[<] Existence de valeurs propres dans un espace complexe [>] Crochet de Lie
On considère les matrices réelles
Calculer .
Déterminer les éléments propres de l’endomorphisme .
Solution
Directement,
est valeur propre avec , est valeur propre avec et est valeur propre avec .
Soient , une matrice non nulle et
Démontrer que est un endomorphisme.
Déterminer le noyau de et le rang de .
À quelle condition l’endomorphisme est-il diagonalisable?
Solution
Soient et . On vérifie par calculs
Pour ,
Si la matrice est de trace nulle, le noyau de est l’hyperplan des matrices de trace nulle. On en déduit .
Si la matrice n’est pas de trace nulle, le noyau de est la droite vectorielle engendrée par et l’on en déduit .
Si la matrice n’est pas de trace nulle, on remarque que pour toute matrice de trace nulle, : est une valeur propre de et le sous-espace propre associé est de dimension au moins . Puisque est aussi valeur propre de , l’endomorphisme est diagonalisable.
Si la matrice est de trace nulle, l’endomorphisme est simplement . en est valeur propre de multiplicité et il ne peut y avoir d’autres valeurs propres car le vecteur propre associé est nécessairement colinéaire à . L’endomorphisme n’est pas diagonalisable.
Soit une matrice élément de . On introduit l’endomorphisme11 1 Il ne faut pas confondre avec l’endomorphisme qui à une colonne associe . Ce dernier peut être représenté par la matrice ce qui n’est pas le cas de qui opère en dimension . de défini par pour tout .
Montrer que la matrice et l’endomorphisme ont les mêmes valeurs propres et préciser les sous-espaces propres de en fonction de ceux de .
Que dire des éléments propres l’endomorphisme de défini par ?
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Édité le 29-08-2023
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