[<] Détermination des éléments propres d'une matrice [>] Éléments propres d'un endomorphisme matriciel
Soit un -espace vectoriel de dimension finie.
Justifier que tout endomorphisme de possède au moins une valeur propre
Observer que l’endomorphisme de n’a pas de valeurs propres.
Solution
Pour tout , admet un polynôme minimal qui admet au moins une racine dans qui est alors valeur propre de .
Si est valeurs propre de l’endomorphisme considéré alors il existe un polynôme non nul tel que ce qui est impossible pour des raisons de degré.
Soit un endomorphisme d’un -espace vectoriel non réduit au vecteur nul.
On suppose que l’endomorphisme est nilpotent11 1 Un endomorphisme est dit nilpotent lorsqu’il existe tel que .. Montrer que est l’unique valeur propre de .
Établir la réciproque lorsque est de dimension finie.
Que dire de la réciproque lorsque n’est plus supposé de dimension finie?
Montrer que tout endomorphisme d’un espace vectoriel complexe de dimension finie non nulle possède au moins une droite vectorielle stable.
Soit . Montrer qu’il existe des colonnes de non toutes deux nulles telles que et appartiennent à .
Montrer que tout endomorphisme d’un espace vectoriel réel de dimension finie non nulle possède au moins une droite ou un plan vectoriel stable.
Soient deux endomorphismes d’un espace vectoriel complexe de dimension finie non nulle.
On suppose . Montrer que et ont un vecteur propre en commun.
On suppose . Montrer que et ont un vecteur propre en commun.
Soient vérifiant .
Montrer que et ont un vecteur propre en commun.
Solution
On retraduit le problème en terme d’endomorphismes. Soient et deux endomorphismes d’un -espace vectoriel de dimension finie vérifiant . Tout endomorphisme sur un -espace vectoriel de dimension finie non nulle admet au moins une valeur propre. Soit une valeur propre de . L’espace propre est un sous-espace vectoriel stable par (car ) et l’endomorphisme induit par sur admet au moins une valeur propre . Un vecteur propre associé à celle-ci est vecteur propre commun à et . En effet, c’est par définition un vecteur propre de pour la valeur propre et par construction un vecteur propre de pour la valeur propre car vecteur non nul du sous-espace propre .
désigne ou .
On dit qu’une matrice vérifie la propriété si
Rappeler pourquoi une matrice de admet au moins une valeur propre.
Soit une matrice triangulaire supérieure de diagonale nulle.
Calculer . En déduire que vérifie la propriété
Déterminer le rang de la matrice
Soient vérifiant et une matrice de même rang que . Montrer
et en déduire que vérifie .
Conclure que, dans , les matrices non inversibles vérifient et que ce sont les seules.
Que dire des cette propriété dans le cas (on distinguera pair et impair)?
Solution
Le polynôme caractéristique d’une matrice complexe possède au moins une racine dans .
et donc vérifie .
.
Les matrices et étant de même rang, elles sont équivalentes et donc il existe inversibles vérifiant . Puisqu’il existe une matrice telle que pour tout , on a
et donc vérifie la propriété .
Si une matrice est non inversible, elle est de même rang qu’une matrice avec et comme cette dernière vérifie , on peut conclure qu’une matrice non inversible vérifie .
Inversement, si est une matrice inversible alors pour tout
et puisque la matrice admet une valeur propre, il est impossible que soit non nul pour tout .
Cas: est impair. Toute matrice de admet une valeur propre (car le polynôme caractéristique réel est de degré impair). On peut alors conclure comme au dessus.
Cas: est pair. La propriété précédente n’est plus vraie. Par exemple,
est inversible et vérifie la propriété avec .
Soient un -espace vectoriel de dimension finie et une sous-algèbre de . On dit qu’un sous-espace de est stable par lorsque:
On suppose que les seuls sous-espaces vectoriels de stables par sont et .
Pour , déterminer .
Soient de rang et .
Montrer qu’il existe tel que .
En déduire que contient au moins un endomorphisme de rang .
Conclure que .
Solution
Posons . On vérifie que est un sous-espace vectoriel de , que est stable par et que . On en déduit que lorsque . Un calcul immédiat fournit lorsque .
Le sous-espace vectoriel est stable par l’endomorphisme . L’endomorphisme induit possède au moins une valeur propre complexe et alors l’endomorphisme n’est pas injectif sur . On en déduit
Soit un endomorphisme de rang minimal parmi ceux non nuls qui appartiennent à .
Soit un vecteur non nul de l’image de .
Pour tout , la première question assure l’existence de tel que . Introduisons ensuite tel que . Par opérations dans l’algèbre , . Par minimalité de , il vient , c’est-à-dire . En évaluant en , on obtient
Ainsi, et donc .
Posons . Soit un vecteur n’appartenant pas à .
Soient un vecteur non nul de et tel que . Posons . L’endomorphisme est élément de . Cet endomorphisme est de rang au plus mais n’est pas l’endomorphisme nul car . L’endomorphisme est donc de rang exactement et de même image que .
Plus généralement, une fois déterminés avec , on choisit dans l’intersection des noyaux des et l’on forme de rang tel que .
La famille ainsi constituée est libre. En effet, si alors, en évaluant successivement en , on établit .
Soit une autre base11 1 Élégamment, on pourrait choisir après avoir montré que cette famille est une base de . de . Pour , on introduit tel que . On pose alors
On vérifie que la famille est libre et l’on en déduit que l’algèbre est de dimension au moins et donc égale à .
Montrer que ont une valeur propre en commun si, et seulement si, il existe non nulle vérifiant .
Solution
Si et ont pour valeur propre commune alors, puisque et ont les mêmes valeurs propres, il existe des colonnes vérifiant et . Posons alors .
On a et donc .
Inversement, supposons qu’il existe non nulle vérifiant . On peut écrire avec inversibles et . L’égalité entraîne alors avec et . Par similitude, et . En raisonnant par blocs, l’égalité entraîne
Ces formes matricielles entraînent et . Or (cadre complexe) et donc
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Édité le 29-08-2023
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