[<] Crochet de Lie [>] Diagonalisabilité d'un endomorphisme par l'étude de ses éléments propres

 
Exercice 1  4336  

Soit u un endomorphisme diagonalisable d’un espace E de dimension finie n1. Montrer que le noyau et l’image de u sont supplémentaires.

 
Exercice 2  4335  

Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel E de dimension finie n1 ne possédant qu’une seule valeur propre.

À quelle condition cet endomorphisme est-il diagonalisable?

 
Exercice 3  5362  Correction  

Soit u un endomorphisme diagonalisable d’un espace vectoriel réel E de dimension finie n1.

  • (a)

    Montrer Ker(u)=Ker(u2).

  • (b)

    A-t-on Im(u)=Im(u2)?

Solution

  • (a)

    On sait Ker(u)Ker(u2) car, si u(x)=0E, alors u2(x)=u(u(x))=u(0E)=0E.

    Méthode: On montre rg(u)=rg(u2) par diagonalisation de u.

    Puisque l’endomorphisme u est diagonalisable, il existe une base de E dans laquelle sa matrice est

    D=(λ1(0)(0)λn)

    λ1,,λn désignent les valeurs propres comptées avec multiplicité de l’endomorphisme u. Par élévation au carré,

    D2=(λ12(0)(0)λn2).

    Les matrices D et D2 ont le même rang car celui-ci correspond au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale. Les endomorphismes u et u2 ont donc aussi le même rang. Enfin, par la formule du rang,

    dimKer(u)=n-rg(u)=n-rg(u2)=dimKer(u2).

    Par inclusion et égalité des dimensions, on conclut Ker(u)=Ker(u2).

  • (b)

    On sait Im(u2)Im(u) et l’égalité des rangs qui précèdent donne l’égalité des espaces.

 
Exercice 4  2539     CENTRALE (PC)Correction  

Soit E un espace vectoriel de dimension finie n2.

  • (a)

    Donner un exemple d’endomorphisme f de E dont l’image et le noyau ne sont pas supplémentaires.

  • (b)

    On suppose, dans cette question seulement, que f est un endomorphisme de E diagonalisable.

    Justifier que l’image et le noyau de f sont supplémentaires.

  • (c)

    Soit f un endomorphisme de E. Montrer qu’il existe un entier naturel non nul k tel que

    Im(fk)Ker(fk)=E.

    L’endomorphisme fk est-il nécessairement diagonalisable?

  • (d)

    Le résultat démontré en (c) reste-t-il valable si l’espace est de dimension infinie?

Solution

  • (a)

    Un endomorphisme non nul vérifiant f2=0 avec f0 convient. C’est le cas d’un endomorphisme représenté par la matrice

    (0100).
  • (b)

    Soit (e1,,en) une base de vecteurs propres de f. La matrice de f dans cette base est de la forme

    (λ1(0)(0)λn)

    et alors les espaces

    Ker(f)=Vect{ei|λi=0} et Im(f)=Vect{ei|λi0}

    sont évidemment supplémentaires (puisque associés à des regroupements de vecteurs d’une base).

  • (c)

    On vérifie Ker(fk)Ker(fk+1). La suite des dimensions des noyaux des fk est croissante et majorée par n. Elle est donc stationnaire et il existe k tel que

    k,dimKer(f+1)=dimKer(f).

    Par inclusion et égalité des dimensions

    k,Ker(f+1)=Ker(f).

    En particulier, Ker(f2k)=Ker(fk). On peut alors établir Im(fk)Ker(fk)={0E} et par la formule du rang on obtient la supplémentarité

    Im(fk)Ker(fk)=E.

    L’endomorphisme fk n’est pas nécessairement diagonalisable. Pour s’en convaincre il suffit de choisir pour f un automorphisme non diagonalisable.

  • (d)

    Le résultat n’est plus vrai en dimension infinie comme le montre l’étude de l’endomorphisme de dérivation dans l’espace des polynômes.

 
Exercice 5  796  Correction  

Montrer que si A est diagonalisable alors At l’est aussi.

Solution

Si A est diagonalisable alors il existe une matrice P inversible telle que

P-1AP=D

diagonale. En transposant,

PtAt(P-1)t=D

c’est-à-dire

QAtQ-1=D

avec Q=Pt inversible d’inverse Q-1=(P-1)t.

 
Exercice 6  1673  Correction  

Soient AGLn(𝕂) et Bn(𝕂).
On suppose la matrice AB diagonalisable. Montrer que BA est diagonalisable.

Solution

Il existe des matrices PGLn(𝕂) et DDn(𝕂) telles que

AB=PDP-1.

On a alors

A(BA)A-1=PDP-1

puis

BA=(A-1P)D(P-1A)=(A-1P)D(A-1P)-1.
 
Exercice 7  4353   

Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel réel E de dimension n1 admettant exactement n valeurs propres distinctes. À quelle condition portant sur un vecteur x de E peut-on affirmer que la famille (x,f(x),,fn-1(x)) est une base de E?

 
Exercice 8  4362   

L’ensemble des matrices diagonalisables de n() est-il convexe11 1 Une partie d’un espace vectoriel réel est convexe si elle contient tous les segments dont les extrémités lui appartiennent (voir ).?

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Édité le 08-11-2019

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