[<] Diagonalisation d'une matrice [>] Applications de la diagonalisabilité d'un endomorphisme
On étudie l’équation d’inconnue avec
Diagonaliser la matrice en précisant une matrice de passage .
Soit solution de . Justifier que la matrice est diagonale.
Déterminer toutes les matrices solutions de l’équation .
Soit
Diagonaliser la matrice en précisant la matrice de passage
Soit une matrice telle que .
Justifier que la matrice est diagonale.
Déterminer les solutions de l’équation .
Solution
.
et est vecteur propre associé à la valeur propre .
et est vecteur propre associé à la valeur propre .
On a avec
Si est solution alors est solution de l’équation donc et commutent or est diagonale à coefficients diagonaux distincts donc est diagonale
Les coefficients diagonaux vérifient et donc ou et ou . Au termes des calculs on obtient les solutions
Déterminer les valeurs propres de
Combien y a-t-il de matrice telle que dans ? dans ?
Solution
.
Il existe une matrice inversible tel que avec .
Si est solution de l’équation alors et donc commute avec la matrice . Or celle-ci est diagonale à coefficients diagonaux distincts donc est diagonale de coefficients diagonaux vérifiant , et . La réciproque est immédiate.
Il y a solutions possibles pour et donc autant de solutions pour (car l’application est injective).
Les solutions réelles sont a fortiori des solutions complexes or toutes les solutions complexes vérifient . Il n’existe donc pas de solutions réelles.
Soient et avec diagonalisables. Montrer
Solution
On peut écrire
avec et diagonales.
Si alors
avec .
En notant et les coefficients diagonaux de et , on obtient
et donc
puis
ce qui permet de conclure.
Soient avec diagonalisable.
Montrer
Solution
Il existe des matrices et telles que
Si alors
puis on obtient
avec .
Notons le coefficient général de et les coefficients diagonaux de .
La relation donne
et donc
Comme la fonction est injective sur , on obtient
et donc
puis
Pour , on considère la matrice
Montrer que la matrice est diagonalisable dans .
Application : Exprimer
Solution
Por , en développant selon la dernière ligne
possède exactement valeurs propres qui sont les racines -ième de l’unité avec .
Soit la matrice de passage telle que avec .
donc
puis
Les matrices
sont-elles semblables?
Solution
La colonne est vecteur propre associé à la valeur propre 6.
Les deux matrices ont le même polynôme caractéristique et celui-ci a pour racines
Ces deux matrices sont semblables à
et donc a fortiori semblables entre elles dans , mais aussi, et c’est assez classique, dans .
Soit . Déterminer l’inverse de
Soient diagonalisables telles que .
Montrer que pour tout matrice , les matrices suivantes sont semblables
Solution
On vérifie
On observe
avec .
Pour conclure, montrons qu’il existe vérifiant . Considérons pour cela l’endomorphisme de défini par
Pour , on a . Pour tout vecteur propre de associé à une valeur propre , on a
Puisque est valeur propre de , n’est pas valeur propre de et donc .
Puisqu’il existe une base de vecteurs propres de et puisque chacun annule , on a .
Ainsi, l’endomorphisme est injectif, or est de dimension finie donc est bijectif. Ainsi, il existe une matrice telle et, par celle-ci, on obtient la similitude demandée.
Soit une application de vers vérifiant:
Montrer que .
Solution
donc, si est inversible, alors . Par suite, si et sont semblables alors .
Puisque et sont semblables, puis, par produit,
Ainsi, pour diagonale, et, plus généralement, cela vaut encore pour diagonalisable.
Si est une matrice de non diagonalisable, celle-ci est semblable à une matrice de la forme
Cas: . On a et donc .
Cas: . Puisque
et que est diagonalisable, on obtient et l’on peut conclure.
Soit telle que soit triangulaire supérieure à coefficients diagonaux deux à deux distincts. Montrer que est aussi triangulaire supérieure.
Solution
Posons . Les coefficients diagonaux de déterminent ses valeurs propres et la matrice est donc diagonalisable car possède valeurs propres deux à deux distinctes. On peut donc écrire avec inversible et
Puisque est commutent, les matrices et commutent. Or les matrices commutant avec une matrice diagonale à coefficients diagonaux distincts sont elles-mêmes diagonales. La matrice est donc diagonale
En considérant un polynôme d’interpolation vérifiant
on obtient puis . En particulier, la matrice est triangulaire supérieure.
Soit un sous-groupe de tel que pour tout .
Montrer que le groupe est commutatif.
Établir que les éléments de sont simultanément11 1 Autrement dit, il existe une matrice telle que est diagonale pour toute matrice de . diagonalisables.
En déduire .
Application : Montrer que et sont isomorphes si, et seulement si, .
On dit qu’une matrice vérifie la propriété si
Traiter le cas .
Désormais, on suppose .
Rappeler le lien entre la comatrice et l’inverse d’une matrice inversible.
Soient . Montrer
Montrer que si vérifie alors toutes les matrices semblables à vérifient aussi .
On suppose la matrice inversible, non scalaire et ne possédant qu’une seule valeur propre.
Montrer que vérifie si, et seulement si, il existe une matrice telle et un complexe telle que pour lesquels .
On suppose que vérifie la propriété et possède au moins deux valeurs propres distinctes. Montrer que est diagonalisable et conclure quelles sont les matrices de cette forme vérifiant .
Solution
Si alors et la propriété est satisfaite avec .
.
Si alors . Or et, après simplification des déterminants, on a . Dès lors, si , on obtient puis .
Si vérifie , il existe tel que
En multipliant par et en réordonnant les membres, on obtient l’équation équivalente
(1) |
La matrice ne possédant qu’une valeur propre et n’étant pas scalaire, n’est pas diagonalisable. Le polynôme annulateur qui précède n’est donc pas à racines simples. En notant son unique racine (la valeur propre de , non nulle) on a les conditions
On en déduit , et . Au surplus, l’équation (1) se relit
Ceci permet d’écrire avec vérifiant .
Inversement, si la matrice est de cette forme, il est possible de remontrer les calculs jusqu’à constater que vérifie .
Comme au-dessus, si vérifie , il existe tel que
Si possède deux valeurs propres distinctes et , alors ce polynôme possède deux racines distinctes et est donc scindé à racines simples. On en déduit que la matrice est diagonalisable. Quitte à remplacer par une matrice semblable, on peut supposer la matrice diagonale avec coefficients sur la diagonale et coefficients sur la diagonale. Il est alors facile de calculer la comatrice de (elle aussi diagonale) et de constater que vérifie la propriété si, et seulement si, les paramètres précédents sont liés par la condition
Les matrices scalaires vérifiant évidemment la propriété , il ne reste plus, pour conclure, qu’à étudier le cas des matrices non inversibles.
Soit une matrice non inversible vérifiant . Il existe tel que
Si alors . On en déduit auquel cas la comatrice de est nulle (les cofacteurs sont nuls car tous les mineurs d’ordre sont nuls) et la propriété conclut que la matrice est nulle.
Si alors avec . La matrice est une matrice de projection de même rang que . Pour que soit autre que la matrice nulle, il faut ce qui permet de dire que est semblable à et donc semblable à .
Inversement, par le calcul, une telle matrice est solution si, et seulement si, .
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Édité le 29-08-2023
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