[<] Matrices antisymétriques

 
Exercice 1  10   Correction  

Soient a,b,c trois vecteurs de 3 et

M=(aaabacbabbbccacbcc).

Montrer que M diagonalisable, de valeurs propres positives et det(M)0.

Solution

La matrice M est symétrique réelle et donc diagonalisable.
Soit λ une valeur propre de M de colonne propre associé X=(xyz)t.
On a

XtMX=λXtX=λX2

et

XtMX=x.a+y.b+z.c20.

Par conséquent, λ0 et det(M)0 car det(M) est le produit des valeurs propres comptées avec multiplicité.
En fait, si P est la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs a,b,c dans une base orthonormale, on observe que M=PtP ce qui permet de retrouver les résultats précédents.

 
Exercice 2  5144   Correction  

Soit (x1,,xp) une famille de vecteurs d’un espace préhilbertien E. On introduit sa matrice de Gram

G=(xi,xj)1i,jpp().

Montrer rg(G)=rg(x1,,xp).

Solution

Introduisons l’espace F=Vect(x1,,xp) et e=(e1,,en) une base orthonormée de F. Considérons A=(ai,j) la matrice des coordonnées des vecteurs xj dans la base orthonormée e. On observe

xi,xj=k=1nak,iak,j=[AtA]i,j.

Ainsi, G=AtA puis

rg(G)=rg(AtA)=rg(A)=rg(x1,,xp).

Notons que l’égalité rg(AtA)=rg(A) se justifie en observant Ker(AtA)=Ker(A).

 
Exercice 3  4274   

Soient E un espace vectoriel euclidien de dimension n1 de produit scalaire , et =(e1,,en) une base orthonormale de E.

On appelle matrice de Gram11 1 On trouvera une autre application classique des matrices de Gram dans le sujet 1599. d’une famille (x1,,xn) de vecteurs de E, la matrice G(x1,,xn)n() de coefficient général xi,xj.

  • (a)

    On note A la matrice figurant la famille (x1,,xn) dans la base . Exprimer G(x1,,xn) en fonction des matrices A et At.

  • (b)

    Soit Mn(). À quelle(s) condition(s) existe-t-il une famille (x1,,xn) de vecteurs de E telle que M=G(x1,,xn)?

  • (c)

    Application: On suppose n2. Pour quelles valeurs de c réelles existe-t-il une famille (x1,,xn) de vecteurs unitaires de E vérifiant xi,xj=c pour tous les indices i et j distincts?

 
Exercice 4  3743     CENTRALE (PC)Correction  

p,q sont deux entiers strictement positifs. A,B deux matrices de p,q() telles que AtA=BtB.

  • (a)

    Comparer Ker(A) et Ker(B).

  • (b)

    Soit f (respectivement g) l’application linéaire de q dans p de matrice A (respectivement B) dans les bases canoniques de q et p. On munit p de sa structure euclidienne canonique. Montrer que

    xq,f(x),f(y)=g(x),g(y).
  • (c)

    Soient (ε1,,εr) et (ε1,,εr) deux bases d’un espace euclidien F de dimension r vérifiant

    (i,j){1,,r}2,εi,εj=εi,εj.

    Montrer qu’il existe une application orthogonale s de F telle que

    i{1,,r},s(εi)=εi.
  • (d)

    Montrer qu’il existe UOp() tel que A=UB. [Énoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA]

Solution

  • (a)

    Soit XKer(A). On a BtBX=AtAX=0 donc XtBtBX=0. Or XtBtBX=BX2 et donc XKer(B). Ainsi, Ker(A)Ker(B) et même Ker(A)=Ker(B) par une démarche symétrique.

  • (b)

    En notant X,Y les colonnes des coordonnées de X et Y

    f(x),f(y)=(AX)tAY=XtAtAY

    et

    g(x),g(y)=(BX)tBY=XtBtBY

    d’où la conclusion.

  • (c)

    Considèrons l’application linéaire s(F) déterminée par

    i{1,,r},s(εi)=εi.

    Il s’agit de montrer que s est orthogonale, par exemple en observant que s conserve la norme.
    Soit xF. On peut écrire

    x=i=1rxiεi et s(x)=i=1rxiεi.

    On a alors

    s(x)2=i,j=1rxixjεi,εj=i,j=1rxixjεi,εj=x2.
  • (d)

    Soit H un sous-espace vectoriel supplémentaire de Ker(A)=Ker(B) dans q.
    Introduisons (x1,,xr) une base de H et posons (ε1,,εr) et (ε1,,εr) les familles données par

    εi=f(xi) et εi=g(xi).

    En vertu du b), on peut affirmer

    (i,j){1,,r}2,εi,εj=εi,εj.

    Introduisons (εr+1,,εp) une base orthonormée de l’orthogonal de l’image de f et (εr+1,,εp) une base orthonormée de l’orthogonal de l’image de g. On vérifie alors

    (i,j){1,,p}2,εi,εj=εi,εj.

    On peut alors introduire une application orthogonale s:pp vérifiant

    i{1,,r},s(εi)=εi.

    On a alors l’égalité d’application linéaire

    uf=g

    car celle-ci vaut sur les xi donc sur H et vaut aussi évidement sur Ker(f)=Ker(g).
    En introduisant U matrice de s-1 dans la base canonique de p, on obtient

    A=US avec UOp().
 
Exercice 5  4268    

Soit E un espace euclidien de dimension n1 de produit scalaire noté ,.

On appelle matrice de Gram d’une famille 𝒰=(u1,,up) de vecteurs de E, la matrice G𝒰p() de coefficient général ui,uj.

  • (a)

    Montrer que la famille 𝒰=(u1,,up) et la matrice G𝒰 ont le même rang.

  • (b)

    Soient 𝒰=(u1,,up) et 𝒱=(v1,,vp) deux familles de vecteurs de E telles que G𝒰=G𝒱. Montrer qu’il existe une isométrie f de E vérifiant f(ui)=vi pour tout indice i=1,,p.

 
Exercice 6  3919      CENTRALE (MP)Correction  

Soit (E,,) un espace euclidien de dimension n2.

  • (a)

    Soient e=(e1,,en) une base orthonormée de E, (x1,,xn) et (y1,,yn) dans En. On introduit

    A=Mate(x1,,xn)etB=Mate(y1,,yn).

    Déterminer les coefficients de la matrice AtB.

  • (b)

    Soit (x1,,xn) une base de E. Montrer qu’il existe une unique famille (y1,,yn) de E telle que

    (i,j){1,,n}2,yi,xj=δi,j.

    Montrer que (y1,,yn) est une base de E et exprimer la matrice de passage de la base (x1,,xn) à la base (y1,,yn) à l’aide de la matrice

    M=(xi,xj)1i,jn.

    On considère dans la suite une famille (x1,,xn) de E vérifiant

    i{1,,n},xi=1et(i,j){1,,n}2,ijxi,xj<0

    et

    vE,i{1,,n},xi,v>0.
  • (c)

    Montrer que la famille (x1,,xn) est une base de E.

  • (d)

    On pose M=(xi,xj)1i,jnn() et S=In-M/n.
    Montrer que S est diagonalisable et que Sp(S)]0;1[.

  • (e)

    Montrer que les coefficients de M-1 sont positifs.

  • (f)

    Soit (y1,,yn) déduit de (x1,,xn) comme dans b). Montrer

    (i,j){1,,n}2,yi,yj0.

Solution

  • (a)

    On a ai,j=ei,xj, bi,j=ei,yj donc

    [AtB]i,j=k=1nek,xiek,yj=xi,yj.
  • (b)

    La condition étudiée sera remplie si, et seulement si, AtB=In. Il existe donc une unique famille y solution et celle-ci est déterminée par

    B=(At)-1.

    La matrice B étant inversible, la famille y est une base et

    P=Matx(y)=Mate,x(IdE)×Maty,e(IdE)=A-1B

    ce qui donne P=M-1 car M=AtA.

  • (c)

    Supposons λ1x1++λnxn=0E. Notons I={i1;n|λi>0} et J=1;nI. On a

    iIλixi=-iJλixi

    donc

    iIλixi2=-iIλixi,iJλixi=-(i,j)I×Jλiλjxi,xj.

    Or, dans les termes sommés, λiλj0 et xi,xj0 donc

    iIλixi20.

    On en déduit

    iIλixi=0E.

    En faisant le produit scalaire avec un vecteur v comme dans l’énoncé, on obtient

    iIλixi,v=0

    avec λi>0 et xi,v>0 pour tout iI. On en déduit I=.
    Un raisonnement analogue fournit aussi

    {i1;n|λi<0}=

    et l’on conclut que la famille x est libre. C’est donc une base puisqu’elle est de longueur n=dimE.

  • (d)

    On a M=AtA et la matrice S est diagonalisable car symétrique réelle. Pour étudier ses valeurs propres, commençons par étudier celles de M. Soit λ une valeur propre de M et X vecteur propre associé. On a MX=λX donc

    AX2=XtAtAX=λXtX=λX2

    avec X2>0 et AX2>0 (car A est inversible) donc λ>0.
    Aussi

    AX2=i=1n(j=1nai,jαj)2

    avec α1,,αn les coefficients de X.

    Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,

    AX2i=1n(j=1nai,j2×j=1nxj2)

    et l’on peut même affirmer qu’il n’y a pas égalité car X ne peut être colinéaires aux transposées de chaque ligne de A. On a alors

    AX2<i=1n(j=1nai,j2)X2=j=1n(i=1nai,j2)X2=nX2

    car les colonnes de la matrice A sont unitaires puisque xj2=1.
    On en déduit λ<n et finalement

    Sp(M)]0;n[.

    En conséquence,

    Sp(S)]0;1[.
  • (e)

    On écrit S=QDQ-1 avec D diagonale à coefficients diagonaux dans ]0;1[. On a

    M-1=1n(In-S)-1=1nQ(In-D)-1Q-1.

    Or

    (In-D)-1=In+D+D2+=n=0+Dn

    avec convergence de la série matricielle. On en déduit

    M-1=1nn=0+Sn.

    La matrice S est à coefficients positifs, ses puissances aussi et donc M-1 est à coefficients positifs.

  • (f)

    En reprenant les notations précédentes,

    M-1=A-1(At)-1=BtB=(yi,yj)1i,jn.

[<] Matrices antisymétriques



Édité le 08-11-2019

Bootstrap Bootstrap 3 - LaTeXML [LOGO] - Powered by MathJax Powered by MathJax