Exercice 1 4331

Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres des endomorphismes suivants:

(a)

$φ : P \mapsto X P^{'}$ endomorphisme de $ℝ [X]$ .
(b)

$ψ : P \mapsto X P$ endomorphisme de $ℂ [X]$ .
(c)

$T : (u_{n}) \mapsto (u_{n + 1})$ endomorphisme de l’espace $ℬ (ℕ, ℝ)$ des suites réelles bornées.
(d)

$u : M \mapsto M + tr (M) I_{n}$ endomorphisme de $ℳ_{n} (ℝ)$ (avec $n \geq 2$ ).

Exercice 2 5541 Correction

Soit $D$ l’endomorphisme de dérivation sur l’espace complexe $E = 𝒞^{\infty} (ℝ, ℂ)$ . Pour $λ \in ℂ$ , on note $e_{λ} : t \mapsto e^{λ t}$ qui est une fonction élément de $E$ .

(a)

Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de $D$ .
(b)

Justifier que la famille ${(e_{λ})}_{λ \in ℂ}$ est libre.

Solution

(a)

Soit $λ \in ℂ$ . Étudions l’équation

$D (f) = λ f$

d’inconnue $f \in E$ . Par résolution de l’équation différentielle linéaire $y^{'} = λ y$ , on sait que les solutions de l’équation $D (f) = λ f$ sont les fonctions

$f : t \mapsto α e^{λ t} avec α \in ℂ .$

Parmi celles-ci, il figure des éléments non nuls et l’on peut affirmer que tout $λ \in ℂ$ est valeur propre de $D$ d’espace propre associé $Vect (e_{λ})$ .
(b)

La famille ${(e_{λ})}_{λ \in ℂ}$ est libre car c’est une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes.

Exercice 3 3126 ENSTIM (MP)Correction

Soient $E = ℂ^{ℕ}$ et $f : E \to E$ l’application qui transforme une suite $u = (u_{n})$ en $v = (v_{n})$ définie par

v_{0} = u_{0} et v_{n} = \frac{u_{n} + u_{n - 1}}{2} pour tout n \in ℕ^{*} .

Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de $f$ .

Solution

Soient $λ \in ℂ$ et $u \in E$ . Étudions l’équation $f (u) = λ . u$ . On a

f (u) = λ . u \Leftrightarrow {\begin{matrix} (1 - λ) u_{0} & = 0 \\ \forall n \in ℕ^{*}, (2 λ - 1) u_{n} & = u_{n - 1} . \end{matrix}

Cas: $λ = 1$ .

f (u) = u \Leftrightarrow \forall n \in ℕ^{*}, u_{n} = u_{n - 1} .

On en déduit que $1$ est valeur propre de $f$ et que le sous-espace propre associé est formé des suites constantes.

Cas: $λ \neq 1$ .

f (u) = λ . u \Leftrightarrow {\begin{matrix} u_{0} & = 0 \\ \forall n \in ℕ^{*}, (2 λ - 1) u_{n} & = u_{n - 1} . \end{matrix}

Que $λ = 1 / 2$ ou non, on obtient

f (u) = λ . u \Leftrightarrow \forall n \in ℕ, . u_{n} = 0

et donc $λ$ n’est pas valeur propre.

Finalement, $1$ est la seule valeur propre de l’endomorphisme $f$ .

Exercice 4 770 Correction

Soient $E$ l’espace des suites réelles convergeant vers $0$ et $Δ : E \to E$ l’endomorphisme qui envoie $u \in E$ sur la suite $Δ (u)$ donnée par

Δ (u) (n) = u (n + 1) - u (n) pour tout n \in ℕ .

Déterminer les valeurs propres de $Δ$ et les sous-espaces propres associés.

Solution

Soit $λ \in ℝ$ . Étudions l’équation $Δ (u) = λ . u$ d’inconnue $u \in E$ .

Pour $u \in E$ ,

Δ (u) = λ . u \Leftrightarrow \forall n \in ℕ, u (n + 1) = (1 + λ) u (n) .

Ainsi,

Δ (u) = λ . u \Leftrightarrow \exists a \in ℝ, \forall n \in ℕ, u (n) = a {(1 + λ)}^{n} .

La suite $u$ de terme général $u (n) = a {(1 + λ)}^{n}$ est élément de $E$ si $a = 0$ (auquel il s’agit de la suite nulle) ou si $λ \in] - 2; 0 [$ et seulement dans ces cas.

On en déduit: Cas: $λ \notin] - 2; 0 [$ . $λ$ n’est pas valeur propre de $Δ$ .

Cas: $λ \in] - 2; 0 [$ . $λ$ est valeur propre de $Δ$ et le sous-espace propre associé est la droite $Vect {{({(1 + λ)}^{n})}_{n \in N}}$ .

Exercice 5 769 Correction

Soient $E = 𝒞^{0} (ℝ, ℝ)$ . Déterminer les valeurs propres de l’endomorphisme $I$ de $E$ qui à $f \in E$ associe sa primitive qui s’annule en $0$ .

Solution

Soient $λ \in ℝ$ et $f \in E$ .

Si $I (f) = λ f$ alors $I (f)$ est solution de l’équation différentielle

y = λ y^{'}

avec la condition initiale $y (0) = 0$ .

Cas: $λ = 0$ . On obtient directement $I (f) = 0$ .

Cas: $λ \neq 0$ . L’équation différentielle donne $I (f)$ de la forme $x \mapsto C e^{x / λ}$ et la condition initiale conduit à $I (f) = 0$ .

Dans les deux cas, $f = I {(f)}^{'} = 0$ . Ainsi, l’équation $I (f) = λ f$ ne possède pas d’autres solutions que la solution nulle. L’endomorphisme $I$ ne possède pas de valeurs propres.

Exercice 6 3063 MINES (MP)Correction

Soit $E$ l’espace des fonctions $f$ de classe $𝒞^{1}$ de $[0; + \infty [$ vers $ℝ$ vérifiant $f (0) = 0$ .

Pour un élément $f$ de $E$ , on pose $T (f)$ la fonction définie par

T (f) (0) = 0 et T (f) (x) = \int_{0}^{x} \frac{f (t)}{t} d t pour tout x > 0 .

(a)

Vérifier que $T$ est un endomorphisme de $E$ .
(b)

Déterminer les valeurs propres de $T$ .

Solution

(a)

Puisque $f$ est de classe $𝒞^{1}$ et que $f (0) = 0$ , on peut écrire

$f (t) \underset{t \to 0}{=} f^{'} (0) t + o (t) .$

Ainsi, la fonction $φ : t \mapsto f (t) / t$ peut être prolongée par continuité en $0$ et l’intégrale définissant $T (f) (x)$ a un sens en tant qu’intégrale d’une fonction continue. De plus, la fonction $T (f)$ apparaît alors comme la primitive s’annulant en $0$ de cette fonction continue $φ$ , c’est donc une fonction élément de $E$ . Enfin, la linéarité de l’application $T$ étant immédiate, on peut affirmer que $T$ est un endomorphisme de $E$ .
(b)

soient $λ \in ℝ$ et $f \in E$ .

Si $T (f) = λ f$ alors pour tout $x \in [0; + \infty [$ ,

$T (f) (x) = λ f (x) .$

En dérivant cette relation, on obtient pour tout $x \in [0; + \infty [$

$f (x) = λ x f^{'} (x) .$

Cas: $λ = 0$ . La fonction $f$ est nulle et $λ$ n’est pas valeur propre.

Cas: $λ \neq 0$ . La fonction $f$ est solution de l’équation différentielle $λ x y^{'} = y$ .

Cette dernière est une équation différentielle linéaire d’ordre $1$ homogène dont la solution générale sur $] 0; + \infty [$ est

$y (x) = C x^{1 / λ} .$

Ainsi, il existe $C \in ℝ$ tel que pour tout $x > 0$ ,

$f (x) = C x^{1 / λ} .$

Or, pour qu’une telle fonction puisse être prolongée en une fonction de classe $𝒞^{1}$ sur $[0; + \infty [$ , il faut $C = 0$ ou $1 / λ \geq 1$ . Ainsi, les valeurs propres de $T$ sont les éléments de l’intervalle $] 0; 1]$ .

Inversement, soient $λ \in] 0; 1]$ et la fonction $f_{λ} : x \mapsto x^{1 / λ}$ prolongée par continuité en $0$ . La fonction $f_{λ}$ est de classe $𝒞^{1}$ sur $[0; + \infty [$ , s’annule en $0$ et vérifie $T (f_{λ}) = λ f_{λ}$ sans être la fonction nulle.

Finalement, les valeurs propres de $T$ sont exactement les éléments de l’intervalle $] 0; 1]$ .

Exercice 7 771

Soit $E$ l’espace vectoriel des fonctions continues de $[0; + \infty [$ vers $ℝ$ . Pour tout $f \in E$ , on définit une fonction $φ (f) : [0; + \infty [\to ℝ$ par

φ (f) (0) = f (0) et φ (f) (x) = \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f (t) d t pour tout x > 0 .

(a)

Montrer que $φ$ est un endomorphisme de $E$ .
(b)

Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de $φ$ .

Exercice 8 3467 Correction

Soit $E$ le $ℝ$ -espace vectoriel des fonctions continues de $[0; + \infty [$ vers $ℝ$ admettant une limite finie en $+ \infty$ .

Soit $T$ l’endomorphisme de $E$ qui à $f \in E$ associé $T (f)$ donné par

\forall x \in [0; + \infty [, T (f) (x) = f (x + 1) .

Déterminer les valeurs propres de $T$ et les vecteurs propres associés.

Solution

Soient $λ$ un réel et $f$ une fonction élément de $E$ .

Si $T (f) = λ f$ alors

\forall x \in [0; + \infty [, f (x + 1) = λ f (x) .

En passant cette relation à la limite quand $x \to + \infty$ , on obtient

ℓ = λ ℓ

en notant $ℓ$ la limite de $f$ en $+ \infty$ .

Cas: $ℓ \neq 0$ . Nécessairement, $λ = 1$ et

\forall x \in [0; + \infty [, f (x + 1) = f (x) .

Puisque la fonction $f$ est périodique et admet une limite finie en $+ \infty$ , elle est constante.

Inversement, toute fonction constante non nulle est vecteur propre associé à la valeur propre $1$ .

Cas: $ℓ = 0$ . Si $λ$ est valeur propre alors en introduisant $f$ vecteur propre associé, il existe $x_{0} \in [0; + \infty [$ tel que $f (x_{0}) \neq 0$ et la relation $T (f) = λ f$ donne par récurrence

\forall n \in ℕ, f (x_{0} + n) = λ^{n} f (x_{0}) .

En faisant tendre $n$ vers $+ \infty$ , on obtient $| λ | < 1$ .

Inversement, supposons $| λ | < 1$ . Si $T (f) = λ f$ alors

f (1) = λ f (0) et \forall n \in ℕ, \forall x \in [0; 1 [, f (x + n) = λ^{n} f (x) .

La fonction $f$ est donc entièrement déterminée par sa restriction continue sur $[0; 1]$ vérifiant $f (1) = λ f (0)$ .

Inversement, si $φ : [0; 1] \to ℝ$ est une fonction continue sur $[0; 1]$ vérifiant $φ (1) = λ φ (0)$ alors la fonction $f$ donnée par

\forall n \in ℕ, \forall x \in [0; 1 [, f (x + n) = λ^{n} φ (x)

et continue (on vérifie la continuité en $k \in ℕ^{*}$ par continuité à droite et à gauche), tend vers $0$ en $+ \infty$ et vérifie $T (f) = λ f$ .

Puisqu’il est possible de construire une fonction non nulle de la sorte, le scalaire $λ \in] - 1; 1 [$ est valeur propre et les vecteurs propres associés sont les fonctions non nulles de la forme précédente.

Exercice 9 2700 MINES (MP)Correction

Soit $E = 𝒞 ([0; 1], ℝ)$ . Pour $f \in E$ , on définit $T (f) : [0; 1] \to ℝ$ par

T (f) (x) = \int_{0}^{1} \min (x, t) f (t) d t pour tout x \in [0; 1] .

(a)

Vérifier que $T$ est un endomorphisme de $E$ .
(b)

Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de $T$ .

Solution

(a)

Pour $x \in [0; 1]$ , on peut écrire

$T (f) (x) = \int_{0}^{x} t f (t) d t + x \int_{x}^{1} f (t) d t .$

L’application $T (f)$ apparaît alors comme continue (et même dérivable).

Ainsi, l’application $T$ opère de $E$ dans $E$ , elle de surcroît évidemment linéaire.
(b)

Soient $λ \in ℝ$ et $f \in E$ vérifiant $T (f) = λ f$ .

Cas: $λ = 0$ . On a $T (f) = 0$ donc

$\int_{0}^{x} t f (t) d t + x \int_{x}^{1} f (t) d t = 0 .$

En dérivant, on obtient

$x f (x) - x f (x) + \int_{x}^{1} f (t) d t = \int_{x}^{1} f (t) d t = 0 .$

En dérivant à nouveau, on obtient $f = 0$ . Ainsi, $0$ n’est pas valeur propre de $T$ .

Cas: $λ \neq 0$ . On a $T (f) = λ f$ soit

$\int_{0}^{x} t f (t) d t + x \int_{x}^{1} f (t) d t = λ f (x) pour tout x \in [0; 1] .$

En particulier, on peut affirmer que $f (0) = 0$ car $T (f) (0) = 0$ .

Le premier membre de l’équation $T (f) = λ f$ est dérivable et la fonction $f$ est donc également dérivable. En dérivant, on obtient la relation

$\int_{x}^{1} f (t) d t = λ f^{'} (x) .$

En particulier, $f^{'} (1) = 0$ .

Le premier membre de cette nouvelle équation étant dérivable, la fonction $f$ est deux fois dérivable et l’on obtient en dérivant à nouveau l’équation différentielle

$λ f^{''} (x) + f (x) = 0 .$

Sous-cas: $λ < 0$ . Sachant $f (0) = 0$ , la résolution de l’équation différentielle donne

$f (x) = A sh (\frac{x}{\sqrt{| λ |}}) .$

La condition $f^{'} (1) = 0$ entraîne toujours $f = 0$ et donc un tel $λ$ n’est pas valeur propre de $T$ .

Sous-cas: $λ > 0$ . Sachant $f (0) = 0$ , on obtient par résolution de l’équation différentielle

$f (x) = A \sin (\frac{x}{\sqrt{λ}}) .$

La condition $f^{'} (1) = 0$ n’entraînera pas $f = 0$ que si

$\cos (\frac{1}{\sqrt{λ}}) = 0$

c’est-à-dire si, et seulement si,

$λ = \frac{4}{{((2 k + 1) π)}^{2}} avec k \in ℕ^{*} .$

Notons qu’alors il est possible de remonter les précédents calculs et d’affirmer que

$f : x \mapsto \sin (\frac{(2 k + 1) π x}{2})$

est vecteur propre associé à la valeur propre $λ = 4 / {((2 k + 1) π)}^{2}$ .

Exercice 10 2577 CCINP (MP)Correction

(a)

Montrer que $Φ$ , qui à $P$ associe

$(X^{2} - 1) P^{'} (X) - (4 X + 1) P (X)$

est un endomorphisme de $ℝ_{4} [X]$ .
(b)

Résoudre l’équation différentielle

$y^{'} = (\frac{5 - λ}{2 (x - 1)} + \frac{3 + λ}{2 (x + 1)}) y .$
(c)

En déduire les valeurs propres et les vecteurs propres de $Φ$ .

Solution

(a)

L’application $Φ$ est évidemment linéaire, il reste à voir qu’elle est à valeurs dans $ℝ_{4} [X]$ .

Pour un polynôme $P$ de degré inférieur à $4$ , le polynôme $(X^{2} - 1) P^{'} (X) - (4 X + 1) P (X)$ est de degré inférieur à $5$ et, si $a$ est le coefficient de $X^{4}$ dans $P$ , le coefficient de $X^{5}$ dans $Φ (P)$ est $4 a - 4 a = 0$ . Par suite, $Φ$ est bien à valeurs dans $ℝ_{4} [X]$ et c’est donc un endomorphisme de cet espace.
(b)

L’équation

$y^{'} = (\frac{5 - λ}{2 (x - 1)} + \frac{3 + λ}{2 (x + 1)}) y$

est une équation différentielle linéaire d’ordre $1$ de solution générale

$y (x) = C {| x - 1 |}^{(5 - λ) / 2} {| x + 1 |}^{(3 + λ) / 2} avec C \in ℝ$

sur chacun des intervalles $I =] - \infty; - 1 [$ , $] - 1; 1 [$ ou $] 1; + \infty [$ .
(c)

Soient $λ \in ℝ$ et $P \in ℝ_{4} [X]$ . On a $Φ (P) = λ P$ si, et seulement si,

$P^{'} (X) = \frac{4 X + (1 + λ)}{X^{2} - 1} P (X)$

c’est-à-dire si, et seulement si, la fonction polynomiale $P$ est solution, par exemple sur $] 1; + \infty [$ , de l’équation différentielle

$y^{'} = \frac{4 x + (1 + λ)}{x^{2} - 1} y .$

Or, moyennant une décomposition en éléments simples et passage à l’opposé de $λ$ , cette équation est celle précédemment résolue et le problème est alors de déterminer pour quel paramètre $- λ$ , la solution précédemment présentée est une fonction polynomiale de degré inférieur à $4$ . Les valeurs $3$ , $1$ , $- 1$ , $- 3$ , $- 5$ conviennent et ce sont donc des valeurs propres de $Φ$ . De plus, il ne peut y en avoir d’autres car $dim ℝ_{4} [X] = 5$ . Les vecteurs propres associés à ces valeurs propres $λ$ sont les polynômes

$C {(X - 1)}^{\frac{5 + λ}{2}} {(X + 1)}^{\frac{3 - λ}{2}} avec C \neq 0 .$

Exercice 11 3125

Soit $n \in ℕ$ . Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de l’endomorphisme¹¹ 1 On observe aisément que $φ$ est un endomorphisme de $ℝ_{n} [X]$ car cette application est linéaire et l’on vérifie que $φ$ transforme un polynôme de degré inférieur à $n$ en un autre après une éventuelle simplification des termes $X^{n + 1}$ . $φ$ de $ℝ_{n} [X]$ défini par

φ (P) = (X^{2} - 1) P^{'} - n X P .

Exercice 12 2592 MINES (MP)Correction

Soient $E = 𝒞^{\infty} (ℝ, ℝ)$ et $T$ l’endomorphisme de $E$ déterminé par

T (f) (x) = f (p x + q)

où $p$ et $q$ sont deux réels strictement positifs tels que $p + q = 1$ .

(a)

Montrer que les valeurs propres de $T$ appartiennent à $] - 1; 1] ∖ {0}$ .
(b)

Soit $f$ une fonction propre pour $T$ . Montrer qu’il existe $k \in ℕ$ tel que $f^{(k)} = 0$ .
(c)

Déterminer les éléments propres de $T$ .

Solution

(a)

Soient $λ$ une valeur propre de $T$ et $f$ un vecteur propre associé. Pour tout $x \in ℝ$ ,

$f (p x + q) = λ f (x)$

Cas: $λ = 0$ . On a $f (p x + q) = 0$ . Pour tout $x \in ℝ$ . L’application $x \mapsto p x + q$ réalisant une bijection de $ℝ$ vers $ℝ$ , on obtient $f (y) = 0$ pour tout $y \in ℝ$ . C’est absurde, le réel $0$ ne peut pas être valeur propre de $f$ .

Cas: $λ \neq 0$ . Soit $x_{0} \in ℝ$ tel que $f (x_{0}) \neq 0$ . Considérons la suite déterminée par

$x_{n + 1} = p x_{n} + q pour tout n \in ℕ$

Puisque $p \in] 0; 1 [$ , on établit que la suite $(x_{n})$ converge vers le réel $ℓ$ solution de l’équation $ℓ = p ℓ + q$ . Or $f (x_{n + 1}) = λ f (x_{n})$ pour tout $n \in ℕ$ . La suite $(f (x_{n}))$ est donc géométrique de raison $λ$ . Celle-ci n’est pas identiquement nulle et, par continuité de $f$ , cette suite doit aussi admettre une limite finie, à savoir $f (ℓ)$ . Nécessairement $| λ | < 1$ ou $λ = 1$ .
(b)

Notons $λ$ la valeur propre associée à $f$ . On a

$f (p x + q) = λ f (x)$

Par dérivation,

$p f^{'} (p x + q) = λ f^{'} (x) c’est-à-dire p T (f^{'}) = λ f^{'}$

et plus généralement

$p^{k} f^{(k)} (p x + q) = λ f^{(k)} (x) c’est-à-dire p^{k} T (f^{(k)}) = λ f^{(k)}$

S’il n’existe pas de $k \in ℕ$ tel que $f^{(k)} = 0$ alors les réels $λ / p^{k}$ sont valeurs propres de $T$ pour tout $k \in ℕ$ . Or

$\frac{λ}{p^{k}} \to_{k \to + \infty}^{} \pm \infty$

C’est absurde car les valeurs propres de $T$ sont bornées.
(c)

Soient $λ$ une valeur propre de $T$ et $f$ une fonction propre associée. Il existe $k \in ℕ$ tel que $f^{(k)} = 0$ et la fonction $f$ est donc polynomiale. On peut donc introduire $a_{0}, \dots, a_{N} \in ℝ$ tels que

$\forall x \in ℝ, f (x) = a_{N} x^{N} + \dots + a_{1} x + a_{0} avec N = \deg (f) et a_{N} \neq 0$

L’identification des coefficients dominants des deux polynômes de l’égalité $T (f) = λ f$ donne

$a_{N} p^{N} = λ a_{N}$

et donc $λ = p^{N}$ .

Aussi, pour¹¹ 1 Pour « trouver » l’expression de $f_{N}$ , on peut commencer par le cas $N = 1$ puis considérer des primitives s’annulant en $ℓ$ par inspiration de ce qui précède.

$f_{N} (x) = a_{N} {(x - \frac{q}{1 - p})}^{N} avec a_{N} \neq 0$

on observe $T (f_{N}) = p^{N} f_{N}$ avec $f_{N} \neq 0$ .

On peut donc affirmer que les $p^{N}$ avec $N \in ℕ$ sont des valeurs propres de $T$ et que les $f_{N}$ sont des vecteurs propres associés. Au surplus, il ne peut y avoir d’autres vecteurs propres. En effet, l’espace $E_{N} = ℝ_{N} [X]$ est stable par $T$ et l’endomorphisme $T_{N}$ induit par $T$ sur $E_{N}$ possède $N + 1 = dim E_{N}$ valeurs propres, ses sous-espaces propres sont donc des droites vectorielles.

[<] Éléments propres d'un endomorphisme [>] Polynômes caractéristiques

Édité le 29-08-2023

Détermination des éléments propres d'un endomorphisme