Exercice 1 2987 Correction

Soit $u$ un endomorphisme injectif d’un $𝕂$ -espace vectoriel $E$ et $F$ un sous-espace vectoriel de dimension finie de $E$ stable par $u$ .

Montrer que l’endomorphisme induit par $u$ sur $F$ est bijectif.

Solution

Puisque $F$ est stable par $u$ , on peut introduire l’endomorphisme induit

u_{F} : {\begin{matrix} F & \to & F \\ x & \mapsto & u_{F} (x) = u (x) \end{matrix}

Puisque l’endomorphisme $u$ est injectif, l’endomorphisme induit $u_{F}$ l’est aussi. Or l’espace $F$ est de dimension finie et l’on sait qu’un endomorphisme injectif d’un espace de dimension finie est un automorphisme. L’endomorphisme induit $u_{F}$ est donc bijectif.

Exercice 2 5114

Soient $u$ et $v$ deux endomorphismes d’un espace vectoriel $E$ vérifiant $u \circ v = v \circ u$ .

(a)

Montrer que les espaces $Ker (u)$ et $Im (u)$ sont stables par $v$ .
(b)

Soient $f$ un endomorphisme de $E$ et $p$ une projection de $E$ . Montrer

$p \circ f = f \circ p \Leftrightarrow Im (p) et Ker (p) sont stables par f .$

Exercice 3 5065

Soient $u$ et $v$ deux endomorphismes d’un $𝕂$ -espace vectoriel $E$ tels que $u \circ v = v \circ u$ . Montrer que les sous-espaces propres de $u$ sont stables par $v$ .

Exercice 4 4345

Soit $u$ un endomorphisme de rang $1$ d’un espace vectoriel réel $E$ .

Montrer qu’il existe un réel $λ$ valeur propre de $u$ tel que $u^{2} = λ . u$ .

Exercice 5 5306 ENSTIM (MP)Correction

Soient $E$ un espace de dimension finie, $u$ un endomorphisme de $E$ et $F$ un sous-espace vectoriel stable par $u$ .

(a)

Donner la définition d’un sous-espace vectoriel stable par un endomorphisme.
(b)

Soit $G$ un sous-espace vectoriel de $E$ tel que $E = F \oplus G$ . Donner la matrice de $u$ dans une base adaptée à l’écriture précédente.

Solution

(a)

Un sous-espace vectoriel $F$ est stable par un endomorphisme $u$ si, et seulement si, $u (x) \in F$ pour tout $x \in F$ .
(b)

La matrice est triangulaire par blocs

$(\begin{matrix} A & B \\ 0 & C \end{matrix})$

avec $A$ figurant l’endomorphisme induit par $u$ sur $F$ .

Exercice 6 5115

Soient $u$ un endomorphisme d’un espace vectoriel réel $E$ de dimension $n \geq 1$ et $ℬ = (e_{1}, \dots, e_{n})$ une base de $E$ .

(a)
Montrer qu’il y a équivalence entre:
- (i)
  
  la matrice de $u$ dans $ℬ$ est triangulaire supérieure;
- (ii)
  
  $u (e_{j}) \in Vect (e_{1}, \dots, e_{j})$ pour tout $j \in ⟦ 1; n ⟧$ ;
- (iii)
  
  l’espace $Vect (e_{1}, \dots, e_{k})$ est stable par $u$ pour tout $k \in ⟦ 1; n ⟧$ .
(b)

Comment interpréter que la matrice de $u$ dans $ℬ$ est triangulaire inférieure?

Exercice 7 5805 Correction

Soient $E$ un $𝕂$ -espace vectoriel et $V$ une sous-algèbre de $ℒ (E)$ .

Établir que pour $x \in E$ , $F_{x} = {f (x) | f \in V}$ est un sous-espace de $E$ contenant $x$ et stable par tout élément de $V$ .

Solution

L’ensemble $F_{x}$ est évidemment une partie de $E$ .

Pour $f$ égal à l’endomorphisme nul, on a $f \in V$ et donc $f (x) = 0_{E} \in F_{x}$ .

Soient $y_{1}, y_{2} \in F_{x}$ . Il existe $f_{1}, f_{2}$ dans $V$ tels que

y_{1} = f_{1} (x) et y_{2} = f_{2} (x) .

Pour tous $λ_{1}, λ_{2} \in 𝕂$ ,

λ_{1} y_{1} + λ_{2} y_{2} = (λ_{1} f_{1} + λ_{2} f_{2}) (x) avec λ_{1} f_{1} + λ_{2} f_{2} \in V .

Par conséquent, $λ_{1} y_{1} + λ_{2} y_{2} \in F_{x}$ . Ainsi, $F_{x}$ est un sous-espace vectoriel de $E$ .

Puisque ${Id}_{E} \in V$ (car une sous-algèbre contient toujours le neutre multiplicatif), on a $x = {Id}_{E} (x) \in F_{x}$ .

Enfin, soit $g \in V$ . Pour tout $y \in F_{x}$ , on peut écrire $y = f (x)$ avec $f \in V$ et alors $g (y) = g (f (x)) = (g \circ f) (x)$ avec $g \circ f \in V$ car $V$ est stable par composition. Ainsi, $g (y) \in V_{x}$ . Le sous-espace vectoriel $V_{x}$ est stable par $g$ et ce, quel que soit $g$ dans $V$ .

Exercice 8 4460

Soit $f$ un endomorphisme d’un espace vectoriel réel $E$ de dimension finie vérifiant $f^{3} + f = 0$ .

(a)

Vérifier que l’image et le noyau de $f$ sont supplémentaires.
(b)

Montrer que l’endomorphisme $f$ est de rang pair.

Exercice 9 5737 Correction

Soient $u$ un endomorphisme d’un espace vectoriel $E$ de dimension finie $n \in ℕ^{*}$ et $x$ un vecteur non nul de $E$ .

(a)

Justifier qu’il existe $p \in ℕ^{*}$ tel que la famille $(x, u (x), \dots, u^{p - 1} (x))$ est libre alors que $(x, u (x), \dots, u^{p - 1} (x), u^{p} (x))$ est liée.
(b)

Observer qu’alors l’espace $F_{x} = Vect (x, u (x), \dots, u^{p - 1} (x))$ est stable par $u$ .

Solution

(a)

Soit

$A = {p \in ℕ | la famille (x, u (x), \dots, u^{p - 1} (x)) est libre} .$

Cet ensemble est une partie de $ℕ$ non vide car $0 \in A$ puisque la famille réduite au vecteur non nul $x$ est libre. Aussi, l’ensemble $A$ est majoré par $n$ car toute famille libre de vecteurs de $E$ ne peut comporter plus de $n = dim E$ vecteurs.

L’ensemble $A$ possède donc un plus grand élément. En notant $p$ celui-ci, on obtient que la famille $(x, u (x), \dots, u^{p - 1} (x))$ est libre car $p \in A$ alors que $(x, u (x), \dots, u^{p - 1} (x), u^{p} (x))$ est liée car $p + 1 \notin A$ .
(b)

Puisque la famille $(x, u (x), \dots, u^{p - 1} (x))$ est libre alors que $(x, u (x), \dots, u^{p - 1} (x), u^{p} (x))$ est liée, nécessairement, $u^{p} (x)$ est combinaison linéaire des vecteurs de la famille $(x, u (x), \dots, u^{p - 1} (x))$ . On observe alors

${\begin{matrix} u (x) & \in F_{x} \\ u (u (x)) = u^{2} (x) & \in F_{x} \\ ⋮ \\ u (u^{p - 2} (x)) = u^{p - 1} (x) & \in F_{x} \\ u (u^{p - 1} (x)) = u^{p} (x) & \in F_{x} . \end{matrix}$

Ainsi, les images par $u$ des vecteurs engendrant $F_{x}$ appartiennent à $F_{x}$ . Par combinaison linéaire, toute image par $u$ d’un vecteur de $F_{x}$ est élément de $F_{x}$ : l’espace $F_{x}$ est stable par $u$ .

Exercice 10 3462

Soit $u$ endomorphisme d’un $𝕂$ -espace vectoriel $E$ de dimension finie $n \geq 2$ . On suppose que $E$ et ${0_{E}}$ sont les seuls¹¹ 1 En dimension finie, un endomorphisme d’un espace complexe admet au moins une valeur propre et donc une droite vectorielle stable, un endomorphisme d’un espace réel admet quant à lui au moins une droite ou un plan vectoriel stable (voir le sujet 4328). Pour $n \geq 3$ , l’hypothèse de ce sujet pourra être rencontrée si $𝕂 = ℚ$ . sous-espaces vectoriels stables par $u$ .

(a)

L’endomorphisme $u$ possède-t-il des valeurs propres?

Soit $x$ un vecteur non nul de $E$ .

(b)

Montrer que la famille $e_{x} = (x, u (x), \dots, u^{n - 1} (x))$ est une base de $E$ .
(c)

On note $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n - 1}$ les coordonnées de $u^{n} (x)$ dans la base $e_{x}$ . Établir

$u^{n} = a_{0} . {Id}_{E} + a_{1} . u + \dots + a_{n - 1} . u^{n - 1} .$
(d)

Exprimer la matrice de $u$ dans la base $e_{x}$ .

Exercice 11 758 Correction

Soit $u$ un endomorphisme d’un $𝕂$ -espace vectoriel $E$ de dimension finie.
On pose

N = ⋃_{p \in ℕ} Ker (u^{p}) et I = ⋂_{p \in ℕ} Im (u^{p}) .

(a)

Montrer qu’il existe $n \in ℕ$ tel que $N = Ker (u^{n})$ et $I = Im (u^{n})$ .
(b)

Établir que $N$ et $I$ sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires stables par $u$ et tels que les restrictions de $u$ à $N$ et $I$ soient respectivement nilpotente et bijective.
(c)

Réciproquement, on suppose $E = F \oplus G$ avec $F$ et $G$ sous-espaces vectoriels stables par $u$ tels que les restrictions de $u$ à $F$ et $G$ soient respectivement nilpotente et bijective. Établir $F = N$ et $G = I$ .

Solution

(a)

Rappelons que les suites ${(Ker (u^{p}))}_{p \in ℕ}$ et ${(Im (u^{p}))}_{p \in ℕ}$ sont respectivement croissante et décroissante pour l’inclusion. La suite ${(dim Ker (u^{p}))}_{p \in ℕ}$ est une suite croissante et majorée d’entiers naturels, elle est donc stationnaire

$\exists n \in ℕ, \forall p \geq n, dim Ker (u^{p}) = dim Ker (u^{n}) .$

Or $Ker (u^{p}) \supset Ker (u^{n})$ donc $Ker (u^{p}) = Ker (u^{n})$ puis $N = Ker (u^{n})$ . Aussi,

$dim Im (u^{p}) = dim E - dim Ker (u^{p}) = dim E - dim Ker (u^{n}) = dim Im (u^{n})$

et $Im (u^{p}) \subset Im (u^{n})$ donc $Im (u^{p}) = Im (u^{n})$ puis $I = Im (u^{n})$ .
(b)

En vertu du théorème du rang,

$dim N + dim I = dim Ker (u^{n}) + dim Im (u^{n}) = dim E .$

Soit $x \in N \cap I$ . Il existe $a \in E$ tel que $x = u^{n} (a)$ et alors $u^{n} (x) = 0$ donc $u^{2 n} (a) = 0$ . Ainsi, $a \in Ker (u^{2 n}) = Ker (u^{n})$ donc $x = u^{n} (a) = 0$ . On en déduit $N \cap I = {0}$ d’où $E = N \oplus I$ .

Les endomorphismes $u$ et $u^{n}$ commutent donc $N$ et $I$ sont stables par $u$ .

Aussi,

${(u_{N})}^{n} = {(u^{n})}_{Ker (u^{n})} = 0$

et l’endomorphisme induit $u_{N}$ est donc nilpotente.

L’égalité $Im (u^{n + 1}) = Im (u^{n})$ donne $u (Im (u^{n})) = Im (u^{n})$ donc $u_{I}$ est surjective puis bijective car $dim Im (u^{n}) < + \infty$ .
(c)

Par supplémentarité,

$dim E = dim F + dim G = dim N + dim I .$

Il existe $p \in ℕ$ , tel que ${(u_{F})}^{p} = 0$ donc $F \subset Ker (u^{p}) \subset N$ .

L’endomorphisme induit $u_{G}$ est bijective donc ${(u_{G})}^{n}$ aussi. Or $G = Im {(u_{G})}^{n} \subset Im (u^{n}) = I$ . On a alors $dim F \leq dim N$ , $dim G \leq dim I$ et $dim F + dim G = dim N + dim I$ donc $dim F = dim N$ et $dim G = dim I$ . Par inclusion et égalité des dimensions, $F = N$ et $G = I$ .

Exercice 12 3006 NAVALE (MP)Correction

Soit $E$ l’ensemble des endomorphismes de $ℳ_{n} (ℝ)$ vérifiant

\forall M \in ℳ_{n} (ℝ), u (M^{⊤}) = {(u (M))}^{⊤} .

(a)

Vérifier que $E$ est une $ℝ$ -algèbre.
(b)

Déterminer sa dimension.

Solution

(a)

L’ensemble $E$ est une partie de l’algèbre $ℒ (ℳ_{n} (ℝ))$ et celle-ci contient l’endomorphisme identité.

Soient $λ, μ \in ℝ$ et $u, v \in E$ . Pour tout $M \in ℳ_{n} (ℝ)$ ,

$(λ u + μ v) (M^{⊤}) = λ u (M^{⊤}) + μ v (M^{⊤}) = λ {(u (M))}^{⊤} + μ {(v (M))}^{⊤} = {((λ u + μ v) (M))}^{⊤}$

et

$(u \circ v) (M^{⊤}) = u (v (M^{⊤})) = u ({(v (M))}^{⊤}) = {(u (v (M)))}^{⊤} = {((u \circ v) (M))}^{⊤} .$

Ainsi, $λ u + μ v \in E$ et $u \circ v \in E$ .

L’ensemble $E$ est une sous-algèbre de $ℒ (M_{n} (ℝ))$ .
(b)

Soit $u \in E$ . Si $M$ est une matrice symétrique (resp. antisymétrique), $u (M)$ l’est aussi: les sous-espaces vectoriels $𝒮_{n} (ℝ)$ et $𝒜_{n} (ℝ)$ sont donc stables par $u$ . Inversement, supposons les sous-espaces vectoriels $𝒮_{n} (ℝ)$ et $𝒜_{n} (ℝ)$ stables par $u$ endomorphisme de $ℳ_{n} (ℝ)$ . Pour tout $M \in ℳ_{n} (ℝ)$ , on écrit $M = S + A$ avec $S \in 𝒮_{n} (ℝ)$ et $A \in 𝒜_{n} (ℝ)$ . Par linéarité, $u (M) = u (S) + u (A)$ et $u (M^{⊤}) = u (S - A) = u (S) - u (A)$ . Or $u (S)$ est symétrique et $u (A)$ antisymétrique donc

$u (M^{⊤}) = {(u (S))}^{⊤} + {(u (A))}^{⊤} = {(u (S) + u (A))}^{⊤} = {(u (M))}^{⊤} .$

L’ensemble $E$ est donc exactement constitué des endomorphismes de $ℳ_{n} (ℝ)$ stabilisant les sous-espaces vectoriels $𝒮_{n} (ℝ)$ et $𝒜_{n} (ℝ)$ . Ces espaces étant supplémentaires, un endomorphisme élément de $E$ est déterminé¹¹ 1 Autrement dit, on peut introduire un isomorphisme entre $E$ et $ℒ (𝒮_{n} (ℝ)) \times ℒ (𝒜_{n} (ℝ))$ par ses restrictions à ceux-ci qui sont des endomorphismes de $𝒮_{n} (ℝ)$ et $𝒜_{n} (ℝ)$ . On en déduit

$dim E$ $= dim (ℒ (𝒮_{n} (ℝ)) \times ℒ (𝒜_{n} (ℝ)))$

$= dim ℒ (𝒮_{n} (ℝ)) + dim ℒ (𝒜_{n} (ℝ))$

$= {(\frac{n (n + 1)}{2})}^{2} + {(\frac{n (n - 1)}{2})}^{2} = \frac{n^{2} (n^{2} + 1)}{2} .$

Exercice 13 216 Correction

Soient $u \in ℒ (E)$ (avec $dim E < + \infty$ ) nilpotent et $p \in ℕ^{*}$ tel que $u^{p} = 0$ .

(a)

Montrer que pour tout $k \in {1, \dots, p}$ , il existe un sous-espace vectoriel $F_{k}$ de $E$ tel que

$Ker (u^{k}) = Ker (u^{k - 1}) \oplus F_{k} .$
(b)

Établir que $E = F_{1} \oplus \dots \oplus F_{p}$ .
(c)

Observer que la matrice de $u$ dans une base adaptée à la somme directe ci-dessus est triangulaire supérieure à coefficients diagonaux nuls.

Solution

(a)

$Ker (u^{k - 1})$ est un sous-espace vectoriel de $Ker (u^{k})$ et, comme on se place en dimension finie, tout sous-espace vectoriel admet un supplémentaire.
(b)

On écrit

$E$ $= Ker (u^{p}) = Ker (u^{p - 1}) \oplus F_{p}$

$= Ker (u^{p - 2}) \oplus F_{p - 1} \oplus F_{p} = \dots$

$= Ker (u^{0}) \oplus F_{1} \oplus \dots \oplus F_{p}$

avec $Ker (u^{0}) = {0}$ .
(c)

Dans une base adaptée à cette décomposition la matrice de $u$ est de la forme

$(\begin{matrix} 0 & (*) \\ ⋱ \\ (0) & 0 \end{matrix})$

car l’endomorphisme $u$ envoie les vecteurs de l’espace $F_{k}$ dans

$Ker (u_{k - 1}) = F_{1} \oplus \dots \oplus F_{k - 1} .$

Exercice 14 3459 Correction

Soient $E$ un $ℝ$ -espace vectoriel de dimension finie $n$ non nulle et $f \in ℒ (E)$ vérifiant $f^{2} = - {Id}_{E}$ .

(a)

Soit $a \in E$ non nul. Montrer que la famille $(a, f (a))$ est libre.
On pose $F (a) = Vect (a, f (a))$ .
(b)

Montrer qu’il existe des vecteurs de $E$ $a_{1}, \dots, a_{p}$ non nuls tels que

$E = F (a_{1}) \oplus \dots \oplus F (a_{p}) .$
(c)

En déduire que la dimension de $E$ est paire et justifier l’existence d’une base de $E$ dans laquelle la matrice de $f$ est simple.

Solution

(a)

Supposons

$λ a + μ f (a) = 0_{E} .$

En appliquant $f$ , on obtient

$- μ a + λ f (a) = 0_{E} .$

La combinaison $λ (1) - μ (2)$ donne $(λ^{2} + μ^{2}) a = 0_{E}$ , or $a \neq 0_{E}$ donc $λ = μ = 0$ puisque $λ, μ \in ℝ$ .
(b)

Montrons par récurrence sur $k \in ℕ^{*}$ la propriété
« il existe $a_{1}, \dots, a_{k}$ non nuls tels que les espaces $F (a_{1}), \dots, F (a_{k})$ sont en somme directe » ou « il existe $p \in ℕ^{*}$ et il existe $a_{1}, \dots, a_{p}$ tel que $E = F (a_{1}) \oplus \dots \oplus F (a_{p})$ . »

Pour $k = 1$ la propriété est claire car $E \neq {0_{E}}$ .

Supposons la propriété établie au rang $k$ .

Puisque la propriété est supposée vraie au rang $k$ l’une des deux alternatives définissant celle-ci est vérifiée. Si c’est la seconde alors la propriété est immédiate vérifiée au rang $k + 1$ . Sinon, c’est qu’il existe $a_{1}, \dots, a_{k}$ vecteurs non nuls de $E$ tels que les espaces $F (a_{1}), \dots, F (a_{k})$ sont en somme directe.

Si $E = F (a_{1}) \oplus \dots \oplus F (a_{k})$ alors la propriété est vérifiée au rang $k + 1$ en choisissant $p = k$ .

Sinon, il existe $a_{k + 1} \in E$ tel que $a_{k + 1} \notin F (a_{1}) \oplus \dots \oplus F (a_{k})$ . Montrons qu’alors les espaces $F (a_{1}), \dots, F (a_{k}), F (a_{k + 1})$ sont en somme directe.

Supposons

$x_{1} + \dots + x_{k} + x_{k + 1} = 0_{E}$

avec $x_{j} = λ_{j} a_{j} + μ_{j} f (a_{j}) \in F (a_{j})$ .

En appliquant $f$ , on obtient

$y_{1} + \dots + y_{k} + y_{k + 1} = 0_{E}$

avec $y_{j} = - μ_{j} a_{j} + λ_{j} f (a_{j})$ .

La combinaison $λ_{k + 1} (3) - μ_{k + 1} (4)$ donne alors

$(λ_{k + 1}^{2} + μ_{k + 1}^{2}) a_{k + 1} \in F (a_{1}) \oplus \dots \oplus F (a_{k})$

et donc $λ_{k + 1} = μ_{k + 1} = 0$ car on a choisi $a_{k + 1} \notin F (a_{1}) \oplus \dots \oplus F (a_{k})$ .

On en déduit $x_{k + 1} = 0_{E}$ et la relation $(3)$ devient $x_{1} + \dots + x_{k} = 0_{E}$ qui donne $x_{1} = \dots = x_{k} = 0_{E}$ car les espaces $F (a_{1}), \dots, F (a_{k})$ sont en somme directe.

La récurrence établie.
(c)

Ce qui précède assure $dim E = 2 p$ et, dans la base $(a_{1}, f (a_{1}), \dots, a_{p}, f (a_{p}))$ , la matrice de $f$ est diagonale par blocs avec des blocs diagonaux égaux à

$(\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) .$

Exercice 15 3116 X (MP)

Soient $u$ un endomorphisme nilpotent d’un espace vectoriel $E$ non réduit au vecteur nul et $S$ un sous-espace vectoriel de $E$ stable par $u$ tel que $E = S + Im (u)$ .

Montrer $S = E$ .

[>] Détermination d'espaces stables

Édité le 29-08-2023

	$dim E$	$= dim (ℒ (𝒮_{n} (ℝ)) \times ℒ (𝒜_{n} (ℝ)))$
		$= dim ℒ (𝒮_{n} (ℝ)) + dim ℒ (𝒜_{n} (ℝ))$
		$= {(\frac{n (n + 1)}{2})}^{2} + {(\frac{n (n - 1)}{2})}^{2} = \frac{n^{2} (n^{2} + 1)}{2} .$

	$E$	$= Ker (u^{p}) = Ker (u^{p - 1}) \oplus F_{p}$
		$= Ker (u^{p - 2}) \oplus F_{p - 1} \oplus F_{p} = \dots$
		$= Ker (u^{0}) \oplus F_{1} \oplus \dots \oplus F_{p}$

Sous-espaces stables