[<] Matrices symétriques définies positives [>] Endomorphismes antisymétriques

 
Exercice 1  3922  Correction  

Soit

A=(001i00-i1-1i00-i-100).
  • (a)

    Calculer A2. La matrice A est-elle diagonalisable?

  • (b)

    Les matrices antisymétriques complexes sont-elles toujours diagonalisables?

Solution

  • (a)

    A2=O4. Seule 0 est valeur propre de A et si A est diagonalisable alors A=O4. Ce n’est visiblement pas le cas…

  • (b)

    La matrice A est antisymétrique complexe mais pas diagonalisable. C’est donc un contre-exemple.
    Il est en revanche remarquable que les matrices antisymétriques réelles sont diagonalisables (dans ).

 
Exercice 2  2627    MINES (MP)Correction  

Soit An() vérifiant A=-A. Établir

Ker(A)Im(A)=n.

Solution

Soit yKer(A)Im(A). On a Ay=0 et il existe xn tel que y=Ax. En considérant la norme euclidienne canonique,

y2=yy=(Ax)y=xAy=-xAy=0.

On en déduit y=0. Ainsi, Ker(A)Im(A)={0}. Parallèlement, par la formule du rang,

dimKer(A)+dimIm(A)=dimn.

On en déduit

Ker(A)Im(A)=n.
 
Exercice 3  5475    MINES (PSI)Correction  

Soit Mn(). Montrer que la matrice M est antisymétrique si, et seulement si, pour toute matrice POn(), la diagonale de PMP est nulle.

Solution

() Si la matrice M est antisymétrique alors, pour toute matrice POn(), la matrice PMP est antisymétrique. En effet,

(PMP)=PM(P)=P(-M)P=-PMP.

En particulier, la diagonale de PMP est nulle.

() Supposons que pour toute matrice POn(), la diagonale de PMP est nulle. On écrit M=S+A avec S matrice symétrique et A antisymétrique. Par le théorème spectral, on peut aussi écrire S=PDP avec POn() et D diagonale. On a alors PMP=D+PAP. La diagonale de la matrice PMP étant nulle par hypothèse et celle de PAP aussi car il s’agit d’une matrice antisymétrique, la matrice diagonale D est nécessairement la matrice nulle. On en déduit que la matrice S est nulle puis que M=A est une matrice antisymétrique.

 
Exercice 4  3748    MINES (MP)Correction  

Soit An() telle que A=-A.

  • (a)

    Montrer que si n est impair alors A n’est pas inversible.

  • (b)

    Montrer que si n est pair, det(A)0. Sous quelle condition l’inégalité est-elle stricte?

Solution

  • (a)

    A=-A donne det(A)=(-1)ndet(A) donc det(A)=0 si n est impair.

  • (b)

    Si λ est valeur propre réelle de A alors on peut écrire AX=λX pour une certaine colonne X non nulle. On a alors XAX=λXX mais aussi XAX=-(AX)X=-λXX. On en déduit que la seule valeur propre réelle de A possible est la valeur nulle.
    Par l’absurde, si det(A)<0 alors le théorème des valeurs intermédiaires assure que le polynôme caractéristique de A s’annule ailleurs qu’en 0. C’est contraire à l’affirmation qui précède.
    Ainsi, det(A)0 avec inégalité stricte si, et seulement si, A est inversible.

 
Exercice 5  4272   

Soit An() une matrice antisymétrique.

  • (a)

    Quelles sont les valeurs propres réelles possibles de A?

  • (b)

    En déduire que le déterminant de A est un réel positif ou nul.

  • (c)

    Montrer que les valeurs propres complexes de A sont imaginaires pures.

 
Exercice 6  373   

Montrer que toute matrice antisymétrique réelle est de rang pair.

 
Exercice 7  3749     MINES (MP)Correction  

Montrer que A antisymétrique réelle d’ordre n est semblable à

B=(C000)

C est une matrice inversible de taille paire.

Solution

Soit YKer(A)Im(A). On peut écrire Y=AX pour une certaine colonne X.
On a

YY=(AX)Y=-XAY=0

et donc Y=0.En sus,

rg(A)+dimKer(A)=n

et donc les espaces Im(A) et Ker(A) sont supplémentaires. Puisque l’espace Im(A) est évidemment stable, on obtient que la matrice A est semblable à une matrice de la forme

(C000).

Le rang de la matrice A est égale par similitude au rang de la matrice C mais aussi par construction à la taille de C. On en déduit que la matrice C est inversible (On peut aussi établir que les espaces Im(A) et Ker(A) sont orthogonaux et, en considérant des bases orthonormées, observer que la matrice A est orthogonalement semblable à B avec un bloc C antisymétrique).

Enfin, si λ est valeur propre réelle de A de vecteur propre X0 on a

XAX=λX et XAX=-(AX)X=-λXX.

On en déduit que seule 0 peut être valeur propre réelle de A. La matrice C n’a donc pas d’autre valeur propre que 0, or elle est inversible, elle n’admet donc pas de valeur propre. Elle est alors nécessairement de taille paire.

 
Exercice 8  2915      X (MP)

Soit An() une matrice antisymétrique.

Montrer que, par le biais d’une matrice de passage orthogonale, la matrice A est semblable11 1 Ce résultat de réduction des matrices antisymétriques résout le sujet 373 et le sujet 4272. à une matrice diagonale par blocs avec sur la diagonale des zéros et/ou différents blocs Mα de la forme

Mα=(0-αα0) avec α+*.

[<] Matrices symétriques définies positives [>] Endomorphismes antisymétriques



Édité le 29-08-2023

Bootstrap Bootstrap 3 - LaTeXML [LOGO] - Powered by MathJax Powered by MathJax