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Exercice 1  782   Correction  

Calculer le polynôme caractéristique de la matrice

(010001a0a1an-1).

Solution

En développant selon la première colonne

|λ-100λ-1-a0-an-2λ-an-1|[n]=-a0+λ|λ-100λ-1-a1-an-2λ-an-1|[n-1]

puis en reprenant le processus on parvient à

λn-(an-1λn-1++a1λ+a0).

On peut aussi résoudre le problème via l’opération élémentaire: C1C1+λC2++λn-1Cn.

 
Exercice 2  4351   

(Matrice compagnon)

Soient P=Xn+an-1Xn-1++a1X+a0 un polynôme de 𝕂[X] et

A=(0(0)-a01-a10(0)1-an-1)n(𝕂).

Exprimer le polynôme caractéristique de A en fonction de P.

 
Exercice 3  4350   

Soit u un endomorphisme d’un espace vectoriel réel E de dimension n2.

  • (a)

    Exprimer le polynôme caractéristique de l’endomorphisme u en fonction de tr(u) lorsque rg(u)=1.

  • (b)

    Même question en utilisant aussi tr(u2) lorsque rg(u)=2.

 
Exercice 4  784   Correction  

Soient

An=(01(0)11(0)10)n()etPn(x)=det(xIn-An).
  • (a)

    Montrer

    Pn(x)=xPn-1(x)-Pn-2(x).

    Calculer P1(x) et P2(x).

  • (b)

    Pour tout x]-2;2[, on pose x=2cos(α) avec α]0;π[. Montrer que

    Pn(x)=sin((n+1)α)sin(α).
  • (c)

    En déduire que Pn(x) admet n racines puis que An est diagonalisable.

Solution

  • (a)

    Pn(x) est un déterminant tri-diagonal. On développe selon la première colonne en un déterminant triangulaire et en un second déterminant que l’on développe selon la première ligne.

    P1(x)=x et P2(x)=x2-1.
  • (b)

    La suite (Pn(2cos(α)))n1 est une suite récurrente linéaire d’ordre 2. On introduit l’équation caractéristique associée dont les racines permettent d’exprimer le terme général de (Pn(x)) à l’aide de coefficients inconnus déterminés par les valeurs n=1 et n=2. On peut aussi simplement vérifier la relation proposée en raisonnant par récurrence double.

  • (c)

    Les xk=2cos(kπn+1) avec k{1,,n} sont racines distinctes de Pn(x).
    Ann() possède n valeurs propres distinctes donc A est diagonalisable.

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Édité le 08-11-2019

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