Exercice 1 10 Correction

Soient $a, b, c$ trois vecteurs de $ℝ^{3}$ et

M = (\begin{matrix} a \cdot a & a \cdot b & a \cdot c \\ b \cdot a & b \cdot b & b \cdot c \\ c \cdot a & c \cdot b & c \cdot c \end{matrix}) .

Montrer que $M$ diagonalisable, de valeurs propres positives et $\det (M) \geq 0$ .

Solution

La matrice $M$ est symétrique réelle et donc diagonalisable.
Soit $λ$ une valeur propre de $M$ de colonne propre associé $X = {(\begin{matrix} x & y & z \end{matrix})}^{⊤}$ .
On a

X^{⊤} M X = λ X^{⊤} X = λ {∥ X ∥}^{2}

X^{⊤} M X = {∥ x . a + y . b + z . c ∥}^{2} \geq 0 .

Par conséquent, $λ \geq 0$ et $\det (M) \geq 0$ car $\det (M)$ est le produit des valeurs propres comptées avec multiplicité.
En fait, si $P$ est la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs $a, b, c$ dans une base orthonormale, on observe que $M = P^{⊤} P$ ce qui permet de retrouver les résultats précédents.

Exercice 2 5144 Correction

Soit $(x_{1}, \dots, x_{p})$ une famille de vecteurs d’un espace préhilbertien $E$ . On introduit sa matrice de Gram

G = {(⟨ x_{i}, x_{j} ⟩)}_{1 \leq i, j \leq p} \in ℳ_{p} (ℝ) .

Montrer $rg (G) = rg (x_{1}, \dots, x_{p})$ .

Solution

Introduisons l’espace $F = Vect (x_{1}, \dots, x_{p})$ et $e = (e_{1}, \dots, e_{n})$ une base orthonormée de $F$ . Considérons $A = (a_{i, j})$ la matrice des coordonnées des vecteurs $x_{j}$ dans la base orthonormée $e$ . On observe

⟨ x_{i}, x_{j} ⟩ = \sum_{k = 1}^{n} a_{k, i} a_{k, j} = {[A^{⊤} A]}_{i, j} .

Ainsi, $G = A^{⊤} A$ puis

rg (G) = rg (A^{⊤} A) = rg (A) = rg (x_{1}, \dots, x_{p}) .

Notons que l’égalité $rg (A^{⊤} A) = rg (A)$ se justifie en observant $Ker (A^{⊤} A) = Ker (A)$ .

Exercice 3 4274

Soient $E$ un espace vectoriel euclidien de dimension $n \geq 1$ de produit scalaire $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ et $e = (e_{1}, \dots, e_{n})$ une base orthonormale de $E$ .

On appelle matrice de Gram¹¹ 1 On trouvera une autre application classique des matrices de Gram dans le sujet 1599. d’une famille $(x_{1}, \dots, x_{n})$ de vecteurs de $E$ , la matrice $G (x_{1}, \dots, x_{n}) \in ℳ_{n} (ℝ)$ de coefficient général $⟨ x_{i}, x_{j} ⟩$ .

(a)

On note $A$ la matrice figurant la famille $(x_{1}, \dots, x_{n})$ dans la base $e$ . Exprimer $G (x_{1}, \dots, x_{n})$ en fonction des matrices $A$ et $A^{⊤}$ .
(b)

Soit $M \in ℳ_{n} (ℝ)$ . À quelle(s) condition(s) existe-t-il une famille $(x_{1}, \dots, x_{n})$ de vecteurs de $E$ telle que $M = G (x_{1}, \dots, x_{n})$ ?
(c)

Application : On suppose $n \geq 2$ . Pour quelles valeurs de $c$ réelles existe-t-il une famille $(x_{1}, \dots, x_{n})$ de vecteurs unitaires de $E$ vérifiant $⟨ x_{i}, x_{j} ⟩ = c$ pour tous les indices $i$ et $j$ distincts?

Exercice 4 6037 CENTRALE (MP)Correction

Soient $(E, ⟨ \cdot, \cdot ⟩)$ un espace euclidien et $(u_{1}, \dots, u_{p}) \in E^{p}$ .

On dit que $G (u_{1}, \dots, u_{p}) = {(⟨ u_{i}, u_{j} ⟩)}_{1 \leq i, j \leq p} \in ℳ_{p} (ℝ)$ est la matrice de Gram du système $(u_{1}, \dots, u_{p})$ .

(a)

On considère $e$ une base orthonormée de $E$ .

On note $M$ la matrice de $(u_{1}, \dots, u_{p})$ dans la base $E$ . Montrer que $G (u_{1}, \dots, u_{p}) = M^{⊤} M$ et que $rg (G) = rg (u_{1}, \dots, u_{p})$ .
(b)

Soit $p \in ℕ^{*}$ et $H \in ℳ_{p} (ℝ)$ . Montrer que $H \in 𝒮_{p}^{+} (ℝ)$ si, et seulement si, il existe un espace euclidien $(V, ⟨ \cdot, \cdot ⟩)$ et une famille $(v_{1}, \dots, v_{p})$ de vecteurs de $V$ tels que $H = G (v_{1}, \dots, v_{p})$ .

Solution

(a)

Notons $e_{1}, \dots, e_{n}$ les vecteurs constituant la base orthonormée $e$ . Pour $j = 1, \dots, p$ ,

$u_{j} = \sum_{k = 1}^{n} m_{k, j} e_{k}$

donc

$\forall i, j = 1, \dots, p, ⟨ u_{i}, u_{j} ⟩ = \sum_{k = 1}^{n} m_{k, i} m_{k, j} = {[M^{⊤} M]}_{i, j} .$

Coefficient par coefficient, on obtient $G (u_{1}, \dots, u_{p}) = M^{⊤} M$ .

En établissant par double inclusion $Ker (M^{⊤} M) = Ker M$ , il vient

$rg (G) = rg (M) = rg (u_{1}, \dots, u_{p}) .$
(b)

$(⟹)$ Supposons $H \in 𝒮_{p}^{+} (ℝ)$ . Par le théorème spectral, on écrit $H = Ω^{⊤} D Ω$ avec $Ω \in O_{n} (ℝ)$ et $D \in D_{n} (ℝ)$ à coefficients diagonaux positifs. On peut écrire $D = Δ^{2}$ avec $Δ$ diagonale et l’on a alors $H = M^{⊤} M$ pour $M \in Δ Ω$ . On peut alors introduire un espace euclidien de dimension $p$ muni d’une base orthonormée et la famille $(v_{1}, \dots, v_{p})$ figurée par la matrice $M$ dans une base orthonormée de $V$ répond au problème.

$(⟸)$ Supposons $H = G (v_{1}, \dots, v_{p}) = M^{⊤} M$ . La matrice $H$ est symétrique et l’on a

$\forall X \in ℳ_{p, 1} (ℝ), X^{⊤} H X = {∥ M X ∥}^{2} \geq 0 .$

Ainsi, $H \in 𝒮_{p}^{+} (ℝ)$

Exercice 5 5463 Correction

On appelle matrice de Gram d’une famille $(a_{1}, \dots, a_{n})$ de vecteurs d’un espace euclidien $E$ , la matrice carrée

G (a_{1}, \dots, a_{n}) = {(⟨ a_{i}, a_{j} ⟩)}_{1 \leq i, j \leq n} .

(a)

Montrer que $G (a_{1}, \dots, a_{n})$ est une matrice symétrique à valeurs propres positives.
(b)

Montrer que la matrice $G (a_{1}, \dots, a_{n})$ est inversible si, et seulement si, la famille $(a_{1}, \dots, a_{n})$ est libre.

Solution

(a)

La matrice $G = G (a_{1}, \dots, a_{n})$ est symétrique car $⟨ a_{i}, a_{j} ⟩ = ⟨ a_{j}, a_{i} ⟩$ pour tout couple $(i, j) \in {⟦ 1; n ⟧}^{2}$ .

Soient $λ \in Sp (G)$ et $X \in ℳ_{n,1} (ℝ) ∖ {0}$ tels que $G X = λ X$ . Avec des notations entendues, on observe

$X^{⊤} G X = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} x_{i} ⟨ a_{i}, a_{j} ⟩ x_{j} = ⟨ \sum_{i = 1}^{n} x_{i} . a_{i}, \sum_{j = 1}^{n} x_{j} . a_{j} ⟩ = {∥ x ∥}^{2} avec x = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} . a_{i} .$

Aussi, $X^{⊤} G X = λ X^{⊤} X$ avec $X^{⊤} X \in ℝ_{+}^{*}$ . On en déduit $λ \in ℝ_{+}$ .
(b)

$(⟸)$ Supposons la famille $(a_{1}, \dots, a_{n})$ libre. Pour $X \in Ker (G)$ , on a $X^{⊤} G X = 0$ et les calculs qui précèdent donnent $∥ x ∥ = 0$ avec $x = x_{1} . a_{1} + \dots + x_{n} . a_{n}$ . Par liberté de la famille $(a_{1}, \dots, a_{n})$ , il vient $x_{1} = \dots = x_{n} = 0$ et donc $X = 0$ . On conclut que la matrice $G$ est inversible.

$(⟹)$ Supposons $G$ inversible. Puisque $G$ est symétrique à valeurs propres strictement positives, on peut introduire une matrice $H$ symétrique et à valeurs propres strictement positives telle que $G = H^{2}$ . Soit $(λ_{1}, \dots, λ_{n}) \in ℝ^{n}$ tel que $λ_{1} . a_{1} + \dots + λ_{n} . a_{n} = 0_{E}$ . En considérant la colonne $X = {(\begin{matrix} λ_{1} & \dots & λ_{n} \end{matrix})}^{⊤}$ , on observe

${∥ H X ∥}^{2} = X^{⊤} H^{⊤} H X = X^{⊤} G X = {∥ λ_{1} . a_{1} + \dots + λ_{n} . a_{n} ∥}^{2} = 0 .$

Ainsi, $H X = 0$ . Or la matrice $H$ est inversible et donc $X = 0$ .

On peut aussi résoudre ces questions en observant $G = A^{⊤} A$ avec $A$ matrice des coordonnées des vecteurs $a_{i}$ dans une base orthonormale.

Exercice 6 3743 CENTRALE (PC)Correction

$p, q$ sont deux entiers strictement positifs. $A, B$ deux matrices de $ℳ_{p, q} (ℝ)$ telles que $A^{⊤} A = B^{⊤} B$ .

(a)

Comparer $Ker (A)$ et $Ker (B)$ .
(b)

Soit $f$ (respectivement $g$ ) l’application linéaire de $ℝ^{q}$ dans $ℝ^{p}$ de matrice $A$ (respectivement $B$ ) dans les bases canoniques de $ℝ^{q}$ et $ℝ^{p}$ . On munit $ℝ^{p}$ de sa structure euclidienne canonique. Montrer que

$\forall x \in ℝ^{q}, ⟨ f (x), f (y) ⟩ = ⟨ g (x), g (y) ⟩ .$
(c)

Soient $(ε_{1}, \dots, ε_{r})$ et $(ε_{1}^{'}, \dots, ε_{r}^{'})$ deux bases d’un espace euclidien $F$ de dimension $r$ vérifiant

$\forall (i, j) \in {1, \dots, r}^{2}, ⟨ ε_{i}, ε_{j} ⟩ = ⟨ ε_{i}^{'}, ε_{j}^{'} ⟩ .$

Montrer qu’il existe une application orthogonale $s$ de $F$ telle que

$\forall i \in {1, \dots, r}, s (ε_{i}) = ε_{i}^{'} .$
(d)

Montrer qu’il existe $U \in O_{p} (ℝ)$ tel que $A = U B$ .

[Énoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA]

Solution

(a)

Soit $X \in Ker (A)$ . On a $B^{⊤} B X = A^{⊤} A X = 0$ donc $X^{⊤} B^{⊤} B X = 0$ . Or $X^{⊤} B^{⊤} B X = {∥ B X ∥}^{2}$ et donc $X \in Ker (B)$ . Ainsi, $Ker (A) \subset Ker (B)$ et même $Ker (A) = Ker (B)$ par une démarche symétrique.
(b)

En notant $X, Y$ les colonnes des coordonnées de $X$ et $Y$

$⟨ f (x), f (y) ⟩ = {(A X)}^{⊤} A Y = X^{⊤} A^{⊤} A Y$

et

$⟨ g (x), g (y) ⟩ = {(B X)}^{⊤} B Y = X^{⊤} B^{⊤} B Y$

d’où la conclusion.
(c)

Considèrons l’application linéaire $s \in ℒ (F)$ déterminée par

$\forall i \in {1, \dots, r}, s (ε_{i}) = ε_{i}^{'} .$

Il s’agit de montrer que $s$ est orthogonale, par exemple en observant que $s$ conserve la norme.
Soit $x \in F$ . On peut écrire

$x = \sum_{i = 1}^{r} x_{i} ε_{i} et s (x) = \sum_{i = 1}^{r} x_{i} ε_{i}^{'} .$

On a alors

${∥ s (x) ∥}^{2} = \sum_{i, j = 1}^{r} x_{i} x_{j} ⟨ ε_{i}^{'}, ε_{j}^{'} ⟩ = \sum_{i, j = 1}^{r} x_{i} x_{j} ⟨ ε_{i}, ε_{j} ⟩ = {∥ x ∥}^{2} .$
(d)

Soit $H$ un sous-espace vectoriel supplémentaire de $Ker (A) = Ker (B)$ dans $ℝ^{q}$ .
Introduisons $(x_{1}, \dots, x_{r})$ une base de $H$ et posons $(ε_{1}, \dots, ε_{r})$ et $(ε_{1}^{'}, \dots, ε_{r}^{'})$ les familles données par

$ε_{i} = f (x_{i}) et ε_{i}^{'} = g (x_{i}) .$

En vertu du b), on peut affirmer

$\forall (i, j) \in {1, \dots, r}^{2}, ⟨ ε_{i}, ε_{j} ⟩ = ⟨ ε_{i}^{'}, ε_{j}^{'} ⟩ .$

Introduisons $(ε_{r + 1}, \dots, ε_{p})$ une base orthonormée de l’orthogonal de l’image de $f$ et $(ε_{r + 1}^{'}, \dots, ε_{p}^{'})$ une base orthonormée de l’orthogonal de l’image de $g$ . On vérifie alors

$\forall (i, j) \in {1, \dots, p}^{2}, ⟨ ε_{i}, ε_{j} ⟩ = ⟨ ε_{i}^{'}, ε_{j}^{'} ⟩ .$

On peut alors introduire une application orthogonale $s : ℝ^{p} \to ℝ^{p}$ vérifiant

$\forall i \in {1, \dots, r}, s (ε_{i}) = ε_{i}^{'} .$

On a alors l’égalité d’application linéaire

$u \circ f = g$

car celle-ci vaut sur les $x_{i}$ donc sur $H$ et vaut aussi évidement sur $Ker (f) = Ker (g)$ .
En introduisant $U$ matrice de $s^{- 1}$ dans la base canonique de $ℝ^{p}$ , on obtient

$A = U S avec U \in O_{p} (ℝ) .$

Exercice 7 4268

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n \geq 1$ de produit scalaire noté $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ .

On appelle matrice de Gram d’une famille $𝒰 = (u_{1}, \dots, u_{p})$ de vecteurs de $E$ , la matrice $G_{𝒰} \in ℳ_{p} (ℝ)$ de coefficient général $⟨ u_{i}, u_{j} ⟩$ .

(a)

Montrer que la famille $𝒰 = (u_{1}, \dots, u_{p})$ et la matrice $G_{𝒰}$ ont le même rang.
(b)

Soient $𝒰 = (u_{1}, \dots, u_{p})$ et $𝒱 = (v_{1}, \dots, v_{p})$ deux familles de vecteurs de $E$ telles que $G_{𝒰} = G_{𝒱}$ . Montrer qu’il existe une isométrie $f$ de $E$ vérifiant $f (u_{i}) = v_{i}$ pour tout indice $i = 1, \dots, p$ .

Exercice 8 3919 CENTRALE (MP)Correction

Soit $(E, ⟨ \cdot, \cdot ⟩)$ un espace euclidien de dimension $n \geq 2$ .

(a)

Soient $e = (e_{1}, \dots, e_{n})$ une base orthonormée de $E$ , $(x_{1}, \dots, x_{n})$ et $(y_{1}, \dots, y_{n})$ dans $E^{n}$ . On introduit

$A = {Mat}_{e} (x_{1}, \dots, x_{n}) et B = {Mat}_{e} (y_{1}, \dots, y_{n}) .$

Déterminer les coefficients de la matrice $A^{⊤} B$ .
(b)

Soit $(x_{1}, \dots, x_{n})$ une base de $E$ . Montrer qu’il existe une unique famille $(y_{1}, \dots, y_{n})$ de $E$ telle que

$\forall (i, j) \in {1, \dots, n}^{2}, ⟨ y_{i}, x_{j} ⟩ = δ_{i, j} .$

Montrer que $(y_{1}, \dots, y_{n})$ est une base de $E$ et exprimer la matrice de passage de la base $(x_{1}, \dots, x_{n})$ à la base $(y_{1}, \dots, y_{n})$ à l’aide de la matrice

$M = {(⟨ x_{i}, x_{j} ⟩)}_{1 \leq i, j \leq n} .$

On considère dans la suite une famille $(x_{1}, \dots, x_{n})$ de $E$ vérifiant

$\forall i \in {1, \dots, n}, ∥ x_{i} ∥ = 1 et \forall (i, j) \in {1, \dots, n}^{2}, i \neq j ⟹ ⟨ x_{i}, x_{j} ⟩ < 0$

et

$\exists v \in E, \forall i \in {1, \dots, n}, ⟨ x_{i}, v ⟩ > 0 .$
(c)

Montrer que la famille $(x_{1}, \dots, x_{n})$ est une base de $E$ .
(d)

On pose $M = {(⟨ x_{i}, x_{j} ⟩)}_{1 \leq i, j \leq n} \in ℳ_{n} (ℝ)$ et $S = I_{n} - M / n$ .
Montrer que $S$ est diagonalisable et que $Sp (S) \subset] 0; 1 [$ .
(e)

Montrer que les coefficients de $M^{- 1}$ sont positifs.
(f)

Soit $(y_{1}, \dots, y_{n})$ déduit de $(x_{1}, \dots, x_{n})$ comme dans b). Montrer

$\forall (i, j) \in {1, \dots, n}^{2}, ⟨ y_{i}, y_{j} ⟩ \geq 0 .$

Solution

(a)

On a $a_{i, j} = ⟨ e_{i}, x_{j} ⟩$ , $b_{i, j} = ⟨ e_{i}, y_{j} ⟩$ donc

${[A^{⊤} B]}_{i, j} = \sum_{k = 1}^{n} ⟨ e_{k}, x_{i} ⟩ ⟨ e_{k}, y_{j} ⟩ = ⟨ x_{i}, y_{j} ⟩ .$
(b)

La condition étudiée sera remplie si, et seulement si, $A^{⊤} B = I_{n}$ . Il existe donc une unique famille $y$ solution et celle-ci est déterminée par

$B = {(A^{⊤})}^{- 1} .$

La matrice $B$ étant inversible, la famille $y$ est une base et

$P = {Mat}_{x} (y) = {Mat}_{e, x} ({Id}_{E}) \times {Mat}_{y, e} ({Id}_{E}) = A^{- 1} B$

ce qui donne $P = M^{- 1}$ car $M = A^{⊤} A$ .
(c)

Supposons $λ_{1} x_{1} + \dots + λ_{n} x_{n} = 0_{E}$ . Notons $I = {i \in ⟦ 1; n ⟧ | λ_{i} > 0}$ et $J = ⟦ 1; n ⟧ ∖ I$ . On a

$\sum_{i \in I} λ_{i} x_{i} = - \sum_{i \in J} λ_{i} x_{i}$

donc

${∥ \sum_{i \in I} λ_{i} x_{i} ∥}^{2} = - ⟨ \sum_{i \in I} λ_{i} x_{i}, \sum_{i \in J} λ_{i} x_{i} ⟩ = - \sum_{(i, j) \in I \times J} λ_{i} λ_{j} ⟨ x_{i}, x_{j} ⟩ .$

Or, dans les termes sommés, $λ_{i} λ_{j} \leq 0$ et $⟨ x_{i}, x_{j} ⟩ \leq 0$ donc

${∥ \sum_{i \in I} λ_{i} x_{i} ∥}^{2} \leq 0 .$

On en déduit

$\sum_{i \in I} λ_{i} x_{i} = 0_{E} .$

En faisant le produit scalaire avec un vecteur $v$ comme dans l’énoncé, on obtient

$\sum_{i \in I} λ_{i} ⟨ x_{i}, v ⟩ = 0$

avec $λ_{i} > 0$ et $⟨ x_{i}, v ⟩ > 0$ pour tout $i \in I$ . On en déduit $I = \emptyset$ .
Un raisonnement analogue fournit aussi

${i \in ⟦ 1; n ⟧ | λ_{i} < 0} = \emptyset$

et l’on conclut que la famille $x$ est libre. C’est donc une base puisqu’elle est de longueur $n = dim E$ .
(d)

On a $M = A^{⊤} A$ et la matrice $S$ est diagonalisable car symétrique réelle. Pour étudier ses valeurs propres, commençons par étudier celles de $M$ . Soit $λ$ une valeur propre de $M$ et $X$ vecteur propre associé. On a $M X = λ X$ donc

${∥ A X ∥}^{2} = X^{⊤} A^{⊤} A X = λ X^{⊤} X = λ {∥ X ∥}^{2}$

avec ${∥ X ∥}^{2} > 0$ et ${∥ A X ∥}^{2} > 0$ (car $A$ est inversible) donc $λ > 0$ .
Aussi

${∥ A X ∥}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} {(\sum_{j = 1}^{n} a_{i, j} α_{j})}^{2}$

avec $α_{1}, \dots, α_{n}$ les coefficients de $X$ .

Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,

${∥ A X ∥}^{2} \leq \sum_{i = 1}^{n} (\sum_{j = 1}^{n} a_{i, j}^{2} \times \sum_{j = 1}^{n} x_{j}^{2})$

et l’on peut même affirmer qu’il n’y a pas égalité car $X$ ne peut être colinéaires aux transposées de chaque ligne de $A$ . On a alors

${∥ A X ∥}^{2} < \sum_{i = 1}^{n} (\sum_{j = 1}^{n} a_{i, j}^{2}) {∥ X ∥}^{2} = \sum_{j = 1}^{n} (\sum_{i = 1}^{n} a_{i, j}^{2}) {∥ X ∥}^{2} = n {∥ X ∥}^{2}$

car les colonnes de la matrice $A$ sont unitaires puisque ${∥ x_{j} ∥}^{2} = 1$ .
On en déduit $λ < n$ et finalement

$Sp (M) \subset] 0; n [.$

En conséquence,

$Sp (S) \subset] 0; 1 [.$
(e)

On écrit $S = Q D Q^{- 1}$ avec $D$ diagonale à coefficients diagonaux dans $] 0; 1 [$ . On a

$M^{- 1} = \frac{1}{n} {(I_{n} - S)}^{- 1} = \frac{1}{n} Q {(I_{n} - D)}^{- 1} Q^{- 1} .$

Or

${(I_{n} - D)}^{- 1} = I_{n} + D + D^{2} + \dots = \sum_{n = 0}^{+ \infty} D^{n}$

avec convergence de la série matricielle. On en déduit

$M^{- 1} = \frac{1}{n} \sum_{n = 0}^{+ \infty} S^{n} .$

La matrice $S$ est à coefficients positifs, ses puissances aussi et donc $M^{- 1}$ est à coefficients positifs.
(f)

En reprenant les notations précédentes,

$M^{- 1} = A^{- 1} {(A^{⊤})}^{- 1} = B^{⊤} B = {(⟨ y_{i}, y_{j} ⟩)}_{1 \leq i, j \leq n} .$

[<] Équations matricielles avec transposition [>] Adjoint

Édité le 03-06-2025

Matrice de Gram