[<] Équations matricielles avec transposition [>] Endomorphismes symétriques à valeurs propres positives

 
Exercice 1  1330    MINES (MP)Correction  

Soit An() telle que AtA=AAt. On suppose qu’il existe p* tel que Ap=0.

  • (a)

    Montrer que AtA=0.

  • (b)

    En déduire que A=0.

Solution

  • (a)

    Puisque A et At commutent, on a (AtA)p=(At)pAp=0 et donc AtA est nilpotente.
    D’autre part, la matrice AtA est symétrique réelle donc diagonalisable. Étant nilpotente, sa seule valeur propre possible est 0 et donc AtA est nulle car semblable à la matrice nulle.

  • (b)

    En exploitant le produit scalaire canonique sur n() on a

    A2=(AA=)tr(AtA)=0

    et donc A=0

 
Exercice 2  5408  Correction  

On dit qu’une matrice An() est unipotente lorsque l’on peut écrire A=In+N avec N matrice nilpotente. Quelles sont les matrices unipotentes orthogonales?

Solution

Soit A=In+Nn() une matrice unipotente orthogonale. L’égalité AtA=In donne NtN+Nt+N=On. Aussi, l’égalité AAt=In donne NNt+Nt+N=On. On en déduit que les matrices N et Nt commutent. Puisque N est nilpotente, on peut affirmer par commutation que NtN est aussi nilpotente. Or cette matrice est symétrique réelle et donc diagonalisable, c’est alors la matrice nulle. En particulier, N22=tr(NtN)=0 ce qui donne N=On. Finalement, A=In. La réciproque est entendue.

 
Exercice 3  2716     MINES (MP)Correction  

Résoudre dans n() le système

{M2+M+In=0MtM=MMt.

Solution

Soit M solution, M est diagonalisable sur avec pour valeurs propres j et j2.
Puisque tr(M) est réel, les valeurs propres j et j2 ont même multiplicité. Par suite, n est pair, n=2p.
Nous allons montrer, en raisonnant par récurrence sur p qu’il existe une matrice orthogonale P tel que

PMP-1=(J(0)(0)J)

avec

J=R2π/3=(-1/2-3/23/2-1/2)ouJ=R-2π/3.

Pour n=2: M=(abcd).

MtM=MMt{ab+cd=ac+dbb2=c2.

Si b=c alors M est symétrique donc diagonalisable sur ce qui n’est pas le cas.
Il reste b=-c et donc a=d.
Ainsi M=(ab-ba) et la relation M2+M+I=0 donne

{a2-b2+a+1=02ab+b=0

puis

{a=-1/2b=±3/2

ce qui permet de conclure (car le cas b=0 est à exclure).
Supposons la propriété établie au rang n=2p et étudions le rang n=2p+2.
Soit M une matrice solution.
La matrice S=Mt+M est symétrique et donc il existe X0 tel que SX=λX.
On observe alors que l’espace F=Vect(X,MX) est stable par M et par Mt. Par suite, F est aussi stable par M et Mt. On peut alors appliquer l’étude menée pour n=2 à l’action de M sur F et l’hypothèse de récurrence à celle sur F.
Cela établit la récurrence. Il ne reste plus qu’à souligner que les matrices ainsi obtenues sont bien solutions.

 
Exercice 4  3928      MINES (MP)

Soit Mn() vérifiant11 1 On dit que M est une matrice normale. MtM=MMt. Montrer que M est orthogonalement semblable22 2 C’est-à-dire semblable par l’intermédiaire d’une matrice de passage orthogonale. à une matrice diagonale par blocs dont les blocs diagonaux sont de taille 1 et/ou de taille 2 de la forme33 3 La matrice Mα,β étant diagonalisable dans , on peut affirmer que toute matrice commutant avec sa transposée est diagonalisable sur .

Mα,β=(α-ββα) avec α,β.

On admettra qu’un endomorphisme d’un espace réel de dimension finie non nulle admet au moins une droite ou un plan stable44 4 Voir le sujet 5157..

 
Exercice 5  4168      CENTRALE (MP)Correction  

Soient n* et Mn().

  • (a)

    Montrer qu’il existe un unique couple (A,S)n()2 tel que

    M=A+S,At=-AetSt=S.
  • (b)

    Montrer que M et Mt commutent si, et seulement si, A et S commutent.

  • (c)

    Soit An() telle que At=-A. On suppose que A est inversible. Montrer que n est pair et qu’il existe POn() et (a1,,ap)(+*)p tels que A=PDP-1D est une matrice diagonale par blocs avec des blocs D1,,Dp

    Di=(0-aiai0).
  • (d)

    Énoncer et prouver un théorème de réduction pour les matrices normales de n(), c’est-à-dire les matrices Mn() telles que MMt=MtM.

Solution

  • (a)

    Unicité:

    Si M=A+S avec A et S comme voulues, on a Mt=-A+S et donc

    S=12(M+Mt)etA=12(M-Mt).

    Existence:

    Les matrices S et A proposées ci-dessus conviennent.

  • (b)

    Si M et Mt commutent, il en est de même des matrices A et S fournies par les expressions précédentes. Inversement, si A et S commutent, il en est de même de M=A+S et Mt=-A+S.

  • (c)

    At=-A donne det(At)=det(-A) et donc det(A)=(-1)ndet(A). On en déduit que n est pair lorsque det(A)0.

    La matrice A2 est symétrique réelle et possède donc une valeur propre λ. Soit x un vecteur propre associé et y=Ax. On a

    (xy)=xtAx=-(Ax)tx=-(yx).

    On en déduit que x et y sont orthogonaux. Posons alors

    e1=1xxete2=1yy

    et complétons la famille (e1,e2) en une base orthonomale. L’endomorphisme canoniquement associé à A est alors figuré dans cette base par une matrice de la forme

    B=(0β(*)α0(*)(0)(0)A).

    Les matrices A et B sont orthogonalement semblables et donc B est antisymétrique. On en déduit β=-α, les étoiles sont nulles et A est antisymétrique ce qui permet de propager une récurrence.

  • (d)

    Lorsque la matrice antisymétrique A n’est pas inversible, le résultat qui précède est étendu en autorisant des blocs nuls en plus des Di.

    Supposons MMt=MtM. Par commutation, les sous-espaces propres de S sont stables par A ce qui permet de mener le raisonnement précédent en choisisssant e1 vecteur propre commun à S et A2. En notant que e2 sera alors vecteur propre de S pour la même valeur propre que e1, on obtient que M est orthogonalement semblable à une matrice diagonale par blocs avec des blocs diagonaux de la forme

    (λ)et(α-ββα).

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Édité le 08-11-2019

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