Exercice 1 3054 Correction

Soient $x$ un vecteur non nul et $f$ un endomorphisme d’un $𝕂$ -espace vectoriel $E$ .

Montrer que $D = Vect (x)$ est stable par $f$ si, et seulement si, il existe un scalaire $λ$ tel que $f (x) = λ . x$ .

Solution

Si $D$ est stable par $f$ alors $f (x) \in D$ et il existe donc $λ \in 𝕂$ tel que $f (x) = λ . x$ .

Inversement, s’il existe $λ \in 𝕂$ tel que $f (x) = λ . x$ alors, pour tout $y \in D$ , on peut écrire $y = α . x$ avec $α \in 𝕂$ et

f (y) = α . f (x) = (α λ) . x \in D .

Ainsi, $D$ est stable pâr $f$ .

Exercice 2 5733 Correction

Soient $u$ un endomorphisme d’un espace vectoriel $E$ de dimension finie $n \in ℕ^{*}$ et $x$ un vecteur non nul de $E$ .

(a)

Justifier qu’il existe $p \in ℕ^{*}$ tel que la famille $(x, u (x), \dots, u^{p - 1} (x))$ est libre tandis que $(x, u (x), \dots, u^{p - 1} (x), u^{p} (x))$ est liée.
(b)

Observer qu’alors l’espace $F_{x} = Vect (x, u (x), \dots, u^{p - 1} (x))$ est stable par $u$ .

Solution

(a)

Soit

$A = {p \in ℕ | la famille (x, u (x), \dots, u^{p - 1} (x)) est libre} .$

Cet ensemble est une partie de $ℕ$ non vide car $0 \in A$ puisque la famille réduite au vecteur non nul $x$ est libre. Aussi, l’ensemble $A$ est majoré par $n$ car toute famille libre de vecteurs de $E$ ne peut comporter plus de $n = dim E$ vecteurs.

L’ensemble $A$ possède donc un plus grand élément. En notant $p$ celui-ci, on obtient que la famille $(x, u (x), \dots, u^{p - 1} (x))$ est libre car $p \in A$ alors que $(x, u (x), \dots, u^{p - 1} (x), u^{p} (x))$ est liée car $p + 1 \notin A$ .
(b)

Puisque la famille $(x, u (x), \dots, u^{p - 1} (x))$ est libre alors que $(x, u (x), \dots, u^{p - 1} (x), u^{p} (x))$ est liée, nécessairement, $u^{p} (x)$ est combinaison linéaire des vecteurs de la famille $(x, u (x), \dots, u^{p - 1} (x))$ . On observe alors

${\begin{matrix} u (x) & \in F_{x} \\ u (u (x)) = u^{2} (x) & \in F_{x} \\ ⋮ \\ u (u^{p - 2} (x)) = u^{p - 1} (x) & \in F_{x} \\ u (u^{p - 1} (x)) = u^{p} (x) & \in F_{x} . \end{matrix}$

Ainsi, les images par $u$ des vecteurs engendrant $F_{x}$ appartiennent à $F_{x}$ . Par combinaison linéaire, toute image par $u$ d’un vecteur de $F_{x}$ est élément de $F_{x}$ : l’espace $F_{x}$ est stable par $u$ .

Exercice 3 4973 MINES (PC)

Soient $φ$ une forme linéaire non nulle sur $ℝ^{n}$ et $f$ un endomorphisme de $ℝ^{n}$ .

Montrer que le noyau de $φ$ est stable par $f$ si, et seulement si, il existe un réel $λ$ tel que $φ \circ f = λ φ$ .

Exercice 4 4977 X (PC)

Soit $ℬ = (e_{1}, \dots, e_{n})$ la base canonique de $ℝ^{n}$ . Déterminer les sous-espaces stables par l’endomorphisme $f$ de $ℝ^{n}$ figuré dans $ℬ$ par la matrice

J = (\begin{matrix} 0 & 1 & (0) \\ ⋱ & ⋱ \\ ⋱ & 1 \\ (0) & 0 \end{matrix}) .

Exercice 5 757

Déterminer les sous-espaces vectoriels stables pour l’endomorphisme $D$ de dérivation dans $𝕂 [X]$ .

Exercice 6 4164 CENTRALE (MP)Correction

On se place dans le $ℝ$ -espace vectoriel $E = ℝ [X]$ .

(a)

Soit $H$ un sous-espace vectoriel de dimension finie et $f$ un endomorphisme de $H$ . Montrer qu’il existe $p \in ℕ$ tel que

$\forall k \geq p, Ker (f^{k + 1}) = Ker (f^{k}) .$

Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ stable par l’opérateur $D$ de dérivation.

(b)

On suppose que $F$ est de dimension finie non nulle. Montrer que l’endomorphisme induit par $D$ sur $ℝ_{n} [X]$ est nilpotent pour tout $n \in ℕ$ . Montrer qu’il existe $m \in ℕ$ tel que $F = ℝ_{m} [X]$ .
(c)

Montrer que si $F$ est de dimension infinie alors $F = ℝ [X]$ .
(d)

Soit $g \in ℒ (E)$ tel que $g^{2} = k Id + D$ avec $k \in ℝ$ . Quel est le signe de $k$ ?

Solution

(a)

Les noyaux croissent donc leurs dimensions croissent. Or ces dernières forment une suite croissante et majorée donc stationnaire.
(b)

$ℝ_{n} [X]$ est stable par $D$ et, puisque la dérivée d’ordre $n + 1$ d’un polynôme de degré $\leq n$ est nulle, l’endomorphisme induit par $D$ sur $ℝ_{n} [X]$ est nilpotent.

Soit $F$ de dimension finie stable par $D$ . Il existe $n \in ℝ_{n} [X]$ tel que $F \subset ℝ_{n} [X]$ . $D$ est nilpotent sur $ℝ_{n} [X]$ donc l’endomorphisme induit par $D$ sur $F$ l’est aussi. Posons $m + 1$ la dimension de $F$ . L’endomorphisme induit par la dérivation et assurément nilpotent d’ordre inférieur à $m + 1$ et donc

$\forall P \in F, D^{m + 1} (P) = 0 .$

Ceci donne $F \subset ℝ_{m} [X]$ et l’on obtient l’égalité par argument de dimension.
(c)

On suppose $F$ de dimension infinie.

Soit $P \in ℝ [X]$ et $n$ son degré. Il existe $Q \in F$ tel que $\deg (Q) \geq n$ . La famille $(Q, D (Q), \dots, D^{q} Q)$ (avec $q = \deg (Q)$ ) est une famille de polynômes de degrés étagés tous éléments de $F$ . On a donc

$P \in ℝ_{q} [X] = Vect (Q, D (Q), \dots, D^{q} (Q)) \subset F .$
(d)

Supposons $g^{2} = k Id + D$ .

$D$ est un polynôme en $g$ et donc commute avec $g$ . Le noyau de $D$ est alors stable par $g$ . Ainsi, on peut écrire $g (1) = λ$ et alors $g^{2} (1) = λ^{2} = k$ . On en déduit $k \geq 0$ .

On a même $k > 0$ , car si $g^{2} = D$ alors $Ker (g^{2})$ est de dimension $1$ . Or $Ker (g) \subset Ker (g^{2})$ et donc $dim Ker (g) = 0$ ou $1$ . Le premier cas est immédiatement exclu et le second l’est aussi car si $Ker (g) = Ker (g^{2})$ , les noyaux itérés qui suivent sont aussi égaux.

Au surplus, $k > 0$ est possible. Si on écrit le développement en série entière

$\sqrt{1 + x} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n}$

alors

$g = \sqrt{k} \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} {(\frac{D}{\sqrt{k}})}^{n}$

définit un endomorphisme solution (il n’y a pas de problème de convergence à résoudre, car pour chaque polynôme $P$ la somme est constituée de termes nuls à partir d’un certain rang).

Exercice 7 4344

On munit l’espace $ℳ_{n,1} (ℝ)$ du produit scalaire canonique défini par $⟨ X, Y ⟩ = X^{⊤} Y$ pour toutes colonnes $X$ et $Y$ .

(a)

Montrer qu’un sous-espace vectoriel $F$ de $ℳ_{n,1} (ℝ)$ est stable par $A$ si, et seulement si, $F^{⊥}$ est stable par $A^{⊤}$ .
(b)

Déterminer les sous-espaces vectoriels stables par l’endomorphisme $u$ de $ℝ^{3}$ figuré dans la base canonique par la matrice

$A = (\begin{matrix} - 3 & 2 & 2 \\ - 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) .$

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Édité le 29-08-2023

Détermination d'espaces stables