[<] Détermination des éléments propres d'une matrice [>] Éléments propres d'un endomorphisme matriciel

 
Exercice 1  786  Correction  

Soit E un -espace vectoriel de dimension finie.

  • (a)

    Justifier que tout endomorphisme de E possède au moins une valeur propre

  • (b)

    Observer que l’endomorphisme P(X)(X-1)P(X) de [X] n’a pas de valeurs propres.

Solution

  • (a)

    Pour tout f(E), f admet un polynôme minimal qui admet au moins une racine dans qui est alors valeur propre de f.

  • (b)

    Si λ est valeurs propre de l’endomorphisme considéré alors il existe un polynôme P non nul tel que XP(X)=(1+λ)P(X) ce qui est impossible pour des raisons de degré.

 
Exercice 2  5158  

Soit u un endomorphisme d’un -espace vectoriel E non réduit au vecteur nul.

  • (a)

    On suppose que l’endomorphisme u est nilpotent11 1 Un endomorphisme u est dit nilpotent lorsqu’il existe p* tel que up=0.. Montrer que 0 est l’unique valeur propre de u.

  • (b)

    Établir la réciproque lorsque E est de dimension finie.

  • (c)

    Que dire de la réciproque lorsque E n’est plus supposé de dimension finie?

 
Exercice 3  5157   
  • (a)

    Montrer que tout endomorphisme d’un espace vectoriel complexe de dimension finie non nulle possède au moins une droite vectorielle stable.

  • (b)

    Soit An(). Montrer qu’il existe des colonnes X,Y de n,1() non toutes deux nulles telles que AX et AY appartiennent à Vect(X,Y).

  • (c)

    Montrer que tout endomorphisme d’un espace vectoriel réel de dimension finie non nulle possède au moins une droite ou un plan vectoriel stable.

 
Exercice 4  4346   

Soient u,v deux endomorphismes d’un espace vectoriel complexe de dimension finie non nulle.

  • (a)

    On suppose uv=vu. Montrer que u et v ont un vecteur propre en commun.

  • (b)

    On suppose uv=0. Montrer que u et v ont un vecteur propre en commun.

 
Exercice 5  787   Correction  

Soient A,Bn() vérifiant AB=BA.

Montrer que A et B ont un vecteur propre en commun.

Solution

On retraduit le problème en terme d’endomorphismes. Soient u et v deux endomorphismes d’un -espace vectoriel de dimension finie vérifiant uv=vu. Tout endomorphisme sur un -espace vectoriel de dimension finie non nulle admet au moins une valeur propre. Soit λ une valeur propre de u. L’espace propre Eλ(u) est un sous-espace vectoriel stable par v (car uv=vu) et l’endomorphisme induit par v sur Eλ(u) admet au moins une valeur propre μ. Un vecteur propre associé à celle-ci est vecteur propre commun à u et v. En effet, c’est par définition un vecteur propre de v pour la valeur propre μ et par construction un vecteur propre de u pour la valeur propre λ car vecteur non nul du sous-espace propre Eλ(u).

 
Exercice 6  3795     CCINP (PC)Correction  

𝕂 désigne ou .

On dit qu’une matrice An(𝕂) vérifie la propriété (P) si

Mn(𝕂),λ𝕂,det(M+λA)0.
  • (a)

    Rappeler pourquoi une matrice de n() admet au moins une valeur propre.

  • (b)

    Soit T une matrice triangulaire supérieure de diagonale nulle.
    Calculer det(In+λT). En déduire que T vérifie la propriété (P)

  • (c)

    Déterminer le rang de la matrice

    Tr=(0Ir00)n(𝕂).
  • (d)

    Soient A vérifiant (P) et B une matrice de même rang que A. Montrer

    (P,Q)GLn(𝕂)2,B=PAQ

    et en déduire que B vérifie (P).

  • (e)

    Conclure que, dans n(), les matrices non inversibles vérifient (P) et que ce sont les seules.

  • (f)

    Que dire des cette propriété dans le cas n() (on distinguera n pair et n impair)?

Solution

  • (a)

    Le polynôme caractéristique d’une matrice complexe possède au moins une racine dans .

  • (b)

    det(In+λT)=10 et donc T vérifie (P).

  • (c)

    rg(Tr)=r.

  • (d)

    Les matrices A et B étant de même rang, elles sont équivalentes et donc il existe P,Q inversibles vérifiant A=PBQ. Puisqu’il existe une matrice M telle que det(M+λA)0 pour tout λ𝕂, on a

    det(PMQ+λB)=det(P)det(M+λA)det(Q)0

    et donc B vérifie la propriété (P).

  • (e)

    Si une matrice est non inversible, elle est de même rang qu’une matrice Tr avec r<n et comme cette dernière vérifie (P), on peut conclure qu’une matrice non inversible vérifie (P).
    Inversement, si A est une matrice inversible alors pour tout Mn()

    det(M+λA)=det(A)det(MA-1+λIn)

    et puisque la matrice MA-1 admet une valeur propre, il est impossible que det(M+λA) soit non nul pour tout λ.

  • (f)

    Cas: n est impair. Toute matrice de n() admet une valeur propre (car le polynôme caractéristique réel est de degré impair). On peut alors conclure comme au dessus.

    Cas: n est pair. La propriété précédente n’est plus vraie. Par exemple,

    A=(0-110)

    est inversible et vérifie la propriété (P) avec M=In.

 
Exercice 7  2994      CENTRALE (MP)Correction  

Soient E un -espace vectoriel de dimension finie et A une sous-algèbre de (E). On dit qu’un sous-espace F de E est stable par A lorsque:

xF,uA,u(x)F.

On suppose que les seuls sous-espaces vectoriels de E stables par A sont {0E} et E.

  • (a)

    Pour xE, déterminer {f(x)|fA}.

  • (b)

    Soient uA de rang r>0 et fA.

    Montrer qu’il existe α tel que rg(ufu-αu)<r.

  • (c)

    En déduire que A contient au moins un endomorphisme de rang 1.

  • (d)

    Conclure que A=(E).

Solution

  • (a)

    Posons F={f(x)|fA}. On vérifie que F est un sous-espace vectoriel de E, que F est stable par A et que xF. On en déduit que F=E lorsque x0E. Un calcul immédiat fournit F={0E} lorsque x=0E.

  • (b)

    Le sous-espace vectoriel Im(u){0E} est stable par l’endomorphisme uf. L’endomorphisme induit possède au moins une valeur propre complexe α et alors l’endomorphisme uf-αId n’est pas injectif sur Im(u). On en déduit

    rg(ufu-αu)=rg((uf-αId)|Im(u))<dimIm(u)=r.
  • (c)

    Soit uA un endomorphisme de rang minimal parmi ceux non nuls qui appartiennent à A.

    Soit y=u(x) un vecteur non nul de l’image de u.

    Pour tout zE, la première question assure l’existence de fA tel que f(y)=z. Introduisons ensuite α tel que rg(ufu-αu)<r. Par opérations dans l’algèbre A, ufu-αuA. Par minimalité de u, il vient ufu-αu=0, c’est-à-dire ufu=αu. En évaluant en x, on obtient

    u(z)=ufu(x)=α.u(x)=α.y

    Ainsi, Im(u)Vect(y) et donc Im(u)=Vect(y).

  • (d)

    Posons u1=u. Soit e1 un vecteur n’appartenant pas à Ker(u).

    Soient e2 un vecteur non nul de Ker(u) et fA tel que f(e2)=e1. Posons u2=uf. L’endomorphisme u2 est élément de A. Cet endomorphisme est de rang au plus 1 mais n’est pas l’endomorphisme nul car u2(e2)=u(e1)0E. L’endomorphisme u2 est donc de rang exactement 1 et de même image que u.

    Plus généralement, une fois u1,,uj déterminés avec j<n, on choisit ej+1 dans l’intersection des noyaux des u1,,uj et l’on forme uj+1A de rang 1 tel que uj+1(ej+1)=u(e1).

    La famille (u1,,un) ainsi constituée est libre. En effet, si λ1u1++λnun=0 alors, en évaluant successivement en en,en-1,,e1, on établit λn=λn-1==λ1=0.

    Soit (e1,,en) une autre base11 1 Élégamment, on pourrait choisir (e1,,en) après avoir montré que cette famille est une base de E. de E. Pour i=1,,n, on introduit fiA tel que fi(u(e1))=ei. On pose alors

    i,j1;n,ui,j=fiujA.

    On vérifie que la famille (ui,j) est libre et l’on en déduit que l’algèbre A est de dimension au moins n2 et donc égale à (E).

 
Exercice 8  788    Correction  

Montrer que A,Bn() ont une valeur propre en commun si, et seulement si, il existe Un() non nulle vérifiant UA=BU.

Solution

Si A et B ont λ pour valeur propre commune alors, puisque A et A ont les mêmes valeurs propres, il existe des colonnes X,Y0 vérifiant AX=λX et BY=λY. Posons alors U=YXn(){0}.

On a BU=λYX et UA=Y(AX)=λYX donc UA=BU.

Inversement, supposons qu’il existe Un() non nulle vérifiant UA=BU. On peut écrire U=QJrP avec P,Q inversibles et r=rg(U)>0. L’égalité UA=BU entraîne alors JrA=BJr avec A=PAP-1 et B=Q-1BQ. Par similitude, Sp(A)=Sp(A) et Sp(B)=Sp(B). En raisonnant par blocs, l’égalité JrA=BJr entraîne

A=(M0**)etB=(M*0*) avec Mr().

Ces formes matricielles entraînent Sp(M)Sp(A) et Sp(M)Sp(B). Or Sp(M) (cadre complexe) et donc

Sp(A)Sp(B).

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Édité le 29-08-2023

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