[<] Diagonalisabilité d'un endomorphisme par l'étude de ses éléments propres [>] Diagonalisabilité des matrices de rang 1

 
Exercice 1  4338  

Étudier la diagonalisabilité des matrices de 3() suivantes:

  • (a)

    A=(146025003)

  • (b)

    B=(110011002)

  • (c)

    C=(01010000-1)

  • (d)

    D=(0-10100001).

 
Exercice 2  790  

Soient a,b,c. La matrice suivante est-elle diagonalisable dans 3()?

M=(0-bca0-c-ab0).
 
Exercice 3  789  Correction  

Soient α et

A=(cos(α)-sin(α)sin(α)cos(α))2(𝕂)etB=(cos(α)sin(α)sin(α)-cos(α))2(𝕂).
  • (a)

    On suppose 𝕂=. La matrice A est-elle diagonalisable?

  • (b)

    On suppose 𝕂=. La matrice A est-elle diagonalisable?

  • (c)

    Mêmes questions avec B.

Solution

  • (a)

    χA(X)=(X-cos(α))2+sin2(α) de racines eiα et e-iα.

    Cas: α0[π]. La matrice A possède deux valeurs propres distinctes donc A est diagonalisable.

    Cas: α0[π]. La matrice A est diagonale.

  • (b)

    Cas: α0[π]. La matrice A ne possède pas de valeurs propres (réelles), elle n’est donc pas diagonalisable.

    Cas: α0[π]. La matrice A est diagonale.

  • (c)

    χB(X)=(X-cos(α))(X+cos(α))-sin2(α) de racines ±1 donc B est diagonalisable.

 
Exercice 4  4347  

Soit n avec n2.

  • (a)

    Déterminer les valeurs propres de la matrice de n() suivante

    M=(a(b)(b)a) avec (a,b)×*.
  • (b)

    Cette matrice est-elle diagonalisable?

 
Exercice 5  792  Correction  

Soient a,b* tels que |a||b| et

A=(ababbabaababbaba)2n()(avec n2).
  • (a)

    Calculer le rang de A. En déduire que 0 est valeur propre de A et déterminer la dimension du sous-espace propre associé.

  • (b)

    Déterminer deux vecteurs propres non colinéaires et en déduire que A est diagonalisable.

Solution

  • (a)

    A ne possède que deux colonnes différentes donc rg(A)2.

    |abba|=a2-b20

    donc rg(A)=2. Par le théorème du rang dimKer(A)=2n-2 donc 0 est valeur propre de A et la dimension du sous-espace propre associé est 2n-2.

  • (b)

    Les vecteurs (11)t et (1-11-1)t sont vecteurs propres associées aux valeurs propres non nulles n(a+b) et n(a-b). La somme des dimensions des sous-espaces propres vaut 2n donc A est diagonalisable.

 
Exercice 6  3433     CCP (MP)Correction  

Pour quelle(s) valeurs de a, la matrice suivante n’est-elle pas diagonalisable?

A=(-2-a5+aaa-2-a-a-553).

Solution

En ajoutant la troisième colonne à la première puis en retranchant la première ligne à la troisième

χA(λ)=|λ+2-5-a-a0λ+2+aa0aλ-3+a|

ce qui donne

χA(λ)=(λ+2)(λ2+(2a-1)λ-a-6).

Le facteur du second degré a pour discriminant

Δ=(2a-1)2+4a+24=4a2+25>0

et possède donc deux racines réelles distinctes. Lorsque celles-ci diffèrent de -2, la matrice A possède trois valeurs propres distinctes et est donc diagonalisable.

Il est donc nécessaire que -2 soit racine de

λ2+(2a-1)λ-a-6

pour que la matrice A ne soit pas diagonalisable. C’est le cas si, et seulement si, a=0 et alors

A=(-2510-20-553).

On a alors

rg(A+2I3)=2

et donc dimE-2(A)=1<m-2(A) ce qui entraîne que la matrice A n’est pas diagonalisable.

Finalement, A n’est pas diagonalisable si, et seulement si, a=0.

 
Exercice 7  5089   

Selon la valeur de a, étudier la diagonalisabilité de la matrice réelle

M=(1-1-11a1-1-11).
 
Exercice 8  4983     MINES (PSI)

Soient a,b,c trois réels non nuls. Étudier la diagonalisabilité de la matrice réelle

M=(0ac1/a0b1/c1/b0).
 
Exercice 9  4954     MINES (PC)

Soit z. Étudier la diagonalisabilité de la matrice complexe

M=(00z100110).
 
Exercice 10  3283   

Soit P=Xn-(an-1Xn-1++a1X+a0) un polynôme unitaire réel de degré n.

  • (a)

    Déterminer les sous-espaces propres de la matrice

    M=(01(0)001a0a1an-1)n().
  • (b)

    À quelle condition relative au polynôme P, la matrice M est-elle diagonalisable?

 
Exercice 11  2522     CCP (MP)Correction  

Soit (a1,,an-1)n-1.

  • (a)

    Déterminer le rang de la matrice

    A=(00a100an-1a1an-10)n()
  • (b)

    En employant la trace, que peut-on dire des valeurs propres?

  • (c)

    La matrice A est-elle diagonalisable?

Solution

  • (a)

    rg(A)=0 si a1==an-1=0 et rg(A)=2 sinon.

  • (b)

    La somme des valeurs propres est nulle.

  • (c)

    En développant le déterminant selon la dernière colonne puis en développant les mineurs obtenus selon leur k-ieme colonne, on obtient

    χA=Xn-2(X2-(a12++an-12)).

    Cas: a12++an-120. La matrice A admet deux valeurs propres opposées non nulles et 0 pour valeur propre d’espace propre de dimension n-2. La matrice A est donc diagonalisable.

    Cas: a12++an-12=0. La matrice A admet une seule valeur propre qui est 0. La matrice A est alors diagonalisable si, et seulement si, A=On c’est-à-dire a1==an-1=0.

 
Exercice 12  3767     CCP (MP)Correction  

Considérons la matrice A suivante:

A=(01001k1101000100)4().
  • (a)

    Déterminer le rang de A.

  • (b)

    Donner la raison pour laquelle le polynôme caractéristique de A est de la forme

    X2(X-u1)(X-u2)

    avec u1, u2 appartenant à * et vérifiant

    u1+u2=ketu12+u22=k2+6.
  • (c)

    Étudier les éléments propres dans le cas où u1=u2.

  • (d)

    En déduire les valeurs de k pour que A soit diagonalisable dans 4().

Solution

  • (a)

    rg(A)=2 (deux colonnes indépendantes et pas plus).

  • (b)

    Le polynôme caractéristique de A est scindé et unitaire.

    Puisque dimKer(A)=2, 0 est valeur propre au moins double de A et donc

    χA=X2(X-u1)(X-u2)

    avec u1,u2.
    La matrice A est trigonalisable semblable à une matrice triangulaire où figurent sur la diagonale les valeurs 0,0,u1 et u2. Par similitude, on a

    tr(A)=u1+u2ettr(A2)=u12+u22

    et donc

    u1+u2=k et u12+u22=k2+6.

    Enfin, u10 car sinon u2=k et u22=k2k2+6. De même, u20.

  • (c)

    Si u1=u2 alors u1=u2=k/2 et k2/2=k2+6 donc k=±i23.

    La résolution du système

    AX=k2X

    conduit à un espace de solution de dimension 1

    Vect{(1,k/2,1,1)t}.
  • (d)

    Finalement, la matrice A est diagonalisable dans 4() si, et seulement si, k±i23.

 
Exercice 13  2536     CCP (MP)Correction  

Soient a,b,c,d quatre nombres complexes avec a2+b20 et

A=(abcd-ba-dc-cda-b-d-cba).
  • (a)

    Calculer AAt, det(A) et montrer que rg(A)=2 ou 4.

  • (b)

    On pose α2=b2+c2+d2 supposé non nul. Montrer que A est diagonalisable.

Solution

  • (a)

    On obtient

    AAt=(a2+b2+c2+d2)I4

    et donc (det(A))2=(a2+b2+c2+d2)4.
    D’autre part, pour b,c,d fixés, adet(A) est une fonction polynomiale unitaire de degré 4 donc

    det(A)=a4+α(b,c,d)a3+β(b,c,d)a2+γ(b,c,d)a+δ(b,c,d).

    La valeur connue de (det(A))2 permet alors de déterminer α,β,γ,δ et d’affirmer

    det(A)=(a2+b2+c2+d2)2.

    Cas: a2+b2+c2+d20. La matrice A est inversible donc rg(A)=4.

    Cas: a2+b2+c2+d2=0. La matrice A n’est pas inversible donc rg(A)3. Or a2+b20 donc la sous-matrice

    (ab-ba)

    est de rang 2 et donc rg(A)2.

    On observe de plus que

    C3=ac+bda2+b2C1+bc-ada2+b2C2

    et

    C4=ad-bca2+b2C1+bd+aca2+b2C2

    donc rg(A)=2.

  • (b)

    Par la formule obtenue ci-dessus,

    χA=((a-X)2+b2+c2+d2)2

    et donc

    χA=((a-X)2+α2)2.

    Les valeurs propres de A sont a+α et a-α.

    Par l’étude qui précède,

    rg(A-(a+α)I4)=2etrg(A-(a-α)I4)=2

    donc

    dimEa+α(A)=dimEa-α(A)=2

    Par suite, la matrice A est diagonalisable.

 
Exercice 14  3123   Correction  

Monter que la matrice suivante est diagonalisable

A=(01(0)n2n-1n(0)10)n+1().

On pourra interpréter A comme la matrice d’un endomorphisme de Cn[X].

Solution

La matrice A est la matrice dans la base canonique (1,X,,Xn) de l’endomorphisme

u:Pn[X]nXP+(1-X2)P.

Considérons alors la base de polynômes étagés (1,(X+1),,(X+1)n). On a

u((X+1)k)=nX(X+1)k+k(1-X)(X+1)k

qui se réécrit

u((X+1)k)=(n-k)(X+1)k+1+(2k-n)(X+1)k.

La matrice de l’endomorphisme u dans la base (1,(X+1),,(X+1)n) est triangulaire inférieure de coefficients diagonaux distincts

2k-n avec k{0,,n}.

On en déduit χA et l’on observe que A possède n+1 valeurs propres distinctes. La matrice A est donc diagonalisable.

 
Exercice 15  798  Correction  

Soient An(𝕂) et

B=(On-InAOn).
  • (a)

    Étudier les valeurs propres de B en fonction de celles de A.

  • (b)

    On suppose A diagonalisable. La matrice B est-elle nécessairement diagonalisable?

Solution

  • (a)

    On écrit X=(X1X2) et alors

    BX=λX {-X2=λX1AX1=λX2
    {X2=-λX1AX1=-λ2X1.

    Par conséquent, λ est valeur propre de B si, et seulement si, -λ2 est valeur propre de A.

  • (b)

    Si A=On alors A est diagonalisable mais pas B. En effet, 0 est la seule valeur propre de B alors que BOn.

 
Exercice 16  5090   

Soit AGLn(). On étudie la matrice M2n() définie par blocs

M=(OnInAOn).

Montrer que la matrice A est diagonalisable si, et seulement si, M l’est.

 
Exercice 17  797   Correction  

Soient A1p(𝕂), A2q(𝕂) et Ap+q(𝕂) définies par

A=(A1Op,qOq,pA2).

Montrer que A est diagonalisable si, et seulement si, A1 et A2 le sont.

Solution

Soient F1 et F2 des sous-espaces vectoriels supplémentaires de dimension p et q d’un 𝕂-espace vectoriel E de dimension p+q.

Soit =(1,2) une base adaptée à la supplémentarité de F1 et F2 et f1, f2 et f les endomorphismes de F1, F2 et E déterminés par

Mat1(f1)=A1,Mat2(f2)=A2etMat(f)=A.

Il est clair que, pour tout λ𝕂, on a

Eλ(f)=Eλ(f1)Eλ(f2).

En caractérisant la diagonalisabilité par la somme des dimensions des sous-espaces propres, on conclut à l’équivalence voulue.

[<] Diagonalisabilité d'un endomorphisme par l'étude de ses éléments propres [>] Diagonalisabilité des matrices de rang 1



Édité le 08-11-2019

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