Exercice 1 5142

On définit l’écart angulaire entre deux vecteurs non nuls $x$ et $y$ d’un espace préhilbertien de produit scalaire $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ comme étant l’unique¹¹ 1 Le réel $θ$ existe et unique car l’inégalité de Cauchy-Schwarz donne $\frac{⟨ x, y ⟩}{∥ x ∥ ∥ y ∥} \in [- 1; 1]$ . $θ$ appartenant à $[0; π]$ tel que $⟨ x, y ⟩ = ∥ x ∥ ∥ y ∥ \cos (θ)$ .

Que dire d’une famille de trois vecteurs ayant deux à deux entre eux un écart angulaire égal à $2 π / 3$ ?

Exercice 2 4507

Soient $s_{1}$ et $s_{2}$ deux réflexions de droites $D_{1}$ et $D_{2}$ d’un plan euclidien orienté $E$ . On introduit ${\vec{u}}_{1}$ et ${\vec{u}}_{2}$ des vecteurs directeurs des droites $D_{1}$ et $D_{2}$ et l’on pose $θ$ une mesure de l’angle orienté de ${\vec{u}}_{1}$ à ${\vec{u}}_{2}$ . Préciser la composée $s_{2} \circ s_{1}$ .

Exercice 3 1597 Correction

On définit l’écart angulaire entre deux vecteurs non nuls $x$ et $y$ d’un espace préhilbertien de produit scalaire $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ comme étant l’unique¹¹ 1 Le réel $θ$ existe et unique car l’inégalité de Cauchy-Schwarz donne $\frac{⟨ x, y ⟩}{∥ x ∥ ∥ y ∥} \in [- 1; 1]$ . $θ = Ecart(x,y)$ appartenant à $[0; π]$ tel que $⟨ x, y ⟩ = ∥ x ∥ ∥ y ∥ \cos (θ)$ .

Soient $u, v, w$ trois vecteurs unitaires d’un espace euclidien $E$ de dimension $\geq 2$ . On introduit les

α = Ecart (u, v), β = Ecart (v, w) et θ = Ecart (u, w) .

En projetant $v$ sur un plan contenant $u$ et $w$ , montrer que $θ \leq α + β$ .

Solution

Notons $v^{'}$ le projeté de $v$ sur un plan $P$ contenant $u$ et $w$ .

Orientons $P$ , de sorte que $(u, w) = θ [2 π]$ .

Notons $α^{'} = Ecart (u, v^{'})$ et $β^{'} = Ecart (v^{'}, w)$ .

(u ∣ v) = ∥ u ∥ ∥ v ∥ \cos (α) et (u ∣ v) = (u ∣ v^{'}) = ∥ u ∥ ∥ v^{'} ∥ \cos (α^{'})

avec $∥ v^{'} ∥ \leq ∥ v ∥$ donc $\cos (α) \leq \cos (α^{'})$ puis $α^{'} \leq α$ .
De même, on établit $β^{'} \leq β$ .

Par des considérations d’angles orientés,

θ = α^{'} + β^{'}, α^{'} - β^{'}, - α^{'} + β^{'} ou - α^{'} - β^{'} [2 π] .

Cas: $θ = α^{'} + β^{'} [2 π]$ . $θ = α^{'} + β^{'}$ et $θ \leq α + β$ .

Cas: $θ = α^{'} - β^{'} [2 π]$ . $θ = α^{'} - β^{'} \leq α^{'} \leq α + β$ .

Cas: $θ = - α^{'} + β^{'} [2 π]$ . idem.

Cas: $θ = - α^{'} - β^{'} [2 π]$ . $θ = 2 π - α^{'} - β^{'}$ et $α + β \geq α^{'} + β^{'} \geq π \geq θ$ .

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Édité le 29-08-2023

Mesures angulaires