[<] Existence de valeurs propres dans un espace complexe [>] Crochet de Lie

 
Exercice 1  767  Correction  

On considère les matrices réelles

A=(1002)etM=(abcd).
  • (a)

    Calculer AM-MA.

  • (b)

    Déterminer les éléments propres de l’endomorphisme MAM-MA.

Solution

  • (a)

    Directement,

    AM-MA=(ab2c2d)-(a2bc2d)=(0-bc0).
  • (b)

    0 est valeur propre avec E0=Vect(E1,1,E2,2), 1 est valeur propre avec E1=Vect(E2,1) et -1 est valeur propre avec E-1=Vect(E1,2).

 
Exercice 2  5319     ENSTIM (MP)Correction  

Soient n2, An() une matrice non nulle et

φ:{n()n()Mtr(A)M-tr(M)A.
  • (a)

    Démontrer que φ est un endomorphisme.

  • (b)

    Déterminer le noyau de φ et le rang de φ.

  • (c)

    À quelle condition l’endomorphisme φ est-il diagonalisable?

Solution

  • (a)

    Soient λ1,λ2 et M1,M2n(). On vérifie par calculs

    φ(λ1M1+λ2M2)=λ1φ(M1)+λ2φ(M2).
  • (b)

    Pour Mn(),

    φ(M)=0tr(A)M=tr(M)A.

    Si la matrice A est de trace nulle, le noyau de φ est l’hyperplan des matrices de trace nulle. On en déduit rg(φ)=1.

    Si la matrice A n’est pas de trace nulle, le noyau de φ est la droite vectorielle engendrée par A et l’on en déduit rg(φ)=n2-1.

  • (c)

    Si la matrice A n’est pas de trace nulle, on remarque que pour toute matrice M de trace nulle, φ(M)=tr(A)M: tr(A) est une valeur propre de φ et le sous-espace propre associé est de dimension au moins n2-1. Puisque 0 est aussi valeur propre de φ, l’endomorphisme φ est diagonalisable.

    Si la matrice A est de trace nulle, l’endomorphisme φ est simplement M-tr(M)A. 0 en est valeur propre de multiplicité n2-1 et il ne peut y avoir d’autres valeurs propres car le vecteur propre associé est nécessairement colinéaire à A. L’endomorphisme φ n’est pas diagonalisable.

 
Exercice 3  776    

Soit A une matrice élément de E=n(). On introduit l’endomorphisme11 1 Il ne faut pas confondre u avec l’endomorphisme qui à une colonne X associe AX. Ce dernier peut être représenté par la matrice A ce qui n’est pas le cas de u qui opère en dimension n2. u de E défini par u(M)=AM pour tout ME.

  • (a)

    Montrer que A et u ont les mêmes valeurs propres et préciser les sous-espaces propres de u en fonction de ceux de A.

  • (b)

    Que dire des éléments propres l’endomorphisme v de E défini par v(M)=MA?

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Édité le 08-11-2019

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