[<] Endomorphismes autoadjoints [>] Orthodiagonalisation de matrices symétriques
Soit un endomorphisme autoadjoint de vérifiant
Déterminer .
Solution
Si est valeur propre de et si est vecteur propre associé alors donne . Sachant que est diagonalisable car autoadjoint et que , on peut conclure est l’endomorphisme identiquement nul.
Soit un endomorphisme autoadjoint d’un espace euclidien de dimension et de produit scalaire noté . On pose
Montrer que pour tout vecteur de ,
Soit un endomorphisme autoadjoint d’un espace euclidien non réduit au vecteur nul. Montrer11 1 Précisément, la borne supérieure porte sur les vecteurs de de norme .
Soient un espace vectoriel euclidien de dimension et sa sphère unité
Pour , on note l’ensemble des sous-espaces vectoriels de de dimension .
Soit un endomorphisme autoadjoint de de valeurs propres comptées avec multiplicité. Établir
Solution
Soit une base orthonormée de formée de vecteurs vérifiant
Soit . Établissons
On a
Considérons . On a et donc n’est pas réduit au vecteur nul.
Pour , on a
et donc
Par suite,
Pour , on a
donc
puis
et finalement l’égalité.
Soit un endomorphisme autoadjoint d’un espace euclidien de dimension non nulle.
On pose
Énoncer une condition nécessaire et suffisante portant sur le spectre de pour qu’il existe un vecteur unitaire élément de .
Solution
Si et , en introduisant une base orthonormée diagonalisant , on montre
Pour qu’il existe un vecteur unitaire appartenant à , il est nécessaire que .
Inversement, supposons que soit élément de .
Si , il est immédiat de conclure.
Supposons désormais . On introduit un vecteur propre unitaire associé à et un vecteur propre unitaire associé à . Considérons enfin
Puisque les vecteurs et sont unitaires et orthogonaux, on vérifie . Considérons ensuite la fonction déterminée par . La fonction est continue, et . Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe vérifiant .
(Théorème de Courant-Fischer)
Soit un endomorphisme autoadjoint d’un espace euclidien de dimension dont le produit scalaire est noté .
On note les valeurs propres de comptées avec multiplicité, la sphère unité de et, pour tout , l’ensemble de tous les sous-espaces vectoriels de dimension .
Soit . Établir
Soient et des projections orthogonales d’un espace euclidien de dimension .
Montrer que est diagonalisable.
Déterminer .
En déduire que est diagonalisable.
Établir que les valeurs propres de sont comprises entre et .
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Édité le 29-08-2023
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