• (a)

  Soient $A,B\in {ℳ}_n(𝕂)$. Si $B=P^{-1}AP$ avec $P\in {\mathrm{GL}}_n(𝕂)$ alors

  $${\chi }_B(\lambda )=\det (\lambda {\mathrm{I}}_n-B)=\det (\lambda P^{-1}P-P^{-1}AP)={\chi }_A(\lambda )\text{.}$$

• (b)

  Pour $n=1$, l’égalité des polynômes caractéristiques équivaut à l’égalité des matrices.

  Pour $n\ge 2$, considérons Inversement,

  $$A=\left(\begin{array}{cc}\hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill \end{array}\right)\mathit{\hspace{1em}}\text{et}\mathit{\hspace{1em}}B=\left(\begin{array}{cc}\hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill \end{array}\right)\text{.}$$

  Les matrices $A$ et $B$ ne sont pas semblables (elles n’ont pas le même rang) mais ont même polynôme caractéristique (à savoir $X^n$).

Soit $G$ un sous-espace vectoriel supplémentaire de $F$. Dans une base adaptée à la décomposition $E=F\oplus G$, la matrice de $u$ est triangulaire supérieure par blocs de la forme

$$M=\left(\begin{array}{cc}\hfill A\hfill & \hfill B\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill C\hfill \end{array}\right)$$

avec $A$ matrice figurant l’endomorphisme induit par $u$ sur $F$.

Par calcul d’un déterminant triangulaire par blocs,

$${\chi }_u={\chi }_M={\chi }_A{\chi }_C={\chi }_{u_F}{\chi }_C$$

Le polynôme caractéristique de l’endomorphisme induit par $u$ sur $F$ divise celui de $u$.

Pour $x\in {ℝ}^{*}$,

$${\chi }_{A^{-1}}(x)=\det (x{\mathrm{I}}_n-A^{-1})=\det \left(A^{-1}\right)\det (xA-{\mathrm{I}}_n)=\frac{{(-x)}^n}{\det (A)}\det \left(\frac{1}{x}{\mathrm{I}}_n-A\right)\text{.}$$

Or $\det (A)={(-1)}^n{\chi }_A(0)$ donc

$${\chi }_{A^{-1}}(x)=\frac{x^n}{{\chi }_A(0)}{\chi }_A\left(\frac{1}{x}\right)\text{.}$$

• (a)

  Pour $x\in ℂ$,

  $$\det (x{\mathrm{I}}_n-AB)=\det (A)\det (x{A}^{-1}-B)=\det (x{A}^{-1}-B)\det (A)=\det (x{\mathrm{I}}_n-BA)$$

  donc

  $${\chi }_{AB}(x)={\chi }_{BA}(x)\text{.}$$

• (b)

  La matrice $A+\frac{1}{p}{I}_n$ n’est pas inversible seulement si $-1/p$ est valeur propre de $A$. Puisque la matrice $A$ ne possède qu’un nombre fini de valeurs propres, pour $p$ assez grand on est sûr que $A+\frac{1}{p}{\mathrm{I}}_n\in {\mathrm{GL}}_n(ℂ)$.

• (c)

  Comme vu ci-dessus, pour $x\in ℂ$,

  $${\chi }_{(A+\frac{1}{p}{\mathrm{I}}_n)B}(x)={\chi }_{B(A+\frac{1}{p}{\mathrm{I}}_n)}(x)\text{.}$$

  En passant à la limite quand $p\to +\mathrm{\infty }$, on obtient ${\chi }_{AB}(x)={\chi }_{BA}(x)$.

  Cela valant pour tout $x\in ℂ$, les polynômes ${\chi }_{AB}$ et ${\chi }_{BA}$ sont égaux.

• (a)

  Par produit par blocs,

  $$UV=\left(\begin{array}{cc}\hfill \lambda {\mathrm{I}}_n\hfill & \hfill {\mathrm{O}}_n\hfill \\ \hfill -A\hfill & \hfill \lambda {\mathrm{I}}_n-AB\hfill \end{array}\right)\mathit{\hspace{1em}}\text{et}\mathit{\hspace{1em}}VU=\left(\begin{array}{cc}\hfill \lambda {\mathrm{I}}_n\hfill & \hfill {\mathrm{O}}_n\hfill \\ \hfill -\lambda A\hfill & \hfill \lambda {\mathrm{I}}_n-BA\hfill \end{array}\right)\text{.}$$

• (b)

  Les matrices $UV$ et $VU$ ont le même déterminant donc

  $${\lambda }^n\underset{\begin{array}{c}{\chi }_{AB}(\lambda )\end{array}}{\underbrace{\det (\lambda {\mathrm{I}}_n-AB)}}={\lambda }^n\underset{\begin{array}{c}{\chi }_{BA}(\lambda )\end{array}}{\underbrace{\det (\lambda {\mathrm{I}}_n-BA)}}\text{.}$$

  Pour $\lambda \ne 0$, il vient ${\chi }_{AB}(\lambda )={\chi }_{BA}(\lambda )$. On en déduit l’égalité des deux polynômes ${\chi }_{AB}$ et ${\chi }_{BA}$ puisque ceux-ci coïncident pour une infinité de valeurs.

Il est bien connu que

$$\forall (M,N)\in {ℳ}_n{(𝕂)}^2,{\chi }_{MN}={\chi }_{NM}\text{.}$$

On en déduit

$${\chi }_{{(AB)}^p}={\chi }_{(A{(BA)}^{p-1})B}={\chi }_{B(A{(BA)}^{p-1})}={\chi }_{{(BA)}^p}\text{.}$$

Pour $\lambda \in ℝ$,

$${\chi }_{A\overline{A}}(\lambda )=\det (\lambda {\mathrm{I}}_n-A\overline{A})\text{.}$$

En conjuguant,

$$\overline{{\chi }_{A\overline{A}}(\lambda )}=\det (\lambda {\mathrm{I}}_n-\overline{A}A)={\chi }_{\overline{A}A}(\lambda )\text{.}$$

Or, il est bien connu que pour $A,B\in {ℳ}_n(ℂ)$

$${\chi }_{AB}={\chi }_{BA}\text{.}$$

On obtient donc

$$\overline{{\chi }_{A\overline{A}}(\lambda )}={\chi }_{A\overline{A}}(\lambda )\text{.}$$

Le polynôme ${\chi }_{A\overline{A}}-{\chi }_{A\overline{A}}$ admet alors une infinité de racines, c’est le polynôme nul. Par conséquent,

$${\chi }_{A\overline{A}}\in ℝ[X]\text{.}$$

• (a)

  $\mathrm{Sp}(B)=\mathrm{Sp}(B^{\top })$ car ${\chi }_B={\chi }_{B^{\top }}$.

• (b)

  Pour tout $X\in {ℳ}_{n\mathrm{,1}}(𝕂)$, $A(CX)=\lambda (CX)$ donc $CX\in \mathrm{Ker}(A-\lambda {\mathrm{I}}_n)$.

• (c)

  Soit $X$ et $Y$ des vecteurs propres de $A$ et $B^{\top }$ associé à la valeur propre $\lambda$. La matrice $C=X{Y}^{\top }$ est solution.

• (d)

  On peut écrire $C=Q{J}_{r}P$ avec $P,Q$ inversibles. La relation $AC=CB$ donne $Q^{-1}AQ{J}_r=J_{r}PB{P}^{-1}$.
  En écrivant les matrices $Q^{-1}AQ$ et $PB{P}^{-1}$ par blocs, l’égalité $Q^{-1}AQ{J}_r=J_{r}PB{P}^{-1}$ impose une décomposition en blocs triangulaire puis permet d’observer que ${\chi }_A={\chi }_{Q^{-1}AQ}$ et ${\chi }_B={\chi }_{PB{P}^{-1}}$ ont un facteur commun de degré $\ge r$, à savoir le polynôme caractéristique du bloc commun en position (1,1).

• (e)

  La réciproque est assurément fausse en toute généralité. Pour $r=n$, deux matrices ayant même polynôme caractéristique ne sont pas nécessairement semblables.