Exercice 1 3922 Correction

Soit

A = (\begin{matrix} 0 & 0 & 1 & i \\ 0 & 0 & - i & 1 \\ - 1 & i & 0 & 0 \\ - i & - 1 & 0 & 0 \end{matrix}) .

(a)

Calculer $A^{2}$ . La matrice $A$ est-elle diagonalisable?
(b)

Les matrices antisymétriques complexes sont-elles toujours diagonalisables?

Solution

(a)

$A^{2} = O_{4}$ . Seule 0 est valeur propre de $A$ et si $A$ est diagonalisable alors $A = O_{4}$ . Ce n’est visiblement pas le cas…
(b)

La matrice $A$ est antisymétrique complexe mais pas diagonalisable. C’est donc un contre-exemple.
Il est en revanche remarquable que les matrices antisymétriques réelles sont diagonalisables (dans $ℂ$ ).

Exercice 2 2627 MINES (MP)Correction

Soit $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ vérifiant $A^{⊤} = - A$ . Établir

Ker (A) \oplus Im (A) = ℝ^{n} .

Solution

Soit $y \in Ker (A) \cap Im (A)$ . On a $A y = 0$ et il existe $x \in ℝ^{n}$ tel que $y = A x$ . En considérant la norme euclidienne canonique,

{∥ y ∥}^{2} = y^{⊤} y = {(A x)}^{⊤} y = x^{⊤} A^{⊤} y = - x^{⊤} A y = 0 .

On en déduit $y = 0$ . Ainsi, $Ker (A) \cap Im (A) = {0}$ . Parallèlement, par la formule du rang,

dim Ker (A) + dim Im (A) = dim ℝ^{n} .

On en déduit

Ker (A) \oplus Im (A) = ℝ^{n} .

Exercice 3 5475 MINES (PSI)Correction

Soit $M \in ℳ_{n} (ℝ)$ . Montrer que la matrice $M$ est antisymétrique si, et seulement si, pour toute matrice $P \in O_{n} (ℝ)$ , la diagonale de $P^{⊤} M P$ est nulle.

Solution

$(⟹)$ Si la matrice $M$ est antisymétrique alors, pour toute matrice $P \in O_{n} (ℝ)$ , la matrice $P^{⊤} M P$ est antisymétrique. En effet,

{(P^{⊤} M P)}^{⊤} = P^{⊤} M^{⊤} {(P^{⊤})}^{⊤} = P^{⊤} (- M) P = - P^{⊤} M P .

En particulier, la diagonale de $P^{⊤} M P$ est nulle.

$(⟸)$ Supposons que pour toute matrice $P \in O_{n} (ℝ)$ , la diagonale de $P^{⊤} M P$ est nulle. On écrit $M = S + A$ avec $S$ matrice symétrique et $A$ antisymétrique. Par le théorème spectral, on peut aussi écrire $S = P D P^{⊤}$ avec $P \in O_{n} (ℝ)$ et $D$ diagonale. On a alors $P^{⊤} M P = D + P^{⊤} A P$ . La diagonale de la matrice $P^{⊤} M P$ étant nulle par hypothèse et celle de $P^{⊤} A P$ aussi car il s’agit d’une matrice antisymétrique, la matrice diagonale $D$ est nécessairement la matrice nulle. On en déduit que la matrice $S$ est nulle puis que $M = A$ est une matrice antisymétrique.

Exercice 4 3748 MINES (MP)Correction

Soit $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ telle que $A^{⊤} = - A$ .

(a)

Montrer que si $n$ est impair alors $A$ n’est pas inversible.
(b)

Montrer que si $n$ est pair, $\det (A) \geq 0$ . Sous quelle condition l’inégalité est-elle stricte?

Solution

(a)

$A^{⊤} = - A$ donne $\det (A) = {(- 1)}^{n} \det (A)$ donc $\det (A) = 0$ si $n$ est impair.
(b)

Si $λ$ est valeur propre réelle de $A$ alors on peut écrire $A X = λ X$ pour une certaine colonne $X$ non nulle. On a alors $X^{⊤} A X = λ X^{⊤} X$ mais aussi $X^{⊤} A X = - {(A X)}^{⊤} X = - λ X^{⊤} X$ . On en déduit que la seule valeur propre réelle de $A$ possible est la valeur nulle.
Par l’absurde, si $\det (A) < 0$ alors le théorème des valeurs intermédiaires assure que le polynôme caractéristique de $A$ s’annule ailleurs qu’en 0. C’est contraire à l’affirmation qui précède.
Ainsi, $\det (A) \geq 0$ avec inégalité stricte si, et seulement si, $A$ est inversible.

Exercice 5 4272

Soit $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ une matrice antisymétrique.

(a)

Quelles sont les valeurs propres réelles possibles de $A$ ?
(b)

En déduire que le déterminant de $A$ est un réel positif ou nul.
(c)

Montrer que les valeurs propres complexes de $A$ sont imaginaires pures.

Exercice 6 373

Montrer que toute matrice antisymétrique réelle est de rang pair.

Exercice 7 3749 MINES (MP)Correction

Montrer que $A$ antisymétrique réelle d’ordre $n$ est semblable à

B = (\begin{matrix} C & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})

où $C$ est une matrice inversible de taille paire.

Solution

Soit $Y \in Ker (A) \cap Im (A)$ . On peut écrire $Y = A X$ pour une certaine colonne $X$ .
On a

Y^{⊤} Y = {(A X)}^{⊤} Y = - X^{⊤} A Y = 0

et donc $Y = 0$ .En sus,

rg (A) + dim Ker (A) = n

et donc les espaces $Im (A)$ et $Ker (A)$ sont supplémentaires. Puisque l’espace $Im (A)$ est évidemment stable, on obtient que la matrice $A$ est semblable à une matrice de la forme

(\begin{matrix} C & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) .

Le rang de la matrice $A$ est égale par similitude au rang de la matrice $C$ mais aussi par construction à la taille de $C$ . On en déduit que la matrice $C$ est inversible (On peut aussi établir que les espaces $Im (A)$ et $Ker (A)$ sont orthogonaux et, en considérant des bases orthonormées, observer que la matrice $A$ est orthogonalement semblable à $B$ avec un bloc $C$ antisymétrique).

Enfin, si $λ$ est valeur propre réelle de $A$ de vecteur propre $X \neq 0$ on a

X^{⊤} A X = λ X et X^{⊤} A X = - {(A X)}^{⊤} X = - λ X^{⊤} X .

On en déduit que seule 0 peut être valeur propre réelle de $A$ . La matrice $C$ n’a donc pas d’autre valeur propre que 0, or elle est inversible, elle n’admet donc pas de valeur propre. Elle est alors nécessairement de taille paire.

Exercice 8 2915 X (MP)

Soit $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ une matrice antisymétrique.

Montrer que, par le biais d’une matrice de passage orthogonale, la matrice $A$ est semblable¹¹ 1 Ce résultat de réduction des matrices antisymétriques résout le sujet 373 et le sujet 4272. à une matrice diagonale par blocs avec sur la diagonale des zéros et/ou différents blocs $M_{α}$ de la forme

M_{α} = (\begin{matrix} 0 & - α \\ α & 0 \end{matrix}) avec α \in ℝ_{+}^{*} .

[<] Matrices symétriques définies positives [>] Endomorphismes antisymétriques

Édité le 29-08-2023

Matrices antisymétriques