Exercice 1 767 Correction

On considère les matrices réelles

A = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}) et M = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) .

(a)

Calculer $A M - M A$ .
(b)

Déterminer les éléments propres de l’endomorphisme $M \mapsto A M - M A$ .

Solution

(a)

Directement,

$A M - M A = (\begin{matrix} a & b \\ 2 c & 2 d \end{matrix}) - (\begin{matrix} a & 2 b \\ c & 2 d \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & - b \\ c & 0 \end{matrix}) .$
(b)

$0$ est valeur propre avec $E_{0} = Vect (E_{1,1}, E_{2,2})$ , $1$ est valeur propre avec $E_{1} = Vect (E_{2,1})$ et $- 1$ est valeur propre avec $E_{- 1} = Vect (E_{1,2})$ .

Exercice 2 5319 ENSTIM (MP)Correction

Soient $n \geq 2$ , $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ une matrice non nulle et

φ : {\begin{matrix} ℳ_{n} (ℝ) & \to & ℳ_{n} (ℝ) \\ M & \mapsto & tr (A) M - tr (M) A . \end{matrix}

(a)

Démontrer que $φ$ est un endomorphisme.
(b)

Déterminer le noyau de $φ$ et le rang de $φ$ .
(c)

À quelle condition l’endomorphisme $φ$ est-il diagonalisable?

Solution

(a)

Soient $λ_{1}, λ_{2} \in ℝ$ et $M_{1}, M_{2} \in ℳ_{n} (ℝ)$ . On vérifie par calculs

$φ (λ_{1} M_{1} + λ_{2} M_{2}) = λ_{1} φ (M_{1}) + λ_{2} φ (M_{2}) .$
(b)

Pour $M \in ℳ_{n} (ℝ)$ ,

$φ (M) = 0 \Leftrightarrow tr (A) M = tr (M) A .$

Si la matrice $A$ est de trace nulle, le noyau de $φ$ est l’hyperplan des matrices de trace nulle. On en déduit $rg (φ) = 1$ .

Si la matrice $A$ n’est pas de trace nulle, le noyau de $φ$ est la droite vectorielle engendrée par $A$ et l’on en déduit $rg (φ) = n^{2} - 1$ .
(c)

Si la matrice $A$ n’est pas de trace nulle, on remarque que pour toute matrice $M$ de trace nulle, $φ (M) = tr (A) M$ : $tr (A)$ est une valeur propre de $φ$ et le sous-espace propre associé est de dimension au moins $n^{2} - 1$ . Puisque $0$ est aussi valeur propre de $φ$ , l’endomorphisme $φ$ est diagonalisable.

Si la matrice $A$ est de trace nulle, l’endomorphisme $φ$ est simplement $M \mapsto - tr (M) A$ . $0$ en est valeur propre de multiplicité $n^{2} - 1$ et il ne peut y avoir d’autres valeurs propres car le vecteur propre associé est nécessairement colinéaire à $A$ . L’endomorphisme $φ$ n’est pas diagonalisable.

Exercice 3 776

Soit $A$ une matrice élément de $E = ℳ_{n} (ℝ)$ . On introduit l’endomorphisme¹¹ 1 Il ne faut pas confondre $u$ avec l’endomorphisme qui à une colonne $X$ associe $A X$ . Ce dernier peut être représenté par la matrice $A$ ce qui n’est pas le cas de $u$ qui opère en dimension $n^{2}$ . $u$ de $E$ défini par $u (M) = A M$ pour tout $M \in E$ .

(a)

Montrer que $A$ et $u$ ont les mêmes valeurs propres et préciser les sous-espaces propres de $u$ en fonction de ceux de $A$ .
(b)

Que dire des éléments propres l’endomorphisme $v$ de $E$ défini par $v (M) = M A$ ?

Éléments propres d'un endomorphisme matriciel