[<] Diagonalisabilité des matrices de rang 1 [>] Applications de la diagonalisabilité d'une matrice

 
Exercice 1  4340  

Montrer que les matrices réelles suivantes sont diagonalisables et les diagonaliser11 1 Diagonaliser une matrice carrée A signifie déterminer une matrice inversible P telle que P-1AP soit diagonale. Une telle matrice P est alors appelée matrice de diagonalisation de A.:

  • (a)

    A=(11011100-1)

  • (b)

    B=(001010100).

 
Exercice 2  5314    ENSTIM (MP)Correction  

On introduit

U=(0100100000010010),V=(0010000110000100),W=(0001001001001000) et A=(0abca0cbbc0acba0).
  • (a)

    Calculer U2. Préciser les éléments propres de U.

  • (b)

    Donner les éléments propres de V et W.

  • (c)

    Montrer que l’on peut trouver une base de vecteurs propres commune à U, V et W.

  • (d)

    La matrice A est-elle diagonalisable? À quelle condition nécessaire et suffisante la matrice A est-elle inversible?

Solution

  • (a)

    On remarque U2=I4. La matrice U figure une symétrie non triviale, elle est diagonalisable et Sp(U)={1,-1}. Après calculs,

    E1(U)=Vect{(1100),(0011)}etE-1(U)=Vect{(1-100),(001-1)}.
  • (b)

    De la même façon, Sp(U)=Sp(V)={1,-1} et

    E1(V)=Vect{(1010),(0101)}etE-1(V)=Vect{(10-10),(010-1)}

    ainsi que

    E1(W)=Vect{(1001),(0110)}etE-1(W)=Vect{(100-1),(01-10)}.
  • (c)

    La matrice P suivante traduit une base de diagonalisation commune

    P=(111111-1-11-1-111-11-1).
  • (d)

    La matrice A s’écrit aU+bV+cW et la matrice P la diagonalise avec les valeurs propres a+b+c, a-b-c, -a-b+c et -a+b-c. La matrice A est inversible si, et seulement si, aucune de ces valeurs propres n’est nulle.

 
Exercice 3  2706     MINES (MP)Correction  

On pose

M(a,b)=(a2ababb2aba2b2ababb2a2abb2ababa2)

pour tous a,b réels.

  • (a)

    Ces matrices sont-elles simultanément diagonalisables?

  • (b)

    Étudier et représenter graphiquement l’ensemble des (a,b)2 tel que M(a,b)n tend vers vers la matrice nulle quand n tend vers .

Solution

  • (a)

    On peut écrire M(a,b)=PD(a,b)P-1 avec

    D(a,b)=((a+b)20000(a-b)20000a2-b20000a2-b2)etP=(11101-1011-10-111-10).
  • (b)

    M(a,b)n0 si, et seulement si, |a+b|<1, |a-b|<1 et |a2-b2|<1.
    Or a2-b2=(a+b)(a-b) et la dernière condition l’est automatiquement si les deux premières le sont.

    L’étude graphique est alors simple, le domaine solution est l’intérieur du carré de sommets (1,0), (0,1), (-1,0) et (0,-1).

 
Exercice 4  4359   

Soit n2. Montrer que les matrices

M(a0,a1,,an-1)=(a0a1an-1an-1a1a1an-1a0) avec (a0,a1,,an-1)n

sont simultanément diagonalisables11 1 On dit que les matrices d’une famille sont simultanément diagonalisables lorsqu’il existe une même matrice inversible P permettant de les diagonaliser..

 
Exercice 5  2705     MINES (MP)Correction  

Soient a, b deux réels et les matrices

A=(abbbabbba)etB=(bbaabbabb).

Réduire ces deux matrices.

Solution

Après calculs, A=PDP-1 avec D=diag(a+(n-1)b,a-b,,a-b) et

P=(11(0)-111(0)-1)

Aussi B=QΔQ-1 avec

Cas: n est impair. Δ=diag(a+(n-1)b,b-a,,b-a,a-b,,a-b) et

Q=(11(0)1(0)(0)1(0)100-2-2(0)-1(0)11-1(0)1(0)).

Cas: n pair. Δ=diag(a+(n-1)b,b-a,,b-a,a-b,,a-b) et

Q=(11(0)1(0)-11(0)1(0)-1(0)-1(0)-11-1(0)1-1(0)1).
 
Exercice 6  2703      MINES (MP)Correction  

Diagonaliser les matrices de n()

(001001111)et(11000011).

Solution

Étudions la première matrice que nous noterons A.

Celle-ci est de rang 2 et l’on peut facilement déterminer une base de son noyau.

En posant le système AX=λX avec λ0, on obtient une solution non nulle sous réserve que

λ2-λ-(n-1)=0.

En notant λ1 et λ2 les deux racines de cette équation, on obtient A=PDP-1 avec

P=(1(0)11(0)1-1-111000λ1λ2)etD=diag(0,,0,λ1,λ2).

On peut aussi affirmer que A est diagonalisable car symétrique réelle et déterminer les deux valeurs propres non nulles en étudiant tr(A) et tr(A2).

En reprenant la même démarche avec la seconde matrice, que nous noterons B, on obtient B=PDP-1 avec

P=(100λ1λ201(0)22(0)10-1-122-100λ1λ2) et D=diag(0,,0,λ1,λ2)

λ1,λ2 sont les deux racines de l’équation

λ2-2λ-2(n-2)=0.
 
Exercice 7  3255      X (PSI)Correction  

Soit

Mn=(0(b)(a)0)n().

À quelle condition la matrice Mn est-elle diagonalisable?
Déterminer alors une base de vecteurs propres

Solution

Cas: a=b=0. La résolution est immédiate.

Cas: a=0 et b0. La matrice Mn est triangulaire supérieure stricte non nulle, elle n’est pas diagonalisable.

Cas: a0 et b=0. Idem.

Cas: a=b.

χMn(X)=(X-(n-1)a)(X+a)n-1

avec

E(n-1)a=Vect(1,,1)

et

E-a:x1++xn=0.

La matrice Mn est donc diagonalisable et il est aisé de former une base de vecteurs propres.
Cas: ab et ab0. Après calculs (non triviaux),

χMn(X)=(-1)nb(X+a)n-a(X+b)nb-a.

Les racines de ce polynôme sont les solutions de l’équation d’inconnue z

(z+az+b)n=ab.

Il y en a exactement n s’exprimant en fonction des racines n-ième de l’unité.
On en déduit que Mn est diagonalisable.
Soit λ une valeur propre de Mn et x=(x1,,xn)n.
L’équation Mnx=λx équivaut au système

{-λx1+bx2++bxn=0ax1-λx2++bxn=0ax1++axn-1-λxn=0.

En retranchant à chaque équation la précédente, on obtient le système équivalent

{-λx1+bx2++bxn=0(a+λ)x1+(b+λ)x2=0(a+λ)xn-1-(b+λ)xn=0.

Puisque ce système est de rang n-1 (car λ est valeur propre simple) et puisque les n-1 dernières équations sont visiblement indépendantes, ce système équivaut encore à

{(a+λ)x1+(b+λ)x2=0(a+λ)xn-1-(b+λ)xn=0.

La résolution de ce dernier est immédiate. On obtient pour vecteur propre x=(x1,,xn) avec

xk=(a+λb+λ)k.

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Édité le 08-11-2019

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