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Exercice 1  5142  

On définit l’écart angulaire entre deux vecteurs non nuls x et y d’un espace préhilbertien de produit scalaire , comme étant l’unique11 1 Le réel θ existe et unique car l’inégalité de Cauchy-Schwarz donne x,yxy[-1;1]. θ appartenant à [0;π] tel que x,y=xycos(θ).

Que dire d’une famille de trois vecteurs ayant deux à deux entre eux un écart angulaire égal à 2π/3?

 
Exercice 2  1597   Correction  

Soient E un espace vectoriel euclidien et u,v,w trois vecteurs unitaires.
On pose

α=Ecart(u,v),β=Ecart(v,w) et θ=Ecart(u,w).

En projetant v sur un plan contenant u et w, montrer que θα+β.

Solution

Notons v le projeté de v sur un plan P contenant u et w.
Orientons P, de sorte que (u,w)=θ[2π].
Notons α=Ecart(u,v) et β=Ecart(v,w).
(uv)=uvcos(α) et (uv)=(uv)=uvcos(α) avec vv donc cos(α)cos(α) puis αα.
De même, ββ.
Par des considérations d’angles orientés,

θ=α+β,α-β,-α+β,-α-β[2π].

Si θ=α+β[2π] alors θ=α+β et θα+β.
Si θ=α-β[2π] alors θ=α-βαα+β.
Si θ=-α+β[2π]: idem.
Si θ=-α-β[2π] alors θ=2π-α-β et α+βα+βπθ.

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Édité le 08-11-2019

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