Exercice 1 4500

Vérifier que la matrice suivante est orthogonale:

A = \frac{1}{3} (\begin{matrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & - 2 \\ 2 & - 2 & 1 \end{matrix}) .

Exercice 2 339 Correction

Quelles sont les matrices orthogonales triangulaires supérieures?

Solution

Les matrices diagonales avec coefficients diagonaux égaux à 1 ou $- 1$ . Le résultat s’obtient en étudiant les colonnes de la première à la dernière, en exploitant qu’elles sont unitaires et deux à deux orthogonales.

Exercice 3 5130

Trouver toutes les matrices de $O_{n} (ℝ)$ diagonalisables.

Exercice 4 5289 ENSTIM (MP)Correction

Calculer

Card (O_{n} (ℝ) \cap ℳ_{n} (ℤ)) .

Solution

Les colonnes d’une matrice orthogonale sont unitaires. Une matrice orthogonale à coefficients entiers ne peut avoir que des colonnes égales ou opposées à des colonnes élémentaires. De plus, ces colonnes élémentaires doivent être distinctes car une matrice orthogonale est inversible et donc chacune colonne élémentaire apparaît une fois et une seule (avec un éventuel signe). Inversement, une telle matrice est solution. En choisissant l’ordre des colonnes élémentaires et le signe attribué à chaque,

Card (O_{n} (ℝ) \cap ℳ_{n} (ℤ)) = 2^{n} n! .

Exercice 5 3141

Soit $n \in ℕ$ avec $n \geq 2$ . Déterminer les matrices de $O_{n} (ℝ)$ dont tous les coefficients sont positifs ou nuls.

Exercice 6 5131

Soit $A = (a_{i, j}) \in O_{n} (ℝ)$ .

(a)

Montrer

$\frac{1}{\sqrt{n}} \leq \max_{1 \leq i, j \leq n} | a_{i, j} | \leq 1 .$
(b)

Montrer

$n \leq \sum_{i, j = 1}^{n} | a_{i, j} | \leq n \sqrt{n} .$

Exercice 7 2743 MINES (MP)Correction

Soit $A = {(a_{i, j})}_{1 \leq i, j \leq n}$ une matrice réelle orthogonale. Montrer que

| \sum_{1 \leq i, j \leq n} a_{i, j} | \leq n .

Solution

Pour $X = {(\begin{matrix} 1 & \dots & 1 \end{matrix})}^{⊤}$ , on vérifie

\sum_{1 \leq i, j \leq n} a_{i, j} = X^{⊤} A X .

Or $X^{⊤} A X = (X ∣ A X)$ donc par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,

| X^{⊤} A X | \leq ∥ X ∥ ∥ A X ∥ .

Or $∥ X ∥ = \sqrt{n}$ et $∥ A X ∥ = ∥ X ∥ = \sqrt{n}$ car $A \in O_{n} (ℝ)$ donc

| \sum_{1 \leq i, j \leq n} a_{i, j} | \leq n .

Exercice 8 5665 Correction

(Matrice de Householder)

Soit $V \in ℳ_{n, 1} (ℝ) ∖ {0}$ . On considère $Q \in ℳ_{n} (ℝ)$ définie par

Q = I_{n} - \frac{2}{{∥ V ∥}^{2}} V V^{⊤} avec {∥ V ∥}^{2} = V^{⊤} V .

(a)

Montrer que la matrice $Q$ est symétrique et orthogonale.
(b)

À quelle transformation géométrique correspond la matrice $Q$ ?

Solution

(a)

On remarque que $V V^{⊤}$ correspond à une matrice carrée de taille $n$ .

La matrice $V^{⊤} V$ est symétrique car

${(V^{⊤} V)}^{⊤} = V^{⊤} {(V^{⊤})}^{⊤} = V^{⊤} V .$

Par combinaison linéaire, la matrice $Q$ est symétrique.

Par développement du carré de la somme de deux matrices qui commutent

$Q^{⊤} Q = Q^{2} = I_{n} - \frac{4}{{∥ V ∥}^{2}} V V^{⊤} + \frac{4}{{∥ V ∥}^{4}} {(V V^{⊤})}^{2} .$

Or

${(V V^{⊤})}^{2} = V \underset{\begin{matrix} = {∥ V ∥}^{2} \in ℝ \end{matrix}}{\underset{⏟}{V^{⊤} V}} V^{⊤} = {∥ V ∥}^{2} V V^{⊤}$

donc

$Q^{⊤} Q = Q^{2} = I_{n} - \frac{4}{{∥ V ∥}^{2}} V V^{⊤} + \frac{4}{{∥ V ∥}^{2}} V V^{⊤} = I_{n} .$

Ainsi, la matrice $Q$ est orthogonale.
(b)

Puisque $Q^{2} = I_{n}$ , la matrice $Q$ figure une symétrie.

Aussi, pour $X \in Vect (V)$ , en écrivant $X = λ V$

$Q X = λ V - 2 \frac{1}{{∥ V ∥}^{2}} V V^{⊤} (λ V) = λ V - 2 λ V = - λ V = - X$

et, pour $X \in Vect {(V)}^{⊥}$ ,

$Q X = X - 2 \frac{1}{{∥ V ∥}^{2}} V \underset{\begin{matrix} = 0 \end{matrix}}{\underset{⏟}{V^{⊤} X}} = X .$

On en déduit que $Q$ est la symétrie orthogonale par rapport à l’espace $Vect {(V)}^{⊥}$ .

Exercice 9 3926 MINES (MP)Correction

Soient $A$ et $B$ dans $O_{n} (ℝ)$ telle que $(A + 2 B) / 3$ appartienne à $O_{n} (ℝ)$ . Que dire de $A$ et $B$ ?

Solution

Puisque $O_{n} (ℝ)$ est un groupe multiplicatif, on a

(I_{n} + 2 M) / 3 \in O_{n} (ℝ)

avec $M = A^{- 1} B \in O_{n} (ℝ)$ . Pour $x \in ℝ^{n}$ unitaire,

∥ x + 2 M x ∥ = 3 .

Mais aussi

∥ x ∥ + ∥ 2 M x ∥ = ∥ x ∥ + 2 ∥ x ∥ = 3 .

Il y a donc égalité dans l’inégalité triangulaire et, par conséquent, il existe $λ \in ℝ_{+}$ vérifiant

2 M x = λ x .

En considérant à nouveau la norme, on obtient $λ = 2$ puis $M x = x$ . Cela valant pour tout $x \in ℝ^{n}$ , on conclut $M = I_{n}$ puis $A = B$ .

Exercice 10 2744 MINES (MP)Correction

Soit $A \in O_{n} (ℝ)$ . On suppose que $1$ n’est pas valeur propre de $A$ .

(a)

Étudier la convergence de

$\frac{1}{p + 1} (I_{n} + A + \dots + A^{p})$

lorsque $p \to + \infty$ .
(b)

La suite ${(A^{p})}_{p \in ℕ}$ est-elle convergente?

Solution

(a)

Posons

$U_{p} = \frac{1}{p + 1} (I_{n} + A + \dots + A^{p}) .$

Par télescopage,

$(I_{n} - A) U_{p} = \frac{1}{p + 1} \sum_{k = 0}^{p} (A^{k} - A^{k + 1}) = \frac{1}{p + 1} (I_{n} - A^{p + 1})$

et donc

$∥ (I_{n} - A) U_{p} ∥ \leq \frac{1}{p + 1} (∥ I_{n} ∥ + ∥ A^{p + 1} ∥) = \frac{2 \sqrt{n}}{p + 1} \to_{p \to + \infty}^{} 0$

car, pour la norme euclidienne;

$\forall M \in O_{n} (ℝ), ∥ M ∥ = \sqrt{M^{⊤} M} = \sqrt{n} .$

Ainsi,

$(I_{n} - A) U_{p} \to_{p \to + \infty}^{} O_{n}$

Puisque $1 \notin Sp (A)$ , la matrice $I_{n} - A$ est inversible et donc

$U_{p} \to_{p \to + \infty}^{} {(I_{n} - A)}^{- 1} O_{n} = O_{n} .$
(b)

Par l’absurde, supposons que la suite $(A^{p})$ converge vers une matrice $B$ . Pour toute colonne $X \in ℳ_{n,1} (ℝ)$ , on a $A^{p + 1} X = A A^{p} X$ ce qui donne à la limite $B X = A B X$ . Or $1 \notin Sp (A)$ et donc $B X = 0$ . Puisque cela vaut pour toute colonne $X$ , $B = O_{n}$ .

Or $∥ A^{p} ∥ = \sqrt{n}$ ne tend pas vers $0$ quand $p$ tend vers l’infini. C’est absurde.

La suite ${(A^{p})}_{p \in ℕ}$ est divergente.

Exercice 11 341

(Décomposition $Q R$ d’une matrice inversible)

Soit $A \in {GL}_{n} (ℝ)$ .

(a)

Montrer qu’il existe une matrice $Q$ orthogonale et une matrice $R$ triangulaire supérieure à coefficients diagonaux strictement positifs telles que $A = Q R$ .
(b)

Montrer l’unicité de cette écriture.

Exercice 12 2746 MINES (MP)Correction

Soit $J$ la matrice de $ℳ_{n} (ℝ)$ dont tous les coefficients sont égaux à $1$ .

Quelles sont les $A$ de $O_{n} (ℝ)$ telles que $J + A$ soit inversible?

Solution

$J + A$ n’est pas inversible si, et seulement si, il existe une colonne non nulle vérifiant $A X = - J X$ .

Puisque la matrice $A$ est orthogonale, on a $A^{⊤} J X = - X$ et donc

- 1 \in Sp (A^{⊤} J) = Sp ({(A^{⊤} J)}^{⊤}) = Sp (J A)

avec une réciproque immédiate.

Le polynôme caractéristique de $J A$ étant

X^{n - 1} (X - σ) avec σ = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i, j}

on obtient le critère

J + A

est inversible si, et seulement si,

σ \neq 0

Exercice 13 2991 ENSTIM (MP)Correction

(Transformation de Cayley)

Soit $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ vérifiant $A^{⊤} = - A$ .

(a)

Déterminer les valeurs propres réelles possibles de la matrice $A$ .
(b)

En déduire que les matrices $A + I_{n}$ et $A - I_{n}$ sont inversibles.
(c)

Montrer que la matrice $Ω = (A + I_{n}) {(A - I_{n})}^{- 1}$ est orthogonale.
(d)

Calculer $\det (Ω)$ .

Solution

(a)

Soient $λ \in ℝ$ et $X \in ℳ_{n,1} (ℝ)$ tels que $A X = λ X$ .

En multipliant par $X^{⊤}$ à gauche, on obtient

$X^{⊤} A X = λ X^{⊤} X = λ {∥ X ∥}^{2}$

en introduisant $∥ \cdot ∥$ la norme euclidienne canonique sur $ℳ_{n,1} (ℝ)$ .

Parallèlement, on a aussi

$X^{⊤} A X = - X^{⊤} A^{⊤} X = - {(A X)}^{⊤} X = - λ X^{⊤} X = - λ {∥ X ∥}^{2} .$

On en déduit

$λ {∥ X ∥}^{2} = 0 .$

Si $λ$ est valeur propre de $A$ , on peut déterminer une colonne $X$ non nulle telle que $A X = λ X$ et la relation ci-dessus oblige alors $λ = 0$ . Ainsi, seule $λ = 0$ peut être valeur propre réelle de la matrice $A$ .
(b)

Les réels $λ = \pm 1$ ne sont pas valeurs propres de $A$ , les matrices $A + I_{n}$ et $A - I_{n}$ sont donc inversibles.
(c)

La matrice proposée est correctement définie et

$Ω^{⊤} Ω = {({(A - I_{n})}^{- 1})}^{⊤} {(A + I_{n})}^{⊤} (A + I_{n}) {(A - I_{n})}^{- 1} .$

Sachant

${(M^{- 1})}^{⊤} = {(M^{⊤})}^{- 1} pour tout M \in {GL}_{n} (ℝ)$

on poursuit

$Ω^{⊤} Ω$ $= {(A^{⊤} - I_{n})}^{- 1} (A^{⊤} + I_{n}) (A + I_{n}) {(A - I_{n})}^{- 1}$

$= {(- A - I_{n})}^{- 1} (- A + I_{n}) (A + I_{n}) {(A - I_{n})}^{- 1}$

$= {(A + I_{n})}^{- 1} (A - I_{n}) (A + I_{n}) {(A - I_{n})}^{- 1} .$

Enfin, les matrices $A + I_{n}$ et $A - I_{n}$ commutent car ce sont des polynômes en $A$ et l’on peut simplifier

$Ω^{⊤} Ω = {(A + I_{n})}^{- 1} (A + I_{n}) (A - I_{n}) {(A - I_{n})}^{- 1} = I_{n} .$

La matrice $Ω$ est orthogonale.
(d)

On remarque

$\det (A - I_{n}) = \det (- A^{⊤} - I_{n}) = {(- 1)}^{n} \det (A^{⊤} + I_{n}) = {(- 1)}^{n} \det (A + I_{n}) .$

On en déduit $\det (Ω) = {(- 1)}^{n}$ .

Exercice 14 2749 MINES (PC)Correction

(Transformation de Cayley)

(a)

Si $A$ est une matrice antisymétrique réelle, que peut-on dire des valeurs propres complexes de $A$ ?
(b)

Soit

$φ : A \in 𝒜_{n} (ℝ) \mapsto (I_{n} - A) {(I_{n} + A)}^{- 1} .$

Montrer que $φ$ réalise une bijection de $𝒜_{n} (ℝ)$ sur

${Ω \in O_{n} (ℝ) | - 1 \notin Sp (Ω)} .$

Solution

(a)

Soit $λ$ une valeur propre complexe de $A$ et $X \in ℳ_{n,1} (ℂ)$ une colonne propre associée.

D’une part,

${\bar{X}}^{⊤} A X = λ {\bar{X}}^{⊤} X, .$

D’autre part,

${\bar{X}}^{⊤} A X = {\bar{A X}}^{⊤} X = - \bar{λ} {\bar{X}}^{⊤} X .$

Puisque ${\bar{X}}^{⊤} X \in ℝ_{+}^{*}$ , on obtient $\bar{λ} = - λ$ donc $λ \in i ℝ$ .
(b)

Pour tout $A \in 𝒜_{n} (ℝ)$ , $Ω = φ (A)$ est bien définie car $- 1 \notin Sp (A)$ .
$Ω^{⊤} Ω = {(I_{n} - A)}^{- 1} (I_{n} + A) (I_{n} - A) {(I_{n} + A)}^{- 1}$ or $I_{n} + A$ et $I_{n} - A$ commutent donc $Ω^{⊤} Ω = I_{n}$ .
De plus, si $Ω X = - X$ alors $(I_{n} - A) X = - (I_{n} + A) X$ (car $I_{n} - A$ et ${(I_{n} + A)}^{- 1}$ commutent) et donc $X = 0$ .

Ainsi, l’application $φ : 𝒜_{n} (ℝ) \to {Ω \in O_{n} (ℝ) | - 1 \notin Sp (Ω)}$ est bien définie.

Si $φ (A) = φ (B)$ alors

$(I_{n} - A) (I_{n} + B) = (I_{n} + A) (I_{n} - B) .$

En développant et en simplifiant, on obtient $A = B$ et l’application $φ$ est donc injective.

Enfin, soit $Ω \in O_{n} (ℝ)$ telle que $- 1 \notin Sp (Ω)$ .

Posons $A = {(Ω + I_{n})}^{- 1} (I_{n} - Ω)$ qui est bien définie car $- 1 \notin Sp (Ω)$ .

On a

$A^{⊤}$ $= (I_{n} - Ω^{- 1}) {(Ω^{- 1} + I_{n})}^{- 1}$

$= (Ω - I_{n}) Ω^{- 1} Ω {(I_{n} + Ω)}^{- 1}$

$= (Ω - I_{n}) {(I_{n} + Ω)}^{- 1} = - A$

et $φ (A) = Ω$ .

Finalement, $φ$ est bijective.

Exercice 15 4167 CENTRALE (MP)Correction

Soit $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ .

(a)

Montrer qu’il existe une matrice $O$ orthogonale et une matrice $T$ triangulaire supérieure telles que $A = O T$ .

On pourra commencer par le cas où la matrice $A$ est inversible.

La fonction numpy.linalg.qr de Python donne une telle décomposition.

(b)

On pose

$N_{1} (A) = \sum_{1 \leq i, j \leq n} | a_{i, j} | .$

Montrer que $N_{1}$ admet un minimum $m_{n}$ et un maximum $M_{n}$ sur $O_{n} (ℝ)$ .
(c)

Utilisation de Python.

Écrire une fonction randO(n) qui génère une matrice aléatoire $A$ et qui renvoie la matrice orthogonale $O$ de la question précédente.

Écrire une fonction $N_{1}$ de la variable matricielle $A$ qui renvoie $N_{1} (A)$ . On pourra utiliser les fonctions numpy.sum et numpy.abs.

Écrire une fonction test(n) qui, sur $1 000$ tests, renvoie le minimum et le maximum des valeurs de $N_{1}$ pour des matrices orthogonales aléatoires.
(d)

Déterminer la valeur de $m_{n}$ . Pour quelles matrices, ce minimum est-il atteint?

Montrer qu’il y a un nombre fini de telles matrices.
(e)

Montrer que $M_{n} \leq n \sqrt{n}$ et que $M_{3} < 3 \sqrt{3}$ .

Solution

(a)

Cas: $A$ inversible. La matrice $A$ est la matrice de passage de la base canonique $c$ de $ℝ^{n}$ à une base $e$ . Par le procédé de Schmidt, on orthonormalise (pour le produit scalaire canonique) cette base en une base $e^{'}$ . La matrice de passage de $e$ à $e^{'}$ est triangulaire supérieure et la matrice de passage de la base canonique $c$ à $e^{'}$ est orthogonale. Par formule de changement de base,

$A = {Mat}_{c} e = {Mat}_{c} e^{'} \times {Mat}_{e^{'}} e$

ce qui conduit à l’identité voulue.

Cas général: On introduit $A_{p} = A + \frac{1}{p} I_{n}$ . Pour $p$ assez grand, $A_{p}$ est inversible et l’on peut écrire $A_{p} = O_{p} T_{p}$ avec $O_{p}$ orthogonale et $T_{p}$ triangulaire supérieure. La suite $(O_{p})$ évolue dans un compact: il existe une extraction $(O_{φ (p)})$ de limite $O \in O_{n} (ℝ)$ . Puisque $T_{φ (p)} = O_{φ (p)}^{- 1} A_{φ (p)}$ est de limite $O^{- 1} A$ et évolue dans le fermé des matrices triangulaires supérieures, on peut conclure à l’écriture $A = O T$ .
(b)

La fonction $N_{1}$ est une fonction continue, à valeurs réelles définie sur le compact non vide $O_{n} (ℝ)$ : elle admet un minimum et un maximum.

(c)

import random as rnd
import numpy as np
import numpy.linalg

def randO(n):
    A = np.zeros((n,n))
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            A[i,j] = 2 * rnd.random() - 1
    q,r = numpy.linalg.qr(A)
    return q

def N1(A):
    S = 0
    N,M = np.shape(A)
    for i in range(N):
        for j in range(M):
            S = S + np.abs(A[i,j])
    return S

def test(n):
    A = randO(n)
    m = N1(A)
    M = N1(A)
    for t in range(1000):
        A = randO(n)
        N = N1(A)
        if N < m:
            m = N
        if N > M:
            M = N
    return m,M

(d)

Si $A \in O_{n} (ℝ)$ , on a $a_{i, j} \in [- 1; 1]$ donc $| a_{i, j} | \geq a_{i, j}^{2}$ puis

$N_{1} (A) \geq \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i, j}^{2} \geq \sum_{i = 1}^{n} 1 = n$

car les lignes d’une matrice orthogonale sont unitaires. De plus, pour $A = I_{n} \in O_{n} (ℝ)$ , on a $N_{1} (A) = n$ . On en déduit $m_{n} = n$ .

Une matrice $A$ de $O_{n} (ℝ)$ vérifiant $N_{1} (A) = n$ doit satisfaire $| a_{i, j} | = a_{i, j}^{2}$ et donc $a_{i, j} \in {0,1, - 1}$ . De plus, les rangées étant unitaires, ils ne peut figurer qu’un coefficient non nul par rangée et celui-ci est alors un $1$ ou un $- 1$ . La réciproque est immédiate.

Ces matrices sont évidemment en nombre fini, précisément, il y en a $2^{n} n!$ (il y a $n!$ matrice de permutation et $2^{n}$ choix de signe pour chaque coefficient 1).
(e)

Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz

$N_{1} (A) \leq \sum_{i = 1}^{n} [{(\sum_{j = 1}^{n} 1^{2})}^{1 / 2} {(\sum_{j = 1}^{n} a_{i, j}^{2})}^{1 / 2}] = n \sqrt{n} .$

Pour qu’il y ait égalité, il faut qu’il y ait égalité dans chaque inégalité de Cauchy-Schwarz. Ceci entraîne que chaque ligne ${(| a_{i, j} |)}_{1 \leq j \leq n}$ est colinéaire à $(1, \dots,1)$ et donc

$\forall i \in ⟦ 1; n ⟧, \forall (j, k) \in {⟦ 1; n ⟧}^{2}, | a_{i, j} | = | a_{i, k} | .$

La ligne étant de plus unitaire, les $a_{i, j}$ sont égaux à $\pm 1 / \sqrt{n}$ .

Lorsque $n = 3$ , les coefficients de $A$ sont égaux à $\pm 1 / \sqrt{3}$ . Cependant, il n’est pas possible de construire des rangées orthogonales avec de tels coefficients: le cas d’égalité est impossible quand $n = 3$ .

Exercice 16 2745 MINES (MP)

Soient $(a, b, c) \in ℝ^{3}$ , $S = a + b + c$ , $σ = a b + b c + c a$ et la matrice

M = (\begin{matrix} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{matrix}) .

(a)

Montrer

$M \in O_{3} (ℝ) \Leftrightarrow σ = 0 et S = \pm 1 .$
(b)

Montrer

$M \in {SO}_{3} (ℝ) \Leftrightarrow σ = 0 et S = 1 .$
(c)

Montrer que $M$ est élément de ${SO}_{3} (ℝ)$ si, et seulement si, $a$ , $b$ et $c$ sont les trois racines d’un polynôme de la forme $X^{3} - X^{2} + k$ avec $k \in [0; 4 / 27]$ .

Exercice 17 2747 MINES (MP)

Soit $M$ une matrice orthogonale de taille $n = p + q$ que l’on écrit par blocs

M = (\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix}) avec A \in ℳ_{p} (ℝ) et D \in ℳ_{q} (ℝ) .

Montrer

{(\det (A))}^{2} = {(\det (D))}^{2} .

Exercice 18 3610 CENTRALE (MP)Correction

Soit $n \in ℕ^{*}$ . Si $M \in ℳ_{n} (ℝ)$ , on dira que $M$ a la propriété $(P)$ si, et seulement si, il existe une matrice $U \in ℳ_{n + 1} (ℝ)$ telle que $M$ soit la sous-matrice de $U$ obtenue en supprimant les dernières ligne et colonne de $U$ et que $U$ soit une matrice orthogonale, soit encore si, et seulement si, il existe $α_{1}, \dots, α_{2 n + 1} \in ℝ$ tels que

U = (\begin{matrix} α_{2 n + 1} \\ M & ⋮ \\ α_{n + 2} \\ α_{1} & \dots & α_{n} & α_{n + 1} \end{matrix}) \in O_{n + 1} (ℝ) .

(a)

Ici

$M = (\begin{matrix} λ_{1} & (0) \\ ⋱ \\ (0) & λ_{n} \end{matrix})$

est une matrice diagonale. Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur les $λ_{i}$ pour que $M$ ait la propriété $(P)$ .
(b)

Ici $M \in 𝒮_{n} (ℝ)$ . Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que $M$ ait la propriété $(P)$ .
(c)

Si $M \in {GL}_{n} (ℝ)$ , montrer qu’il existe $U \in O_{n} (ℝ)$ et $S \in 𝒮_{n} (ℝ)$ telles que $M = U S$ .
On admettra qu’une telle décomposition existe encore si $M$ n’est pas inversible.
(d)

Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que $M \in ℳ_{n} (ℝ)$ quelconque ait la propriété $(P)$ .
Cette condition portera sur $M^{⊤} M$ .
(e)

Montrer le résultat admis dans la question c).
Énoncé fourni par le CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Solution

(a)

Si $M$ possède la propriété $(P)$ alors les colonnes de la matrice $U$ introduites doivent être unitaires donc

$\forall 1 \leq i \leq n, λ_{i}^{2} + α_{i}^{2} = 1$

et elles doivent être deux à deux orthogonales donc

$\forall 1 \leq i \neq j \leq n, α_{i} α_{j} = 0 .$

Cette dernière condition ne permet qu’au plus un $α_{k}$ non nul et alors $| λ_{k} | \leq 1$ tandis que pour $i \neq k$ , $| λ_{i} | = 1$ .
Inversement, si tous les $λ_{i}$ vérifient $| λ_{i} | = 1$ sauf peut-être un vérifiant $| λ_{k} | < 1$ , alors on peut construire une matrice $U$ affirmant que la matrice $M$ possède la propriété $(P)$ en posant

$\forall 1 \leq i \neq k \leq n, α_{i} = α_{2 n + 2 - i} = 0, α_{k} = α_{2 n + 2 - k} = \sqrt{1 - λ_{k}^{2}} et α_{n + 1} = - λ_{k} .$
(b)

La matrice $M$ est orthogonalement diagonalisable, on peut donc écrire

$M = P^{⊤} D P avec P \in O_{n} (ℝ) et D = diag (λ_{1}, \dots, λ_{n}) .$

Considérons alors la matrice

$Q = (\begin{matrix} P & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \in O_{n + 1} (ℝ) .$

Si la matrice $M$ possède la propriété $(P)$ alors on peut introduire $U \in O_{n + 1} (ℝ)$ prolongeant $M$ et alors

$V = Q^{⊤} U Q = (\begin{matrix} β_{2 n + 1} \\ D & ⋮ \\ β_{n + 2} \\ β_{1} & \dots & β_{n} & β_{n + 1} \end{matrix}) \in O_{n + 1} (ℝ)$

ce qui entraîne que les valeurs propres $λ_{1}, \dots, λ_{n}$ de $M$ sont toutes égales à $\pm 1$ sauf peut être une élément de $[- 1; 1]$ .
La réciproque est immédiate.
(c)

La matrice $M^{⊤} M$ est symétrique définie positive. On peut donc en diagonalisant orthogonalement celle-ci déterminer une matrice $S$ symétrique définie positive telle que

$M^{⊤} M = S^{2} .$

On pose alors $U = M S^{- 1}$ et l’on vérifie $U \in O_{n} (ℝ)$ par le calcul de $U^{⊤} U$ .
(d)

Supposons que la matrice $M = U S$ possède la propriété $(P)$ . En multipliant par la matrice

$V = (\begin{matrix} U^{⊤} & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \in O_{n + 1} (ℝ)$

on démontre que la matrice $S$ possède aussi la propriété $(P)$ .
Puisque les valeurs propres de $S$ sont les racines des valeurs propres de $M^{⊤} M$ , on obtient la condition nécessaire suivante: les valeurs propres de $M^{⊤} M$ doivent être égales à 1 sauf peut-être une dans $[0; 1]$ (ces valeurs propres sont nécessairement positives).
La réciproque est immédiate.
(e)

Soit $M \in ℳ_{n} (ℝ)$ . Pour $p$ assez grand, la matrice

$M_{p} = M + \frac{1}{p} I_{n}$

est assurément inversible ce qui permet d’écrire $M_{p} = U_{p} S_{p}$ avec $U_{p}$ orthogonale et $S_{p}$ symétrique réelle.
La suite $(U_{p})$ évolue dans le compact $O_{n} (ℝ)$ , elle possède une valeur d’adhérence $U_{\infty} \in O_{n} (ℝ)$ et la matrice $S_{\infty} = U_{\infty}^{- 1} M$ est symétrique réelle en tant que limite d’une suite de matrices symétriques réelles.
On peut donc conclure.

[>] Isométries vectorielles

Édité le 08-12-2023

	$Ω^{⊤} Ω$	$= {(A^{⊤} - I_{n})}^{- 1} (A^{⊤} + I_{n}) (A + I_{n}) {(A - I_{n})}^{- 1}$
		$= {(- A - I_{n})}^{- 1} (- A + I_{n}) (A + I_{n}) {(A - I_{n})}^{- 1}$
		$= {(A + I_{n})}^{- 1} (A - I_{n}) (A + I_{n}) {(A - I_{n})}^{- 1} .$

	$A^{⊤}$	$= (I_{n} - Ω^{- 1}) {(Ω^{- 1} + I_{n})}^{- 1}$
		$= (Ω - I_{n}) Ω^{- 1} Ω {(I_{n} + Ω)}^{- 1}$
		$= (Ω - I_{n}) {(I_{n} + Ω)}^{- 1} = - A$

Matrices orthogonales