Soit $x\in ℝ$. $P_n(x)=\det (x{\mathrm{I}}_n-A_n)$ est un déterminant tri-diagonal

$$P_n(x)={\left|\begin{array}{cccc}\hfill x\hfill & \hfill -1\hfill & \hfill \hfill & \hfill (0)\hfill \\ \hfill -1\hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \hfill \\ \hfill \hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill -1\hfill \\ \hfill (0)\hfill & \hfill \hfill & \hfill -1\hfill & \hfill x\hfill \end{array}\right|}_{[n]}\text{.}$$

En développant selon la première ligne,

$$P_n(x)={(-1)}^{2}x{\left|\begin{array}{cccc}\hfill x\hfill & \hfill -1\hfill & \hfill \hfill & \hfill (0)\hfill \\ \hfill -1\hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \hfill \\ \hfill \hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill -1\hfill \\ \hfill (0)\hfill & \hfill \hfill & \hfill -1\hfill & \hfill x\hfill \end{array}\right|}_{[n-1]}+{(-1)}^3\times (-1)\times {\left|\begin{array}{ccccc}\hfill -1\hfill & \hfill -1\hfill & \hfill \hfill & \hfill \hfill & \hfill (0)\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill x\hfill & \hfill -1\hfill \\ \hfill \mathrm{⋮}\hfill & \hfill -1\hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \hfill \\ \hfill \mathrm{⋮}\hfill & \hfill \hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill -1\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill (0)\hfill & \hfill \hfill & \hfill -1\hfill & \hfill x\hfill \end{array}\right|}_{[n-1]}\text{.}$$

En développant selon la première colonne le deuxième déterminant,

$$P_n(x)=x{P}_{n-1}(x)-P_{n-2}(x)\text{.}$$

On a donc $P_n=X{P}_{n-1}-P_{n-2}$.

Par un calcul direct, $P_1=X$ et $P_2=X^2-1$. En posant $P_0=1$, la relation de récurrence ci-dessus est vérifiée pour $n=2$.

On vérifie la relation par récurrence double sur $n\in \mathbb{N}$.

Pour $n=0$,

$$P_0\left(2\cos (\alpha )\right)=1=\frac{\sin (\alpha )}{\sin (\alpha )}$$

Pour $n=1$,

$$P_1\left(2\cos (\alpha )\right)=2\cos (\alpha )\mathit{\hspace{1em}}\text{et}\mathit{\hspace{1em}}\frac{\sin (2\alpha )}{\sin (\alpha )}=\frac{2\sin (\alpha )\cos (\alpha )}{\sin (\alpha )}=2\cos (\alpha )\text{.}$$

Supposons la propriété vraie aux rangs $n-2$ et $n-1$ pour $n\ge 3$.

	$P_n\left(2\cos (\alpha )\right)$	$=2\cos (\alpha )P_{n-1}\left(2\cos (\alpha )\right)-P_{n-2}\left(2\cos (\alpha )\right)$
		$={\displaystyle \frac{2\cos (\alpha )\sin (n\alpha )-\sin \left((n-1)\alpha \right)}{\sin (\alpha )}}$
		$={\displaystyle \frac{2\cos (\alpha )\sin (n\alpha )-\left(\cos (\alpha )\sin (n\alpha )-\sin (\alpha )\cos (n\alpha )\right)}{\sin (\alpha )}}$
		$={\displaystyle \frac{\cos (\alpha )\sin (n\alpha )+\sin (\alpha )\cos (n\alpha )}{\sin (\alpha )}}$
		$={\displaystyle \frac{\sin \left((n+1)\alpha \right)}{\sin (\alpha )}}\text{.}$

La récurrence est établie.

Pour $k\in ⟦1;n⟧$, posons

$${\alpha }_k=\frac{k\pi }{n+1}\in ]0;\pi [\mathit{\hspace{1em}}\text{et}\mathit{\hspace{1em}}{x}_k=2\cos ({\alpha }_k)\text{.}$$

Par ce qui précède,

$$P_n(x_k)=\frac{\sin \left((n+1){\alpha }_k\right)}{\sin ({\alpha }_k)}=\frac{\sin (k\pi )}{\sin ({\alpha }_k)}=0\text{.}$$

Les réels $x_k$ sont donc racines de $P_n$. Or les valeurs $x_1,\mathrm{\dots },x_n$ sont deux à deux distinctes car les ${\alpha }_1,\mathrm{\dots },{\alpha }_n$ le sont et que ces angles évoluent dans l’intervalle $[0;\pi ]$ où la fonction cosinus est injective.

On en déduit que le polynôme $P_n$ admet au moins $n$ racines distinctes (et donc exactement $n$ car il est de degré $n$).

On en déduit que la matrice $A_n\in {ℳ}_n(ℝ)$ est diagonalisable car elle possède $n$ valeurs propres deux à distinctes.