[<] Détermination des éléments propres d'un endomorphisme [>] Calcul de polynômes caractéristiques

 
Exercice 1  778  Correction  
  • (a)

    Montrer que deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique.

  • (b)

    Que dire de la réciproque?

Solution

  • (a)

    Soient A,Bn(𝕂). Si B=P-1AP avec PGLn(𝕂) alors

    χB(λ)=det(λIn-B)=det(λP-1P-P-1AP)=χA(λ).
  • (b)

    Pour n=1, l’égalité des polynômes caractéristiques équivaut à l’égalité des matrices.

    Pour n2, considérons Inversement,

    A=(0100)etB=(0000)

    Les matrices A et B ne sont pas semblables (elles n’ont pas le même rang) mais ont même polynôme caractéristique (à savoir Xn).

 
Exercice 2  779  Correction  

Soit F un sous-espace vectoriel stable par un endomorphisme u d’un 𝕂-espace vectoriel E de dimension finie.
Établir que le polynôme caractéristique de l’endomorphisme induit par u sur F divise le polynôme caractéristique de u.

Solution

Soit G un supplémentaire de F. Dans une base adaptée à la décomposition E=FG, la matrice de u est triangulaire supérieure par blocs et en calculant le polynômes caractéristique de u par cette matrice on obtient immédiatement la propriété demandée.

 
Exercice 3  780  Correction  

Soit An() inversible de polynôme caractéristique χA.
Établir que pour tout x réel non nul,

χA-1(x)=xnχA(0)χA(1x).

Solution

Pour x*,

χA-1(x)=det(xIn-A-1)=det(A-1)det(xA-In)=(-x)ndet(A)det(1xIn-A).

Or det(A)=(-1)nχA(0) donc

χA-1(x)=xnχA(0)χA(1x).
 
Exercice 4  781   Correction  

Soient A,Bn(). On désire établir l’égalité des polynômes caractéristiques

χAB=χBA.
  • (a)

    Établir l’égalité quand AGLn().

  • (b)

    Pour AGLn(), justifier que pour p assez grand A+1pInGLn().

  • (c)

    En déduire que l’égalité voulue est encore vraie pour A non inversible.

Solution

  • (a)

    Pour x,

    det(xIn-AB)=det(A)det(xA-1-B)=det(xA-1-B)det(A)=det(xIn-BA)

    donc

    χAB(x)=χBA(x).
  • (b)

    La matrice A+1pIn n’est pas inversible seulement si -1/p est valeur propre de A. Puisque la matrice A ne possède qu’un nombre fini de valeurs propres, pour p assez grand on est sûr que A+1pInGLn().

  • (c)

    Comme vu ci-dessus, pour x,

    χ(A+1pIn)B(x)=χB(A+1pIn)(x).

    En passant à la limite quand p+, on obtient χAB(x)=χBA(x).

    Cela valant pour tout x, les polynômes χAB et χBA sont égaux.

 
Exercice 5  4352   

Soient A et B deux matrices de n(𝕂) et λ𝕂. En multipliant à droite et à gauche la matrice

M=(λInABIn)2n(𝕂)

par des matrices triangulaires par blocs convenables, établir11 1 On trouvera une autre démonstration de cette égalité dans le sujet 5246. χAB=χBA.

 
Exercice 6  2697     MINES (MP)Correction  

Soit (A,B)p,q()×q,p(). Montrer que

XqχAB(X)=XpχBA(X).

On pourra commencer par le cas où

A=(Ir000).

Solution

Dans le cas où

A=Jr=(Ir000)

la propriété est immédiate en écrivant

B=(CDEF)

avec C bloc carré de taille r.
Dans le cas général, on peut écrire A=QJrP avec r=rg(A) et P,Q inversibles.

XqχAB(X)=XqχQ-1ABQ(X)=XqχJrPBQ(X)

donc

XqχAB(X)=XpχPBQJr(X)=XpχBQJrP(X)=XpχBA(X).
 
Exercice 7  1109  Correction  

Soient A,Bn(𝕂) et p*. Établir

χ(AB)p=χ(BA)p.

Solution

Il est bien connu que

(M,N)n(𝕂)2,χMN=χNM.

On en déduit

χ(AB)p=χ(A(BA)p-1)B=χB(A(BA)p-1)=χ(BA)p.
 
Exercice 8  2901   Correction  

Soit An(). Montrer

χAA¯[X].

Solution

Pour λ,

χAA¯(λ)=det(λIn-AA¯)

En conjuguant,

χAA¯(λ)¯=det(λIn-A¯A)=χA¯A(λ).

Or, il est bien connu que pour A,Bn()

χAB=χBA.

On obtient donc

χAA¯(λ)¯=χAA¯(λ)

Le polynôme χAA¯-χAA¯ admet alors une infinité de racines, c’est le polynôme nul. Par conséquent,

χAA¯[X].
 
Exercice 9  2699     MINES (MP)Correction  

Soient A et B dans n(𝕂)(𝕂= ou ).

  • (a)

    Comparer Sp(B) et Sp(Bt).

  • (b)

    Soit Cn(𝕂). Montrer que s’il existe λ pour lequel AC=λC, alors Im(C)Ker(A-λIn).

  • (c)

    Soit λ une valeur propre commune à A et B. Montrer qu’il existe Cn(𝕂), C0, telle que AC=CB=λC.

  • (d)

    On suppose l’existence de Cn(𝕂) avec rg(C)=r et AC=CB. Montrer que le PGCD des polynômes caractéristiques de A et B est de degré r.

  • (e)

    Étudier la réciproque de (d).

Solution

  • (a)

    Sp(B)=Sp(Bt) car χB=χBt.

  • (b)

    Pour tout Xn,1(𝕂), A(CX)=λ(CX) donc CXKer(A-λIn).

  • (c)

    Soit X et Y des vecteurs propres de A et Bt associé à la valeur propre λ. La matrice C=XYt est solution.

  • (d)

    On peut écrire C=QJrP avec P,Q inversibles. La relation AC=CB donne Q-1AQJr=JrPBP-1.
    En écrivant les matrices Q-1AQ et PBP-1 par blocs, l’égalité Q-1AQJr=JrPBP-1 impose une décomposition en blocs triangulaire puis permet d’observer que χA=χQ-1AQ et χB=χPBP-1 ont un facteur commun de degré r, à savoir le polynôme caractéristique du bloc commun en position (1,1).

  • (e)

    La réciproque est assurément fausse en toute généralité. Pour r=n, deux matrices ayant même polynôme caractéristique ne sont pas nécessairement semblables.

 
Exercice 10  3476      ENS

Soient A,Bn(𝕂). On suppose qu’il existe M dans n(𝕂) de rang r tel que

AM=MB.

Montrer que le pgcd de χA et χB est de degré au moins r.

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Édité le 08-11-2019

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