Rappelons que $0$ est valeur propre d’un endomorphisme si, et seulement si, celui-ci n’est pas injectif.

Si $0$ est valeur propre de $f^n$ alors l’endomorphisme $f^n$ n’est pas injectif et donc $f$ ne peut pas l’être non plus (en effet, la composée d’injections est une injection). Cela entraîne que $0$ est valeur propre de $f$.

En vertu du théorème d’isomorphisme,

Si $\lambda$ est valeur propre de $u$ alors il existe $x\ne 0_E$ vérifiant $u(x)=\lambda .x$. En appliquant $u^{-1}$, on obtient $x=\lambda u^{-1}(x)$.
Puisque $x\ne 0_E$, $\lambda \ne 0$ et l’on peut écrire $u^{-1}(x)=\frac{1}{\lambda }.x$ donc $\frac{1}{\lambda }$ est valeur propre de $u^{-1}$. Ainsi, les inverses des valeurs propres de $u$ figurent parmi les valeurs propres de $u^{-1}$

L’autre inclusion s’obtient par symétrie et l’on peut donc affirmer que les valeurs propres de $u^{-1}$ sont exactement les inverses des valeurs propres de $u$ (avec ces dernières non nulles).

• (a)

  Pour $\lambda \in 𝕂$ et $x\in E$,

  	$x\in E_{\lambda }(v)$	$\iff u(a^{-1}(x))=\lambda a^{-1}(x)$
  		$\iff a^{-1}(x)\in E_{\lambda }(u)$
  		$\iff x\in a(E_{\lambda }(u))\text{.}$

  Ainsi,

  $$E_{\lambda }(v)=a\left(E_{\lambda }(u)\right)\text{.}$$

• (b)

  Puisque $a$ est un automorphisme, on peut affirmer $E_{\lambda }(v)\ne \{0\}$ si, et seulement si, $E_{\lambda }(u)\ne \{0\}$. Ainsi, les endomorphismes $u$ et $v$ admettent les mêmes valeurs propres.

• (a)

  Il existe $x\ne 0_E$, vérifiant

  $$u\left(v(x)\right)=\lambda x\text{.}$$

  On a alors

  $$(v\circ u)\left(v(x)\right)=\lambda v(x)\text{.}$$

  Or $v(x)\ne 0_E$ car $u(v(x))\ne 0_E$ et $u(0_E)=0_E$.
  On en déduit que $\lambda$ est valeur propre de $v\circ u$.

• (b)

  On observe

  $$u\circ v(P)=P\mathit{\hspace{1em}}\text{et}\mathit{\hspace{1em}}v\circ u(P)=P-P(0)\text{.}$$

  On en déduit

  $$\mathrm{Ker}(u\circ v)=\{0\}\mathit{\hspace{1em}}\text{et}\mathit{\hspace{1em}}\mathrm{Ker}(v\circ u)={ℝ}_0[X]\text{.}$$

  En substance, la propriété précédente ne vaut pas pour $\lambda =0$ en dimension quelconque.

• (c)

  Cependant, en dimension finie, si $0$ est valeur propre de $u\circ v$ alors $\det (u\circ v)=0$ et donc $\det (v\circ u)=0$ d’où $0$ valeur propre de $v\circ u$.

On a la propriété

Montrons que $x\mapsto {\lambda }_x$ est une fonction constante sur $E\setminus \{0\}$.

Soient $x,y\ne 0_E$.

Cas: $(x,y)$ est une famille libre. L’égalité $u(x+y)=u(x)+u(y)$ donne ${\lambda }_{x+y}.(x+y)={\lambda }_x.x+{\lambda }_y.y$. Par liberté de $(x,y)$, on obtient ${\lambda }_x={\lambda }_{x+y}={\lambda }_y$.

Cas: $(x,y)$ est une famille liée. On peut écrire $y=\mu .x$ et donc $u(y)=\mu .u(x)={\lambda }_x\mu .x={\lambda }_x.y$ puis ${\lambda }_y={\lambda }_x$ par non-nullité de $y$.

Ainsi, $x\mapsto {\lambda }_x$ est une fonction constante. En posant $\lambda$ la valeur de cette constante, on a $u(x)=\lambda .x$ pour tout $x\in E$ qu’il soit nul ou non.