Exercice 1 786 Correction

Soit $E$ un $ℂ$ -espace vectoriel de dimension finie.

(a)

Justifier que tout endomorphisme de $E$ possède au moins une valeur propre
(b)

Observer que l’endomorphisme $P (X) \mapsto (X - 1) P (X)$ de $ℂ [X]$ n’a pas de valeurs propres.

Solution

(a)

Pour tout $f \in ℒ (E)$ , $f$ admet un polynôme minimal qui admet au moins une racine dans $ℂ$ qui est alors valeur propre de $f$ .
(b)

Si $λ$ est valeurs propre de l’endomorphisme considéré alors il existe un polynôme $P$ non nul tel que $X P (X) = (1 + λ) P (X)$ ce qui est impossible pour des raisons de degré.

Exercice 2 5158

Soit $u$ un endomorphisme d’un $ℂ$ -espace vectoriel $E$ non réduit au vecteur nul.

(a)

On suppose que l’endomorphisme $u$ est nilpotent¹¹ 1 Un endomorphisme $u$ est dit nilpotent lorsqu’il existe $p \in ℕ^{*}$ tel que $u^{p} = 0$ .. Montrer que $0$ est l’unique valeur propre de $u$ .
(b)

Établir la réciproque lorsque $E$ est de dimension finie.
(c)

Que dire de la réciproque lorsque $E$ n’est plus supposé de dimension finie?

Exercice 3 5157

(a)

Montrer que tout endomorphisme d’un espace vectoriel complexe de dimension finie non nulle possède au moins une droite vectorielle stable.
(b)

Soit $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ . Montrer qu’il existe des colonnes $X, Y$ de $ℳ_{n,1} (ℝ)$ non toutes deux nulles telles que $A X$ et $A Y$ appartiennent à $Vect (X, Y)$ .
(c)

Montrer que tout endomorphisme d’un espace vectoriel réel de dimension finie non nulle possède au moins une droite ou un plan vectoriel stable.

Exercice 4 4346

Soient $u, v$ deux endomorphismes d’un espace vectoriel complexe de dimension finie non nulle.

(a)

On suppose $u \circ v = v \circ u$ . Montrer que $u$ et $v$ ont un vecteur propre en commun.
(b)

On suppose $u \circ v = 0$ . Montrer que $u$ et $v$ ont un vecteur propre en commun.

Exercice 5 787 Correction

Soient $A, B \in ℳ_{n} (ℂ)$ vérifiant $A B = B A$ .

Montrer que $A$ et $B$ ont un vecteur propre en commun.

Solution

On retraduit le problème en terme d’endomorphismes. Soient $u$ et $v$ deux endomorphismes d’un $ℂ$ -espace vectoriel de dimension finie vérifiant $u \circ v = v \circ u$ . Tout endomorphisme sur un $ℂ$ -espace vectoriel de dimension finie non nulle admet au moins une valeur propre. Soit $λ$ une valeur propre de $u$ . L’espace propre $E_{λ} (u)$ est un sous-espace vectoriel stable par $v$ (car $u \circ v = v \circ u$ ) et l’endomorphisme induit par $v$ sur $E_{λ} (u)$ admet au moins une valeur propre $μ$ . Un vecteur propre associé à celle-ci est vecteur propre commun à $u$ et $v$ . En effet, c’est par définition un vecteur propre de $v$ pour la valeur propre $μ$ et par construction un vecteur propre de $u$ pour la valeur propre $λ$ car vecteur non nul du sous-espace propre $E_{λ} (u)$ .

Exercice 6 6074 MINES (MP)Correction

Soit $M \in ℳ_{n} (ℂ)$ non nulle. On note $G_{M}$ l’ensemble des $λ \in ℂ$ tels que $λ M$ est semblable à $M$ .

(a)

Quelle est la structure de $G_{M}$ ?
(b)

Montrer que si $M$ n’est pas nilpotente, $G_{M}$ est fini.
(c)

Que se passe-t-il si $M^{n} = 0$ et $M^{n - 1} \neq 0$ .

Solution

(a)

La matrice $M$ n’est pas semblable à $O_{n}$ donc $G_{M} \subset ℂ^{*}$ .

Sans peine, on vérifie que $G_{M}$ est un sous-groupe de $(ℂ^{*}, \times)$ .
(b)

Si $M$ n’est pas nilpotente, $M$ admet au moins une valeur propre $α$ non nulle. Par similitude, $λ α$ est alors valeur propre de $λ M$ donc de $M$ . On en déduit $λ^{k} α$ valeur propre de $M$ pour tout $k \in ℕ$ . La matrice $M$ ne peut admettre plus de $n$ valeurs propres. On en déduit qu’il existe $k \in ⟦ 1; n ⟧$ tel que $λ^{k} = 1$ . Par conséquent,

$G_{M} \subset ⋃_{k \in ⟦ 1; n ⟧} 𝕌_{k} .$
(c)

Une matrice nilpotente d’ordre $n$ est semblable à

$J = (\begin{matrix} 0 & 1 & (0) \\ ⋱ & ⋱ \\ ⋱ & 1 \\ (0) & 0 \end{matrix}) \in ℳ_{n} (ℂ) .$

Pour tout $λ \in ℂ^{*}$ , $λ M$ et $M$ sont nilpotentes d’ordre $n$ donc semblables à $J$ : $G_{M} = ℂ^{*}$ .

Exercice 7 3795 CCINP (PC)Correction

$𝕂$ désigne $ℝ$ ou $ℂ$ .

On dit qu’une matrice $A \in ℳ_{n} (𝕂)$ vérifie la propriété $(P)$ si

\exists M \in ℳ_{n} (𝕂), \forall λ \in 𝕂, \det (M + λ A) \neq 0 .

(a)

Rappeler pourquoi une matrice de $ℳ_{n} (ℂ)$ admet au moins une valeur propre.
(b)

Soit $T$ une matrice triangulaire supérieure de diagonale nulle.
Calculer $\det (I_{n} + λ T)$ . En déduire que $T$ vérifie la propriété $(P)$
(c)

Déterminer le rang de la matrice

$T_{r} = (\begin{matrix} 0 & I_{r} \\ 0 & 0 \end{matrix}) \in ℳ_{n} (𝕂) .$
(d)

Soient $A$ vérifiant $(P)$ et $B$ une matrice de même rang que $A$ . Montrer

$\exists (P, Q) \in {GL}_{n} {(𝕂)}^{2}, B = P A Q$

et en déduire que $B$ vérifie $(P)$ .
(e)

Conclure que, dans $ℳ_{n} (ℂ)$ , les matrices non inversibles vérifient $(P)$ et que ce sont les seules.
(f)

Que dire des cette propriété dans le cas $ℳ_{n} (ℝ)$ (on distinguera $n$ pair et $n$ impair)?

Solution

(a)

Le polynôme caractéristique d’une matrice complexe possède au moins une racine dans $ℂ$ .
(b)

$\det (I_{n} + λ T) = 1 \neq 0$ et donc $T$ vérifie $(P)$ .
(c)

$rg (T_{r}) = r$ .
(d)

Les matrices $A$ et $B$ étant de même rang, elles sont équivalentes et donc il existe $P, Q$ inversibles vérifiant $A = P B Q$ . Puisqu’il existe une matrice $M$ telle que $\det (M + λ A) \neq 0$ pour tout $λ \in 𝕂$ , on a

$\det (P M Q + λ B) = \det (P) \det (M + λ A) \det (Q) \neq 0$

et donc $B$ vérifie la propriété $(P)$ .
(e)

Si une matrice est non inversible, elle est de même rang qu’une matrice $T_{r}$ avec $r < n$ et comme cette dernière vérifie $(P)$ , on peut conclure qu’une matrice non inversible vérifie $(P)$ .
Inversement, si $A$ est une matrice inversible alors pour tout $M \in ℳ_{n} (ℂ)$

$\det (M + λ A) = \det (A) \det (M A^{- 1} + λ I_{n})$

et puisque la matrice $M A^{- 1}$ admet une valeur propre, il est impossible que $\det (M + λ A)$ soit non nul pour tout $λ \in ℂ$ .
(f)

Cas: $n$ est impair. Toute matrice de $ℳ_{n} (ℝ)$ admet une valeur propre (car le polynôme caractéristique réel est de degré impair). On peut alors conclure comme au dessus.

Cas: $n$ est pair. La propriété précédente n’est plus vraie. Par exemple,

$A = (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})$

est inversible et vérifie la propriété $(P)$ avec $M = I_{n}$ .

Exercice 8 2994 CENTRALE (MP)Correction

Soient $E$ un $ℂ$ -espace vectoriel de dimension finie et $A$ une sous-algèbre de $ℒ (E)$ . On dit qu’un sous-espace $F$ de $E$ est stable par $A$ lorsque:

\forall x \in F, \forall u \in A, u (x) \in F .

On suppose que les seuls sous-espaces vectoriels de $E$ stables par $A$ sont ${0_{E}}$ et $E$ .

(a)

Pour $x \in E$ , déterminer ${f (x) | f \in A}$ .
(b)

Soient $u \in A$ de rang $r > 0$ et $f \in A$ .

Montrer qu’il existe $α \in ℂ$ tel que $rg (u \circ f \circ u - α u) < r$ .
(c)

En déduire que $A$ contient au moins un endomorphisme de rang $1$ .
(d)

Conclure que $A = ℒ (E)$ .

Solution

(a)

Posons $F = {f (x) | f \in A}$ . On vérifie que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ , que $F$ est stable par $A$ et que $x \in F$ . On en déduit que $F = E$ lorsque $x \neq 0_{E}$ . Un calcul immédiat fournit $F = {0_{E}}$ lorsque $x = 0_{E}$ .
(b)

Le sous-espace vectoriel $Im (u) \neq {0_{E}}$ est stable par l’endomorphisme $u \circ f$ . L’endomorphisme induit possède au moins une valeur propre complexe $α$ et alors l’endomorphisme $u \circ f - α Id$ n’est pas injectif sur $Im (u)$ . On en déduit

$rg (u \circ f \circ u - α u) = rg ({(u \circ f - α Id) |}_{Im (u)}) < dim Im (u) = r .$
(c)

Soit $u \in A$ un endomorphisme de rang minimal parmi ceux non nuls qui appartiennent à $A$ .

Soit $y = u (x)$ un vecteur non nul de l’image de $u$ .

Pour tout $z \in E$ , la première question assure l’existence de $f \in A$ tel que $f (y) = z$ . Introduisons ensuite $α \in ℂ$ tel que $rg (u \circ f \circ u - α u) < r$ . Par opérations dans l’algèbre $A$ , $u \circ f \circ u - α u \in A$ . Par minimalité de $u$ , il vient $u \circ f \circ u - α u = 0$ , c’est-à-dire $u \circ f \circ u = α u$ . En évaluant en $x$ , on obtient

$u (z) = u \circ f \circ u (x) = α . u (x) = α . y$

Ainsi, $Im (u) \subset Vect (y)$ et donc $Im (u) = Vect (y)$ .
(d)

Posons $u_{1} = u$ . Soit $e_{1}$ un vecteur n’appartenant pas à $Ker (u)$ .

Soient $e_{2}$ un vecteur non nul de $Ker (u)$ et $f \in A$ tel que $f (e_{2}) = e_{1}$ . Posons $u_{2} = u \circ f$ . L’endomorphisme $u_{2}$ est élément de $A$ . Cet endomorphisme est de rang au plus $1$ mais n’est pas l’endomorphisme nul car $u_{2} (e_{2}) = u (e_{1}) \neq 0_{E}$ . L’endomorphisme $u_{2}$ est donc de rang exactement $1$ et de même image que $u$ .

Plus généralement, une fois $u_{1}, \dots, u_{j}$ déterminés avec $j < n$ , on choisit $e_{j + 1}$ dans l’intersection des noyaux des $u_{1}, \dots, u_{j}$ et l’on forme $u_{j + 1} \in A$ de rang $1$ tel que $u_{j + 1} (e_{j + 1}) = u (e_{1})$ .

La famille $(u_{1}, \dots, u_{n})$ ainsi constituée est libre. En effet, si $λ_{1} u_{1} + \dots + λ_{n} u_{n} = 0$ alors, en évaluant successivement en $e_{n}, e_{n - 1}, \dots, e_{1}$ , on établit $λ_{n} = λ_{n - 1} = \dots = λ_{1} = 0$ .

Soit $(e_{1}^{'}, \dots, e_{n}^{'})$ une autre base¹¹ 1 Élégamment, on pourrait choisir $(e_{1}, \dots, e_{n})$ après avoir montré que cette famille est une base de $E$ . de $E$ . Pour $i = 1, \dots, n$ , on introduit $f_{i} \in A$ tel que $f_{i} (u (e_{1})) = e_{i}^{'}$ . On pose alors

$\forall i, j \in ⟦ 1; n ⟧, u_{i, j} = f_{i} \circ u_{j} \in A .$

On vérifie que la famille $(u_{i, j})$ est libre et l’on en déduit que l’algèbre $A$ est de dimension au moins $n^{2}$ et donc égale à $ℒ (E)$ .

Exercice 9 788 Correction

Montrer que $A, B \in ℳ_{n} (ℂ)$ ont une valeur propre en commun si, et seulement si, il existe $U \in ℳ_{n} (ℂ)$ non nulle vérifiant $U A = B U$ .

Solution

Si $A$ et $B$ ont $λ$ pour valeur propre commune alors, puisque $A$ et $A^{⊤}$ ont les mêmes valeurs propres, il existe des colonnes $X, Y \neq 0$ vérifiant $A^{⊤} X = λ X$ et $B Y = λ Y$ . Posons alors $U = Y X^{⊤} \in ℳ_{n} (ℂ) ∖ {0}$ .

On a $B U = λ Y X^{⊤}$ et $U A = Y {(A^{⊤} X)}^{⊤} = λ Y X^{⊤}$ donc $U A = B U$ .

Inversement, supposons qu’il existe $U \in ℳ_{n} (ℂ)$ non nulle vérifiant $U A = B U$ . On peut écrire $U = Q J_{r} P$ avec $P, Q$ inversibles et $r = rg (U) > 0$ . L’égalité $U A = B U$ entraîne alors $J_{r} A^{'} = B^{'} J_{r}$ avec $A^{'} = P A P^{- 1}$ et $B^{'} = Q^{- 1} B Q$ . Par similitude, $Sp (A^{'}) = Sp (A)$ et $Sp (B^{'}) = Sp (B)$ . En raisonnant par blocs, l’égalité $J_{r} A^{'} = B^{'} J_{r}$ entraîne

A^{'} = (\begin{matrix} M & 0 \\ * & * \end{matrix}) et B^{'} = (\begin{matrix} M & * \\ 0 & * \end{matrix}) avec M \in ℳ_{r} (ℂ) .

Ces formes matricielles entraînent $Sp (M) \subset Sp (A^{'})$ et $Sp (M) \subset Sp (B^{'})$ . Or $Sp (M) \neq \emptyset$ (cadre complexe) et donc

Sp (A) \cap Sp (B) \neq \emptyset .

Exercice 10 6129 Correction

Soit $φ$ un endomorphisme de $ℳ_{n} (ℂ)$ . On souhaite établir

{GL}_{n} (ℂ) est stable par φ \Leftrightarrow φ préserve le rang.

(a)

Proposer une application $φ$ convenable qui ne soit pas une homothétie.

Soit $M \in ℳ_{n} (ℂ)$ de rang $r < n$ et $φ$ un endomorphisme de $ℳ_{n} (ℂ)$ vérifiant

\forall P \in {GL}_{n} (ℂ), φ (P) \in {GL}_{n} (ℂ) .

(b)

Montrer qu’il existe $A, B \in {GL}_{n} (ℂ)$ telles que $A M - K_{r} B = 0$ avec

$K_{r} = (\begin{matrix} 0 & I_{r} \\ 0 & 0 \end{matrix}) \in ℳ_{n} (ℂ) .$
(c)

Soient $λ \in ℂ$ et $P = A^{- 1} B \in {GL}_{n} (ℂ)$ . Montrer que $P - λ M$ est inversible.
(d)

En déduire que $φ (M)$ n’est pas inversible.
(e)

Montrer qu’il existe $A, B \in {GL}_{n} (ℂ)$ telles que $A M - J_{r} B = 0$ avec

$J_{r} = (\begin{matrix} I_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) \in ℳ_{n} (ℂ) .$
(f)

Soient $λ \in ℂ$ et $Q = A^{- 1} D B$ avec $D \in ℳ_{n} (ℂ)$ une matrice diagonale à coefficients diagonaux distincts et tous non nuls. Montrer que $Q - λ M$ est inversible sauf pour $r$ valeurs $λ \in ℂ^{*}$ que l’on précisera en fonction des coefficients diagonaux de $D$ .
(g)

En déduire que $φ (M)$ est de rang au moins égal à $r$ .
(h)

Conclure que

${GL}_{n} (ℂ) est stable par φ \Leftrightarrow φ préserve le rang.$

Solution

(a)

Pour $P \in {GL}_{n} (ℂ)$ , $φ (M) = P M$ définit un endomorphisme de $ℳ_{n} (ℂ)$ convenable. On peut aussi considérer $φ (M) = M^{⊤}$ .
(b)

Les matrices $M$ et $K_{r}$ sont équivalentes puisque de même rang. Il existe donc des matrices $A, B \in {GL}_{n} (ℂ)$ telles que $M = A^{- 1} K_{r} B$ et alors $A M - K_{r} B = 0$ .
(c)

On a

$P - λ M = A^{- 1} B - λ A^{- 1} K_{r} B = A^{- 1} (I_{n} - λ K_{r}) B .$

La matrice $I_{n} - λ K_{r}$ est inversible car triangulaire supérieure à coefficients diagonaux non nuls. La matrice $P - λ M$ est alors inversible par produit de matrices qui le sont.
(d)

Par linéarité de $φ$ et stabilité de ${GL}_{n} (ℂ)$ , la matrice $φ (P) - λ φ (M)$ est inversible. La matrice $φ (P)$ est aussi inversible et donc $I_{n} - λ φ (M) φ {(P)}^{- 1}$ est inversible. La matrice $φ (M) φ {(P)}^{- 1}$ ne peut alors pas admettre de valeur propre $μ$ non nulle car sinon $I_{n} - \frac{1}{μ} φ (M) φ {(P)}^{- 1}$ ne serait pas inversible. On en déduit que $0$ est la seule valeur propre possible pour $φ (M) φ {(P)}^{- 1}$ . Or cette matrice carrée complexe admet au moins une valeur propre et donc $0$ est valeur propre de $φ (M) φ {(P)}^{- 1}$ . Cette matrice n’est donc pas inversible et $φ (M)$ ne peut alors pas être inversible.

En résumé, on sait

$M \in {GL}_{n} (ℂ)$ $⟹ φ (M) \in {GL}_{n} (ℂ)$

$M \notin {GL}_{n} (ℂ)$ $⟹ φ (M) \notin {GL}_{n} (ℂ)$
(e)

Les matrices $M$ et $J_{r}$ équivalentes puisque sont de même rang. On adapte alors la résolution précédente.
(f)

On a $Q - λ M = A^{- 1} (D - λ J_{r}) B$ . Cette matrice est inversible sauf si $D - λ J_{r}$ ne l’est pas. Or cette dernière matrice est diagonale de coefficients diagonaux

$d_{1, 1} - λ, \dots, d_{r, r} - λ, d_{r + 1, r + 1}, \dots, d_{n, n} .$

On en déduit que $Q - λ M$ est inversible sauf si $λ \in {d_{1, 1}, \dots, d_{r, r}}$ .
(g)

Pour $λ \in {d_{1, 1}, \dots, d_{r, r}} \subset ℂ^{*}$ , $Q - λ M$ n’est pas inversible et donc $φ (Q - λ M)$ ne l’est pas non plus. Ainsi, $φ (Q) - λ φ (M)$ n’est pas inversible ni $I_{n} - λ φ (M) φ {(Q)}^{- 1}$ . Le complexe $1 / λ$ est alors valeur propre de la matrice $φ (M) φ {(Q)}^{- 1}$ . Cette matrice possède donc au moins $r$ valeurs propres distinctes non nulles. On en déduit $rg (φ (M) φ {(Q)}^{- 1}) ⩾ r$ puis $rg (φ (M)) ⩾ r$ .
(h)

$(⟸)$ C’est immédiat.

$(⟹)$ Supposons ${GL}_{n} (ℂ)$ stable par l’endomorphisme $φ$ .

On sait déjà

$\forall M \in ℳ_{n} (ℂ), rg (φ (M)) ⩾ rg (M) .$

Si $φ (M) = O_{n}$ alors $M = O_{n}$ . Ainsi, $Ker (φ) = {0}$ .

L’endomorphisme $φ$ est donc bijectif et l’on peut introduire $φ^{- 1}$ .

Par ce qui précède, on sait

$φ (M) \in {GL}_{n} (ℂ) \Leftrightarrow M \in {GL}_{n} (ℂ) .$

On en déduit que ${GL}_{n} (ℂ)$ est stable par $φ^{- 1}$ et donc

$\forall N \in ℳ_{n} (ℂ), rg (φ^{- 1} (N)) ⩾ rg (N) .$

En considérant $N = φ (M)$ , on obtient

$\forall M \in ℳ_{n} (ℂ), rg (M) ⩾ rg (φ (M))$

et l’on peut conclure.

[<] Détermination des éléments propres d'une matrice [>] Éléments propres d'un endomorphisme matriciel

Édité le 27-03-2026

	$M \in {GL}_{n} (ℂ)$	$⟹ φ (M) \in {GL}_{n} (ℂ)$
	$M \notin {GL}_{n} (ℂ)$	$⟹ φ (M) \notin {GL}_{n} (ℂ)$

Existence de valeurs propres dans un espace complexe