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Exercice 1  3487  Correction  

Déterminer les applications uO(E) vérifiant

(u-Id)2=0~.

Solution

Il existe une base orthonormale de E dans laquelle la matrice de u est diagonale par blocs de blocs diagonaux

(1),(-1) ou (cos(θ)-sin(θ)sin(θ)cos(θ)).

Pour que (u-Id)2=0, il faut et il suffit qu’il n’y ait que des blocs (1) ce qui correspond au cas où u=Id.

 
Exercice 2  2403    CENTRALE (MP)
  • (a)

    Trouver toutes les matrices de On() diagonalisables sur .

  • (b)

    Montrer que toutes les matrices de On() sont diagonalisables sur .

 
Exercice 3  2562    ENSTIM (MP)Correction  

Soit Ωn() une matrice orthogonale.
Soit λ une valeur propre complexe de Ω et Xn,1() vérifiant

ΩX=λX.

En calculant de deux façons

(Ω¯X¯)tΩX

établir que λ est de module 1.

Solution

D’une part

(Ω¯X¯)tΩX=X¯tΩtΩX=X¯tX

et d’autre part

(Ω¯X¯)tΩX=(λ¯X¯)tλX=|λ|2X¯tX.

Puisque X¯tX est un réel non nul, on en déduit |λ|=1.

 
Exercice 4  3343   Correction  

Soit AOn().

  • (a)

    Montrer que si λ est une valeur propre complexe de A alors |λ|=1.

  • (b)

    Soit λ une valeur propre complexe non réelle de A et Zn,1() un vecteur propre associé.
    On pose X=Re(Z) et Y=Im(Z). Montrer que Vect(X,Y) est stable par A.

  • (c)

    Montrer que les colonnes X et Y ont alors même norme et sont orthogonales.
    Quelle est la nature de l’endomorphisme induit par la matrice A sur l’espace Vect(X,Y)?

Solution

  • (a)

    Soit λ une valeur propre complexe de A et Z un vecteur propre associé.
    On a AZ=λZ et AZ¯=λ¯Z¯ donc

    (A¯Z¯)tAZ=|λ|2Z¯tZ.

    On a aussi

    (A¯Z¯)tAZ=Z¯tA¯tAZ=Z¯tZ.

    Puisque Z¯tZ=Z2+*, on obtient |λ|2=1.

  • (b)

    Écrivons λ=eiθ. L’identité AZ=λZ donne

    {AX=cos(θ)X-sin(θ)YAY=sin(θ)X+cos(θ)Y.

    Il est alors immédiat que Vect(X,Y) est stable par A.

  • (c)

    On a

    ZtZ=XtX-YtY+2iXtY.

    Or ZtAZ=eiθZtZ et ZtAZ=(AtZ)tZ=(A-1Z)tZ=e-iθZtZ. On en déduit

    ZtZ=e2iθZtZ.

    Or e2iθ1 (car λ non réelle) donc ZtZ=0 puis

    XtX=YtY et XtY=0.

    Quitte à multiplier les colonnes X et Y par un même scalaire unitaire, on peut affirmer que la famille (X,Y) est une base orthonormée du plan Vect(X,Y). En orientant ce plan par cette base, l’endomorphisme induit apparaît comme étant une rotation d’angle θ.

 
Exercice 5  5399   Correction  

Soient A,BOn().

Montrer que A et B sont semblables si, et seulement si, χA=χB.

Solution

() Deux matrices semblables ont assurément le même polynôme caractéristique. La réciproque est fausse en général mais nous allons ici l’établir du fait que les matrices A et B sont orthogonales.

() Supposons χA=χB. Puisque la matrice A est orthogonale, le théorème de réduction des isométries assure que la matrice A est orthogonalement semblable à une matrice réduite diagonale par blocs avec des blocs diagonaux de la forme

(1),(-1),ou(cos(θ)-sin(θ)sin(θ)cos(θ)) avec θ]0;π[.

Le polynôme caractéristique de A est alors un produit de facteurs

X-1,X+1,ouX2-2cos(θ)X+1.

L’égalité χA=χB assure alors que, à l’ordre près des blocs diagonaux, les matrices réduites auxquelles sont semblables A et B sont identiques. Puisque réorganiser les blocs diagonaux revient à remplacer une matrice par une matrice semblable, on peut affirmer que les matrices A et B sont semblables.

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Édité le 08-11-2019

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