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Exercice 1  805  Correction  

Soient f,g endomorphisme d’un 𝕂-espace vectoriel E de dimension finie.

On suppose que f est diagonalisable. Montrer

fg=gf chaque sous-espace propre de f est stable par g.

Solution

() Supposons f et g commutent.

xKer(f-λ.Id),(f-λId)(g(x))=g(f(x)-λx)=0

donc Ker(f-λId) est stable par g.

() Supposons que chaque sous-espace propre soit stable par g.
Puisque E=λSp(f)Eλ(f), pour tout xE, on peut écrire x=λSp(f)xλ avec xλEλ et alors

(gf)(x)=λSp(f)λg(xλ)=(fg)(x)

donc fg=gf.

 
Exercice 2  807   

Soit u un endomorphisme d’un espace vectoriel complexe E de dimension finie non nulle vérifiant11 1 On dit que l’endomorphisme u est semi-simple.:

«  Tout sous-espace vectoriel stable par u admet un supplémentaire stable   ».

Montrer que l’endomorphisme u est diagonalisable.

 
Exercice 3  3464   Correction  

Soit u un endomorphisme d’un -espace vectoriel E de dimension finie non nulle
Montrer qu’il existe une droite vectorielle ou un plan vectoriel stable par u.

Solution

Si l’endomorphisme u possède une valeur propre alors la droite vectorielle engendrée par un vecteur propre associé est évidemment stable par u.
Sinon, la matrice réelle A représentant u dans une base n’a que des valeurs propres complexes non réelles. Parmi celles-ci considérons en une que nous notons λ. Il existe alors une colonne complexe Z non nulle telle que AZ=λZ. En écrivant λ=α+iβ et Z=X+iY avec α,β,X,Y réels, l’équation précédente donne

AX=αX-βY et AY=βX+αY.

Considérons ensuite les vecteurs x et y de E représentés par les colonnes réelles X et Y. Les relations précédentes donnent

u(x),u(y)Vect(x,y)

et donc le sous-espace vectoriel Vect(x,y) est stable par u.
Or celui-ci n’est pas nul car Z0 et est donc de dimension 1 ou 2 (et en fait 2 car l’absence de valeurs propres réelles dans le cas présent signifie l’absence de droite vectorielle stable).

 
Exercice 4  3745     CENTRALE (PC)Correction  

Soient f une endomorphisme de n et A sa matrice dans la base canonique de n. On suppose que λ est une valeur propre non réelle de A et que Zn est un vecteur propre associé.
On note X et Y les vecteurs de n dont les composantes sont respectivement les parties réelles et imaginaires des composantes de Z.

  • (a)

    Montrer que X et Y sont non colinéaires.

  • (b)

    Montrer que Vect(X,Y) est stable par f.

  • (c)

    On suppose que la matrice de f est donnée par

    A=(1100-120100-101001).

    Déterminer tous les plans stables par f.
    Énoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Solution

  • (a)

    Par l’absurde supposons X et Y colinéaires. Il existe alors une colonne X0 réelle telle que

    X=αX0 et Y=βX0 avec (α,β)(0,0).

    On a alors Z=(α+iβ)X0 et la relation AZ=λZ donne

    (α+iβ)AX0=λ(α+iβ)X0.

    Puisque α+iβ0, on peut simplifier et affirmer AX0=λX0. Or X0 est une colonne réelle donc, en conjuguant, AX0=λ¯X0 puis λ ce qui est exclu.

  • (b)

    On écrit λ=a+ib avec a,b. La relation AZ=λZ donne en identifiant parties réelles et imaginaires

    AX=aX-bY et AY=aY+bX.

    On en déduit que Vect(X,Y) est stable par A.

  • (c)

    Le polynôme caractéristique de f est

    (X+1)(X-2)(X2-2X+2).

    Les valeurs propres de A sont -1,2 et 1±i avec

    E-1(A)=Vect(0010)t,E2(A)=Vect(1101)t et E1+i(A)=Vect(i-101)t.

    Soit P un plan stable par f. Le polynôme caractéristique de l’endomorphisme u induit par f sur ce plan divise le polynôme caractéristique de f tout en étant réel et de degré 2. Ce polynôme caractéristique ne peut qu’être

    (X+1)(X-2) ou X2-2X+2.

    Dans le premier cas, 1 et 2 sont valeurs propres de u et les vecteurs propres associés sont ceux de f. Le plan P est alors

    Vect{(0010),(1101)}.

    Dans le second cas, pour tout xP, on a par le théorème de Cayley Hamilton

    u2(x)-2u(x)+2x=0E

    et donc la colonne X des coordonnées de x vérifie

    XKer(A2-2A+2I4).

    Après calculs, on obtient

    XVect((1000)t,(0-101)t.

    Ainsi, le plan est inclus dans le plan

    Vect{(1000),(0-101)}

    ce qui suffit à le déterminer.

 
Exercice 5  761   Correction  

Soient E un 𝕂-espace vectoriel muni d’une base , f(E) et H un hyperplan.

  • (a)

    Déterminer la dimension du sous-espace vectoriel {uE*|u(H)={0}}.

  • (b)

    Montrer que si H a pour équation u(x)=0 alors H est stable par f si, et seulement si, uf est colinéaire à u.

  • (c)

    Soient A et L les matrices dans de f et u.
    Montrer que H est stable par f si, et seulement si, Lt est vecteur propre de At

  • (d)

    Déterminer les plans stables par

    A=(3-2-4-1111-2-2).

Solution

  • (a)

    Si eH alors la valeur de u(e) détermine entièrement un élément u de {uE*|u(H)={0}}. Cela permet de mette en place un isomorphisme entre {uE*|u(H)={0}} et 𝕂. La dimension cherchée vaut 1.

  • (b)

    Si H est stable par f alors, pour tout xH, u(f(x))=0 donc

    uf{vE*|v(H)={0}}.

    Or u est un élément non nul de cette droite vectorielle donc uf est colinéaire à u. La réciproque est immédiate.

  • (c)

    Mat(u)=L0 (car u définit une équation d’hyperplan), Mat(uf)=LA donc

    uf=λu LA=λL
    AtLt=λLt

    avec Lt colonne non nulle.

  • (d)

    Sp(At)=Sp(A)={1,2,-1}. Une base de vecteurs propres est formée des vecteurs (-1,-1,1), (0,1,1) et (-1,0,1). Les plans stables par f sont ceux d’équations x+y-z=0, y+z=0 et x-z=0.

 
Exercice 6  4991    

Soit u un endomorphisme d’un espace vectoriel E de dimension n1.

On suppose un=0 et rg(u)=n-1.

  • (a)

    Déterminer la dimension de Ker(uk) pour tout k0;n.

  • (b)

    Montrer que pour tout k0;n, l’endomorphisme u admet un et un seul sous-espace vectoriel stable de dimension k.

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Édité le 08-11-2019

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