[<] Isométries de l'espace de dimension 3 [>] Théorème spectral vectoriel
Montrer que le noyau et l’image d’un endomorphisme autoadjoint d’un espace euclidien sont supplémentaires et orthogonaux.
Montrer que les sous-espaces propres d’un endomorphisme autoadjoint d’un espace euclidien sont deux à deux orthogonaux.
Soit un espace euclidien. Montrer que, si un sous-espace vectoriel de est stable par un endomorphisme autoadjoint , alors est aussi stable par .
Déterminer les isométries d’un espace euclidien qui sont aussi des endomorphismes autoadjoints.
Soit une projection d’un espace vectoriel euclidien . Montrer que la projection est orthogonale si, et seulement si, l’endomorphisme est autoadjoint.
Solution
Si est une projection orthogonale alors
Ainsi, l’endomorphisme est autoadjoint.
Inversement, si est autoadjoint alors et donc est une projection orthogonale.
Soient et deux endomorphismes autoadjoints d’un espace vectoriel euclidien .
Montrer que est autoadjoint si, et seulement si, .
Solution
Soit une base orthonormée de .
Notons et les matrices de et dans la base .
Ces matrices sont symétriques et
Ainsi,
Soient un espace euclidien de dimension de produit scalaire , un vecteur unitaire de et un réel.
Montrer que l’on définit un endomorphisme autoadjoint de en posant
Déterminer les éléments propres de .
Soient , un vecteur unitaire de euclidien.
Montrer que l’application définie par
est un endomorphisme de .
Montrer qu’il existe un unique vérifiant
Donner la nature de (on pourra s’intéresser à ).
Montrer que est un endomorphisme autoadjoint et déterminer ses éléments propres.
Solution
L’application est évidemment linéaire de dans .
Si conserve la norme alors, en particulier, c’est-à-dire .
La seule valeur non nulle est alors .
Inversement, se reconnaît comme la réflexion d’hyperplan et conserve donc la norme.
On vérifie aisément par le calcul
On en déduit que est un endomorphisme autoadjoint.
Pour , on a et pour , .
On en déduit que et sont valeurs propres de avec
Il n’y a pas d’autres valeurs propres (plus assez de place dans ).
On munit du produit scalaire défini par
Montrer que l’endomorphisme de déterminé par
est autoadjoint.
On pose muni du produit scalaire défini par
Montrer que la relation
définit un endomorphisme de l’espace .
Vérifier que l’endomorphisme est autoadjoint.
Calculer la trace de .
Solution
En développant
Ceci assure la bonne définition de l’application et permet aussi de vérifier sa linéarité.
Pour ,
et par le théorème de Fubini
ce qui se relit
Les coefficients diagonaux de la matrice de dans la base canonique sont les
La trace de est donc donnée par
Vérifier que l’on définit un produit scalaire sur par:
Pour quelle(s) valeur(s) de l’endomorphisme canoniquement représenté par
est-il autoadjoint?
Solution
L’application est évidemment une forme bilinéaire symétrique.
Puisque
cette forme bilinéaire symétrique est aussi définie positive et c’est donc un produit scalaire.
De façon immédiate
Si l’endomorphisme est autoadjoint alors et donc
et donc .
Inversement, si alors les vecteurs et sont orthogonaux et l’on peut diagonaliser dans une base orthonormée.
(Pseudo inverse)
Soit une application linéaire d’un espace euclidien vers un espace euclidien .
Montrer qu’il existe une unique application linéaire de vers vérifiant:
et sont des endomorphismes autoadjoints;
et .
L’application linéaire est appelée pseudo-inverse11 1 Lorsque l’on veut résoudre l’équation linéaire , ni l’existence, ni l’unicité d’une solution ne sont assurées. Introduire le pseudo-inverse permet de déterminer le vecteur qui est le vecteur de norme minimale tel que soit le plus proche possible de . de .
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Édité le 29-08-2023
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