D’une part

et d’autre part

Puisque ${\overline{X}}^{\top }X$ est un réel non nul, on en déduit $|\lambda |=1$.

• (a)

  Soient $\lambda$ une valeur propre complexe de $A$ et $Z$ un vecteur propre associé.

  On a $AZ=\lambda Z$. Par conjugaison, $\overline{AZ}=\overline{\lambda Z}=\overline{\lambda }\overline{Z}$ donc

  $${(\overline{A}\overline{Z})}^{\top }AZ={|\lambda |}^2{\overline{Z}}^{\top }Z\text{.}$$

  On a aussi

  $${(\overline{A}\overline{Z})}^{\top }AZ={\overline{Z}}^{\top }{\overline{A}}^{\top }AZ={\overline{Z}}^{\top }{A}^{\top }AZ={\overline{Z}}^{\top }Z\text{.}$$

  Puisque ${\overline{Z}}^{\top }Z\in {ℝ}_{+}^{*}$, on obtient ${|\lambda |}^2=1$.

• (b)

  L’identité $AZ=\lambda Z$ donne par identification des parties réelles et imaginaires

  $$\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill AX& =\cos (\theta )X-\sin (\theta )Y\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill AY& =\sin (\theta )X+\cos (\theta )Y\text{.}\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

  Il est alors immédiat de vérifier que $\mathrm{Vect}(X,Y)$ est stable par $A$.

• (c)

  On a

  $$Z^{\top }Z=X^{\top }X-Y^{\top }Y+2\mathrm{i}{X}^{\top }Y\text{.}$$

  Or $Z^{\top }AZ={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }{Z}^{\top }Z$ et $Z^{\top }AZ={\left(A^{\top }Z\right)}^{\top }Z={\left(A^{-1}Z\right)}^{\top }Z={\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\theta }{Z}^{\top }Z$. On en déduit

  $$Z^{\top }Z={\mathrm{e}}^{2\mathrm{i}\theta }{Z}^{\top }Z\text{.}$$

  Or ${\mathrm{e}}^{2\mathrm{i}\theta }\ne 1$ donc $Z^{\top }Z=0$ puis

  $$X^{\top }X=Y^{\top }Y\mathit{\hspace{1em}}\text{et}\mathit{\hspace{1em}}{X}^{\top }Y=0\text{.}$$

• (d)

  Quitte à multiplier les colonnes $X$ et $Y$ par un même scalaire unitaire, on peut affirmer que la famille $(X,Y)$ est une base orthonormée du plan $\mathrm{Vect}(X,Y)$. En orientant ce plan par cette base, l’endomorphisme induit apparaît comme étant une rotation d’angle $\theta$.

$(⟹)$ Deux matrices semblables ont assurément le même polynôme caractéristique. La réciproque est fausse en général mais nous allons ici l’établir du fait que les matrices $A$ et $B$ sont orthogonales.

$(⟸)$ Supposons ${\chi }_A={\chi }_B$. Puisque la matrice $A$ est orthogonale, le théorème de réduction des isométries assure que la matrice $A$ est orthogonalement semblable à une matrice réduite diagonale par blocs avec des blocs diagonaux de la forme

Le polynôme caractéristique de $A$ est alors un produit de facteurs

L’égalité ${\chi }_A={\chi }_B$ assure alors que, à l’ordre près des blocs diagonaux, les matrices réduites auxquelles sont semblables $A$ et $B$ sont identiques. Puisque réorganiser les blocs diagonaux revient à remplacer une matrice par une matrice semblable, on peut affirmer que les matrices $A$ et $B$ sont semblables.