[<] Applications à l'étude de suites numériques [>] Trigonalisation d'une matrice

 
Exercice 1  816  

Montrer qu’une matrice triangulaire inférieure est trigonalisable et proposer une matrice réalisant cette trigonalisation.

 
Exercice 2  5353   Correction  

Soit An() telle que χA soit scindé sur .

Montrer que A est orthogonalement semblable à une matrice triangulaire supérieure, c’est-à-dire qu’il existe POn() telle que P-1AP soit triangulaire supérieure.

Solution

On raisonne par récurrence sur n*.

Pour n=1, il n’y a rien à démontrer.

Supposons la propriété vraie au rang n*.

Soit An+1() dont le polynôme caractéristique χA est scindé sur . Le polynôme χA admet au moins une racine λ1 et celle-ci est alors valeur propre de A. Soit X1n+1 un vecteur propre associé que l’on choisit unitaire. On complète celui-ci en une base orthonormée (X1,X2,,Xn+1) de n+1. La matrice Qn+1() de colonnes X1,X2,,Xn+1 est orthogonale et l’on vérifie par changement base

Q-1AQ=(λ1(*)(0)A)

avec An().

Par calcul par blocs, on observe χA=(X-λ1)χA. Le polynôme caractéristique de A étant scindé sur , celui de la matrice A l’est aussi. Par hypothèse de récurrence la matrice A est orthogonalement semblable à une matrice triangulaire: il existe donc POn() telle que

P-1AP=T=(λ2(*)(0)λn+1).

Considérons alors la matrice étendue

P=(1(0)(0)P)n+1().

Celle-ci est orthogonale et l’on vérifie par calcul par blocs

P-1Q-1AQP=(λ1*(0)P-1AP)=(λ1(0)(0)T)=(λ1(*)(0)λn+1).

Ainsi, en posant R=QPOn+1(), on obtient R-1AR triangulaire supérieure.

La récurrence est établie.

 
Exercice 3  4138   

Soient A,Bn() vérifiant AB=BA.

  • (a)

    Montrer que les matrices A et B ont au moins un vecteur propre en commun.

  • (b)

    Établir que les matrices A et B sont simultanément11 1 Autrement dit, il existe une même matrice PGLn() telle que P-1AP et P-1BP sont triangulaires supérieures. trigonalisables.

 
Exercice 4  3284   Correction  

Soient A,Bn() vérifiant AB=On.

  • (a)

    Montrer que les matrices A et B ont un vecteur propre en commun.

  • (b)

    Établir que A et B sont simultanément trigonalisables.

Solution

  • (a)

    Si B=On alors tout vecteur propre de A (et il en existe car le corps de base est ) est aussi vecteur propre de B.
    Si BOn alors l’espace Im(B) est stable par B et il existe alors un vecteur propre de B dans Im(B). Puisque Im(B)Ker(A) car AB=On, ce vecteur propre de B est aussi vecteur propre de A (associé à la valeur propre 0).

  • (b)

    Par récurrence sur la taille n des matrices.
    Pour n=1, c’est immédiat.
    Supposons la propriété vérifiée au rang n-11.
    Soit A,Bn() vérifiant AB=On. Soit X1 un vecteur propre commun aux matrices A et B associé aux valeurs propres λ et μ respectivement. Soit P une matrice inversible dont la première colonne est X1. Par changement de base on a

    P-1AP=(λ*0A) et P-1BP=(μ*0B).

    Puisque AB=On on a λμ=0 et AB=On-1.
    Par hypothèse de récurrence, il existe une matrice QGLn-1() telle que Q-1AQ et Q-1BQ sont triangulaires supérieures. Pour la matrice

    R=P×(100Q)GLn()

    on obtient R-1AR et R-1BR triangulaires supérieures.
    Récurrence établie.

 
Exercice 5  4166     CENTRALE (MP)Correction  

Soient n un entier naturel non nul, f et g deux endomorphismes non nuls de n tels que fg=0.

  • (a)

    Que dire de Ker(f) et Im(g)?

  • (b)

    Soit λ une valeur propre non nulle de g. Montrer qu’il existe un vecteur propre de g associé à λ appartenant à Ker(f).

  • (c)

    En déduire que f et g sont cotrigonalisables.

Solution

  • (a)

    Im(g)Ker(f).

  • (b)

    Un vecteur propre de g associé à une valeur propre non nulle appartient à l’image de g et est donc élément de Ker(f).

  • (c)

    Ce qui précède assure que si g possède une valeur propre non nulle, les endomorphismes f et g ont un vecteur propre en commun.

    Si seule 0 est valeur propre de g, cela entraîne que g est nilpotent: il existe p* tel que gp=0 et gp-10. Si p2, un vecteur non nul élément de Im(gp-1) est alors élément de Ker(g) et de Ker(f), c’est un vecteur propre commun à f et g. Si p=1, l’endomorphisme g est nul et n’importe quel vecteur propre de f (il en existe car f est un endomorphisme d’un -espace vectoriel de dimension non nulle) est vecteur propre commun à f et g.

    On raisonne alors par récurrence: un vecteur propre commun à f et g est le premier vecteur d’une base de trigonalisation. Par réprésentation matricielle et calcul par blocs, on propage la propriété fg=0 en taille inférieure (voir sujet 4138).

 
Exercice 6  4356    

Soient u et v deux endomorphismes d’un espace vectoriel complexe E de dimension finie n1 vérifiant

uv-vu=v.
  • (a)

    Montrer que le noyau de v n’est pas réduit au vecteur nul.

  • (b)

    En déduire que u possède un vecteur propre dans Ker(v).

  • (c)

    Établir qu’il existe une base de trigonalisation commune à u et v dans laquelle la matrice de v est triangulaire supérieure stricte.

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Édité le 08-11-2019

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