Exercice 1 816

Montrer qu’une matrice triangulaire inférieure est trigonalisable et proposer une matrice réalisant cette trigonalisation.

Exercice 2 5353 Correction

Soit $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ telle que $χ_{A}$ soit scindé sur $ℝ$ .

Montrer que $A$ est orthogonalement semblable à une matrice triangulaire supérieure, c’est-à-dire qu’il existe $P \in O_{n} (ℝ)$ telle que $P^{- 1} A P$ soit triangulaire supérieure.

Solution

On raisonne par récurrence sur $n \in ℕ^{*}$ .

Pour $n = 1$ , il n’y a rien à démontrer.

Supposons la propriété vraie au rang $n \in ℕ^{*}$ .

Soit $A \in ℳ_{n + 1} (ℝ)$ dont le polynôme caractéristique $χ_{A}$ est scindé sur $ℝ$ . Le polynôme $χ_{A}$ admet au moins une racine $λ_{1}$ et celle-ci est alors valeur propre de $A$ . Soit $X_{1} \in ℝ^{n + 1}$ un vecteur propre associé que l’on choisit unitaire. On complète celui-ci en une base orthonormée $(X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n + 1})$ de $ℝ^{n + 1}$ . La matrice $Q \in ℳ_{n + 1} (ℝ)$ de colonnes $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n + 1}$ est orthogonale et l’on vérifie par changement base

Q^{- 1} A Q = (\begin{matrix} λ_{1} & (*) \\ (0) & A^{'} \end{matrix})

avec $A^{'} \in ℳ_{n} (ℝ)$ .

Par calcul par blocs, on observe $χ_{A} = (X - λ_{1}) χ_{A^{'}}$ . Le polynôme caractéristique de $A$ étant scindé sur $ℝ$ , celui de la matrice $A^{'}$ l’est aussi. Par hypothèse de récurrence la matrice $A^{'}$ est orthogonalement semblable à une matrice triangulaire: il existe donc $P^{'} \in O_{n} (ℝ)$ telle que

P^{', - 1} A^{'} P^{'} = T = (\begin{matrix} λ_{2} & (*) \\ ⋱ \\ (0) & λ_{n + 1} \end{matrix}) .

Considérons alors la matrice étendue

P = (\begin{matrix} 1 & (0) \\ (0) & P^{'} \end{matrix}) \in ℳ_{n + 1} (ℝ) .

Celle-ci est orthogonale et l’on vérifie par calcul par blocs

P^{- 1} Q^{- 1} A Q P = (\begin{matrix} λ_{1} & * \\ (0) & P^{', - 1} A P^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} λ_{1} & (0) \\ (0) & T \end{matrix}) = (\begin{matrix} λ_{1} & (*) \\ ⋱ \\ (0) & λ_{n + 1} \end{matrix}) .

Ainsi, en posant $R = Q P \in O_{n + 1} (ℝ)$ , on obtient $R^{- 1} A R$ triangulaire supérieure.

La récurrence est établie.

Exercice 3 4138

Soient $A, B \in ℳ_{n} (ℂ)$ vérifiant $A B = B A$ .

(a)

Montrer que les matrices $A$ et $B$ ont au moins un vecteur propre en commun.
(b)

Établir que les matrices $A$ et $B$ sont simultanément¹¹ 1 Autrement dit, il existe une même matrice $P \in {GL}_{n} (ℂ)$ telle que $P^{- 1} A P$ et $P^{- 1} B P$ sont triangulaires supérieures. trigonalisables.

Exercice 4 3284 Correction

Soient $A, B \in ℳ_{n} (ℂ)$ vérifiant $A B = O_{n}$ .

(a)

Montrer que les matrices $A$ et $B$ ont un vecteur propre en commun.
(b)

Établir que $A$ et $B$ sont simultanément trigonalisables.

Solution

(a)

Si $B = O_{n}$ alors tout vecteur propre de $A$ (et il en existe car le corps de base est $ℂ$ ) est aussi vecteur propre de $B$ .
Si $B \neq O_{n}$ alors l’espace $Im (B)$ est stable par $B$ et il existe alors un vecteur propre de $B$ dans $Im (B)$ . Puisque $Im (B) \subset Ker (A)$ car $A B = O_{n}$ , ce vecteur propre de $B$ est aussi vecteur propre de $A$ (associé à la valeur propre 0).
(b)

Par récurrence sur la taille $n$ des matrices.
Pour $n = 1$ , c’est immédiat.
Supposons la propriété vérifiée au rang $n - 1 \geq 1$ .
Soit $A, B \in ℳ_{n} (ℂ)$ vérifiant $A B = O_{n}$ . Soit $X_{1}$ un vecteur propre commun aux matrices $A$ et $B$ associé aux valeurs propres $λ$ et $μ$ respectivement. Soit $P$ une matrice inversible dont la première colonne est $X_{1}$ . Par changement de base on a

$P^{- 1} A P = (\begin{matrix} λ & * \\ 0 & A^{'} \end{matrix}) et P^{- 1} B P = (\begin{matrix} μ & * \\ 0 & B^{'} \end{matrix}) .$

Puisque $A B = O_{n}$ on a $λ μ = 0$ et $A^{'} B^{'} = O_{n - 1}$ .
Par hypothèse de récurrence, il existe une matrice $Q \in {GL}_{n - 1} (ℂ)$ telle que $Q^{- 1} A^{'} Q$ et $Q^{- 1} B^{'} Q$ sont triangulaires supérieures. Pour la matrice

$R = P \times (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & Q \end{matrix}) \in {GL}_{n} (ℂ)$

on obtient $R^{- 1} A R$ et $R^{- 1} B R$ triangulaires supérieures.
Récurrence établie.

Exercice 5 4166 CENTRALE (MP)Correction

Soient $n$ un entier naturel non nul, $f$ et $g$ deux endomorphismes non nuls de $ℂ^{n}$ tels que $f \circ g = 0$ .

(a)

Que dire de $Ker (f)$ et $Im (g)$ ?
(b)

Soit $λ$ une valeur propre non nulle de $g$ . Montrer qu’il existe un vecteur propre de $g$ associé à $λ$ appartenant à $Ker (f)$ .
(c)

En déduire que $f$ et $g$ sont cotrigonalisables.

Solution

(a)

$Im (g) \subset Ker (f)$ .
(b)

Un vecteur propre de $g$ associé à une valeur propre non nulle appartient à l’image de $g$ et est donc élément de $Ker (f)$ .
(c)

Ce qui précède assure que si $g$ possède une valeur propre non nulle, les endomorphismes $f$ et $g$ ont un vecteur propre en commun.

Si seule $0$ est valeur propre de $g$ , cela entraîne que $g$ est nilpotent: il existe $p \in ℕ^{*}$ tel que $g^{p} = 0$ et $g^{p - 1} \neq 0$ . Si $p \geq 2$ , un vecteur non nul élément de $Im (g^{p - 1})$ est alors élément de $Ker (g)$ et de $Ker (f)$ , c’est un vecteur propre commun à $f$ et $g$ . Si $p = 1$ , l’endomorphisme $g$ est nul et n’importe quel vecteur propre de $f$ (il en existe car $f$ est un endomorphisme d’un $ℂ$ -espace vectoriel de dimension non nulle) est vecteur propre commun à $f$ et $g$ .

On raisonne alors par récurrence: un vecteur propre commun à $f$ et $g$ est le premier vecteur d’une base de trigonalisation. Par réprésentation matricielle et calcul par blocs, on propage la propriété $f \circ g = 0$ en taille inférieure (voir sujet 4138).

Exercice 6 4356

Soient $u$ et $v$ deux endomorphismes d’un espace vectoriel complexe $E$ de dimension finie $n \geq 1$ vérifiant

u \circ v - v \circ u = v .

(a)

Montrer que le noyau de $v$ n’est pas réduit au vecteur nul.
(b)

En déduire que $u$ possède un vecteur propre dans $Ker (v)$ .
(c)

Établir qu’il existe une base de trigonalisation commune à $u$ et $v$ dans laquelle la matrice de $v$ est triangulaire supérieure stricte.

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Édité le 29-08-2023

Trigonalisabilité