Exercice 1 1613 Correction

Soient $(a, b) \in ℝ^{2}$ et

A = (\begin{matrix} a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a \end{matrix}) .

(a)

Pour quels $a, b \in ℝ$ , a-t-on $A \in O (3)$ ?
(b)

Vérifier qu’alors $A^{2} = I_{3}$ et préciser la transformation réalisée par l’endomorphisme $f$ de $ℝ^{3}$ canoniquement associé à la matrice $A$ .

Solution

(a)

Par orthogonalité et unitarité des colonnes

$A \in O (3) \Leftrightarrow a^{2} + 2 b^{2} = 1 et 2 a b + b^{2} = 0 .$

Ainsi,

$A \in O (3) \Leftrightarrow (a, b) \in {(1,0), (- 1,0), (1 / 3, - 2 / 3), (- 1 / 3,2 / 3)} .$
(b)

Puisque la matrice $A$ est symétrique, il vient

$A^{2} = A^{⊤} A = A^{- 1} A = I_{3}$

L’endomorphisme $f$ est donc une symétrie. Plus précisément,

Cas: $a = 1$ et $b = 0$ . $f = Id$ .

Cas: $a = - 1$ et $b = 0$ . $f = - Id$ .

Cas: $a = 1 / 3$ et $b = - 2 / 3$ . $f$ est la réflexion par rapport au plan d’équation $x + y + z = 0$ .

Cas: $a = - 1 / 3$ et $b = 2 / 3$ . $f$ est l’opposée à la transformation précédente, c’est la symétrie par rapport à la droite dirigée par $w = i + j + k$ (vecteur normal au plan précédent).

Exercice 2 3803 CCINP (PSI)Correction

Montrer que la matrice

M = \frac{1}{3} (\begin{matrix} 1 & - 2 & - 2 \\ - 2 & 1 & - 2 \\ - 2 & - 2 & 1 \end{matrix})

est orthogonale.
Calculer $\det (M)$ . Qu’en déduire d’un point de vue géométrique?
Donner les caractéristiques géométriques de $M$ .

Solution

Les colonnes de $M$ sont unitaires et deux à deux orthogonales, c’est donc une matrice orthogonale.
En développant selon une rangée $\det (M) = - 1$ .
Puisque la matrice $M$ est de surcroît symétrique, c’est une matrice de réflexion par rapport à un plan. Ce plan est celui de vecteur normal ${(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \end{matrix})}^{⊤}$ .

Exercice 3 1611 Correction

Soit $E$ un espace vectoriel euclidien orienté muni d’une base orthonormée directe $ℬ = (i, j, k)$ .
Soit $f \in ℒ (E)$ dont la matrice dans la base $ℬ$ est

\frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 & - \sqrt{2} & 1 \\ \sqrt{2} & 0 & - \sqrt{2} \\ 1 & \sqrt{2} & 1 \end{matrix}) .

(a)

Former une base orthonormée directe $ℬ^{'} = (u, v, w)$ telle que $v, w \in P : x + z = 0$ .
(b)

Former la matrice de $f$ dans $ℬ^{'}$ et reconnaître $f$ .

Solution

(a)

Les vecteurs suivants conviennent

$u = \frac{1}{\sqrt{2}} (i + k), v = j et w = \frac{1}{\sqrt{2}} (- i + k) .$
(b)

${Mat}_{ℬ^{'}} (f) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix})$

donc $f$ est le quart de tour direct autour de la droite dirigée et orientée par $u$ .

Exercice 4 2923 MINES (MP)

Soient $E$ un espace euclidien orienté de dimension $3$ , $r$ une rotation de $E$ et $s$ une symétrie orthogonale de $E$ . Caractériser l’application $s \circ r \circ s$ .

Exercice 5 1615

Soit $f$ une rotation d’un espace euclidien orienté $E$ de dimension $3$ .

(a)

On suppose qu’il existe $\vec{x} \neq \vec{0}$ tel que $f (\vec{x}) = - \vec{x}$ . Montrer que $f$ est une symétrie orthogonale par rapport à une droite¹¹ 1 Une symétrie orthogonale par rapport à une droite se nomme un retournement. orthogonale à $Vect (\vec{x})$ .
(b)

En déduire que toute rotation $f$ peut s’écrire comme la composée de deux retournements.

Exercice 6 1616 Correction

Dans un espace euclidien orienté de dimension $3$ , on considère une réflexion $s$ et une rotation $f$ d’axe $D$ dirigé et orienté par un vecteur unitaire $u$ et d’angle $θ \neq 0 [(2 π)]$ .

Montrer que $f$ et $s$ commutent si, et seulement si, $D$ est orthogonale au plan de réflexion de $s$ ou bien $D$ est incluse dans ce plan et $f$ est un retournement.

Solution

Supposons que $f$ et $s$ commutent.

L’égalité $f \circ s = s \circ f$ donne $f (s (u)) = s (u)$ . On en déduit que la vecteur $s (u)$ est colinéaire à $u$ car élément de $D$ . Aussi, le vecteur $s (u)$ est de même norme que $u$ et donc $s (u) = u$ ou $s (u) = - u$ .

Cas: $s (u) = - u$ . La réflexion $s$ opère par rapport à plan $P = {u}^{⊥}$ .

Cas: $s (u) = u$ . Le vecteur $u$ appartient au plan de réflexion $P$ . Aussi, si $v$ est un vecteur de ce plan $P$ qui est orthogonal à $u$ alors $s (f (v)) = f (v)$ et donc $f (v)$ est aussi un vecteur de ce plan $P$ . Or ce ne peut être $v$ et c’est donc $- v$ . Par suite, $- 1$ est valeur propre de $f$ et donc $f$ est un retournement.

Inversement, par considération des matrices de $f$ et $g$ dans une base orthonormée adaptée, on établit que $f$ et $g$ commutent.

Exercice 7 2925 MINES (MP)

Soient $f$ et $g$ deux rotations d’un espace euclidien orienté $E$ de dimension $3$ .

À quelle(s) condition(s) a-t-on $g \circ f = f \circ g$ ?

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Édité le 29-08-2023

Isométries de l'espace de dimension 3