[<] Réduction des isométries vectorielles [>] Endomorphismes symétriques

 
Exercice 1  4265  

Soit E un espace vectoriel euclidien orienté muni d’une base orthonormale directe =(ı,ȷ,k). Décrire les endomorphismes de E figurés dans la base par chacune des matrices suivantes:

  • (a)

    A=13(12221-22-21)

  • (b)

    B=12(1-2120-2121)

  • (c)

    C=(001100010)

  • (d)

    D=19(-84147414-8).

 
Exercice 2  1610  Correction  

Soit E un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3.

Étudier l’endomorphisme f de E dont la matrice dans une base orthonormale directe (i,j,k) est

A=13(2211-222-1-2).

Solution

La matrice A est orthogonale car ses colonnes sont unitaires et deux à deux orthogonales. On en déduit fO(E). Après calcul, det(f)=1 et donc f est une rotation. Déterminons son axe et son angle.

Soit u=x.i+y.j+z.kE.

f(u)=u {-x+2y+z=0x-5y+2z=02x-y-5z=0
{x=3zy=z

f est une rotation autour de la droite D=Vect(3.i+j+k). Orientons celle-ci par le vecteur u=3.i+j+k.

Notons θ une mesure de l’angle de la rotation f autour de D. On a 1+2cos(θ)=tr(A) et donc cos(θ)=-5/6. On a aussi Det(u,i,f(i))<0 et donc sin(θ)<0.

Finalement, f est la rotation d’axe dirigé et orienté par u et d’angle -arccos(-5/6).

 
Exercice 3  1611  Correction  

Soit E un espace vectoriel euclidien orienté muni d’une base orthonormée directe =(i,j,k).
Soit f(E) dont la matrice dans la base est

12(1-2120-2121).
  • (a)

    Former une base orthonormée directe =(u,v,w) telle que v,wP:x+z=0.

  • (b)

    Former la matrice de f dans et reconnaître f.

Solution

  • (a)

    Les vecteurs suivants conviennent

    u=12(i+k),v=j et w=12(-i+k).
  • (b)
    Mat(f)=(10000-1010)

    donc f est le quart de tour direct autour de la droite dirigée et orientée par u.

 
Exercice 4  1612  Correction  

E désigne un espace vectoriel euclidien orienté muni d’une base orthonormée directe =(i,j,k). Déterminer la nature, et préciser les éléments caractéristique, de l’endomorphisme f de E dont la matrice dans est donnée ci-après:

  • (a)

    A=14(31613-6-662)

  • (b)

    A=-19(744-48-141-8)

  • (c)

    A=19(-84147414-8)

Solution

  • (a)

    f est la rotation d’axe dirigé et orienté par w=i+j et d’angle θ=π/3.

  • (b)

    f est la rotation d’axe dirigé et orienté par w=i-4k et d’angle θ=-arccos(-8/9).

  • (c)

    f est le retournement d’axe dirigé par w=i+4j+k.

 
Exercice 5  1613   Correction  

Soient (a,b)2 et

A=(abbbabbba).
  • (a)

    Pour quels a,b, a-t-on AO(3)?

  • (b)

    Préciser alors la nature et les éléments caractéristiques de l’endomorphisme f de 3 dont la matrice dans la base canonique serait A.

Solution

  • (a)

    Par orthogonalité et unitarité des colonnes

    AO(3)a2+2b2=1 et 2ab+b2=0.

    Ainsi,

    AO(3)(a,b){(1,0),(-1,0),(1/3,-2/3),(-1/3,2/3)}.
  • (b)

    Si a=1 et b=0 alors f=Id.
    Si a=-1 et b=0 alors f=-Id.
    Si a=1/3 et b=-2/3 alors f est la réflexion par rapport au plan d’équation x+y+z=0.
    Si a=-1/3 et b=2/3 alors f est opposée à la transformation précédente, c’est le retournement d’axe dirigé par w=i+j+k.

 
Exercice 6  3186     CENTRALE (PC)Correction  

E désigne un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 muni d’une base orthonormée directe =(i,j,k).
Rechercher les rotations R de E telles que

R(i)=-jetR(i-j+k)=i-j+k.

Solution

Soit R une rotation solution (s’il en existe).
La rotation R n’est pas l’identité et son axe est dirigé par le vecteur u=i-j+k. Orientons cet axe par ce vecteur. Pour déterminer l’angle θ de la rotation, déterminons l’image d’un vecteur orthogonal à l’axe. Considérons

v=-2i-j+k=-3i+u.

Le vecteur v est orthogonal à u et

R(v)=i+2j+k.

On a

cos(θ)=(vR(v))vR(v)=-12

et le signe de sin(θ) est celui de

det(v,R(v),u)=|-211-12-1111|=-9<0.

On en déduit que R n’est autre que la rotation d’axe dirigé et orienté par u et d’angle θ=-2π/3.
Inversement, cette rotation est solution car pour celle-ci le vecteur u est invariant alors et le vecteur v est envoyé sur le vecteur R(v) du calcul précédent ce qui entraîne que i est envoyé sur -j.

 
Exercice 7  3190     CCP (MP)Correction  

Soit E un espace euclidien orienté de dimension 3 muni d’une base orthonormée directe =(i,j,k). Soit θ, déterminer les éléments caractéristiques de

Rotk,π/2Rotcos(θ)i+sin(θ)j,π.

Solution

Posons

R1=Rotk,π/2 et R2=Rotcos(θ)i+sin(θ)j,π.

La composée de deux rotations est une rotation, donc R1R2 est une rotation.
Puisque les vecteurs k est u=cos(θ)i+sin(θ)j sont orthogonaux

R2(k)=-k

et donc

R1R2(k)=-k.

On en déduit que R1R2 est un retournement dont l’axe est orthogonal à k c’est-à-dire inclus dans Vect(i,j).
Puisque

R2(u)=u et R1(u)=-sin(θ)i+cos(θ)j

on a

R2R1(u)=-sin(θ)i+cos(θ)j

et donc

u+R2R1(u)=(cos(θ)-sin(θ))i+(cos(θ)+sin(θ))j0

dirige l’axe du retournement.

 
Exercice 8  2923    MINES (MP)

Soient E un espace euclidien orienté de dimension 3, r une rotation de E et s une symétrie orthogonale de E. Caractériser l’application srs.

 
Exercice 9  2924     MINES (MP)Correction  

Soient E un espace vectoriel euclidien, uE non nul, gO(E). On note σ la symétrie orthogonale par rapport à l’hyperplan u. Décrire gσg-1.

Solution

On a

(gσg-1)(g(u))=-g(u)

et pour g(v)g(u),

(gσg-1)(g(v))=g(v).

Ainsi, gσg-1 est la réflexion par rapport à g(u).

 
Exercice 10  1615   

Soit f une rotation d’un espace euclidien orienté E de dimension 3.

  • (a)

    On suppose qu’il existe x0 tel que f(x)=-x. Montrer que f est une symétrie orthogonale par rapport à une droite11 1 Une symétrie orthogonale par rapport à une droite se nomme un retournement. orthogonale à Vect(x).

  • (b)

    En déduire que toute rotation f peut s’écrire comme la composée de deux retournements.

 
Exercice 11  1616   Correction  

Dans un espace euclidien orienté de dimension 2, on considère une réflexion s et une rotation f d’axe D dirigé et orienté par un vecteur unitaire u et d’angle θ0[(2π)].

Montrer que f et s commutent si, et seulement si, D est orthogonale au plan de réflexion de s ou bien D est incluse dans ce plan et f est un retournement.

Solution

Si fs=sf alors f(s(u))=s(u) donc s(u)=u ou s(u)=-u car s(u)D.

Cas: s(u)=-u. s est la réflexion par rapport à P={u}.

Cas: s(u)=u. Le vecteur u appartient au plan de réflexion P et si v est un vecteur de ce plan orthogonal à u alors s(f(v))=f(v) donc f(v) est aussi un vecteur de ce plan orthogonal à u. Or ce ne peut être v, c’est donc -v et par suite f est un retournement.

Inversement: ok

 
Exercice 12  2925      MINES (MP)

Soient f et g deux rotations d’un espace euclidien orienté E de dimension 3.

À quelle(s) condition(s) a-t-on gf=fg?

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Édité le 08-11-2019

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