• (a)

  En factorisant sur la $i$-ème colonne

  $$P(a_i)=a_i\left|\begin{array}{ccccc}\hfill a_i\hfill & \hfill \hfill & \hfill 1\hfill & \hfill \hfill & \hfill a_n\hfill \\ \hfill a_1\hfill & \hfill \hfill & \hfill \mathrm{⋮}\hfill & \hfill \hfill & \hfill \mathrm{⋮}\hfill \\ \hfill \mathrm{⋮}\hfill & \hfill \hfill & \hfill 1\hfill & \hfill \hfill & \hfill \mathrm{⋮}\hfill \\ \hfill \mathrm{⋮}\hfill & \hfill \hfill & \hfill \mathrm{⋮}\hfill & \hfill \hfill & \hfill a_n\hfill \\ \hfill a_1\hfill & \hfill \hfill & \hfill 1\hfill & \hfill \hfill & \hfill a_i\hfill \end{array}\right|\text{.}$$

  En retranchant la $i$-ème ligne à chacune des autres

  $$P(a_i)=a_i\left|\begin{array}{ccccc}\hfill a_i-a_1\hfill & \hfill \hfill & \hfill 0\hfill & \hfill \hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill \hfill & \hfill \mathrm{⋮}\hfill & \hfill \hfill & \hfill \mathrm{⋮}\hfill \\ \hfill \mathrm{⋮}\hfill & \hfill \hfill & \hfill 1\hfill & \hfill \hfill & \hfill \mathrm{⋮}\hfill \\ \hfill \mathrm{⋮}\hfill & \hfill \hfill & \hfill \mathrm{⋮}\hfill & \hfill \hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill \hfill & \hfill 0\hfill & \hfill \hfill & \hfill a_i-a_n\hfill \end{array}\right|$$

  et donc

  $$P(a_i)=a_i\prod _{j\ne i}(a_i-a_j)\text{.}$$

• (b)

  Puisque les $a_i$ sont deux à deux distincts

  $$\frac{P(X)}{{\prod }_{i=1}^n(X-a_i)}=1+\sum _{i=1}^n\frac{{\lambda }_i}{X-a_i}$$

  avec

  $${\lambda }_i=\frac{P(a_i)}{{\prod }_{j\ne i}(a_i-a_j)}=a_i\text{.}$$

• (c)

  On a $\det (A+{\mathrm{I}}_n)=P(1)$.
  Si l’un des $a_i$ vaut 1, il suffit de reprendre la valeur de $P(a_i)$.
  Sinon, par la décomposition précédente

  $$\frac{P(1)}{{\prod }_{i=1}^n(1-a_i)}=1+\sum _{i=1}^n\frac{a_i}{1-a_i}$$

  et donc

  $$\det (A+{\mathrm{I}}_n)=\left(1+\sum _{i=1}^n\frac{a_i}{1-a_i}\right)\prod _{i=1}^n(1-a_i)\text{.}$$

On peut écrire

avec ${\lambda }_1,\mathrm{\dots },{\lambda }_n$ les valeurs propres de $A$ comptées avec multiplicité.
On a alors

ce qui donne

et on peut ainsi affirmer

• (a)

  On peut écrire $B=P^{-1}CP$ avec $P$ inversible et alors

  $$x{\mathrm{I}}_n-B=P^{-1}(x{\mathrm{I}}_n-C)P$$

  ainsi que

  $${(x{\mathrm{I}}_n-B)}^{-1}=P{(x{\mathrm{I}}_n-C)}^{-1}{P}^{-1}$$

  sous réserve d’inversibilité.

• (b)

  La matrice $A$ est trigonalisable dans ${ℳ}_n(ℂ)$. Quitte à considérer une matrice semblable, on peut supposer $A$ triangulaire supérieure (ce qui n’affecte ni le calcul de la trace, ni celui du polynôme caractéristique $P_A$). En écrivant

  $$A=\left(\begin{array}{ccc}\hfill {\lambda }_1\hfill & \hfill \hfill & \hfill *\hfill \\ \hfill \hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \hfill \\ \hfill (0)\hfill & \hfill \hfill & \hfill {\lambda }_n\hfill \end{array}\right)$$

  on obtient

  $${(x{\mathrm{I}}_n-A)}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}\hfill \frac{1}{x-{\lambda }_1}\hfill & \hfill \hfill & \hfill *\hfill \\ \hfill \hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \hfill \\ \hfill (0)\hfill & \hfill \hfill & \hfill \frac{1}{x-{\lambda }_n}\hfill \end{array}\right)$$

  et donc

  $$\mathrm{tr}{(x{\mathrm{I}}_n-A)}^{-1}=\sum _{k=1}^n\frac{1}{x-{\lambda }_k}=\frac{P_A^{\prime }(x)}{P_A(x)}$$

  car

  $$P_A(x)=\prod _{k=1}^n(x-{\lambda }_k)\text{.}$$

• (a)

  Oui, un tel polynôme existe, il suffit de se référer aux matrices compagnons!
  Pour $a_0,a_1,\mathrm{\dots },a_{n-1}\in 𝕂$, la matrice compagnon associée est

  $$M=\left(\begin{array}{cccc}\hfill 0\hfill & \hfill \hfill & \hfill (0)\hfill & \hfill -a_0\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \hfill & \hfill -a_1\hfill \\ \hfill \hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill \mathrm{⋮}\hfill \\ \hfill (0)\hfill & \hfill \hfill & \hfill 1\hfill & \hfill -a_{n-1}\hfill \end{array}\right)\text{.}$$

  Son polynôme caractéristique est

  $${\chi }_M(X)=\left|\begin{array}{cccc}\hfill X\hfill & \hfill \hfill & \hfill (0)\hfill & \hfill a_0\hfill \\ \hfill -1\hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \hfill & \hfill a_1\hfill \\ \hfill \hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill X\hfill & \hfill \mathrm{⋮}\hfill \\ \hfill (0)\hfill & \hfill \hfill & \hfill -1\hfill & \hfill X+a_{n-1}\hfill \end{array}\right|\text{.}$$

  Il peut se calculer par la succession d’opérations élémentaires

  $$L_i\leftarrow L_i+X{L}_{i+1}\text{ avec }i\text{ allant de }n-1\text{ à 1 dans cet ordre.}$$

  On obtient alors

  $${\chi }_M(X)=\left|\begin{array}{cccc}\hfill 0\hfill & \hfill \hfill & \hfill (0)\hfill & \hfill \alpha \hfill \\ \hfill -1\hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \hfill & \hfill \mathrm{⋮}\hfill \\ \hfill \hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill (a_{n-2}+a_{n-1}X+X^2)\hfill \\ \hfill (0)\hfill & \hfill \hfill & \hfill -1\hfill & \hfill X+a_{n-1}X\hfill \end{array}\right|$$

  avec

  $$\alpha =\left(a_0+a_{1}X+\mathrm{\cdots }+a_{n-1}{X}^{n-1}+X^n\right)\text{.}$$

  En développant selon la première ligne, on obtient

  $${\chi }_M(X)=a_0+a_{1}X+\mathrm{\cdots }+a_{n-1}{X}^{n-1}+X^n\text{.}$$

  Ainsi, pour $P\in \mathbb{Z}[X]$ unitaire de degré $n$, on peut construire une matrice à coefficients entiers dont le polynôme caractéristique est ${(-1)}^{n}P(X)$.

• (b)

  Il existe une matrice $A$ dont le polynôme caractéristique est $P$. Puisque toute matrice complexe est trigonalisable, la matrice $A$ est en particulier semblable dans ${ℳ}_n(ℂ)$ à une matrice triangulaire de la forme

  $$\left(\begin{array}{ccc}\hfill {\lambda }_1\hfill & \hfill \hfill & \hfill *\hfill \\ \hfill \hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill \hfill & \hfill {\lambda }_n\hfill \end{array}\right)\text{.}$$

  La matrice $A^q$ est alors semblable à la matrice

  $$\left(\begin{array}{ccc}\hfill {\lambda }_1^q\hfill & \hfill \hfill & \hfill {*}^{\prime }\hfill \\ \hfill \hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill \hfill & \hfill {\lambda }_n^q\hfill \end{array}\right)\text{.}$$

  Le polynôme caractéristique de $A^q$ est alors $P_q$. Or $A^q$ est une matrice à coefficients entiers et donc son polynôme caractéristique $P_q$ est aussi à coefficients entiers.

• (c)

  Compte tenu des relations entre les coefficients et les racines d’un polynôme scindé, on peut majorer les coefficients de $P$ et affirmer que, pour un degré fixé, il n’y a qu’un nombre fini de polynômes $P$ possibles car les coefficients de $P$ sont entiers et borné. Considérons un tel polynôme. L’application $q\in {\mathbb{N}}^{*}\mapsto P_q$ n’est pas injective compte tenu de l’argument de cardinalité précédent. Il existe donc $q<r$ tel que $P_q=P_r$. Ainsi, il existe une permutation $\sigma$ de ${\mathbb{N}}_n$ vérifiant:

  $$\forall i\in {\mathbb{N}}_n,{\lambda }_i^q={\lambda }_{\sigma (i)}^r\text{.}$$

  À l’aide d’une décomposition en cycles de $\sigma$, on peut affirmer qu’il existe une puissance de $\sigma$ égale à l’identité et donc conclure que pour tout $i\in {\mathbb{N}}_n$ il existe $q^{\prime }>q$ tel que ${\lambda }_i^q={\lambda }_i^{q^{\prime }}$. On peut alors affirmer que ${\lambda }_i$ est nul ou bien racine de l’unité.

• (a)

  Par l’absurde, supposons que $P_n$ possède une racine multiple $z$. Celle-ci vérifie

  $$P_n(z)=P_n^{\prime }(z)=0\text{.}$$

  On en tire

  $$z^n-z+1=0\mathit{\hspace{1em}}\text{(1)}\mathit{\hspace{1em}}\text{et}\mathit{\hspace{1em}}n{z}^{n-1}=1\mathit{\hspace{1em}}\text{(2)}$$

  (1) et (2) donnent

  $$(n-1)z=n\mathit{\hspace{1em}}\text{(3)}$$

  (2) impose $|z|\le 1$ alors que (3) impose $|z|>1$. C’est absurde.

• (b)

  Posons $\chi (X)$ le polynôme caractéristique de la matrice étudiée. On vérifie

  $$\chi (z_i)=\left|\begin{array}{ccccc}\hfill z_i-1-z_1\hfill & \hfill \hfill & \hfill -1\hfill & \hfill \hfill & \hfill (-1)\hfill \\ \hfill \hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \mathrm{⋮}\hfill & \hfill \hfill & \hfill \hfill \\ \hfill \hfill & \hfill \hfill & \hfill -1\hfill & \hfill \hfill & \hfill \hfill \\ \hfill \hfill & \hfill \hfill & \hfill \mathrm{⋮}\hfill & \hfill \hfill & \hfill \hfill \\ \hfill (-1)\hfill & \hfill \hfill & \hfill -1\hfill & \hfill \hfill & \hfill z_i-1-z_n\hfill \end{array}\right|\text{.}$$

  En retranchant la $i$-ème colonne à toutes les autres et en développant par rapport à la $i$-ème ligne, on obtient

  $$\chi (z_i)=\prod _{j=1,j\ne i}^n(z_i-z_j)=P^{\prime }(z_i)\text{.}$$

  Cependant, les polynômes $\chi$ et $P^{\prime }$ ne sont pas de même degré…En revanche, les polynômes $\chi$ et $P-P^{\prime }$ ont même degré $n$ tous deux unitaires et prennent les mêmes valeurs en les $n$ points distincts $z_1,\mathrm{\dots },z_n$. On en déduit qu’ils sont égaux. En particulier, le déterminant cherché est

  $${(-1)}^n\chi (0)={(-1)}^n\left(P(0)-P^{\prime }(0)\right)=2{(-1)}^n\text{.}$$