[<] Isométries de l'espace de dimension 3 [>] Théorème spectral vectoriel

 
Exercice 1  361  

Montrer que le noyau et l’image d’un endomorphisme symétrique u d’un espace euclidien E sont supplémentaires et orthogonaux.

 
Exercice 2  5129  

Montrer que les sous-espaces propres d’un endomorphisme symétrique u d’un espace euclidien E sont deux à deux orthogonaux.

 
Exercice 3  5137  

Soit E un espace euclidien. Montrer que, si un sous-espace vectoriel F de E est stable par un endomorphisme symétrique u, alors F est aussi stable par u.

 
Exercice 4  4266  

Déterminer les isométries d’un espace euclidien E qui sont aussi des endomorphismes symétriques.

 
Exercice 5  363  Correction  

Soit p une projection d’un espace vectoriel euclidien E.
Montrer que la projection p est orthogonale si, et seulement si, p est symétrique.

Solution

Si p est une projection orthogonale alors

x,yE,(xp(y)) =(x-p(x)p(y))+(p(x)p(y))
=(p(x)p(y)-y)+(p(x)y)
=(p(x)y).

Ainsi, l’endomorphisme p est symétrique.
Inversement, si p est symétrique alors Im(p)=(Ker(p)) et donc p est une projection orthogonale.

 
Exercice 6  362  Correction  

Soient f et g deux endomorphismes symétriques d’un espace vectoriel euclidien E.
Montrer que fg est symétrique si, et seulement si, fg=gf.

Solution

Soit e une base orthonormale de E.
Notons A et B les matrices de f et g dans la base e.
Ces matrices sont symétriques et

(AB)t=ABBA=AB.

Ainsi,

fg est symétrique fg=gf.
 
Exercice 7  1751  

Soient E un espace euclidien de dimension n2 de produit scalaire ,, a un vecteur unitaire de E et k un réel.

  • (a)

    Montrer que l’on définit un endomorphisme symétrique f de E en posant

    f(x)=x+ka,x.apour tout xE
  • (b)

    Déterminer les éléments propres de f.

 
Exercice 8  3591     CCP (MP)Correction  

Soient a*, u un vecteur unitaire de 3 euclidien.

  • (a)

    Montrer que l’application fa définie par

    fa(x)=x+ax,uu

    est un endomorphisme de 3.

  • (b)

    Montrer qu’il existe un unique a0 vérifiant

    x3,fa(x)=x.

    Donner la nature de fa (on pourra s’intéresser à fa2).

  • (c)

    Montrer que fa est un endomorphisme symétrique et déterminer ses éléments propres.

Solution

  • (a)

    L’application est évidemment linéaire de 3 dans 3

  • (b)

    Si fa conserve la norme alors en particulier fa(u)=u c’est-à-dire |1+a|u=u.
    La seule valeur a non nulle est alors a=-2.
    Inversement, f-2 se reconnaît comme la réflexion d’hyperplan Vect(u) et conserve donc la norme.

  • (c)

    On vérifie aisément par le calcul

    x,y3,fa(x),y=x,fa(y).

    On en déduit que fa est un endomorphisme symétrique.
    Pour xVect(u), on a fa(x)=(1+a)x et pour xVect(u), fa(x)=x.
    On en déduit que 1+a et 1 sont valeurs propres de u avec

    E1+a(fa)=Vect(u)etE1(fa)=Vect(u).

    Il n’y a pas d’autres valeurs propres (plus assez de place dans 3 …).

 
Exercice 9  5109   

On munit n[X] du produit scalaire , défini par

P,Q=-11P(t)Q(t)dt.

Montrer que l’endomorphisme φ de n[X] déterminé par

φ(P)=(X2-1)P′′+2XP+P

est symétrique.

 
Exercice 10  3430   Correction  

On pose E=n[X] muni du produit scalaire défini par

(PQ)=01P(t)Q(t)dt.
  • (a)

    Montrer que la relation

    u(P)(x)=01(x+t)nP(t)dt

    définit un endomorphisme u de l’espace E.

  • (b)

    Vérifier que l’endomorphisme u est symétrique

  • (c)

    Calculer la trace de u.

Solution

  • (a)

    En développant

    u(P)(X)=k=0n(nk)(01tn-kP(t)dt)Xk.

    Ceci assure la bonne définition de l’application u:EE et permet aussi de vérifier sa linéarité.

  • (b)

    Pour P,QE,

    (u(P)Q)=01(01(x+t)nP(t)dt)Q(x)dx

    et par le théorème de Fubini

    (u(P)Q)=[0;1]2(x+t)nP(t)Q(x)dtdx=01(01(x+t)nQ(x)dx)P(t)dt

    ce qui se relit

    (u(P)Q)=(Pu(Q)).
  • (c)

    Les coefficients diagonaux de la matrice de u dans la base canonique sont les

    (nk)01tn-k×tkdt=1n+1(nk).

    La trace de u est donc donnée par

    tr(u)=k=0n1n+1(nk)=2nn+1.
 
Exercice 11  3486   Correction  
  • (a)

    Vérifier que l’on définit un produit scalaire sur 2 par:

    x,y=x1y1+5x2y2-2(x1y2+x2y1).
  • (b)

    Pour quelle(s) valeur(s) de a l’endomorphisme u canoniquement représenté par

    M=(2a00)

    est-il symétrique?

Solution

  • (a)

    L’application , est évidemment une forme bilinéaire symétrique.
    Puisque

    x,x=x12+5x22-4x1x2=(x1-2x2)2+x22

    cette forme bilinéaire symétrique est aussi définie positive et c’est donc un produit scalaire.

  • (b)

    De façon immédiate

    Im(u)=Vect(1,0) et Ker(u)=Vect(-a,2).

    Si l’endomorphisme est symétrique alors Im(u)=Ker(u) et donc

    (1,0),(-a,2)=-a-4=0

    et donc a=-4.
    Inversement, si a=-4 alors les vecteurs (1,0) et (-a,2) sont orthogonaux et l’on peut diagonaliser u dans une base orthonormale.

 
Exercice 12  4275    

(Pseudo inverse)

Soit a une application linéaire d’un espace euclidien E vers un espace euclidien E.

Montrer qu’il existe une unique application linéaire b de E vers E vérifiant:

  • (i)

    ab et ba sont des endomorphismes symétriques;

  • (ii)

    aba=a et bab=b.

L’application linéaire b est appelée pseudo-inverse11 1 Lorsque l’on veut résoudre l’équation linéaire a(x)=y, ni l’existence, ni l’unicité d’une solution ne sont assurées. Introduire le pseudo-inverse b permet de déterminer le vecteur x0=b(y) qui est le vecteur de norme minimale tel que a(x0) soit le plus proche possible de y. de a.

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Édité le 08-11-2019

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