[<] Matrices symétriques définies positives [>] Endomorphismes antisymétriques
Soit
Calculer . La matrice est-elle diagonalisable?
Les matrices antisymétriques complexes sont-elles toujours diagonalisables?
Solution
. Seule 0 est valeur propre de et si est diagonalisable alors . Ce n’est visiblement pas le cas…
La matrice est antisymétrique complexe mais pas diagonalisable. C’est donc un contre-exemple.
Il est en revanche remarquable que les matrices antisymétriques réelles sont diagonalisables (dans ).
Soit vérifiant . Établir
Solution
Soit . On a et il existe tel que . En considérant la norme euclidienne canonique,
On en déduit . Ainsi, . Parallèlement, par la formule du rang,
On en déduit
Soit . Montrer que la matrice est antisymétrique si, et seulement si, pour toute matrice , la diagonale de est nulle.
Solution
Si la matrice est antisymétrique alors, pour toute matrice , la matrice est antisymétrique. En effet,
En particulier, la diagonale de est nulle.
Supposons que pour toute matrice , la diagonale de est nulle. On écrit avec matrice symétrique et antisymétrique. Par le théorème spectral, on peut aussi écrire avec et diagonale. On a alors . La diagonale de la matrice étant nulle par hypothèse et celle de aussi car il s’agit d’une matrice antisymétrique, la matrice diagonale est nécessairement la matrice nulle. On en déduit que la matrice est nulle puis que est une matrice antisymétrique.
Soit telle que .
Montrer que si est impair alors n’est pas inversible.
Montrer que si est pair, . Sous quelle condition l’inégalité est-elle stricte?
Solution
donne donc si est impair.
Si est valeur propre réelle de alors on peut écrire pour une certaine colonne non nulle. On a alors mais aussi . On en déduit que la seule valeur propre réelle de possible est la valeur nulle.
Par l’absurde, si alors le théorème des valeurs intermédiaires assure que le polynôme caractéristique de s’annule ailleurs qu’en 0. C’est contraire à l’affirmation qui précède.
Ainsi, avec inégalité stricte si, et seulement si, est inversible.
Soit une matrice antisymétrique.
Quelles sont les valeurs propres réelles possibles de ?
En déduire que le déterminant de est un réel positif ou nul.
Montrer que les valeurs propres complexes de sont imaginaires pures.
Montrer que toute matrice antisymétrique réelle est de rang pair.
Montrer que antisymétrique réelle d’ordre est semblable à
où est une matrice inversible de taille paire.
Solution
Soit . On peut écrire pour une certaine colonne .
On a
et donc .En sus,
et donc les espaces et sont supplémentaires. Puisque l’espace est évidemment stable, on obtient que la matrice est semblable à une matrice de la forme
Le rang de la matrice est égale par similitude au rang de la matrice mais aussi par construction à la taille de . On en déduit que la matrice est inversible (On peut aussi établir que les espaces et sont orthogonaux et, en considérant des bases orthonormées, observer que la matrice est orthogonalement semblable à avec un bloc antisymétrique).
Enfin, si est valeur propre réelle de de vecteur propre on a
On en déduit que seule 0 peut être valeur propre réelle de . La matrice n’a donc pas d’autre valeur propre que 0, or elle est inversible, elle n’admet donc pas de valeur propre. Elle est alors nécessairement de taille paire.
Soit une matrice antisymétrique.
Montrer que, par le biais d’une matrice de passage orthogonale, la matrice est semblable11 1 Ce résultat de réduction des matrices antisymétriques résout le sujet 373 et le sujet 4272. à une matrice diagonale par blocs avec sur la diagonale des zéros et/ou différents blocs de la forme
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Édité le 29-08-2023
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