[<] Matrices commutant avec leur transposée [>] Matrices symétriques à valeurs propres positives

 
Exercice 1  3940   

Soit (e1,,en) une base d’un espace euclidien E de dimension n1 dont le produit scalaire est noté ,.

  • (a)

    Montrer que l’endomorphisme f défini par

    f(x)=i=1nei,x.ei

    est symétrique et à valeurs propres strictement positives.

  • (b)

    Montrer qu’il existe un endomorphisme symétrique g de E tel que g2=f-1.

  • (c)

    Établir que la famille (g(e1),,g(en)) est une base orthonormale de E.

 
Exercice 2  9   Correction  

Soit u un endomorphisme symétrique à valeurs propres positives d’un espace vectoriel euclidien E.

  • (a)

    Montrer qu’il existe un endomorphisme v symétrique à valeurs propres positives tel que u=v2.

  • (b)

    Établir l’unicité de v en étudiant l’endomorphisme induit par v sur les sous-espaces propres de u.

Solution

  • (a)

    u est diagonalisable de valeurs propres λ1,,λr positives. E est la somme directe orthogonale des sous-espaces propres Eλ1,,Eλr, notons p1,,pr les projecteurs orthogonaux associés à cette décomposition.
    On a u=λ1p1++λrpr et en posant v=λ1p1++λrpr, on a v2=u avec v endomorphisme symétrique à valeurs propres positives. On peut aussi proposer une résolution matricielle via représentation dans une base orthonormée

  • (b)

    Soit v solution. Pour tout λSp(u), F=Eλ(u) est stable par v car u et v commutent. vF𝒮+(F) et vF2=λIdF donc via diagonalisation de vF, on obtient vF=λIdF. Ceci détermine v de manière unique sur chaque sous-espace propre de u et puisque ceux-ci sont en somme directe égale à E, on peut conclure à l’unicité de v.

 
Exercice 3  3942   Correction  

Soit v(E) symétrique à valeurs propres strictement positives.

  • (a)

    Montrer qu’il existe un endomorphisme s symétrique vérifiant s2=v.

  • (b)

    Soit u un endomorphisme symétrique de E. Établir que v-1u est diagonalisable.

Solution

  • (a)

    Soit une base orthonormale diagonalisant v

    Mat(v)=(λ1(0)(0)λn) avec λk>0.

    L’endomorphisme s déterminé par

    Mat(s)=(λ1(0)(0)λn)

    vérifie s2=v et puisque sa matrice dans une base orthonormale est symétrique, c’est endomorphisme symétrique.

  • (b)

    On a

    v-1u=s-1s-1u=s-1(s-1us-1)s.

    Considérons l’endomorphisme w=s-1us-1. Pour x,yE,

    (w(x)y)=(u(s-1(x)s-1(y))=(xw(y)).

    L’endomorphisme w est symétrique donc diagonalisable.
    L’endomorphisme semblable s-1ws est aussi diagonalisable.

 
Exercice 4  3692     CCP (MP)Correction  

Soit p un entier naturel impair et u un endomorphisme symétrique d’un espace euclidien de dimension n.

  • (a)

    Montrer qu’il existe un unique endomorphisme symétrique v tel que vp=u.

  • (b)

    Que se passe-t-il si p est pair?

  • (c)

    Si p est pair et u à valeurs propres positives?

  • (d)

    Si p est pair et u et v à valeurs propres positifs?

Solution

  • (a)

    Existence: L’endomorphisme u est symétrique donc diagonalisable en base orthonormée. Soit une telle base et

    D=Mat(u)=(λ1(0)(0)λn).

    Considérons alors v l’endomorphisme de E déterminé par

    Mat(v)=(λ1p(0)(0)λnp).

    L’endomorphisme v est symétrique car représenté par une matrice symétrique en base orthonormée.
    L’endomorphisme v vérifie par construction vp=u: il est solution.

    Unicité: Soit v un endomorphisme symétrique solution. L’endomorphisme v commute avec u, les sous-espaces propres de u sont donc stables par v. Soit Eλ(u) un tel sous-espace propre. L’endomorphisme induit par v sur ce sous-espace propre est diagonalisable, considérons une base λ de diagonalisation. La matrice de l’endomorphisme induit par v dans cette base λ est diagonale et sa puissance p -ième est égale à λId car vp=u. On en déduit que l’endomorphisme induit par v sur l’espace Eλ(u) n’est autre que λpId. Ceci détermine entièrement v sur chaque sous-espace propre de u. Or ces derniers forment une décomposition en somme directe de E, l’endomorphisme v est donc entièrement déterminé.

  • (b)

    Si p est pair et que u possède une valeur propre négative, l’endomorphisme v n’existe pas.

  • (c)

    Si p est pair et u positif alors on peut à nouveau établir l’existence mais l’unicité n’est plus vraie car on peut changer les signes des valeurs propres de v tout en conservant la propriété vp=u.

  • (d)

    On retrouve existence et unicité en adaptant la démonstration qui précède.

 
Exercice 5  2753      MINES (MP)Correction  

Soient E un espace euclidien et u(E) symétrique à valeurs propres strictement positives.
Montrer que, pour tout xE,

x4u(x),xu-1(x),x.

Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il y ait égalité.

Solution

Puisque les valeurs propres de u sont strictement positives, on montre par orthodiagonalisation

xE{0E},u(x),x>0.

Soit xE.
Si x=0E, l’inégalité demandée est évidente et c’est même une égalité.
Si x0E, considérons λ. On a

u(x+λu-1(x)),x+λu-1(x)0

donc en développant

λ2x,u-1(x)+2λx,x+u(x),x0.

Or x,u-1(x)=u(u-1(x)),u-1(x)>0, par suite, le discriminant

Δ=4x4-4u(x),xu-1(x),x

est négatif ou nul car sinon le trinôme en λ précédent posséderait deux racines et ne serait donc pas de signe constant.
On en déduit l’inégalité proposée.
De plus, il y a égalité si, et seulement si, il existe λ vérifiant x+λu-1(x)=0E c’est-à-dire si, et seulement si, x est vecteur propre de u.

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Édité le 08-11-2019

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