Exercice 1 4338

Étudier la diagonalisabilité des matrices de $ℳ_{3} (ℝ)$ suivantes:

(a)

$A = (\begin{matrix} 1 & 4 & 6 \\ 0 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix})$
(b)

$B = (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix})$
(c)

$C = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix})$
(d)

$D = (\begin{matrix} 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})$ .

Exercice 2 5543 Correction

Donner un exemple de matrice $A \in ℳ_{2} (ℂ)$ qui ne soit pas diagonalisable.

Solution

La matrice

A = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})

n’est pas diagonalisable.

En effet, $χ_{A} = {(X - 1)}^{2}$ et la matrice $A$ n’admet donc qu’une seule valeur $1$ . Par l’absurde, si $A$ est diagonalisable, $A$ est semblable à $I_{2}$ dont égale à $I_{2}$ . Ce n’est pas le cas.

Exercice 3 790

Soit $(a, b, c) \in ℝ^{3}$ . La matrice suivante est-elle diagonalisable dans $ℳ_{3} (ℝ)$ ?

M = (\begin{matrix} 0 & - b & c \\ a & 0 & - c \\ - a & b & 0 \end{matrix}) .

Exercice 4 706 Correction

Soit $(a, b) \in ℝ^{2}$ . À quelle condition la matrice suivante est-elle diagonalisable?

M = (\begin{matrix} 0 & a & b \\ a & 0 & b \\ a & b & 0 \end{matrix}) .

Solution

Le polynôme caractéristique de $M$ est

	$χ_{M}$	$= \| \begin{matrix} X & - a & - b \\ - a & X & - b \\ - a & - b & X \end{matrix} \| \underset{C_{1} \leftarrow C_{1} + C_{2} + C_{3}}{=} \| \begin{matrix} X - a - b & - a & - b \\ X - a - b & X & - b \\ X - a - b & - b & X \end{matrix} \|$
		$= (X - a - b) \| \begin{matrix} 1 & - a & - b \\ 0 & X + a & 0 \\ 0 & a - b & X + b \end{matrix} \| = (X - a - b) (X + a) (X + b) .$

Les valeurs propres de $M$ comptées avec multiplicité sont $a + b$ , $- a$ et $- b$ .

Cas: $a \neq b$ , $2 a + b \neq 0$ et $a + 2 b \neq 0$ . Les valeurs propres précédentes sont deux à deux distinctes, la matrice $M$ est diagonalisable.

Cas: $a = b$ . La matrice $M$ est symétrique réelle donc diagonalisable.

Cas: $2 a + b = 0$ et $a \neq b$ . La matrice $M$ s’écrit

M = (\begin{matrix} 0 & a & - 2 a \\ a & 0 & - 2 a \\ a & - 2 a & 0 \end{matrix}) avec a \neq 0

et $- a$ en est valeur propre double. Or

rg (M + a I_{3}) = rg (\begin{matrix} a & a & - 2 a \\ a & a & - 2 a \\ a & - 2 a & a \end{matrix}) = 2

et donc $dim Ker (M + a I_{3}) = 1 < 2$ . La matrice $M$ n’est pas diagonalisable.

Cas: $a + 2 b = 0$ et $a \neq b$ . L’étude est similaire et la conclusion identique: la matrice $M$ n’est pas diagonalisable.

Exercice 5 789 Correction

Soient $α \in ℝ$ et

A = (\begin{matrix} \cos (α) & - \sin (α) \\ \sin (α) & \cos (α) \end{matrix}) \in ℳ_{2} (𝕂) et B = (\begin{matrix} \cos (α) & \sin (α) \\ \sin (α) & - \cos (α) \end{matrix}) \in ℳ_{2} (𝕂) .

(a)

On suppose $𝕂 = ℂ$ . La matrice $A$ est-elle diagonalisable?
(b)

On suppose $𝕂 = ℝ$ . La matrice $A$ est-elle diagonalisable?
(c)

Mêmes questions avec $B$ .

Solution

(a)

$χ_{A} (X) = {(X - \cos (α))}^{2} + \sin^{2} (α)$ de racines $e^{i α}$ et $e^{- i α}$ .

Cas: $α ≢ 0 [π]$ . La matrice $A$ possède deux valeurs propres distinctes donc $A$ est diagonalisable.

Cas: $α \equiv 0 [π]$ . La matrice $A$ est diagonale.
(b)

Cas: $α ≢ 0 [π]$ . La matrice $A$ ne possède pas de valeurs propres (réelles), elle n’est donc pas diagonalisable.

Cas: $α \equiv 0 [π]$ . La matrice $A$ est diagonale.
(c)

$χ_{B} (X) = (X - \cos (α)) (X + \cos (α)) - \sin^{2} (α)$ de racines $\pm 1$ donc $B$ est diagonalisable.

Exercice 6 4347

Soit $n \in ℕ$ avec $n \geq 2$ .

(a)

Déterminer les valeurs propres de la matrice de $ℳ_{n} (ℂ)$ suivante

$M = (\begin{matrix} a & (b) \\ ⋱ \\ (b) & a \end{matrix}) avec (a, b) \in ℂ \times ℂ^{*} .$
(b)

Cette matrice est-elle diagonalisable?

Exercice 7 792 Correction

Soient $a, b \in ℝ^{*}$ tels que $| a | \neq | b |$ et

A = (\begin{matrix} a & b & a & \dots & b \\ b & a & b & \dots & a \\ a & b & a & \dots & b \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ b & a & b & \dots & a \end{matrix}) \in ℳ_{2 n} (ℝ) (avec n \geq 2).

(a)

Calculer le rang de $A$ . En déduire que 0 est valeur propre de $A$ et déterminer la dimension du sous-espace propre associé.
(b)

Déterminer deux vecteurs propres non colinéaires et en déduire que $A$ est diagonalisable.

Solution

(a)

$A$ ne possède que deux colonnes différentes donc $rg (A) \leq 2$ .

$| \begin{matrix} a & b \\ b & a \end{matrix} | = a^{2} - b^{2} \neq 0$

donc $rg (A) = 2$ . Par le théorème du rang $dim Ker (A) = 2 n - 2$ donc 0 est valeur propre de $A$ et la dimension du sous-espace propre associé est $2 n - 2$ .
(b)

Les vecteurs ${(\begin{matrix} 1 & \dots & 1 \end{matrix})}^{⊤}$ et ${(\begin{matrix} 1 & - 1 & \dots & 1 & - 1 \end{matrix})}^{⊤}$ sont vecteurs propres associées aux valeurs propres non nulles $n (a + b)$ et $n (a - b)$ . La somme des dimensions des sous-espaces propres vaut $2 n$ donc $A$ est diagonalisable.

Exercice 8 3433 CCINP (MP)Correction

Pour quelle(s) valeurs de $a \in ℝ$ , la matrice suivante n’est-elle pas diagonalisable?

A = (\begin{matrix} - 2 - a & 5 + a & a \\ a & - 2 - a & - a \\ - 5 & 5 & 3 \end{matrix}) .

Solution

En ajoutant la troisième colonne à la première puis en retranchant la première ligne à la troisième

χ_{A} (λ) = | \begin{matrix} λ + 2 & - 5 - a & - a \\ 0 & λ + 2 + a & a \\ 0 & a & λ - 3 + a \end{matrix} |

ce qui donne

χ_{A} (λ) = (λ + 2) (λ^{2} + (2 a - 1) λ - a - 6) .

Le facteur du second degré a pour discriminant

Δ = {(2 a - 1)}^{2} + 4 a + 24 = 4 a^{2} + 25 > 0

et possède donc deux racines réelles distinctes. Lorsque celles-ci diffèrent de $- 2$ , la matrice $A$ possède trois valeurs propres distinctes et est donc diagonalisable.

Il est donc nécessaire que $- 2$ soit racine de

λ^{2} + (2 a - 1) λ - a - 6

pour que la matrice $A$ ne soit pas diagonalisable. C’est le cas si, et seulement si, $a = 0$ et alors

A = (\begin{matrix} - 2 & 5 & 1 \\ 0 & - 2 & 0 \\ - 5 & 5 & 3 \end{matrix}) .

On a alors

rg (A + 2 I_{3}) = 2

et donc $dim E_{- 2} (A) = 1 < m_{- 2} (A)$ ce qui entraîne que la matrice $A$ n’est pas diagonalisable.

Finalement, $A$ n’est pas diagonalisable si, et seulement si, $a = 0$ .

Exercice 9 5089

Selon la valeur de $a \in ℝ$ , étudier la diagonalisabilité de la matrice réelle

M = (\begin{matrix} 1 & - 1 & - 1 \\ 1 & a & 1 \\ - 1 & - 1 & 1 \end{matrix}) .

Exercice 10 4983 MINES (PSI)

Soient $a, b, c$ trois réels non nuls. Étudier la diagonalisabilité de la matrice réelle

M = (\begin{matrix} 0 & a & c \\ 1 / a & 0 & b \\ 1 / c & 1 / b & 0 \end{matrix}) .

Exercice 11 4954 MINES (PC)

Soit $z \in ℂ$ . Étudier la diagonalisabilité de la matrice complexe

M = (\begin{matrix} 0 & 0 & z \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix}) .

Exercice 12 3283

Soient $P = X^{n} - (a_{n - 1} X^{n - 1} + \dots + a_{1} X + a_{0})$ un polynôme unitaire réel de degré $n$ et $M \in ℳ_{n} (ℝ)$ la matrice donnée par

M = (\begin{matrix} 0 & 1 & (0) \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ \\ 0 & \dots & 0 & 1 \\ a_{0} & a_{1} & \dots & a_{n - 1} \end{matrix}) .

(a)

Soit $λ \in ℝ$ tel que $P (λ) = 0$ . Résoudre l’équation $M X = λ X$ d’inconnue $X \in ℳ_{n,1} (ℝ)$ .
(b)

Déterminer les valeurs propres et la dimension des sous-espaces propres de la matrice $M$ .
(c)

À quelle condition relative au polynôme $P$ , la matrice $M$ est-elle diagonalisable?

Exercice 13 5677 CCINP (MP)Correction

Soit $n \in ℕ$ avec $n \geq 3$ . Pour $(a, b, c) \in ℂ^{3}$ , on pose

M = (\begin{matrix} 0 & \dots & 0 & c \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & \dots & 0 & c \\ b & \dots & b & a \end{matrix}) .

(a)

Énoncer une condition nécessaire et suffisante pour que $rg (M) = 2$ .

On suppose désormais cette condition remplie.

(b)

Montrer que si $λ \in ℂ$ est valeur propre de $M$ alors $λ = 0$ ou $λ$ est solution de l’équation

$λ^{2} - a λ - (n - 1) b c = 0 .$
(c)

Exprimer les valeurs propres de $M$ .
(d)

Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $M$ soit diagonalisable.

Solution

(a)

Clairement la matrice $M$ est de rang au plus $2$ .

Si $b = 0$ ou $c = 0$ , elle est de rang inférieur à $1$ .

Si $b \neq 0$ et $c \neq 0$ , elle est de rang $2$ car on peut en extraire un déterminant de taille $2$ non nul.

On en déduit $rg (M) = 2$ si, et seulement si, $b c \neq 0$ .
(b)

Soient $λ$ et $X = {(\begin{matrix} x_{1} & \dots & x_{n} \end{matrix})}^{⊤} \in ℝ^{n}$ .

$M X = λ X$ $\Leftrightarrow {\begin{matrix} c x_{n} & = λ x_{1} \\ ⋮ \\ c x_{n} & = λ x_{n - 1} \\ b (x_{1} + \dots + x_{n - 1}) + a x_{n} = λ x_{n} . \end{matrix}$

On multiplie la dernière équation par $λ$ et l’on obtient par substitution

$((n - 1) b c + a λ) x_{n} = λ^{2} x_{n} .$

Si $λ^{2} - a λ - (n - 1) b c \neq 0$ alors nécessairement $x_{n} = 0$ . Pour obtenir une solution non nulle, il faut alors $λ = 0$ .
(c)

Si $λ = 0$ , $λ$ est effectivement valeur propre de $M$ puisque $Ker (M) \neq {0}$ car $rg (M) = 2$ .

Si $λ$ est solution de l’équation $λ^{2} - a λ - (n - 1) b c = 0$ alors, par les calculs qui précèdent, on peut déterminer $X \neq 0$ vérifiant $M X = λ X$ : $λ$ est valeur propre de $M$ .

Les solutions de l’équation $z^{2} - a z - (n - 1) b c = 0$ d’inconnue $z \in ℂ$ sont

$z_{1} = \frac{a + δ}{2} et z_{2} = \frac{a - δ}{2}$

avec $δ \in ℂ$ tel que $δ^{2} = a^{2} + 4 (n - 1) b c$ .

Les valeurs propres de $M$ sont $0$ , $z_{1}$ et $z_{2}$ .
(d)

Sachant $b c \neq 0$ , on a $δ \neq \pm a$ : les valeurs propres $z_{1}$ et $z_{2}$ sont distinctes de $0$ .

Si $δ \neq 0$ alors la matrice $M$ possède deux valeurs propres simples $z_{1}$ et $z_{2}$ et $0$ pour valeur propre de multiplicité $n - 2$ . Puisque $dim Ker (M) = n - rg (M) = n - 2$ , la matrice $M$ est diagonalisable.

Si $δ = 0$ alors la matrice $M$ présente $λ = a / 2$ pour valeur propre double. Nécessairement, $a \neq 0$ car $b c \neq 0$ et alors la matrice $M - \frac{a}{2} I_{n}$ possède une matrice extraite de taille $n - 1$ inversible. Cela entraîne

$rg (M - \frac{a}{2} I_{n}) \geq n - 1 donc dim Ker (M - \frac{a}{2} I_{n}) \leq 1 .$

La matrice $M$ n’est pas diagonalisable.

Exercice 14 2522 CCINP (MP)Correction

Soit $(a_{1}, \dots, a_{n - 1}) \in ℂ^{n - 1}$ .

(a)

Déterminer le rang de la matrice

$A = (\begin{matrix} 0 & \dots & 0 & a_{1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & \dots & 0 & a_{n - 1} \\ a_{1} & \dots & a_{n - 1} & 0 \end{matrix}) \in ℳ_{n} (ℂ) .$
(b)

En employant la trace, que peut-on dire des valeurs propres?
(c)

La matrice $A$ est-elle diagonalisable?

Solution

(a)

$rg (A) = 0$ si $a_{1} = \dots = a_{n - 1} = 0$ et $rg (A) = 2$ sinon.
(b)

La somme des valeurs propres est nulle.
(c)

En développant le déterminant selon la dernière colonne puis en développant les mineurs obtenus selon leur $k$ -ieme colonne, on obtient

$χ_{A} = X^{n - 2} (X^{2} - (a_{1}^{2} + \dots + a_{n - 1}^{2})) .$

Cas: $a_{1}^{2} + \dots + a_{n - 1}^{2} \neq 0$ . La matrice $A$ admet deux valeurs propres opposées non nulles et $0$ pour valeur propre d’espace propre de dimension $n - 2$ . La matrice $A$ est donc diagonalisable.

Cas: $a_{1}^{2} + \dots + a_{n - 1}^{2} = 0$ . La matrice $A$ admet une seule valeur propre qui est $0$ . La matrice $A$ est alors diagonalisable si, et seulement si, $A = O_{n}$ c’est-à-dire $a_{1} = \dots = a_{n - 1} = 0$ .

Exercice 15 5983 CCINP (MP)Correction

Soient $a, b, c, d \in ℂ$ tels que $a^{2} + b^{2} \neq 0$ et

M = (\begin{matrix} a & b & c & d \\ - b & a & - d & c \\ - c & d & a & - b \\ - d & - c & b & a \end{matrix}) .

(a)

Calculer $M M^{⊤}$ . En déduire $\det (M)$ .
(b)

Si $a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} \neq 0$ , donner le rang de $M$ .

Si $a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} = 0$ , donner le rang de $M$ .

On considère $ω \in ℂ$ tel que $ω^{2} = b^{2} + c^{2} + d^{2}$ .

Solution

(a)

On remarque

$M M^{⊤} = (\begin{matrix} a & b & c & d \\ - b & a & - d & c \\ - c & d & a & - b \\ - d & - c & b & a \end{matrix}) (\begin{matrix} a & - b & - c & - d \\ b & a & d & - c \\ c & - d & a & b \\ d & c & - b & a \end{matrix}) = (a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}) I_{4} .$

En passant au déterminant,

${(\det (M))}^{2} = {(a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2})}^{4}$

et donc

$\det (M) = \pm {(a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2})}^{2} .$

Cependant, $\det (M)$ peut se comprendre comme un polynôme caractéristique en la variable $a$ et correspond donc à un polynôme unitaire de degré $4$ . On conclut

$\det (M) = {(a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2})}^{2} .$
(b)

Si $a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} \neq 0$ , la matrice $M$ est inversible et donc $rg (M) = 4$ .

Si $a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} = 0$ , la matrice $M$ n’est pas inversible et donc $rg (M) < 4$ . Parallèlement, $(\begin{matrix} a & b \\ - b & a \end{matrix})$ est une sous-matrice inversible de $M$ car $a^{2} + b^{2} \neq 0$ . On a donc $rg (M) \geq 2$ .

Aussi, l’égalité $M M^{⊤} = 0$ donne $Im (M^{⊤}) \subset Ker (M)$ et donc

$dim Ker (M) \geq rg (M^{⊤}) = rg (M) \geq 2$

On en déduit $rg (M) = 4 - dim Ker (M) \leq 2$ puis on conclut $rg (M) = 2$ .
(c)

En adaptant le calcul conduit en permière question,

$χ_{M} = {({(X - a)}^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2})}^{2} .$

La matrice $M$ possède donc deux valeurs propres doubles qui sont $a \pm i ω$ .

Si $ω \neq 0$ , ces deux valeurs sont distinctes et les sous-espaces propres associés sont chacun de dimension $2$ . En effet, il suffit d’adapter le calcul de rang réalisé à la question précédente pour obtenir la dimension de $E_{λ} (M) = Ker (M - λ I_{n})$ . On en déduit que $M$ est diagonalisable.

Si $ω = 0$ (question non posée), la matrice $M$ ne présente qu’une seule valeur propre qui vaut $a$ . Elle est alors diagonalisable si, et seulement si, $M = a I_{4}$ ce qui est le cas uniquement lorsque $b = c = d = 0$ .

Exercice 16 3767 CCINP (MP)Correction

Soient $k \in ℂ$ et $A$ la matrice suivante

A = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & k & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{matrix}) \in ℳ_{4} (ℂ) .

(a)

On suppose $k$ réel, la matrice $A$ est-elle diagonalisable dans $ℳ_{4} (ℝ)$ ?

On revient au cas général $k \in ℂ$ .

(b)

Déterminer le rang de $A$ .
(c)

Donner la raison pour laquelle le polynôme caractéristique de $A$ est de la forme

$X^{2} (X - u_{1}) (X - u_{2})$

avec $u_{1}$ , $u_{2}$ appartenant à $ℂ$ .
(d)

Vérifier

$u_{1} + u_{2} = k et u_{1}^{2} + u_{2}^{2} = k^{2} + 6 .$

Observer que $u_{1}$ et $u_{2}$ sont tous deux non nuls.
(e)

Étudier les éléments propres dans le cas où $u_{1} = u_{2}$ .
(f)

En déduire les valeurs de $k$ pour que $A$ soit diagonalisable dans $ℳ_{4} (ℂ)$ .

Solution

(a)

La matrice $A$ est symétrique réelle donc orthogonalement diagonalisable.
(b)

$rg (A) = 2$ (deux colonnes indépendantes et pas plus).
(c)

Le polynôme caractéristique de $A$ est scindé et unitaire.

Puisque $dim Ker (A) = 2$ , 0 est valeur propre au moins double de $A$ et donc

$χ_{A} = X^{2} (X - u_{1}) (X - u_{2})$

avec $u_{1}, u_{2} \in ℂ$ .
(d)

La matrice $A$ est trigonalisable semblable à une matrice triangulaire où figurent sur la diagonale les valeurs $0, 0, u_{1}$ et $u_{2}$ . Par similitude, on a

$tr (A) = u_{1} + u_{2} et tr (A^{2}) = u_{1}^{2} + u_{2}^{2}$

et donc

$u_{1} + u_{2} = k et u_{1}^{2} + u_{2}^{2} = k^{2} + 6 .$

Enfin, $u_{1} \neq 0$ car sinon $u_{2} = k$ et $u_{2}^{2} = k^{2} \neq k^{2} + 6$ . De même, $u_{2} \neq 0$ .
(e)

Si $u_{1} = u_{2}$ alors $u_{1} = u_{2} = k / 2$ et $k^{2} / 2 = k^{2} + 6$ donc $k = \pm i2 \sqrt{3}$ .

La résolution du système

$A X = \frac{k}{2} X$

conduit à un espace de solution de dimension $1$

$Vect {{(\begin{matrix} 1, k / 2, 1, 1 \end{matrix})}^{⊤}} .$
(f)

Finalement, la matrice $A$ est diagonalisable dans $ℳ_{4} (ℂ)$ si, et seulement si, $k \neq \pm i2 \sqrt{3}$ .

Exercice 17 2536 CCINP (MP)Correction

Soient $a, b, c, d$ quatre nombres complexes avec $a^{2} + b^{2} \neq 0$ et

A = (\begin{matrix} a & b & c & d \\ - b & a & - d & c \\ - c & d & a & - b \\ - d & - c & b & a \end{matrix}) .

(a)

Calculer $A A^{⊤}$ , $\det (A)$ et montrer que $rg (A) = 2$ ou $4$ .
(b)

On pose $α^{2} = b^{2} + c^{2} + d^{2}$ supposé non nul. Montrer que $A$ est diagonalisable.

Solution

(a)

On obtient

$A A^{⊤} = (a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}) I_{4}$

et donc ${(\det (A))}^{2} = {(a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2})}^{4}$ .
D’autre part, pour $b, c, d$ fixés, $a \mapsto \det (A)$ est une fonction polynomiale unitaire de degré 4 donc

$\det (A) = a^{4} + α (b, c, d) a^{3} + β (b, c, d) a^{2} + γ (b, c, d) a + δ (b, c, d) .$

La valeur connue de ${(\det (A))}^{2}$ permet alors de déterminer $α, β, γ, δ$ et d’affirmer

$\det (A) = {(a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2})}^{2} .$

Cas: $a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} \neq 0$ . La matrice $A$ est inversible donc $rg (A) = 4$ .

Cas: $a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} = 0$ . La matrice $A$ n’est pas inversible donc $rg (A) \leq 3$ . Or $a^{2} + b^{2} \neq 0$ donc la sous-matrice

$(\begin{matrix} a & b \\ - b & a \end{matrix})$

est de rang $2$ et donc $rg (A) \geq 2$ .

On observe de plus que

$C_{3} = \frac{a c + b d}{a^{2} + b^{2}} C_{1} + \frac{b c - a d}{a^{2} + b^{2}} C_{2}$

et

$C_{4} = \frac{a d - b c}{a^{2} + b^{2}} C_{1} + \frac{b d + a c}{a^{2} + b^{2}} C_{2}$

donc $rg (A) = 2$ .
(b)

Par la formule obtenue ci-dessus,

$χ_{A} = {({(a - X)}^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2})}^{2}$

et donc

$χ_{A} = {({(a - X)}^{2} + α^{2})}^{2} .$

Les valeurs propres de $A$ sont $a + α$ et $a - α$ .

Par l’étude qui précède,

$rg (A - (a + α) I_{4}) = 2 et rg (A - (a - α) I_{4}) = 2$

donc

$dim E_{a + α} (A) = dim E_{a - α} (A) = 2 .$

Par suite, la matrice $A$ est diagonalisable.

Exercice 18 3123 Correction

Monter que la matrice suivante est diagonalisable

A = (\begin{matrix} 0 & 1 & (0) \\ n & ⋱ & 2 \\ n - 1 & ⋱ & ⋱ \\ ⋱ & ⋱ & n \\ (0) & 1 & 0 \end{matrix}) \in ℳ_{n + 1} (ℂ) .

On pourra interpréter $A$ comme la matrice d’un endomorphisme de $C_{n} [X]$ .

Solution

La matrice $A$ est la matrice dans la base canonique $(1, X, \dots, X^{n})$ de l’endomorphisme

u : P \in ℂ_{n} [X] \mapsto n X P + (1 - X^{2}) P^{'} .

Considérons alors la base de polynômes étagés $(1, (X + 1), \dots, {(X + 1)}^{n})$ . On a

u ({(X + 1)}^{k}) = n X {(X + 1)}^{k} + k (1 - X) {(X + 1)}^{k}

qui se réécrit

u ({(X + 1)}^{k}) = (n - k) {(X + 1)}^{k + 1} + (2 k - n) {(X + 1)}^{k} .

La matrice de l’endomorphisme $u$ dans la base $(1, (X + 1), \dots, {(X + 1)}^{n})$ est triangulaire inférieure de coefficients diagonaux distincts

2 k - n avec k \in {0, \dots, n} .

On en déduit $χ_{A}$ et l’on observe que $A$ possède $n + 1$ valeurs propres distinctes. La matrice $A$ est donc diagonalisable.

Exercice 19 798 Correction

Soient $A \in ℳ_{n} (𝕂)$ et

B = (\begin{matrix} O_{n} & - I_{n} \\ A & O_{n} \end{matrix}) .

(a)

Étudier les valeurs propres de $B$ en fonction de celles de $A$ .
(b)

On suppose $A$ diagonalisable. La matrice $B$ est-elle nécessairement diagonalisable?

Solution

(a)

On écrit $X = (\begin{matrix} X_{1} \\ X_{2} \end{matrix})$ et alors

$B X = λ X$ $\Leftrightarrow {\begin{matrix} - X_{2} & = λ X_{1} \\ A X_{1} & = λ X_{2} \end{matrix}$

$\Leftrightarrow {\begin{matrix} X_{2} & = - λ X_{1} \\ A X_{1} & = - λ^{2} X_{1} . \end{matrix}$

Par conséquent, $λ$ est valeur propre de $B$ si, et seulement si, $- λ^{2}$ est valeur propre de $A$ .
(b)

Si $A = O_{n}$ alors $A$ est diagonalisable mais pas $B$ . En effet, $0$ est la seule valeur propre de $B$ alors que $B \neq O_{n}$ .

Exercice 20 5090

Soit $A \in {GL}_{n} (ℂ)$ . On étudie la matrice $M \in ℳ_{2 n} (ℂ)$ définie par blocs

M = (\begin{matrix} O_{n} & I_{n} \\ A & O_{n} \end{matrix}) .

Montrer que la matrice $A$ est diagonalisable si, et seulement si, $M$ l’est.

Exercice 21 797 Correction

Soient $A_{1} \in ℳ_{p} (𝕂)$ , $A_{2} \in ℳ_{q} (𝕂)$ et $A \in ℳ_{p + q} (𝕂)$ définies par

A = (\begin{matrix} A_{1} & O_{p, q} \\ O_{q, p} & A_{2} \end{matrix}) .

Montrer que $A$ est diagonalisable si, et seulement si, $A_{1}$ et $A_{2}$ le sont.

Solution

Soient $F_{1}$ et $F_{2}$ des sous-espaces vectoriels supplémentaires de dimension $p$ et $q$ d’un $𝕂$ -espace vectoriel $E$ de dimension $p + q$ .

Soit $ℬ = (ℬ_{1}, ℬ_{2})$ une base adaptée à la supplémentarité de $F_{1}$ et $F_{2}$ et $f_{1}$ , $f_{2}$ et $f$ les endomorphismes de $F_{1}$ , $F_{2}$ et $E$ déterminés par

{Mat}_{ℬ_{1}} (f_{1}) = A_{1}, {Mat}_{ℬ_{2}} (f_{2}) = A_{2} et {Mat}_{ℬ} (f) = A .

Il est clair que, pour tout $λ \in 𝕂$ , on a

E_{λ} (f) = E_{λ} (f_{1}) \oplus E_{λ} (f_{2}) .

En caractérisant la diagonalisabilité par la somme des dimensions des sous-espaces propres, on conclut à l’équivalence voulue.

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Édité le 09-06-2025

	$B X = λ X$	$\Leftrightarrow {\begin{matrix} - X_{2} & = λ X_{1} \\ A X_{1} & = λ X_{2} \end{matrix}$
		$\Leftrightarrow {\begin{matrix} X_{2} & = - λ X_{1} \\ A X_{1} & = - λ^{2} X_{1} . \end{matrix}$

Diagonalisabilité d'une matrice par étude des éléments propres