comme au-dessus, si A vérifie (𝒫), il existe α tel que

    A2-αA+det(A)In=On.

    Si A possède deux valeurs propres distinctes λ et μ, alors ce polynôme possède deux racines distinctes et est donc scindé à racines simples. On en déduit que la matrice A est diagonalisable. Quitte à remplacer A par une matrice semblable, on peut supposer la matrice A diagonale avec p coefficients λ sur la diagonale et q=n-p coefficients μ sur la diagonale. Il est alors facile de calculer la comatrice de A (elle aussi diagonale) et de constater que A vérifie la propriété (𝒫) si, et seulement si, les paramètres précédents sont liés par la condition

    λp-1μq-1=1.

    Les matrices scalaires vérifiant évidemment la propriété (𝒫), il ne reste plus, pour conclure, qu’à étudier le cas des matrices non inversibles.

    Soit An() une matrice non inversible vérifiant (𝒫). Il existe α tel que

    A2-αA=On.

    Si α=0 alors A2=0. On en déduit rgA<n-1 auquel cas la comatrice de A est nulle (les cofacteurs sont nuls car tous les mineurs sont nuls) et la propriété (𝒫) conclut que la matrice A est nulle.

    Si α0 alors A=αB avec B2=B. La matrice B est une matrice de projection de même rang que A. Pour que A soit autre que la matrice nulle, il faut rgA=n-1 ce qui permet de dire que B est semblable à diag(1,,1,0) et donc A semblable à diag(α,,α,0).

    Inversement, par le calcul, une telle matrice est solution si, et seulement si, αn-2=1.

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Édité le 08-11-2019

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