[<] Diagonalisabilité d'une matrice par étude des éléments propres [>] Diagonalisation d'une matrice

 
Exercice 1  2391    CENTRALE (MP)Correction  

Soient 𝕂 un sous-corps de et

J=(1111)n(𝕂).

Montrer que J est diagonalisable.

Solution

Notons =(e1,,en) la base canonique de 𝕂n et f l’endomorphisme de 𝕂n dont la matrice dans est J.
Posons ε1=e1++en, de sorte que f(ε1)=nε1.
Puisque rg(f)=rg(J)=1, on peut introduire (ε2,,εn) base du noyau de f.
Il est alors clair que =(ε1,,εn) est une base de 𝕂n et que la matrice de f dans celle-ci est diagonale.
On peut aussi observer J2=nJ et exploiter que X(X-n) est un polynôme annulateur scindé simple de J.

 
Exercice 2  793  Correction  

Soit An() telle que rg(A)=1.
Établir

A diagonalisable si, et seulement si, tr(A)0.

Solution

Via un changement de bases réalisé de sorte que les premiers vecteurs soient dans le noyau de A, on peut écrire

P-1AP=(On-1*0λ)

avec λ=tr(A).
Si λ0 alors λ est valeur propre de A ce qui permet de diagonaliser A.
Si A est diagonalisable, sachant que A n’est pas nulle, λ0.

 
Exercice 3  791  Correction  

Parmi les matrices élémentaires Ei,j de n(𝕂), lesquelles sont diagonalisables?

Solution

Ei,i est diagonale donc diagonalisable.
Pour ij, χEi,j(X)=(-1)nXn donc seul 0 est valeur propre. Par suite, si Ei,j est diagonalisable alors Ei,j=0 ce qui est incorrect. Conclusion Ei,j diagonalisable si, et seulement si, i=j.

 
Exercice 4  3187    CCP (MP)Correction  
  • (a)

    Soit f un endomorphisme d’un -espace vectoriel de dimension finie. Si a est valeur propre de f, de multiplicité m, et si E(f,a) est le sous-espace propre attaché, montrer

    1dimE(f,a)m.
  • (b)

    Soit

    A=(1111222233334444).

    Déterminer simplement les valeurs propres de A.
    La matrice A est-elle diagonalisable?

Solution

  • (a)

    Il suffit de calculer le polynôme caractéristique de f à partir d’une représentation matricielle triangulaire par blocs relative à une base adaptée à l’espace non nul E(f,a).

  • (b)

    La matrice A est de rang 1 donc 0 est valeur propre de A et par la formule du rang dimE(A,0)=3.
    Le polynôme caractéristique de A étant de degré 4 et factorisable par X3, c’est un polynôme scindé. La somme des valeurs propres de A comptées avec multiplicité vaut alors tr(A)=10.
    Par suite, 10 est valeur propre de A de multiplicité nécessairement 1.

    Finalement, la matrice A est diagonalisable semblable à diag(0,0,0,10).

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Édité le 08-11-2019

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