Exercice 1 3661 Correction

Soit $u$ un endomorphisme d’un espace euclidien $E$ . On suppose $u^{*} \circ u = u \circ u^{*}$ .

(a)

Montrer que les endomorphismes $u$ et $u^{*}$ ont les mêmes sous-espaces propres.
(b)

Montrer que les sous-espaces propres de $u$ sont deux à deux orthogonaux.

Solution

(a)

Soient $λ \in ℝ$ et $F = E_{λ} (u) = Ker (u - λ {Id}_{E})$ .

Puisque $u$ et $u^{*}$ commutent, l’espace $F$ est stable par $u^{*}$ .

Considérons alors les endomorphismes $v$ et $w$ restrictions de $u$ et $u^{*}$ à l’espace $F$ . Puisque

$\forall x, y \in E, (u (x) ∣ y) = (x ∣ u^{*} (y))$

on a en particulier

$\forall x, y \in F, (v (x) ∣ y) = (x ∣ w (y))$

et donc $w = v^{*}$ . Or $v = λ . {Id}_{F}$ donc $w^{*} = {(λ . {Id}_{F})}^{*} = λ . {Id}_{F}$ . Ainsi, $E_{λ} (u) \subset E_{λ} (u^{*})$ . Un raisonnement symétrique donne l’autre inclusion ce qui assure l’égalité.
(b)

Soient $λ, μ \in ℝ$ deux valeurs propres distinctes de $u$ .

Soient $x \in E_{λ} (u)$ et $y \in E_{μ} (u) = E_{μ} (u^{*})$ . D’une part,

$(u (x) ∣ y) = λ (x ∣ y) .$

D’autre part;

$(u (x) ∣ y) = (x ∣ u^{*} (y)) = μ (x ∣ y) .$

Puisque $λ \neq μ$ , on obtient $(x ∣ y) = 0$ .

Les espaces $E_{λ} (u)$ et $E_{μ} (u)$ sont donc orthogonaux.

Exercice 2 3400 Correction

Soit $u$ un endomorphisme diagonalisable d’un espace euclidien $E$ .
On suppose que les endomorphismes $u$ et $u^{*}$ commutent. Montrer que l’endomorphisme $u$ est autoadjoint.

Solution

Notons $E_{λ}$ les sous-espaces propres de l’endomorphisme $u$ . Puisqu’il est diagonalisable, on peut écrire

E = \underset{λ \in Sp (u)}{\oplus} E_{λ} .

Nous allons montrer que les espaces de cette décomposition sont deux à deux orthogonaux.
Soit $λ$ une valeur propre de $u$ . L’espace

F_{λ} = \underset{μ \in Sp (u) - {λ}}{\oplus} E_{μ}

est un supplémentaire de $E_{λ}$ . Puisque, les endomorphismes $u$ et $u^{*}$ commutent, chaque espace propre $E_{μ}$ est stable $u^{*}$ et donc $F_{λ}$ est stable par $u^{*}$ . On en déduit que $F_{λ}^{⊥}$ est stable par $u$ . Puisque l’endomorphisme induit par $u$ sur $F_{λ}^{⊥}$ est diagonalisable, il existe une base de $F_{λ}^{⊥}$ formé de vecteurs propres de $u$ . Or aucun de ces vecteurs propres ne peut être élément de $F_{λ}$ . On en déduit l’inclusion $F_{λ}^{⊥} \subset E_{λ}$ puis l’égalité par un argument de dimensions.
Ainsi, les sous-espaces propres de $u$ sont deux à deux orthogonaux. En introduisant une base orthonormée de chaque sous-espace propre, on forme alors une base orthonormée de $E$ diagonalisant $u$ . L’endomorphisme $u$ est donc autoadjoint car représenté par une matrice symétrique en base orthonormée.

Exercice 3 5959 Correction

Soit $u$ un endomorphisme d’un espace euclidien $E$ . Montrer

u^{*} \circ u = u \circ u^{*} \Leftrightarrow \forall x \in E, ∥ u^{*} (x) ∥ = ∥ u (x) ∥ .

Solution

$(⟹)$ Supposons $u^{*} \circ u = u \circ u^{*}$ . Pour tout $x \in E$ , on obtient par propriété d’adjonction

	${∥ u (x) ∥}^{2}$	$= ⟨ u (x), u (x) ⟩ = ⟨ u^{*} \circ u (x), x ⟩$
		$= ⟨ u \circ u^{} (x), x ⟩ = ⟨ u^{} (x), u^{} (x) ⟩ = {∥ u^{} (x) ∥}^{2} .$

Ainsi, $∥ u (x) ∥ = ∥ u^{*} (x) ∥$ .

$(⟸)$ Supposons $∥ u (x) ∥ = ∥ u^{*} (x) ∥$ pour tout $x \in E$ . Soient $x, y \in E$ . On a par développement

	${∥ u (x + y) ∥}^{2}$	$= {∥ u (x) ∥}^{2} + 2 ⟨ u (x), u (y) ⟩ + {∥ u (y) ∥}^{2}$
	${∥ u^{*} (x + y) ∥}^{2}$	$= {∥ u^{} (x) ∥}^{2} + 2 ⟨ u^{} (x), u^{} (y) ⟩ + {∥ u^{} (y) ∥}^{2} .$

On en déduit

⟨ u (x), u (y) ⟩ = ⟨ u^{*} (x), u^{*} (y) ⟩ .

Par adjonction, on a encore

⟨ u^{*} \circ u (x), y ⟩ = ⟨ u \circ u^{*} (x), y ⟩

ce qui se réorganise en

⟨ u^{*} \circ u (x) - u \circ u^{*} (x), y ⟩ = 0 .

Le vecteur $u^{*} \circ u (x) - u \circ u^{*} (x)$ est orthogonal à tout vecteur $y$ de $E$ , c’est le vecteur nul. Cela vaut pour tout $x \in E$ et donc $u^{*} \circ u = u \circ u^{*}$ .

Exercice 4 6186 CCP (MP)Correction

Soient $E$ un espace euclidien et $u \in ℒ (E)$ tel que $u \circ u^{*} = u^{*} \circ u$ .

(a)

Montrer que, pour $λ \in ℝ$ valeur propre de $u$ et $x \in E_{λ} (u)$ , on a

${∥ u^{*} (x) ∥}^{2} = λ^{2} {∥ x ∥}^{2} .$
(b)

Montrer que $u$ et $u^{*}$ ont les mêmes valeurs propres et les mêmes sous-espaces propres.
(c)

Montrer que les sous-espaces propres de $u$ sont orthogonaux entre eux.
(d)

On suppose que $u$ est diagonalisable. Montrer que $u$ est autoadjoint.

Solution

(a)

Soit $x \in E$ tel que $u (x) = λ x$ avec $λ \in ℝ$ . Par adjonction,

${∥ u^{*} (x) ∥}^{2} = ⟨ u^{*} (x), u^{*} (x) ⟩ = ⟨ x, u \circ u^{*} (x) ⟩$

Puisque $u \circ u^{*} = u^{*} \circ u$ ,

$⟨ x, u \circ u^{*} (x) ⟩ = ⟨ x, u^{*} \circ u (x) ⟩ = ⟨ u (x), u (x) ⟩ = ⟨ λ x, λ x ⟩ = λ^{2} {∥ x ∥}^{2}$
(b)

Dans une base orthonormée, si $M$ figure $u$ alors $M^{⊤}$ figure $u^{*}$ . Puisque les polynômes caractéristiques de $M$ et $M^{⊤}$ sont les mêmes, les endomorphismes $u$ et $u^{*}$ ont les mêmes valeurs propres.

Soit $λ$ une valeur propre de $u$ . Puisque $u$ et $u^{*}$ commutent, $E_{λ} (u)$ est stable par $u^{*}$ et l’on peut introduire l’endomorphisme induit par $u^{*}$ sur $E_{λ} (u)$ . Cet endomorphisme induit est l’adjoint de l’endomorphisme induit par $u$ sur $E_{λ} (u)$ , c’est-à-dire l’adjoint de $λ {Id}_{E_{λ} (u)}$ , à savoir $λ {Id}_{E_{λ} (u)}$ . Ainsi, $E_{λ} (u) \subset E_{λ} (u^{*})$ . Le même raisonnement appliqué à $u^{*}$ donne $E_{λ} (u^{*}) \subset E_{λ} (u^{* *})$ et donc $E_{λ} (u) = E_{λ} (u^{*})$ .
(c)

Soient $λ, μ$ deux valeurs propres distinctes de $u$ . Pour $(x, y) \in E_{λ} (u) \times E_{μ} (u)$ ,

$⟨ λ x, y ⟩ = ⟨ u (x), y ⟩ = ⟨ x, u^{*} (y) ⟩ = ⟨ x, μ y ⟩$

Ainsi, $λ ⟨ x, y ⟩ = μ ⟨ x, y ⟩$ et donc $⟨ x, y ⟩ = 0$ puisque $λ \neq μ$ .
(d)

Si $u$ est diagonalisable, ce qui précède assure que $u$ peut être figuré par une matrice diagonale dans une base orthonormée, c’est donc un endomorphisme autoadjoint.

Endomorphismes normaux