[<] Diagonalisabilité [>] Diagonalisabilité d'une matrice par étude des éléments propres

 
Exercice 1  4339  

Soit u un endomorphisme d’un espace vectoriel réel E représenté dans une base =(e1,e2,e3) par la matrice

A=(01-1101110).
  • (a)

    Justifier que u est diagonalisable.

  • (b)

    Déterminer une base de diagonalisation de u.

 
Exercice 2  3776    CCP (MP)Correction  

Soient E un -espace vectoriel de dimension finie non nulle et e=(e1,,en) une base de E.

On considère l’endomorphisme f de E déterminé par

k{1,,n},f(ek)=ek+i=1nei.
  • (a)

    Donner la matrice de f dans e.

  • (b)

    Déterminer les sous-espaces propres de f.

  • (c)

    L’endomorphisme f est-il diagonalisable?

  • (d)

    Calculer le déterminant de f. L’endomorphisme f est-il inversible?

Solution

  • (a)

    On obtient

    Mate(f)=(2(1)(1)2).
  • (b)

    D’une part

    f(e1++en)=(n+1)(e1++en)

    et d’autre part, pour x=x1e1++xnen avec x1++xn=0 on a

    f(x)=x.

    On en déduit que 1 et n+1 sont valeurs propres de f et puisque la valeur propre 1 est associé à un hyperplan, il ne peut y avoir d’autres valeurs propres.
    En résumé Sp(f)={1,n+1} et

    E1(f)={x|x1++xn=0} et En+1(f)=Vect(e1++en).
  • (c)

    L’endomorphisme f est diagonalisable car

    dimE1(f)+dimEn+1(f)=n.
  • (d)

    Par les valeurs propres

    det(f)=(n+1)0

    et l’endomorphisme f est inversible…

 
Exercice 3  799  Correction  

Soit u un endomorphisme d’un 𝕂-espace vectoriel de dimension finie E.
On suppose que

Im(u-IdE)Im(u+IdE)={0E}.

Montrer que u est diagonalisable.

Solution

Puisque Im(u-IdE)Im(u+IdE)={0E}, on a

rg(u-IdE)+rg(u+IdE)dimE.

Par la formule du rang,

dimKer(u-IdE)+dimKer(u+IdE)dimE.

On en déduit que u est diagonalisable de valeurs propres possibles 1 et -1.

 
Exercice 4  801  Correction  

Soit E=n[X]. Pour PE, on pose

φ(P)=(X2-1)P′′(X)+2XP(X)
  • (a)

    Montrer que φ définit un endomorphisme de E.

  • (b)

    Former la matrice de φ relative à la base canonique de E.

  • (c)

    En déduire la diagonalisabilité de φ ainsi que ses valeurs propres et la dimension des sous-espaces propres associés.

Solution

  • (a)

    L’application φ est clairement linéaire de [X] vers lui-même. De plus, si deg(P)n, il est aisé d’observer que deg(φ(P))n. On peut donc conclure que φ est un endomorphisme de n[X].

  • (b)

    Pour tout k{0,,n},

    φ(Xk)=k(k+1)Xk-k(k-1)Xk-2

    Cela permet de former la représentation matricielle souhaitée.

  • (c)

    On constate que la matrice de φ est triangulaire de coefficients diagonaux 0,,k(k+1),,n(n+1) deux à deux distincts. Il est ensuite aisé de calculer le polynôme caractéristique de φ et de conclure que φ est diagonalisable car admet exactement n+1=dimE valeurs propres qui sont 0,,k(k+1),,n(n+1). De plus, les sous-espaces propres de φ sont de dimension 1.

 
Exercice 5  800   Correction  

Soit E=n[X]. Pour PE, on pose

φ(P)=P-(X+1)P.
  • (a)

    Justifier que φ définit un endomorphisme de n[X].

  • (b)

    Déterminer les valeurs propres de φ et justifier que φ est diagonalisable.

Solution

  • (a)

    φ est clairement linéaire et à valeurs dans E.

  • (b)

    Pour k0;n,

    φ(Xk)=Xk-k(X+1)Xk-1=(1-k)Xk-kXk-1.

    La matrice de φ dans la base canonique de E est triangulaire supérieure. Les coefficients diagonaux sont alors les racines du polynôme caractéristique et ce sont donc les valeurs propres de φ à savoir 1,0,-1,,(1-n). Cela détermine n+1=dimE valeurs propres distinctes, l’endomorphisme φ est donc diagonalisable (et ses sous-espaces propres sont des droites vectorielles).

 
Exercice 6  802   Correction  

Soient E=n[X] et deux réels ab. Pour PE, on pose

φ(P)=(X-a)(X-b)P-nXP.
  • (a)

    Montrer que φ est un endomorphisme de E.

  • (b)

    Déterminer les valeurs propres de φ et en déduire que φ est diagonalisable.

Solution

  • (a)

    Si deg(P)n-1, il est clair que φ(P)E.
    Si deg(P)=n après simplification des termes en Xn+1, on obtient que φ(P)E.
    La linéarité de φ est claire et donc on peut conclure que φ est un endomorphisme.

  • (b)

    La matrice de φ dans la base canonique est tridiagonale et peu pratique.
    Formons plutôt la matrice de φ dans la base des (X-a)k

    φ((X-a)k)=k(X-a)k(X-b)-nX(X-a)k

    donc

    φ((X-a)k)=(k-n)(X-a)k+1+(k(a-b)-na)(X-a)k

    et cette fois-ci la matrice de φ est triangulaire inférieure à coefficients diagonaux distincts:

    -nb,-(a+(n-1)b),-(2a+(n-2)b),,-((n-1)a+b),-na

    qui sont les valeurs propres de φ. Puisque φ admet n+1 valeurs propres distinctes et que dimE=n+1, on peut conclure que φ est diagonalisable

 
Exercice 7  2511     CCP (MP)Correction  

Soient E=n[X] (avec n2) et a. Pour PE, on pose

ϕ(P)(X)=(X-a)(P(X)-P(a))-2(P(X)-P(a))
  • (a)

    Montrer que ϕ définit un endomorphisme de n[X].

  • (b)

    À l’aide de la formule de Taylor, déterminer l’image et le noyau de ϕ.

  • (c)

    Trouver les éléments propres de Φ. Cet endomorphisme est-il diagonalisable?

Solution

  • (a)

    La linéarité est immédiate et sans peine deg(ϕ(P))n pour Pn[X].

  • (b)

    On a

    P(X)=k=0nP(k)(a)k!(X-a)k.
    P(X)=k=1nP(k)(a)(k-1)!(X-a)k-1

    puis

    ϕ(P)(X)=k=2nP(k)(a)(k-1)!(X-a)k-2k=1nP(k)(a)k!(X-a)k

    donc

    ϕ(P)(X)=k=3n(k-2)P(k)(a)k!(X-a)k-2P(a)(X-a).

    Ainsi,

    PKer(ϕ)P(a)=0 et 3kn,P(k)(a)=0

    et donc

    Ker(ϕ)=Vect(1,(X-a)2).

    Aussi,

    PIm(ϕ)P(a)=P′′(a)=0

    et donc

    Im(ϕ)=(X-a)3n-3[X]+Vect(X-a).
  • (c)

    On a

    ϕ(P)=λP{0=λP(a)-2P(a)=λP(a)(k-2)P(k)(a)=λP(k)(a) pour k{2,,n}.

    Cette équation possède une solution non nulle si, et seulement si, λ=0, λ=-2 ou λ=k-2 avec k{2,,n}.

    Ainsi,

    Sp(ϕ)={-2,0,1,,n-2}.

    On a

    E-2(ϕ)=Vect(X-a),E0(ϕ)=Ker(ϕ),Ek-2(ϕ)=Vect(X-a)k

    pour k{3,,n}. La somme des dimensions des sous-espaces propres valant dimn[X], l’endomorphisme est diagonalisable.

    En fait, la base des (X-a)k est une base de diagonalisation de l’endomorphisme ϕ.

 
Exercice 8  4987   

Soient A[X] et x0,x1,,xn des réels deux à deux distincts. On étudie l’application f qui associe à un polynôme P de n[X] le reste de la division euclidienne de AP par B=(X-x0)(X-x1)(X-xn).

  • (a)

    Vérifier que f est un endomorphisme de n[X].

  • (b)

    Déterminer les valeurs propres de f ainsi que les espaces propres associés.

  • (c)

    L’endomorphisme f est-il diagonalisable?

 
Exercice 9  803  Correction  

Étudier la diagonalisabilité de l’endomorphisme ϕ de n() défini par

ϕ(M)=M+tr(M).In.

Solution

Si M appartient à l’hyperplan des matrices de trace nulle alors ϕ(M)=M et donc ME1(ϕ).

Ainsi, l’espace E1(ϕ) est de dimension au moins égale à n2-1.

De plus, ϕ(In)=(n+1)In donc l’espace propre En+1(ϕ) est de dimension au moins égale à 1.

Puisque la somme des dimensions des sous-espaces propres est au moins égale à n2=dimn(), l’endomorphisme ϕ est diagonalisable (et les inégalités précédentes étaient des égalités).

 
Exercice 10  810  Correction  

Soient D=diag(λ1,,λn) et φ:MDM-MD endomorphisme de n(𝕂).

  • (a)

    Calculer φ(Ei,j)Ei,j désigne la matrice élémentaire d’indice (i,j) de n(𝕂).
    Quelle particularité présente la matrice de φ relativement à la base canonique de n(𝕂)?

  • (b)

    Soit f un endomorphisme diagonalisable d’un 𝕂-espace vectoriel E de dimension finie.
    L’endomorphisme ϕ:ufu-uf de (E) est-il diagonalisable?

Solution

  • (a)

    φ(Ei,j)=(λi-λj)Ei,j. La matrice de φ relative à la base canonique de n(𝕂) est diagonale.

  • (b)

    Soit une base de E dans laquelle l’endomorphisme f est représenté par une matrice diagonale D. En introduisant l’image réciproque de la base canonique de n(𝕂) par l’isomorphisme de représentation matricielle dans , on obtient une base de (E) dans laquelle ϕ est représenté par une matrice diagonale.

 
Exercice 11  1324     CENTRALE (PSI)Correction  

Soient E=𝒮2(),

A=(abcd)2()

et Φ:𝒮2()𝒮2() définie par

Φ(S)=AS+SAt.
  • (a)

    Déterminer la matrice de Φ dans une base de E.

  • (b)

    Pour λ, quelle relation existe-t-il entre χΦ(2λ) et χA(λ)?

  • (c)

    Si Φ est diagonalisable, la matrice A l’est-elle?

  • (d)

    Si A est diagonalisable, l’endomorphisme Φ l’est-il?

Solution

On vérifie aisément que Φ est endomorphisme de 𝒮2().

  • (a)

    En choisissant la base de 𝒮2() formée des matrices E1,1,E2,2 et E1,2+E2,1, on obtient la matrice de Φ suivante

    (2a02b02d2ccba+d).
  • (b)

    Par la règle de Sarrus, on calcule χΦ(λ) et l’on obtient

    χΦ(2λ)=8(λ-a+d2)χA(λ).
  • (c)

    Posons Δ égal au discriminant de χA.
    Si Δ>0 alors χΦ possède trois racines réelles distinctes

    a+d,a+d+Δeta+d-Δ.

    Si Δ=0 alors χΦ possède une racine réelle triple

    a+d.

    Si Δ<0 alors χΦ possède une racine réelle et deux racines complexes non réelles.

    Supposons Φ diagonalisable.

    Le polynôme caractéristique de Φ est scindé sur donc Δ0.

    Si Δ>0 alors χA possède deux racines réelles distinctes et la matrice A est donc diagonalisable.

    Si Δ=0 alors Φ est diagonalisable et ne possède qu’une seule valeur propre λ=a+d donc l’endomorphisme Φ est une homothétie vectorielle de rapport égal à cette valeur propre. On obtient matriciellement

    (2a02b02d2ccba+d)=(a+d000a+d000a+d).

    On en déduit

    A=(abcd)=(a00a)

    et donc la matrice A est diagonalisable.

  • (d)

    Supposons A diagonalisable
    Le polynôme caractéristique de A est scindé sur donc Δ0.
    Si Δ>0 alors Φ est diagonalisable car possède 3 valeurs propres réelles distinctes.
    Si Δ=0 alors A possède une seule valeur propre et étant diagonalisable, c’est une matrice scalaire

    A=(a00a)

    et alors la matrice de Φ est diagonale

    (2a0002a0002a).
 
Exercice 12  3450     CCP (MP)Correction  

On considère un -espace vectoriel de dimension finie E, u un endomorphisme de E, U=(ui,j) la matrice de u dans une base de E, ei,j les projecteurs associés à cette base et Ei,j la matrice de ces projecteurs.
On considère φ l’endomorphisme dans (E) tel que

φ(v)=uv.
  • (a)

    Montrer que φ et u ont les mêmes valeurs propres.

  • (b)

    Calculer UEi,j en fonction des Ek,j. En déduire qu’il existe une base de (E) dans laquelle la matrice de φ est diagonale par blocs et exprimer cette matrice.

Solution

  • (a)

    Soit λ une valeur propre de φ.
    Il existe v(E){0~} tel que uv=λv.
    Soit alors xE tel que v(x)0 (ce qui est possible puisque v0~)
    Puisque u(v(x))=λv(x), on peut affirmer que λ est valeur propre de u.
    Inversement, soit λ une valeur propre de u et x0 un vecteur propre associé.
    Considérons v l’endomorphisme de E déterminé par

    1in,v(ei)=x.

    L’endomorphisme v est bien déterminé puisque l’on a ici fixé l’image d’une base.
    Puisque a uv=λv (car cette égalité vaut pour les vecteurs d’une base), on obtient φ(v)=λv avec v0~. Ainsi, λ est aussi valeur propre de φ.

  • (b)

    Sachant Ei,jEk,=δj,kEi,,

    UEi,j=k,=1nuk,Ek,Ei,j=k=1nuk,iEk,j.

    Dans la base ((E1,1,,En,1),(E1,2,,En,2),,(E1,n,,En,n)), la matrice de φ est diagonale par blocs avec des blocs diagonaux chacun égaux à U.

 
Exercice 13  3015     ENSTIM (MP)Correction  

Soient E un espace vectoriel de dimension finie, p un projecteur fixé de E et :(E)(E) définie par

:f12(fp+pf).
  • (a)

    L’application est-elle linéaire?

  • (b)

    L’endomorphisme est-il diagonalisable?

  • (c)

    Quelle est la dimension des sous-espaces propres associés?

Solution

  • (a)

    Par bilinéarité du produit de composition, on vérifie aisément que est linéaire.

  • (b)

    Soit f(E).

    Cas: Im(f)Im(p) et Ker(p)Ker(f). On a (f)=f.

    Un tel endomorphisme f est entièrement déterminé par sa restriction de Im(p) vers Im(p). On en déduit

    dimE1()(dimIm(p))2.

    Cas: Im(f)Ker(p) et Im(p)Ker(f). On a (f)=0.

    Un tel endomorphisme f est entièrement déterminé par sa restriction de Ker(p) vers Ker(p). On en déduit

    dimE0()(dimKer(p))2.

    Cas: Im(f)Im(p) et Im(p)Ker(f). On a (f)=12f.

    Un tel endomorphisme f est entièrement déterminé par sa restriction de Ker(p) vers Im(p).

    Cas: Im(f)Ker(p) et Ker(p)Ker(f). On a (f)=12f.

    Un tel endomorphisme f est entièrement déterminé par sa restriction de Im(p) vers Ker(p).

    De plus, un endomorphisme appartenant à ces deux dernières catégories est nécessairement nul. On en déduit

    dimE1/2()2dimKer(p)×dimIm(p).

    Or

    (dimIm(p))2+2dimKer(p)dimIm(p)+(dimKer(p))2=(dimIm(p)+dimKer(p))2=dimE2=dim(E)

    donc est diagonalisable.

  • (c)

    Les inégalités sur les dimensions précédentes sont alors des égalités dimE1()=(dimIm(p))2, dimE0()=(dimKer(p))2 et dimE1/2()=2dimKer(p)×dimIm(p).

 
Exercice 14  2723     MINES (MP)Correction  

Soient E un espace vectoriel réel de dimension finie et f(E). On définit T:(E)(E) par

T(g)=fg-gfpour tout g(E).
  • (a)

    Montrer que si f est diagonalisable, alors T est diagonalisable.

  • (b)

    Montrer que si f est nilpotent, alors T est nilpotent.

Solution

  • (a)

    Supposons f diagonalisable et soit =(e1,,en) une base de vecteurs propres de f. Pour 1i,jn, on pose gi,j l’endomorphisme de E déterminé par

    gi,j(ek)=δj,k.ei.

    La famille (gi,j) est une base de (E) et l’on observe

    T(gi,j)=(λi-λj).gi,j

    donc T est diagonalisable (et ses valeurs propres sont les λi-λj).

  • (b)

    Supposons f nilpotent et soit n* tel que fn=0. Puisque par développement Tp(g) est combinaison linéaire de termes de la forme

    fkgfp-k avec k0;p

    il est assuré que T2n=0 car chacun des termes précédents comporte un facteur nul (à droite ou à gauche). L’endomorphisme T est donc nilpotent.

[<] Diagonalisabilité [>] Diagonalisabilité d'une matrice par étude des éléments propres



Édité le 08-11-2019

Bootstrap Bootstrap 3 - LaTeXML [LOGO] - Powered by MathJax Powered by MathJax