[>] Isométries vectorielles

 
Exercice 1  5130  

Trouver toutes les matrices de On() diagonalisables.

 
Exercice 2  3141   

Soit n avec n2. Déterminer les matrices de On() dont tous les coefficients sont positifs ou nuls.

 
Exercice 3  5131   

Soit A=(ai,j)On().

  • (a)

    Montrer

    1nmax1i,jn|ai,j|1
  • (b)

    Montrer

    ni,j=1n|ai,j|nn.
 
Exercice 4  2744     MINES (MP)Correction  

Soit AOn(). On suppose que 1 n’est pas valeur propre de A.

  • (a)

    Étudier la convergence de

    1p+1(In+A++Ap)

    lorsque p+.

  • (b)

    La suite (Ap)p est-elle convergente?

Solution

  • (a)

    Posons

    Up=1p+1(In+A++Ap).

    On remarque

    (In-A)Up=1p+1(In-Ap+1)p+0

    car pour la norme euclidienne

    MOn(),M=n.

    Puisque 1Sp(A),

    Upp+On.
  • (b)

    Par l’absurde, si Ap converge vers B alors pour tout Xn,1(), Ap+1X=AApX donne à la limite BX=ABX. Or 1Sp(A) donc BX=0 et, puisque cela vaut pour tout X, B=On.

    Or Ap=n↛0. C’est absurde.

    La suite (Ap)p est divergente.

 
Exercice 5  341   

(Décomposition QR d’une matrice inversible)

Soit AGLn().

  • (a)

    Montrer qu’il existe une matrice Q orthogonale et une matrice R triangulaire supérieure à coefficients diagonaux strictement positifs telles que A=QR.

  • (b)

    Montrer l’unicité de cette écriture.

 
Exercice 6  2746     MINES (MP)Correction  

Soit J la matrice de n() dont tous les coefficients sont égaux à 1.

Quelles sont les A de On() telles que J+A soit inversible?

Solution

J+A n’est pas inversible si, et seulement si, il existe une colonne non nulle vérifiant AX=-JX.

Puisque la matrice A est orthogonale, on a AtJX=-X et donc

-1Sp(AtJ)=Sp((AtJ)t)=Sp(JA)

avec une réciproque immédiate.

Le polynôme caractéristique de JA étant

Xn-1(X-σ) avec σ=i=1nj=1nai,j

on obtient le critère

J+A est inversible si, et seulement si, σ0.
 
Exercice 7  2749     MINES (PC)Correction  

(Transformation de Cayley)

  • (a)

    Si A est une matrice antisymétrique réelle, que peut-on dire des valeurs propres complexes de A?

  • (b)

    Soit

    φ:A𝒜n()(In-A)(In+A)-1.

    Montrer que φ réalise une bijection de 𝒜n() sur

    {ΩOn()|-1Sp(Ω)}.

Solution

  • (a)

    Soit λ une valeur propre complexe de A et Xn,1() une colonne propre associée.

    D’une part,

    X¯tAX=λX¯tX,.

    D’autre part,

    X¯tAX=AX¯tX=-λ¯X¯tX.

    Puisque X¯tX+*, on obtient λ¯=-λ donc λi.

  • (b)

    Pour tout A𝒜n(), Ω=φ(A) est bien définie car -1Sp(A).
    ΩtΩ=(In-A)-1(In+A)(In-A)(In+A)-1 or In+A et In-A commutent donc ΩtΩ=In.
    De plus, si ΩX=-X alors (In-A)X=-(In+A)X (car In-A et (In+A)-1 commutent) et donc X=0.

    Ainsi, l’application φ:𝒜n(){ΩOn()|-1Sp(Ω)} est bien définie.

    Si φ(A)=φ(B) alors

    (In-A)(In+B)=(In+A)(In-B).

    En développant et en simplifiant, on obtient A=B et l’application φ est donc injective.

    Enfin, soit ΩOn() telle que -1Sp(Ω).

    Posons A=(Ω+In)-1(In-Ω) qui est bien définie car -1Sp(Ω).

    On a

    At =(In-Ω-1)(Ω-1+In)-1
    =(Ω-In)Ω-1Ω(In+Ω)-1
    =(Ω-In)(In+Ω)-1=-A

    et φ(A)=Ω.

    Finalement, φ est bijective.

 
Exercice 8  4167     CENTRALE (MP)Correction  

Soit An().

  • (a)

    Montrer qu’il existe une matrice O orthogonale et une matrice T triangulaire supérieure telles que A=OT.

    On pourra commencer par le cas où la matrice A est inversible.

La fonction numpy.linalg.qr de Python donne une telle décomposition.

  • (b)

    On pose

    N1(A)=1i,jn|ai,j|.

    Montrer que N1 admet un minimum mn et un maximum Mn sur On().

  • (c)

    Utilisation de Python.

    Écrire une fonction randO(n) qui génère une matrice aléatoire A et qui renvoie la matrice orthogonale O de la question précédente.

    Écrire une fonction N1 de la variable matricielle A qui renvoie N1(A). On pourra utiliser les fonctions numpy.sum et numpy.abs.

    Écrire une fonction test(n) qui, sur 1 000 tests, renvoie le minimum et le maximum des valeurs de N1 pour des matrices orthogonales aléatoires.

  • (d)

    Déterminer la valeur de mn. Pour quelles matrices, ce minimum est-il atteint?

    Montrer qu’il y a un nombre fini de telles matrices.

  • (e)

    Montrer que Mnnn et que M3<33.

Solution

  • (a)

    Cas: A inversible. La matrice A est la matrice de passage de la base canonique c de n à une base e. Par le procédé de Schmidt, on orthonormalise (pour le produit scalaire canonique) cette base en une base e. La matrice de passage de e à e est triangulaire supérieure et la matrice de passage de la base canonique c à e est orthogonale. Par formule de changement de base

    A=Matce=Matce×Matee

    ce qui conduit à l’identité voulue.

    Cas général: On introduit Ap=A+1pIn. Pour p assez grand, Ap est inversible et l’on peut écrire Ap=OpTp avec Op orthogonale et Tp triangulaire supérieure. La suite (Op) évolue dans un compact: il existe une extraction (Oφ(p)) de limite OOn(). Puisque Tφ(p)=Oφ(p)-1Aφ(p) est de limite O-1A et évolue dans le fermé des matrices triangulaires supérieures, on peut conclure à l’écriture A=OT.

  • (b)

    La fonction N1 est une fonction continue, à valeurs réelles définie sur le compact non vide On(): elle admet un minimum et un maximum.

  • (c)
    import random as rnd
    import numpy as np
    import numpy.linalg
    
    def randO(n):
        A = np.zeros((n,n))
        for i in range(n):
            for j in range(n):
                A[i,j] = 2 * rnd.random() - 1
        q,r = numpy.linalg.qr(A)
        return q
    
    def N1(A):
        S = 0
        N,M = np.shape(A)
        for i in range(N):
            for j in range(M):
                S = S + np.abs(A[i,j])
        return S
    
    def test(n):
        A = randO(n)
        m = N1(A)
        M = N1(A)
        for t in range(1000):
            A = randO(n)
            N = N1(A)
            if N < m:
                m = N
            if N > M:
                M = N
        return m,M
    
  • (d)

    Si AOn(), on a ai,j[-1;1] donc |ai,j|ai,j2 puis

    N1(A)i=1nj=1nai,j2i=1n1=n

    car les lignes d’une matrice orthogonale sont unitaires. De plus, pour A=InOn(), on a N1(A)=n. On en déduit mn=n.

    Une matrice A de On() vérifiant N1(A)=n doit satisfaire |ai,j|=ai,j2 et donc ai,j{0,1,-1}. De plus, les rangées étant unitaires, ils ne peut figurer qu’un coefficient non nul par rangée et celui-ci est alors un 1 ou un -1. La réciproque est immédiate.

    Ces matrices sont évidemment en nombre fini, précisément, il y en a 2nn! (il y a n! matrice de permutation et 2n choix de signe pour chaque coefficient 1).

  • (e)

    Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz

    N1(A)i=1n((j=1n12)1/2(j=1nai,j2)1/2)=nn.

    Pour qu’il y ait égalité, il faut qu’il y ait égalité dans chaque inégalité de Cauchy-Schwarz. Ceci entraîne que chaque ligne (|ai,j|)1jn est colinéaire à (1,,1) et donc

    i1;n,(j,k)1;n2,|ai,j|=|ai,k|.

    La ligne étant de plus unitaire, les ai,j sont égaux à ±1/n.

    Lorsque n=3, les coefficients de A sont égaux à ±1/3. Cependant, il n’est pas possible de construire des rangées orthogonales avec de tels coefficients: le cas d’égalité est impossible quand n=3.

 
Exercice 9  3610      CENTRALE (MP)Correction  

Soit n*. Si Mn(), on dira que M a la propriété (P) si, et seulement si, il existe une matrice Un+1() telle que M soit la sous-matrice de U obtenue en supprimant les dernières ligne et colonne de U et que U soit une matrice orthogonale, soit encore si, et seulement si, il existe α1,,α2n+1 tels que

U=(α2n+1Mαn+2α1αnαn+1)On+1().
  • (a)

    Ici

    M=(λ1(0)(0)λn)

    est une matrice diagonale. Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur les λi pour que M ait la propriété (P).

  • (b)

    Ici M𝒮n(). Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que M ait la propriété (P).

  • (c)

    Si MGLn(), montrer qu’il existe UOn() et S𝒮n() telles que M=US.
    On admettra qu’une telle décomposition existe encore si M n’est pas inversible.

  • (d)

    Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que Mn() quelconque ait la propriété (P).
    Cette condition portera sur MtM.

  • (e)

    Montrer le résultat admis dans la question c).
    Énoncé fourni par le CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Solution

  • (a)

    Si M possède la propriété (P) alors les colonnes de la matrice U introduites doivent être unitaires donc

    1in,λi2+αi2=1

    et elles doivent être deux à deux orthogonales donc

    1ijn,αiαj=0.

    Cette dernière condition ne permet qu’au plus un αk non nul et alors |λk|1 tandis que pour ik, |λi|=1.
    Inversement, si tous les λi vérifient |λi|=1 sauf peut-être un vérifiant |λk|<1, alors on peut construire une matrice U affirmant que la matrice M possède la propriété (P) en posant

    1ikn,αi=α2n+2-i=0,αk=α2n+2-k=1-λk2 et αn+1=-λk.
  • (b)

    La matrice M est orthogonalement diagonalisable, on peut donc écrire

    M=PtDP avec POn() et D=diag(λ1,,λn).

    Considérons alors la matrice

    Q=(P001)On+1().

    Si la matrice M possède la propriété (P) alors on peut introduire UOn+1() prolongeant M et alors

    V=QtUQ=(β2n+1Dβn+2β1βnβn+1)On+1()

    ce qui entraîne que les valeurs propres λ1,,λn de M sont toutes égales à ±1 sauf peut être une élément de [-1;1].
    La réciproque est immédiate.

  • (c)

    La matrice MtM est symétrique définie positive. On peut donc en diagonalisant orthogonalement celle-ci déterminer une matrice S symétrique définie positive telle que

    MtM=S2.

    On pose alors U=MS-1 et l’on vérifie UOn() par le calcul de UtU.

  • (d)

    Supposons que la matrice M=US possède la propriété (P). En multipliant par la matrice

    V=(Ut001)On+1()

    on démontre que la matrice S possède aussi la propriété (P).
    Puisque les valeurs propres de S sont les racines des valeurs propres de MtM, on obtient la condition nécessaire suivante: les valeurs propres de MtM doivent être égales à 1 sauf peut-être une dans [0;1] (ces valeurs propres sont nécessairement positives).
    La réciproque est immédiate.

  • (e)

    Soit Mn(). Pour p assez grand, la matrice

    Mp=M+1pIn

    est assurément inversible ce qui permet d’écrire Mp=UpSp avec Up orthogonale et Sp symétrique réelle.
    La suite (Up) évolue dans le compact On(), elle possède une valeur d’adhérence UOn() et la matrice S=U-1M est symétrique réelle en tant que limite d’une suite de matrices symétriques réelles.
    On peut donc conclure.

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Édité le 08-11-2019

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