[<] Éléments propres d'un endomorphisme [>] Polynômes caractéristiques

 
Exercice 1  4331  

Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres des endomorphismes suivants:

  • (a)

    φ:PXP endomorphisme de [X].

  • (b)

    ψ:PXP endomorphisme de [X].

  • (c)

    T:(un)(un+1) endomorphisme de l’espace (,) des suites réelles bornées.

  • (d)

    u:MM+tr(M)In endomorphisme de n() (avec n2).

 
Exercice 2  768  

Soit D l’endomorphisme de dérivation sur l’espace réel E des fonctions de classe 𝒞 de vers .

  • (a)

    Déterminer les valeurs propres de D ainsi que les sous-espaces propres associés.

Pour λ, on note eλ la fonction de E qui à t réel associe eλt.

  • (a)

    Soient λ1,,λn des réels deux à deux distincts. Justifier la liberté de la famille (eλ1,,eλn).

 
Exercice 3  3126     ENSTIM (MP)Correction  

Soient E= et f:EE l’application qui transforme une suite u=(un) en v=(vn) définie par

v0=u0etvn=un+un-12pour tout n*.

Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de f.

Solution

Soient λ et uE. Étudions l’équation f(u)=λ.u. On a

f(u)=λ.u{(1-λ)u0=0n*,(2λ-1)un=un-1.

Cas: λ=1.

f(u)=un*,un=un-1.

On en déduit que 1 est valeur propre de f et que le sous-espace propre associé est formé des suites constantes.

Cas: λ1.

f(u)=λ.u{u0=0n*,(2λ-1)un=un-1.

Que λ=1/2 ou non, on obtient

f(u)=λ.un,.un=0

et donc λ n’est pas valeur propre.

Finalement, 1 est la seule valeur propre de l’endomorphisme f.

 
Exercice 4  770   Correction  

Soient E l’espace des suites réelles convergeant vers 0 et Δ:EE l’endomorphisme qui envoir uE sur Δ(u) déterminé par

Δ(u)(n)=u(n+1)-u(n)pour tout n.

Déterminer les valeurs propres de Δ.

Solution

Pour λ et uE,

Δ(u)=λ.un,u(n+1)=(1+λ)u(n).

Ainsi,

Δ(u)=λ.un,u(n)=u0(1+λ)n.

Cas: λ]-2;0[. La suite u(n)=(1+λ)n est élément non nul de E et vérifie Δ(u)=λ.u.

Cas: λ]-2;0[. Seule la suite nulle converge vers 0 et satisfait

n,u(n)=u0(1+λ)n.

On peut donc conclure que les valeurs propres de Δ sont les réels de l’intervalle ]-2;0[.

 
Exercice 5  769  Correction  

Soient E=𝒞0(,). Déterminer les valeurs propres de l’endomorphisme I de E qui à fE associe sa primitive qui s’annule en 0.

Solution

Soient λ et fE.

Si I(f)=λf alors I(f) est solution de l’équation différentielle

y=λy

avec la condition initiale y(0)=0.

Cas: λ=0. On obtient directement I(f)=0.

Cas: λ0. L’équation différentielle donne I(f) de la forme xCex/λ et la condition initiale conduit à I(f)=0.

Dans les deux cas, f=I(f)=0. Ainsi, l’équation I(f)=λf ne possède pas d’autres solutions que la solution nulle. L’endomorphisme I ne possède pas de valeurs propres.

 
Exercice 6  3063     MINES (MP)Correction  

Soit E l’espace des fonctions f de classe 𝒞1 de [0;+[ vers vérifiant f(0)=0.

Pour un élément f de E, on pose T(f) la fonction définie sur [0;+[ par

T(f)(x)=0xf(t)tdtpour tout x[0;+[.

Montrer que T est un endomorphisme de E et déterminer ses valeurs propres.

Solution

Puisque f est de classe 𝒞1 et que f(0)=0, on peut écrire

f(t)=t0f(0)t+o(t).

Ainsi, la fonction φ:tf(t)/t peut être prolongée par continuité en 0 et l’intégrale définissant T(f)(x) a un sens en tant qu’intégrale d’une fonction continue. De plus, la fonction T(f) apparaît alors comme la primitive s’annulant en 0 de cette fonction continue φ, c’est donc une fonction élément de E. Enfin, la linéarité de l’application T étant immédiate, on peut affirmer que T est un endomorphisme de E.

Soient λ et fE.

Si T(f)=λf alors pour tout x[0;+[,

T(f)(x)=λf(x).

En dérivant cette relation, on obtient pour tout x[0;+[

f(x)=λxf(x).

Cas: λ=0. La fonction f est nulle et λ n’est pas valeur propre.

Cas: λ0. La fonction f est solution de l’équation différentielle λxy=y.

Cette dernière est une équation différentielle linéaire d’ordre 1 homogène dont la solution générale sur ]0;+[ est

y(x)=Cx1/λ.

Ainsi, il existe C tel que pour tout x>0,

f(x)=Cx1/λ.

Or, pour qu’une telle fonction puisse être prolongée en une fonction de classe 𝒞1 sur [0;+[, il faut C=0 ou 1/λ1. Ainsi, les valeurs propres de T sont les éléments de l’intervalle ]0;1].

Inversement, soient λ]0;1] et la fonction fλ:xx1/λ prolongée par continuité en 0. La fonction fλ est de classe 𝒞1 sur [0;+[, s’annule en 0 et vérifie T(fλ)=λfλ sans être la fonction nulle.

Finalement, les valeurs propres de T sont exactement les éléments de l’intervalle ]0;1].

 
Exercice 7  771   

Soit E l’espace vectoriel des fonctions continues de [0;+[ vers . Pour tout fE, on définit une fonction φ(f):[0;+[ par

φ(f)(0)=f(0)etφ(f)(x)=1x0xf(t)dtpour tout x>0.
  • (a)

    Montrer que φ est un endomorphisme de E.

  • (b)

    Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de φ.

 
Exercice 8  3467   Correction  

Soit E le -espace vectoriel des fonctions continues de [0;+[ vers admettant une limite finie en +.

Soit T l’endomorphisme de E qui à fE associé T(f) donné par

x[0;+[,T(f)(x)=f(x+1).

Déterminer les valeurs propres de T et les vecteurs propres associés.

Solution

Soient λ un réel et f une fonction élément de E.

Si T(f)=λf alors

x[0;+[,f(x+1)=λf(x).

En passant cette relation à la limite quand x+, on obtient

=λ

en notant la limite de f en +.

Cas: 0. Nécessairement, λ=1 et

x[0;+[,f(x+1)=f(x).

Puisque la fonction f est périodique et admet une limite finie en +, elle est constante.

Inversement, toute fonction constante non nulle est vecteur propre associé à la valeur propre 1.

Cas: =0. Si λ est valeur propre alors en introduisant f vecteur propre associé, il existe x0[0;+[ tel que f(x0)0 et la relation T(f)=λf donne par récurrence

n,f(x0+n)=λnf(x0).

En faisant tendre n vers +, on obtient |λ|<1.

Inversement, supposons |λ|<1. Si T(f)=λf alors

f(1)=λf(0)etn,x[0;1[,f(x+n)=λnf(x).

La fonction f est donc entièrement déterminée par sa restriction continue sur [0;1] vérifiant f(1)=λf(0).

Inversement, si φ:[0;1] est une fonction continue sur [0;1] vérifiant φ(1)=λφ(0) alors la fonction f donnée par

n,x[0;1[,f(x+n)=λnφ(x)

et continue (on vérifie la continuité en k* par continuité à droite et à gauche), tend vers 0 en + et vérifie T(f)=λf.

Puisqu’il est possible de construire une fonction non nulle de la sorte, le scalaire λ]-1;1[ est valeur propre et les vecteurs propres associés sont les fonctions non nulles de la forme précédente.

 
Exercice 9  2700      MINES (MP)Correction  

Soit E=𝒞([0;1],). Pour fE, on définit T(f):[0;1] par

T(f)(x)=01min(x,t)f(t)dtpour tout x[0;1].
  • (a)

    Vérifier que T est un endomorphisme de E.

  • (b)

    Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de T.

Solution

  • (a)

    Pour x[0;1], on peut écrire

    T(f)(x)=0xtf(t)dt+xx1f(t)dt.

    L’application T(f) apparaît alors comme continue (et même dérivable).

    Ainsi, l’application T opère de E dans E, elle de surcroît évidemment linéaire.

  • (b)

    Soient λ et fE vérifiant T(f)=λf.

    Cas: λ=0. On a T(f)=0 donc

    0xtf(t)dt+xx1f(t)dt=0.

    En dérivant, on obtient

    xf(x)-xf(x)+x1f(t)dt=x1f(t)dt=0.

    En dérivant à nouveau, on obtient f=0. Ainsi, 0 n’est pas valeur propre de T.

    Cas: λ0. On a T(f)=λf soit

    0xtf(t)dt+xx1f(t)dt=λf(x)pour tout x[0;1].

    En particulier, on peut affirmer que f(0)=0 car T(f)(0)=0.

    Le premier membre de l’équation T(f)=λf est dérivable et la fonction f est donc également dérivable. En dérivant, on obtient la relation

    x1f(t)dt=λf(x).

    En particulier, f(1)=0.

    Le premier membre de cette nouvelle équation étant dérivable, la fonction f est deux fois dérivable et l’on obtient en dérivant à nouveau l’équation différentielle

    λf′′(x)+f(x)=0.

    Sous-cas: λ<0. Sachant f(0)=0, la résolution de l’équation différentielle donne

    f(x)=Ash(x|λ|).

    La condition f(1)=0 entraîne toujours f=0 et donc un tel λ n’est pas valeur propre de T.

    Sous-cas: λ>0. Sachant f(0)=0, on obtient par résolution de l’équation différentielle

    f(x)=Asin(xλ).

    La condition f(1)=0 n’entraînera pas f=0 que si

    cos(1λ)=0

    c’est-à-dire si, et seulement si,

    λ=4((2k+1)π)2 avec k*.

    Notons qu’alors il est possible de remonter les précédents calculs et d’affirmer que

    f:xsin((2k+1)πx2)

    est vecteur propre associé à la valeur propre λ=4/((2k+1)π)2.

 
Exercice 10  2577     CCP (MP)Correction  
  • (a)

    Montrer que Φ, qui à P associe

    (X2-1)P(X)-(4X+1)P(X)

    est un endomorphisme de 4[X].

  • (b)

    Résoudre l’équation différentielle

    y=(5-λ2(x-1)+3+λ2(x+1))y.
  • (c)

    En déduire les valeurs propres et les vecteurs propres de Φ.

Solution

  • (a)

    L’application Φ est évidemment linéaire, il reste à voir qu’elle est à valeurs dans 4[X].

    Pour un polynôme P de degré inférieur à 4, le polynôme (X2-1)P(X)-(4X+1)P(X) est de degré inférieur à 5 et, si a est le coefficient de X4 dans P, le coefficient de X5 dans Φ(P) est 4a-4a=0. Par suite, Φ est bien à valeurs dans 4[X] et c’est donc un endomorphisme de cet espace.

  • (b)

    L’équation

    y=(5-λ2(x-1)+3+λ2(x+1))y

    est une équation différentielle linéaire d’ordre 1 de solution générale

    y(x)=C|x-1|(5-λ)/2|x+1|(3+λ)/2 avec C

    sur chacun des intervalles I=]-;-1[, ]-1;1[ ou ]1;+[.

  • (c)

    Soient λ et P4[X]. On a Φ(P)=λP si, et seulement si,

    P(X)=4X+(1+λ)X2-1P(X)

    c’est-à-dire si, et seulement si, la fonction polynomiale P est solution, par exemple sur ]1;+[, de l’équation différentielle

    y=4x+(1+λ)x2-1y.

    Or, moyennant une décomposition en éléments simples et passage à l’opposé de λ, cette équation est celle précédemment résolue et le problème est alors de déterminer pour quel paramètre -λ, la solution précédemment présentée est une fonction polynomiale de degré inférieur à 4. Les valeurs 3, 1, -1, -3, -5 conviennent et ce sont donc des valeurs propres de Φ. De plus, il ne peut y en avoir d’autres car dim4[X]=5. Les vecteurs propres associés à ces valeurs propres λ sont les polynômes

    C(X-1)5+λ2(X+1)3-λ2 avec C0.
 
Exercice 11  3125   

Soit n. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de l’endomorphisme11 1 On observe aisément que φ est un endomorphisme de n[X] car cette application est linéaire et l’on vérifie que φ transforme un polynôme de degré inférieur à n en un autre après une éventuelle simplification des termes Xn+1. φ de n[X] défini par

φ(P)=(X2-1)P-nXP.

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Édité le 08-11-2019

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