[<] Matrices semblables [>] Détermination des éléments propres d'un endomorphisme

 
Exercice 1  762  Correction  

Soient f un endomorphisme d’un 𝕂-espace vectoriel et n*. On suppose que 0 est valeur propre de fn. Montrer que 0 est valeur propre de f.

Solution

Rappelons que 0 est valeur propre d’un endomorphisme si, et seulement si, celui-ci n’est pas injectif.

Si 0 est valeur propre de fn alors l’endomorphisme fn n’est pas injectif et donc f ne peut pas l’être non plus (en effet, la composée d’injections est une injection). Cela entraîne que 0 est valeur propre de f.

 
Exercice 2  763  Correction  

Soit f un endomorphisme d’un 𝕂-espace vectoriel E de dimension finie.

Montrer

0Sp(f)f surjectif .

Solution

En vertu du théorème d’isomorphisme,

0Sp(f) f non injectif
f non surjectif.
 
Exercice 3  764  Correction  

Soit u un automorphisme d’un 𝕂-espace vectoriel E.

Déterminer les valeurs propres de u-1 en fonction des valeurs propres de u.

Solution

Si λ est valeur propre de u alors il existe x0E vérifiant u(x)=λ.x. En appliquant u-1, on obtient x=λu-1(x).
Puisque x0E, λ0 et l’on peut écrire u-1(x)=1λ.x donc 1λ est valeur propre de u-1. Ainsi, les inverses des valeurs propres de u figurent parmi les valeurs propres de u-1

L’autre inclusion s’obtient par symétrie et l’on peut donc affirmer que les valeurs propres de u-1 sont exactement les inverses des valeurs propres de u (avec ces dernières non nulles).

 
Exercice 4  765  Correction  

Soient E un 𝕂-espace vectoriel, u(E), aGL(E) et v=aua-1.

  • (a)

    Pour λ𝕂, comparer les espaces Eλ(u) et Eλ(v).

  • (b)

    Montrer que u et v ont les mêmes valeurs propres.

Solution

  • (a)

    Pour λ𝕂 et xE,

    xEλ(v) u(a-1(x))=λa-1(x)
    a-1(x)Eλ(u)
    xa(Eλ(u)).

    Ainsi,

    Eλ(v)=a(Eλ(u)).
  • (b)

    Puisque a est un automorphisme, on peut affirmer Eλ(v){0} si, et seulement si, Eλ(u){0}. Ainsi, les endomorphismes u et v admettent les mêmes valeurs propres.

 
Exercice 5  42     CCP (MP)Correction  

Soient u, v deux endomorphismes d’un espace vectoriel réel E.

  • (a)

    Si un réel λ0 est valeur propre de uv, montrer qu’il l’est aussi de vu.

  • (b)

    Pour PE=[X], on pose

    u(P)=P et v(P)=0XP(t)dt

    ce qui définit des endomorphismes de E. Déterminer

    Ker(uv) et Ker(vu).
  • (c)

    Montrer que la propriété de la première question reste valable pour λ=0 si l’espace E est de dimension finie.

Solution

  • (a)

    Il existe x0E, vérifiant

    u(v(x))=λx.

    On a alors

    (vu)(v(x))=λv(x).

    Or v(x)0E car u(v(x))0E et u(0E)=0E.
    On en déduit que λ est valeur propre de vu.

  • (b)

    On observe

    uv(P)=Petvu(P)=P-P(0).

    On en déduit

    Ker(uv)={0}etKer(vu)=0[X].

    En substance, la propriété précédente ne vaut pas pour λ=0 en dimension quelconque.

  • (c)

    Cependant, en dimension finie, si 0 est valeur propre de uv alors det(uv)=0 et donc det(vu)=0 d’où 0 valeur propre de vu.

 
Exercice 6  766   Correction  

Soit u un endomorphisme d’un 𝕂-espace vectoriel E tel que tout vecteur non nul en soit vecteur propre.

Montrer que u est une homothétie vectorielle.

Solution

On a la propriété

x0E,λx𝕂,u(x)=λx.x.

Montrons que xλx est une fonction constante sur E{0}.

Soient x,y0E.

Cas: (x,y) est une famille libre. L’égalité u(x+y)=u(x)+u(y) donne λx+y.(x+y)=λx.x+λy.y. Par liberté de (x,y), on obtient λx=λx+y=λy.

Cas: (x,y) est une famille liée. On peut écrire y=μ.x et donc u(y)=μ.u(x)=λxμ.x=λx.y puis λy=λx par non-nullité de y.

Ainsi, xλx est une fonction constante. En posant λ la valeur de cette constante, on a u(x)=λ.x pour tout xE qu’il soit nul ou non.

[<] Matrices semblables [>] Détermination des éléments propres d'un endomorphisme



Édité le 08-11-2019

Bootstrap Bootstrap 3 - LaTeXML [LOGO] - Powered by MathJax Powered by MathJax