[<] Sous-espaces stables [>] Applications des sous-espaces stables

 
Exercice 1  3054  Correction  

Soient x un vecteur non nul et f un endomorphisme d’un 𝕂-espace vectoriel E.

Montrer que D=Vect(x) est stable par f si, et seulement si, il existe un scalaire λ tel que f(x)=λ.x.

Solution

Si D est stable par f alors f(x)D et il existe donc λ𝕂 tel que f(x)=λ.x.

Inversement, s’il existe λ𝕂 tel que f(x)=λ.x alors, pour tout yD, on peut écrire y=α.x avec α𝕂 et

f(y)=α.f(x)=(αλ).xD

Ainsi, D est stable pâr f.

 
Exercice 2  4973     MINES (PC)

Soient φ une forme linéaire non nulle sur n et f un endomorphisme de n.

Montrer que le noyau de φ est stable par f si, et seulement si, il existe un réel λ tel que φf=λφ.

 
Exercice 3  4977     X (PC)

Soit =(e1,,en) la base canonique de n. Déterminer les sous-espaces stables par l’endomorphisme f de n figuré dans par la matrice

J=(01(0)1(0)0).
 
Exercice 4  757   

Déterminer les sous-espaces vectoriels stables pour l’endomorphisme D de dérivation dans 𝕂[X].

 
Exercice 5  4164     CENTRALE (MP)Correction  

On se place dans le -espace vectoriel E=[X].

  • (a)

    Soit H un sous-espace vectoriel de dimension finie et f un endomorphisme de H. Montrer qu’il existe p tel que

    kp,Ker(fk+1)=Ker(fk).

Soit F un sous-espace vectoriel de E stable par l’opérateur D de dérivation.

  • (b)

    On suppose que F est de dimension finie non nulle. Montrer que l’endomorphisme induit par D sur n[X] est nilpotent pour tout n. Montrer qu’il existe m tel que F=m[X].

  • (c)

    Montrer que si F est de dimension infinie alors F=[X].

  • (d)

    Soit g(E) tel que g2=kId+D avec k. Quel est le signe de k?

Solution

  • (a)

    Les noyaux croissent donc leurs dimensions croissent. Or ces dernières forment une suite croissante et majorée donc stationnaire.

  • (b)

    n[X] est stable par D et, puisque la dérivée d’ordre n+1 d’un polynôme de degré n est nulle, l’endomorphisme induit par D sur n[X] est nilpotent.

    Soit F de dimension finie stable par D. Il existe nn[X] tel que Fn[X]. D est nilpotent sur n[X] donc l’endomorphisme induit par D sur F l’est aussi. Posons m+1 la dimension de F. L’endomorphisme induit par la dérivation et assurément nilpotent d’ordre inférieur à m+1 et donc

    PF,Dm+1(P)=0.

    Ceci donne Fm[X] et l’on obtient l’égalité par argument de dimension.

  • (c)

    On suppose F de dimension infinie.

    Soit P[X] et n son degré. Il existe QF tel que deg(Q)n. La famille (Q,D(Q),,DqQ) (avec q=deg(Q)) est une famille de polynômes de degrés étagés tous éléments de F. On a donc

    Pq[X]=Vect(Q,D(Q),,Dq(Q))F.
  • (d)

    Supposons g2=kId+D.

    D est un polynôme en g et donc commute avec g. Le noyau de D est alors stable par g. Ainsi, on peut écrire g(1)=λ et alors g2(1)=λ2=k. On en déduit k0.

    On a même k>0, car si g2=D alors Ker(g2) est de dimension 1. Or Ker(g)Ker(g2) et donc dimKer(g)=0 ou 1. Le premier cas est immédiatement exclu et le second l’est aussi car si Ker(g)=Ker(g2), les noyaux itérés qui suivent sont aussi égaux.

    Au surplus, k>0 est possible. Si on écrit le développement en série entière

    1+x=n=0+anxn

    alors

    g=kn=0+an(Dk)n

    définit un endomorphisme solution (il n’y a pas de problème de convergence à résoudre, car pour chaque polynôme P la somme est constituée de termes nuls à partir d’un certain rang).

 
Exercice 6  4344   

On munit l’espace n,1() du produit scalaire canonique défini par X,Y=XtY.

  • (a)

    Montrer qu’un sous-espace vectoriel F de n,1() est stable par A si, et seulement si, F est stable par At.

  • (b)

    Déterminer les sous-espaces vectoriels stables par l’endomorphisme u de 3 figuré dans la base canonique par la matrice

    A=(-322-102001).

[<] Sous-espaces stables [>] Applications des sous-espaces stables



Édité le 08-11-2019

Bootstrap Bootstrap 3 - LaTeXML [LOGO] - Powered by MathJax Powered by MathJax