[<] Diagonalisabilité des matrices de rang 1 [>] Applications de la diagonalisabilité d'une matrice

 
Exercice 1  4340  

Montrer que les matrices réelles suivantes sont diagonalisables et les diagonaliser11 1 Diagonaliser une matrice carrée A signifie déterminer une matrice inversible P telle que P-1AP soit diagonale. Une telle matrice P est alors appelée matrice de diagonalisation de A.:

  • (a)

    A=(11011100-1)

  • (b)

    B=(001010100).

 
Exercice 2  5544  Correction  

Soit θ0[π]. Diagonaliser

R(θ)=(cos(θ)-sin(θ)sin(θ)cos(θ))2().

Solution

Le polynôme caractéristique de R(θ) est

χR(θ)=X2-2cos(θ)X+1

de racines eiθ et e-iθ. La matrice R(θ) est de taille 2 et possède deux valeurs propres distinctes, elle est donc diagonalisable.

Pour X=(xy)2,1(),

R(θ)X=eiθX {cos(θ)x-sin(θ)y=eiθxsin(θ)x+cos(θ)y=eiθy
{-y=ixx=iy
=x=iy.

On en déduit

Eeiθ(R(θ))=Vect{(i1)}.

Par conjugaison,

Ee-iθ(R(θ))=Vect{(-i1)}.

Ainsi,

R(θ)=PDP-1 avec D=(eiθ00e-iθ) et P=(i-i11).
 
Exercice 3  2628    NAVALE (MP)Correction  

Soient (α,β)2 et

M=(0α0β0α0β0).

Donner une condition nécessaire et suffisante pour que M soit diagonalisable et diagonaliser M lorsque cette condition est vérifiée.

Solution

Par la règle de Sarrus, on calcule le polynôme caractéristique de M

χM=X(X2-2αβ).

Cas: αβ=0. Seul 0 est valeur propre de M, la matrice M est alors diagonalisable si, et seulement si, elle est semblable à la matrice nulle, c’est-à-dire égale à la matrice nulle. C’est le cas lorsque α=β=0 et seulement dans ce cas.

Cas: αβ0. Il existe un nombre complexe δ non nul tel que δ2=2αβ. La matrice M admet alors trois valeurs propres distinctes à savoir 0, δ et -δ. La matrice M est alors diagonalisable.

Par résolution de l’équation aux éléments propres,

E0(M)=Vect{(α0-β)},Eδ(M)=Vect{(αδβ)},E-δ(M)=Vect{(α-δβ)}.

On peut donc écrire

M=PDP-1 avec P=(ααα0δ-δ-βββ)etD=(0000δ000-δ).
 
Exercice 4  5314    ENSTIM (MP)Correction  

On introduit

U=(0100100000010010),V=(0010000110000100),W=(0001001001001000) et A=(0abca0cbbc0acba0).
  • (a)

    Calculer U2. Préciser les éléments propres de U.

  • (b)

    Donner les éléments propres de V et W.

  • (c)

    Montrer que l’on peut trouver une base de vecteurs propres commune à U, V et W.

  • (d)

    La matrice A est-elle diagonalisable? À quelle condition nécessaire et suffisante la matrice A est-elle inversible?

Solution

  • (a)

    On remarque U2=I4. La matrice U figure une symétrie non triviale, elle est diagonalisable et Sp(U)={1,-1}. Après calculs,

    E1(U)=Vect{(1100),(0011)}etE-1(U)=Vect{(1-100),(001-1)}.
  • (b)

    De la même façon, Sp(U)=Sp(V)={1,-1} et

    E1(V)=Vect{(1010),(0101)}etE-1(V)=Vect{(10-10),(010-1)}

    ainsi que

    E1(W)=Vect{(1001),(0110)}etE-1(W)=Vect{(100-1),(01-10)}.
  • (c)

    La matrice P suivante traduit une base de diagonalisation commune

    P=(111111-1-11-1-111-11-1).
  • (d)

    La matrice A s’écrit aU+bV+cW et la matrice P la diagonalise avec les valeurs propres a+b+c, a-b-c, -a-b+c et -a+b-c. La matrice A est inversible si, et seulement si, aucune de ces valeurs propres n’est nulle.

 
Exercice 5  5585  Correction  

Soient a,b et

M=(a00b0......0a0b...0a+b0...b0a0......0b00a)2n+1().

Déterminer des matrices P inversible et D diagonale telles que M=PDP-1.

Solution

Après calculs,

χM=(X-(a+b))n+1(X-(a-b))n

et

Ea+b(M)=Vect{(10001),,(00100)}etEa-b(M)=Vect{(100000-1),,(0010-100)}

On peut donc écrire A=PDP-1 avec

D=diag(a+b,,a+bn+1 valeurs,a-b,,a-bn valeurs)

et

P=(1(0)01(0)10(0)100100(0)10(0)-1......1(0)0-1(0)).
 
Exercice 6  2706     MINES (MP)Correction  

On pose

M(a,b)=(a2ababb2aba2b2ababb2a2abb2ababa2)

pour tous a,b réels.

  • (a)

    Ces matrices sont-elles simultanément diagonalisables?

  • (b)

    Étudier et représenter graphiquement l’ensemble des (a,b)2 tel que M(a,b)n tend vers vers la matrice nulle quand n tend vers .

Solution

  • (a)

    On peut écrire M(a,b)=PD(a,b)P-1 avec

    D(a,b)=((a+b)20000(a-b)20000a2-b20000a2-b2)etP=(11101-1011-10-111-10).
  • (b)

    M(a,b)n0 si, et seulement si, |a+b|<1, |a-b|<1 et |a2-b2|<1.
    Or a2-b2=(a+b)(a-b) et la dernière condition l’est automatiquement si les deux premières le sont.

    L’étude graphique est alors simple, le domaine solution est l’intérieur du carré de sommets (1,0), (0,1), (-1,0) et (0,-1).

 
Exercice 7  4359   

Soit n avec n2. Montrer que les matrices

M(a0,a1,,an-1)=(a0a1an-1an-1a1a1an-1a0) avec (a0,a1,,an-1)n

sont simultanément diagonalisables11 1 On dit que les matrices d’une famille sont simultanément diagonalisables lorsqu’il existe une même matrice inversible P permettant de les diagonaliser..

 
Exercice 8  2705     MINES (MP)Correction  

Soient a, b deux réels et les matrices

A=(abbbabbba)etB=(bba...abb......abb).

Réduire ces deux matrices.

Solution

Après calculs, A=PDP-1 avec D=diag(a+(n-1)b,a-b,,a-b) et

P=(11(0)-111(0)-1).

Aussi B=QΔQ-1 avec

Cas: n est impair. Δ=diag(a+(n-1)b,b-a,,b-a,a-b,,a-b) et

Q=(11(0)1(0)(0)1(0)100-2-2(0)-1(0)1......1-1(0)1(0)).

Cas: n pair. Δ=diag(a+(n-1)b,b-a,,b-a,a-b,,a-b) et

Q=(11(0)1(0)-11(0)1(0)-1(0)-1(0)-1......1...-1...(0)1-1(0)1).
 
Exercice 9  2703      MINES (MP)Correction  

Diagonaliser les matrices de n()

(001001111)et(11000011).

Solution

Étudions la première matrice que nous noterons A.

Celle-ci est de rang 2 et l’on peut facilement déterminer une base de son noyau.

En posant le système AX=λX avec λ0, on obtient une solution non nulle sous réserve que

λ2-λ-(n-1)=0.

En notant λ1 et λ2 les deux racines de cette équation, on obtient A=PDP-1 avec

P=(1(0)11(0)1-1-111000λ1λ2)etD=diag(0,,0,λ1,λ2).

On peut aussi affirmer que A est diagonalisable car symétrique réelle et déterminer les deux valeurs propres non nulles en étudiant tr(A) et tr(A2).

En reprenant la même démarche avec la seconde matrice, que nous noterons B, on obtient B=PDP-1 avec

P=(100λ1λ201(0)22(0)10-1-122-100λ1λ2) et D=diag(0,,0,λ1,λ2)

λ1,λ2 sont les deux racines de l’équation

λ2-2λ-2(n-2)=0.
 
Exercice 10  3255      X (PSI)Correction  

Soit

Mn=(0(b)(a)0)n().

À quelle condition la matrice Mn est-elle diagonalisable?
Déterminer alors une base de vecteurs propres

Solution

Cas: a=b=0. La résolution est immédiate.

Cas: a=0 et b0. La matrice Mn est triangulaire supérieure stricte non nulle, elle n’est pas diagonalisable.

Cas: a0 et b=0. Idem.

Cas: a=b.

χMn(X)=(X-(n-1)a)(X+a)n-1

avec

E(n-1)a=Vect(1,,1)

et

E-a:x1++xn=0.

La matrice Mn est donc diagonalisable et il est aisé de former une base de vecteurs propres.
Cas: ab et ab0. Après calculs (non triviaux),

χMn(X)=(-1)nb(X+a)n-a(X+b)nb-a.

Les racines de ce polynôme sont les solutions de l’équation d’inconnue z

(z+az+b)n=ab.

Il y en a exactement n s’exprimant en fonction des racines n-ième de l’unité.
On en déduit que Mn est diagonalisable.
Soit λ une valeur propre de Mn et x=(x1,,xn)n.
L’équation Mnx=λx équivaut au système

{-λx1+bx2++bxn=0ax1-λx2++bxn=0ax1++axn-1-λxn=0.

En retranchant à chaque équation la précédente, on obtient le système équivalent

{-λx1+bx2++bxn=0(a+λ)x1+(b+λ)x2=0(a+λ)xn-1-(b+λ)xn=0.

Puisque ce système est de rang n-1 (car λ est valeur propre simple) et puisque les n-1 dernières équations sont visiblement indépendantes, ce système équivaut encore à

{(a+λ)x1+(b+λ)x2=0(a+λ)xn-1-(b+λ)xn=0.

La résolution de ce dernier est immédiate. On obtient pour vecteur propre x=(x1,,xn) avec

xk=(a+λb+λ)k.

[<] Diagonalisabilité des matrices de rang 1 [>] Applications de la diagonalisabilité d'une matrice



Édité le 29-08-2023

Bootstrap Bootstrap 3 - LaTeXML [LOGO] - Powered by MathJax Powered by MathJax