[<] Diagonalisabilité des matrices de rang 1 [>] Applications de la diagonalisabilité d'une matrice
Montrer que les matrices réelles suivantes sont diagonalisables et les diagonaliser11 1 Diagonaliser une matrice carrée signifie déterminer une matrice inversible telle que soit diagonale. Une telle matrice est alors appelée matrice de diagonalisation de .:
.
Soit . Diagonaliser
Solution
Le polynôme caractéristique de est
de racines et . La matrice est de taille et possède deux valeurs propres distinctes, elle est donc diagonalisable.
Pour ,
On en déduit
Par conjugaison,
Ainsi,
Soient et
Donner une condition nécessaire et suffisante pour que soit diagonalisable et diagonaliser lorsque cette condition est vérifiée.
Solution
Par la règle de Sarrus, on calcule le polynôme caractéristique de
Cas: . Seul est valeur propre de , la matrice est alors diagonalisable si, et seulement si, elle est semblable à la matrice nulle, c’est-à-dire égale à la matrice nulle. C’est le cas lorsque et seulement dans ce cas.
Cas: . Il existe un nombre complexe non nul tel que . La matrice admet alors trois valeurs propres distinctes à savoir , et . La matrice est alors diagonalisable.
Par résolution de l’équation aux éléments propres,
On peut donc écrire
On introduit
Calculer . Préciser les éléments propres de .
Donner les éléments propres de et .
Montrer que l’on peut trouver une base de vecteurs propres commune à , et .
La matrice est-elle diagonalisable? À quelle condition nécessaire et suffisante la matrice est-elle inversible?
Solution
On remarque . La matrice figure une symétrie non triviale, elle est diagonalisable et . Après calculs,
De la même façon, et
ainsi que
La matrice suivante traduit une base de diagonalisation commune
La matrice s’écrit et la matrice la diagonalise avec les valeurs propres , , et . La matrice est inversible si, et seulement si, aucune de ces valeurs propres n’est nulle.
Soient et
Déterminer des matrices inversible et diagonale telles que .
Solution
Après calculs,
et
On peut donc écrire avec
et
On pose
pour tous réels.
Ces matrices sont-elles simultanément diagonalisables?
Étudier et représenter graphiquement l’ensemble des tel que tend vers vers la matrice nulle quand tend vers .
Solution
On peut écrire avec
si, et seulement si, , et .
Or et la dernière condition l’est automatiquement si les deux premières le sont.
L’étude graphique est alors simple, le domaine solution est l’intérieur du carré de sommets , , et .
Soit avec . Montrer que les matrices
sont simultanément diagonalisables11 1 On dit que les matrices d’une famille sont simultanément diagonalisables lorsqu’il existe une même matrice inversible permettant de les diagonaliser..
Soient , deux réels et les matrices
Réduire ces deux matrices.
Solution
Après calculs, avec et
Aussi avec
Cas: est impair. et
Cas: pair. et
Diagonaliser les matrices de
Solution
Étudions la première matrice que nous noterons .
Celle-ci est de rang et l’on peut facilement déterminer une base de son noyau.
En posant le système avec , on obtient une solution non nulle sous réserve que
En notant et les deux racines de cette équation, on obtient avec
On peut aussi affirmer que est diagonalisable car symétrique réelle et déterminer les deux valeurs propres non nulles en étudiant et .
En reprenant la même démarche avec la seconde matrice, que nous noterons , on obtient avec
où sont les deux racines de l’équation
Soit
À quelle condition la matrice est-elle diagonalisable?
Déterminer alors une base de vecteurs propres
Solution
Cas: . La résolution est immédiate.
Cas: et . La matrice est triangulaire supérieure stricte non nulle, elle n’est pas diagonalisable.
Cas: et . Idem.
Cas: .
avec
et
La matrice est donc diagonalisable et il est aisé de former une base de vecteurs propres.
Cas: et . Après calculs (non triviaux),
Les racines de ce polynôme sont les solutions de l’équation d’inconnue
Il y en a exactement s’exprimant en fonction des racines -ième de l’unité.
On en déduit que est diagonalisable.
Soit une valeur propre de et .
L’équation équivaut au système
En retranchant à chaque équation la précédente, on obtient le système équivalent
Puisque ce système est de rang (car est valeur propre simple) et puisque les dernières équations sont visiblement indépendantes, ce système équivaut encore à
La résolution de ce dernier est immédiate. On obtient pour vecteur propre avec
[<] Diagonalisabilité des matrices de rang 1 [>] Applications de la diagonalisabilité d'une matrice
Édité le 29-08-2023
Bootstrap 3 - LaTeXML - Powered by MathJax