[<] Détermination des éléments propres d'une matrice [>] Éléments propres d'un endomorphisme matriciel

 
Exercice 1  786  Correction  

Soit E un -espace vectoriel de dimension finie.

  • (a)

    Justifier que tout endomorphisme de E possède au moins une valeur propre

  • (b)

    Observer que l’endomorphisme P(X)(X-1)P(X) de [X] n’a pas de valeurs propres.

Solution

  • (a)

    Pour tout f(E), f admet un polynôme minimal qui admet au moins une racine dans qui est alors valeur propre de f.

  • (b)

    Si λ est valeurs propre de l’endomorphisme considéré alors il existe un polynôme P non nul tel que XP(X)=(1+λ)P(X) ce qui est impossible pour des raisons de degré.

 
Exercice 2  5158  

Soit u un endomorphisme d’un -espace vectoriel E non réduit au vecteur nul.

  • (a)

    On suppose que l’endomorphisme u est nilpotent11 1 Un endomorphisme u est dit nilpotent lorsqu’il existe p* tel que up=0.. Montrer que 0 est l’unique valeur propre de u.

  • (b)

    Établir la réciproque lorsque E est de dimension finie.

  • (c)

    Que dire de la réciproque lorsque E n’est plus supposé de dimension finie?

 
Exercice 3  5157   
  • (a)

    Montrer que tout endomorphisme d’un espace vectoriel complexe de dimension finie non nulle possède au moins une droite vectorielle stable.

  • (b)

    Soit An(). Montrer qu’il existe des colonnes X,Y de n,1() non toutes deux nulles telles que AX et AY appartiennent à Vect(X,Y).

  • (c)

    Montrer que tout endomorphisme d’un espace vectoriel réel de dimension finie non nulle possède au moins une droite ou un plan vectoriel stable.

 
Exercice 4  4346   

Soient u,v deux endomorphismes d’un espace vectoriel complexe de dimension finie non nulle.

  • (a)

    On suppose uv=vu. Montrer que u et v ont un vecteur propre en commun.

  • (b)

    On suppose uv=0. Montrer que u et v ont un vecteur propre en commun.

 
Exercice 5  787   Correction  

Soient A,Bn() vérifiant AB=BA.
Montrer que A et B ont un vecteur propre en commun.

Solution

On retraduit le problème en terme d’endomorphismes. Soient u et v deux endomorphismes d’un -espace vectoriel de dimension finie vérifiant uv=vu. Tout endomorphisme sur un -espace vectoriel admet au moins une valeur propre. Soit λ une valeur propre de u. Eλ(u) est un sous-espace vectoriel stable par v (car uv=vu) et l’endomorphisme induit par v sur Eλ(u) admet au moins une valeur propre. Un vecteur propre associé à celle-ci est vecteur propre commun à u et v.

 
Exercice 6  3795     CCP (PC)Correction  

𝕂 désigne ou .

On dit qu’une matrice An(𝕂) vérifie la propriété (P) si

Mn(𝕂),λ𝕂,det(M+λA)0.
  • (a)

    Rappeler pourquoi une matrice de n() admet au moins une valeur propre.

  • (b)

    Soit T une matrice triangulaire supérieure de diagonale nulle.
    Calculer det(In+λT). En déduire que T vérifie la propriété (P)

  • (c)

    Déterminer le rang de la matrice

    Tr=(0Ir00)n(𝕂).
  • (d)

    Soient A vérifiant (P) et B une matrice de même rang que A. Montrer

    (P,Q)GLn(𝕂)2,B=PAQ

    et en déduire que B vérifie (P).

  • (e)

    Conclure que, dans n(), les matrices non inversibles vérifient (P) et que ce sont les seules.

  • (f)

    Que dire des cette propriété dans le cas n() (on distinguera n pair et n impair)?

Solution

  • (a)

    Le polynôme caractéristique d’une matrice complexe possède au moins une racine dans .

  • (b)

    det(In+λT)=10 et donc T vérifie (P).

  • (c)

    rg(Tr)=r.

  • (d)

    Les matrices A et B étant de même rang, elles sont équivalentes et donc il existe P,Q inversibles vérifiant A=PBQ. Puisqu’il existe une matrice M telle que det(M+λA)0 pour tout λ𝕂, on a

    det(PMQ+λB)=det(P)det(M+λA)det(Q)0

    et donc B vérifie la propriété (P).

  • (e)

    Si une matrice est non inversible, elle est de même rang qu’une matrice Tr avec r<n et comme cette dernière vérifie (P), on peut conclure qu’une matrice non inversible vérifie (P).
    Inversement, si A est une matrice inversible alors pour tout Mn()

    det(M+λA)=det(A)det(MA-1+λIn)

    et puisque la matrice MA-1 admet une valeur propre, il est impossible que det(M+λA) soit non nul pour tout λ.

  • (f)

    Cas: n est impair. Toute matrice de n() admet une valeur propre (car le polynôme caractéristique réel est de degré impair). On peut alors conclure comme au dessus.

    Cas: n est pair. La propriété précédente n’est plus vraie. Par exemple,

    A=(0-110)

    est inversible et vérifie la propriété (P) avec M=In.

 
Exercice 7  788    Correction  

Montrer que A,Bn() ont une valeur propre en commun si, et seulement si, il existe Un() non nulle vérifiant UA=BU.

Solution

Si A et B ont λ pour valeur propre commune alors, puisque A et At ont les mêmes valeurs propres, il existe des colonnes X,Y0 vérifiant AtX=λX et BY=λY. Posons alors U=YXtn(){0}.

On a BU=λYXt et UA=Y(AtX)t=λYXt donc UA=BU.

Inversement, supposons qu’il existe Un() non nulle vérifiant UA=BU. On peut écrire U=QJrP avec P,Q inversibles et r=rg(U)>0. L’égalité UA=BU entraîne alors JrA=BJr avec A=PAP-1 et B=Q-1BQ. Par similitude, Sp(A)=Sp(A) et Sp(B)=Sp(B). En raisonnant par blocs, l’égalité JrA=BJr entraîne

A=(M0**)etB=(M*0*) avec Mr().

Ces formes matricielles entraînent Sp(M)Sp(A) et Sp(M)Sp(B). Or Sp(M) (cadre complexe) et donc

Sp(A)Sp(B).

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Édité le 08-11-2019

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