On sait $\mathrm{Ker}(u)\subset \mathrm{Ker}\left(u^2\right)$ car, si $u(x)=0_E$, alors $u^2(x)=u\left(u(x)\right)=u(0_E)=0_E$.

Méthode: On montre $\mathrm{rg}(u)=\mathrm{rg}\left(u^2\right)$ par diagonalisation de $u$.

Puisque l’endomorphisme $u$ est diagonalisable, il existe une base de $E$ dans laquelle sa matrice est

où ${\lambda }_1,\mathrm{\dots },{\lambda }_n$ désignent les valeurs propres comptées avec multiplicité de l’endomorphisme $u$. Par élévation au carré,

Les matrices $D$ et $D^2$ ont le même rang car celui-ci correspond au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale. Les endomorphismes $u$ et $u^2$ ont donc aussi le même rang. Enfin, par la formule du rang,

Par inclusion et égalité des dimensions, on conclut $\mathrm{Ker}(u)=\mathrm{Ker}\left(u^2\right)$.

On sait $\mathrm{Im}\left(u^2\right)\subset \mathrm{Im}(u)$ et l’égalité des rangs qui précèdent donne l’égalité des espaces.

• (a)

  Un endomorphisme non nul vérifiant $f^2=0$ avec $f\ne 0$ convient. C’est le cas d’un endomorphisme représenté par la matrice

  $$\left(\begin{array}{cc}\hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill \end{array}\right)\text{.}$$

• (b)

  Soit $(e_1,\mathrm{\dots },e_n)$ une base de vecteurs propres de $f$. La matrice de $f$ dans cette base est de la forme

  $$\left(\begin{array}{ccc}\hfill {\lambda }_1\hfill & \hfill \hfill & \hfill (0)\hfill \\ \hfill \hfill & \hfill \mathrm{\ddots }\hfill & \hfill \hfill \\ \hfill (0)\hfill & \hfill \hfill & \hfill {\lambda }_n\hfill \end{array}\right)$$

  et alors les espaces

  $$\mathrm{Ker}(f)=\mathrm{Vect}\{e_i|{\lambda }_i=0\}\text{ et }\mathrm{Im}(f)=\mathrm{Vect}\{e_i|{\lambda }_i\ne 0\}$$

  sont évidemment supplémentaires (puisque associés à des regroupements de vecteurs d’une base).

• (c)

  On vérifie $\mathrm{Ker}\left(f^k\right)\subset \mathrm{Ker}\left(f^{k+1}\right)$. La suite des dimensions des noyaux des $f^k$ est croissante et majorée par $n$. Elle est donc stationnaire et il existe $k\in \mathbb{N}$ tel que

  $$\forall \mathrm{\ell }\ge k,dim\mathrm{Ker}\left(f^{\mathrm{\ell }+1}\right)=dim\mathrm{Ker}\left(f^{\mathrm{\ell }}\right)\text{.}$$

  Par inclusion et égalité des dimensions

  $$\forall \mathrm{\ell }\ge k,\mathrm{Ker}\left(f^{\mathrm{\ell }+1}\right)=\mathrm{Ker}\left(f^{\mathrm{\ell }}\right)\text{.}$$

  En particulier, $\mathrm{Ker}\left(f^{2k}\right)=\mathrm{Ker}\left(f^k\right)$. On peut alors établir $\mathrm{Im}\left(f^k\right)\cap \mathrm{Ker}\left(f^k\right)=\{0_E\}$ et par la formule du rang on obtient la supplémentarité

  $$\mathrm{Im}(f^k)\oplus \mathrm{Ker}(f^k)=E\text{.}$$

  L’endomorphisme $f^k$ n’est pas nécessairement diagonalisable. Pour s’en convaincre il suffit de choisir pour $f$ un automorphisme non diagonalisable.

• (d)

  Le résultat n’est plus vrai en dimension infinie comme le montre l’étude de l’endomorphisme de dérivation dans l’espace des polynômes.

Si $A$ est diagonalisable alors il existe une matrice $P$ inversible telle que

diagonale. En transposant,

c’est-à-dire

avec $Q=P^{\top }$ inversible d’inverse $Q^{-1}={(P^{-1})}^{\top }$.

Par hypothèse, il existe $P\in {\mathrm{GL}}_n(ℝ)$ telle que $D=P^{-1}AP$ soit une matrice diagonale. Par transposition d’un produit,

Or la matrice $P^{\top }$ est inversible d’inverse ${(P^{-1})}^{\top }$ et ce qui précède s’écrit donc

La matrice $A^{\top }$ est donc semblable à $D$ qui est elle-même semblable à $A$. Au final, $A$ et $A^{\top }$ sont semblables

$(⟹)$ Deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique (qu’elles soient ou non diagonalisables).

$(⟸)$ Si $A$ est diagonalisable alors son polynôme caractéristique est scindé et $A$ est semblable à toute matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont les racines comptées avec multiplicité du polynôme caractéristique de $A$. Par conséquent, si $A$ et $B$ sont diagonalisables de même polynôme caractéristique, elles sont semblables à une même matrice diagonale et donc semblable entre elles.