[>] Détermination d'espaces stables

 
Exercice 1  5114  

Soient u et v deux endomorphismes d’un espace vectoriel E vérifiant uv=vu.

  • (a)

    Montrer que les espaces Ker(u) et Im(u) sont stables par v.

  • (b)

    Soient f un endomorphisme de E et p une projection de E. Montrer

    pf=fpIm(p) et Ker(p) sont stables par f.
 
Exercice 2  5065  

Soient u et v deux endomorphismes d’un 𝕂-espace vectoriel E tels que uv=vu. Montrer que les sous-espaces propres de u sont stables par v.

 
Exercice 3  4345  

Soit u un endomorphisme de rang 1 d’un espace vectoriel réel E.

Montrer qu’il existe un réel λ valeur propre de u tel que u2=λ.u.

 
Exercice 4  5306    ENSTIM (MP)Correction  

Soient E un espace de dimension finie, u un endomorphisme de E et F un sous-espace vectoriel stable par u.

  • (a)

    Donner la définition d’un sous-espace vectoriel stable par un endomorphisme.

  • (b)

    Soit G un sous-espace vectoriel de E tel que E=FG. Donner la matrice de u dans une base adaptée à l’écriture précédente.

Solution

  • (a)

    Un sous-espace vectoriel F est stable par un endomorphisme u si, et seulement si, u(x)F pour tout xF.

  • (b)

    La matrice est triangulaire par blocs

    (AB0C)

    avec A figurant l’endomorphisme induit par u sur F.

 
Exercice 5  5115  

Soient u un endomorphisme d’un espace vectoriel réel E de dimension n1 et =(e1,,en) une base de E.

  • (a)

    Montrer qu’il y a équivalence entre:

    • (i)

      la matrice de u dans est triangulaire supérieure;

    • (ii)

      u(ej)Vect(e1,,ej) pour tout j1;n;

    • (iii)

      l’espace Vect(e1,,ek) est stable par u pour tout k1;n.

  • (b)

    Comment interpréter que la matrice de u dans est triangulaire inférieure?

 
Exercice 6  3462   

Soit u endomorphisme d’un 𝕂-espace vectoriel E de dimension finie n2. On suppose que E et {0E} sont les seuls11 1 En dimension finie, un endomorphisme d’un espace complexe admet au moins une valeur propre et donc une droite vectorielle stable, un endomorphisme d’un espace réel admet quant à lui au moins une droite ou un plan vectoriel stable (voir sujet 4328). Pour n3, l’hypothèse de ce sujet pourra être rencontrée si 𝕂=. sous-espaces vectoriels stables par u.

  • (a)

    L’endomorphisme u possède-t-il des valeurs propres?

Soit x un vecteur non nul de E.

  • (b)

    Montrer que la famille ex=(x,u(x),,un-1(x)) est une base de E.

  • (c)

    On note a0,a1,,an-1 les coordonnées de un(x) dans la base ex. Établir

    un=a0.IdE+a1.u++an-1.un-1.
  • (d)

    Exprimer la matrice de u dans la base ex.

 
Exercice 7  758   Correction  

Soit u un endomorphisme d’un 𝕂-espace vectoriel E de dimension finie.
On pose

N=pKer(up)etI=pIm(up).
  • (a)

    Montrer qu’il existe n tel que N=Ker(un) et I=Im(un).

  • (b)

    Établir que N et I sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires stables par u et tels que les restrictions de u à N et I soient respectivement nilpotente et bijective.

  • (c)

    Réciproquement, on suppose E=FG avec F et G sous-espaces vectoriels stables par u tels que les restrictions de u à F et G soient respectivement nilpotente et bijective. Établir F=N et G=I.

Solution

  • (a)

    Rappelons que les suites (Ker(up))p et (Im(up))p sont respectivement croissante et décroissante pour l’inclusion. La suite (dimKer(up))p est une suite croissante et majorée d’entiers naturels, elle est donc stationnaire

    n,pn,dimKer(up)=dimKer(un)

    Or Ker(up)Ker(un) donc Ker(up)=Ker(un) puis N=Ker(un). Aussi,

    dimIm(up)=dimE-dimKer(up)=dimE-dimKer(un)=dimIm(un)

    et Im(up)Im(un) donc Im(up)=Im(un) puis I=Im(un).

  • (b)

    En vertu du théorème du rang,

    dimN+dimI=dimKer(un)+dimIm(un)=dimE

    Soit xNI. Il existe aE tel que x=un(a) et alors un(x)=0 donc u2n(a)=0. Ainsi, aKer(u2n)=Ker(un) donc x=un(a)=0. On en déduit NI={0} d’où E=NI.

    Les endomorphismes u et un commutent donc N et I sont stables par u.

    Aussi,

    (uN)n=(un)Ker(un)=0

    et l’endomorphisme induit uN est donc nilpotente.

    L’égalité Im(un+1)=Im(un) donne u(Im(un))=Im(un) donc uI est surjective puis bijective car dimIm(un)<+.

  • (c)

    Par supplémentarité,

    dimE=dimF+dimG=dimN+dimI.

    Il existe p, tel que (uF)p=0 donc FKer(up)N.

    L’endomorphisme induit uG est bijective donc (uG)n aussi. Or G=Im(uG)nIm(un)=I. On a alors dimFdimN, dimGdimI et dimF+dimG=dimN+dimI donc dimF=dimN et dimG=dimI. Par inclusion et égalité des dimensions, F=N et G=I.

 
Exercice 8  216   Correction  

Soient u(E) (avec dimE<+) nilpotent et p* tel que up=0.

  • (a)

    Montrer que pour tout k{1,,p}, il existe un sous-espace vectoriel Fk de E tel que

    Ker(uk)=Ker(uk-1)Fk.
  • (b)

    Établir que E=F1Fp.

  • (c)

    Observer que la matrice de u dans une base adaptée à la somme directe ci-dessus est triangulaire supérieure à coefficients diagonaux nuls.

Solution

  • (a)

    Ker(uk-1) est un sous-espace vectoriel de Ker(uk) et, comme on se place en dimension finie, tout sous-espace vectoriel admet un supplémentaire.

  • (b)

    On écrit

    E =Ker(up)=Ker(up-1)Fp
    =Ker(up-2)Fp-1Fp=
    =Ker(u0)F1Fp

    avec Ker(u0)={0}.

  • (c)

    Dans une base adaptée à cette décomposition la matrice de u est de la forme

    (0(*)(0)0)

    car l’endomorphisme u envoie les vecteurs de l’espace Fk dans

    Ker(uk-1)=F1Fk-1.
 
Exercice 9  3459   Correction  

Soient E un -espace vectoriel de dimension finie n non nulle et f(E) vérifiant f2=-IdE.

  • (a)

    Soit aE non nul. Montrer que la famille (a,f(a)) est libre.
    On pose F(a)=Vect(a,f(a)).

  • (b)

    Montrer qu’il existe des vecteurs de E a1,,ap non nuls tels que

    E=F(a1)F(ap).
  • (c)

    En déduire que la dimension de E est paire et justifier l’existence d’une base de E dans laquelle la matrice de f est simple.

Solution

  • (a)

    Supposons

    λa+μf(a)=0E.

    En appliquant f, on obtient

    -μa+λf(a)=0E.

    La combinaison λ(1)-μ(2) donne (λ2+μ2)a=0E, or a0E donc λ=μ=0 puisque λ,μ.

  • (b)

    Montrons par récurrence sur k* la propriété
    «  il existe a1,,ak non nuls tels que les espaces F(a1),,F(ak) sont en somme directe   » ou «  il existe p* et il existe a1,,ap tel que E=F(a1)F(ap).   »

    Pour k=1 la propriété est claire car E{0E}.

    Supposons la propriété établie au rang k.

    Puisque la propriété est supposée vraie au rang k l’une des deux alternatives définissant celle-ci est vérifiée. Si c’est la seconde alors la propriété est immédiate vérifiée au rang k+1. Sinon, c’est qu’il existe a1,,ak vecteurs non nuls de E tels que les espaces F(a1),,F(ak) sont en somme directe.

    Si E=F(a1)F(ak) alors la propriété est vérifiée au rang k+1 en choisissant p=k.

    Sinon, il existe ak+1E tel que ak+1F(a1)F(ak). Montrons qu’alors les espaces F(a1),,F(ak),F(ak+1) sont en somme directe.

    Supposons

    x1++xk+xk+1=0E

    avec xj=λjaj+μjf(aj)F(aj).

    En appliquant f, on obtient

    y1++yk+yk+1=0E

    avec yj=-μjaj+λjf(aj).

    La combinaison λk+1(3)-μk+1(4) donne alors

    (λk+12+μk+12)ak+1F(a1)F(ak)

    et donc λk+1=μk+1=0 car on a choisi ak+1F(a1)F(ak).

    On en déduit xk+1=0E et la relation (3) devient x1++xk=0E qui donne x1==xk=0E car les espaces F(a1),,F(ak) sont en somme directe.

    La récurrence établie.

  • (c)

    Ce qui précède assure dimE=2p et, dans la base (a1,f(a1),,ap,f(ap)), la matrice de f est diagonale par blocs avec des blocs diagonaux égaux à

    (0-110).
 
Exercice 10  3116     X (MP)

Soit u un endomorphisme nilpotent d’un espace vectoriel E non réduit au vecteur nul et S un sous-espace vectoriel de E stable par u et tel que E=S+Im(u).

Montrer S=E.

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Édité le 08-11-2019

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