[<] Endomorphismes autoadjoints [>] Orthodiagonalisation de matrices symétriques

 
Exercice 1  364  Correction  

Soit f un endomorphisme autoadjoint de E vérifiant

xE,(f(x)x)=0.

Déterminer f.

Solution

Si λ est valeur propre de f et si x0E est vecteur propre associé alors (f(x)x)=0 donne λ=0. Sachant que f est diagonalisable car autoadjoint et que Sp(f){0}, on peut conclure f est l’endomorphisme identiquement nul.

 
Exercice 2  366   

Soit u un endomorphisme autoadjoint d’un espace euclidien E de dimension n1 et de produit scalaire noté ,. On pose

λmin=minλSp(u)λetλmax=maxλSp(u)λ.

Montrer que pour tout vecteur x de E,

λminx2u(x),xλmaxx2.
 
Exercice 3  4267   

Soit u un endomorphisme autoadjoint d’un espace euclidien E non réduit au vecteur nul. Montrer11 1 Précisément, la borne supérieure porte sur les vecteurs de E de norme 1.

supx=1u(x)=maxλSp(u)|λ|.
 
Exercice 4  368   Correction  

Soient E un espace vectoriel euclidien de dimension n et S sa sphère unité

S={xE|x=1}.

Pour p{1,,n}, on note 𝒱p l’ensemble des sous-espaces vectoriels de E de dimension p.

Soit f un endomorphisme autoadjoint de E de valeurs propres λ1λn comptées avec multiplicité. Établir

λp=minV𝒱pmaxxSV(f(x)x).

Solution

Soit (e1,,en) une base orthonormée de E formée de vecteurs vérifiant

f(ei)=λiei.

Soit V𝒱p. Établissons

maxxSV(f(x)x)λp.

On a

(f(x)x)=i=1nλixi2.

Considérons W=Vect(ep,,en). On a dimV=p et dimW=n-p+1 donc VW n’est pas réduit au vecteur nul.

Pour xVWS, on a

(f(x)x)=i=pnλixi2λpi=pnxi2=λp

et donc

maxxSV(f(x)x)λp.

Par suite,

minV𝒱pmaxxSV(f(x)x)λp.

Pour V=Vect(e1,,ep)𝒱p, on a

xVS,(f(x)x)=i=1pλixi2λpi=1pxi2=λp

donc

maxxSV(f(x)x)λp

puis

minV𝒱pmaxxSV(f(x)x)λp

et finalement l’égalité.

 
Exercice 5  3941   Correction  

Soit u un endomorphisme autoadjoint d’un espace euclidien E de dimension n non nulle.

On pose

Hu={xE|(u(x)x)=1}.

Énoncer une condition nécessaire et suffisante portant sur le spectre de u pour qu’il existe un vecteur unitaire élément de Hu.

Solution

Si λmin=minSp(u) et λmax=maxSp(u), en introduisant une base orthonormée diagonalisant u, on montre

xE,λminx2(u(x)x)λmaxx2.

Pour qu’il existe un vecteur unitaire appartenant à Hu, il est nécessaire que 1[λmin;λmax].

Inversement, supposons que 1 soit élément de [λmin;λmax].

Si λmin=λmax, il est immédiat de conclure.

Supposons désormais λmin<λmax. On introduit emin un vecteur propre unitaire associé à λmin et emax un vecteur propre unitaire associé à λmax. Considérons enfin

eθ=cos(θ).emin+sin(θ).emax.

Puisque les vecteurs emin et emax sont unitaires et orthogonaux, on vérifie eθ=1. Considérons ensuite la fonction f:[0;π/2] déterminée par f(θ)=(u(eθ)eθ). La fonction f est continue, f(0)=λmin et f(π/2)=λmax. Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe θ[0;π/2] vérifiant eθHu.

 
Exercice 6  4269    

(Théorème de Courant-Fischer)

Soit u un endomorphisme autoadjoint d’un espace euclidien E de dimension n1 dont le produit scalaire est noté ,.

On note λ1λ2λn les valeurs propres de u comptées avec multiplicité, S la sphère unité de E et, pour tout p1;n, p l’ensemble de tous les sous-espaces vectoriels de E dimension p.

Soit p1;n. Établir

λp=supFp(infxFSu(x),x)=infFn+1-p(supxFSu(x),x).
 
Exercice 7  2732    

Soient p et q des projections orthogonales d’un espace euclidien E de dimension n1.

  • (a)

    Montrer que pqp est diagonalisable.

  • (b)

    Déterminer (Im(p)+Ker(q)).

  • (c)

    En déduire que pq est diagonalisable.

  • (d)

    Établir que les valeurs propres de pq sont comprises entre 0 et 1.

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Édité le 29-08-2023

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