• (a)

  Soient $\lambda \in ℝ$ et $F=E_{\lambda }(u)=\mathrm{Ker}(u-\lambda {\mathrm{Id}}_E)$.

  Puisque $u$ et $u^{*}$ commutent, l’espace $F$ est stable par $u^{*}$.

  Considérons alors les endomorphismes $v$ et $w$ restrictions de $u$ et $u^{*}$ à l’espace $F$. Puisque

  $$\forall x,y\in E,(u(x)\mid y)=(x\mid u^{*}(y))$$

  on a en particulier

  $$\forall x,y\in F,(v(x)\mid y)=(x\mid w(y))$$

  et donc $w=v^{*}$. Or $v=\lambda .{\mathrm{Id}}_F$ donc $w^{*}={(\lambda .{\mathrm{Id}}_F)}^{*}=\lambda .{\mathrm{Id}}_F$. Ainsi, $E_{\lambda }(u)\subset E_{\lambda }(u^{*})$. Un raisonnement symétrique donne l’autre inclusion ce qui assure l’égalité.

• (b)

  Soient $\lambda ,\mu \in ℝ$ deux valeurs propres distinctes de $u$.

  Soient $x\in E_{\lambda }(u)$ et $y\in E_{\mu }(u)=E_{\mu }(u^{*})$. D’une part,

  $$(u(x)\mid y)=\lambda (x\mid y)\text{.}$$

  D’autre part;

  $$(u(x)\mid y)=(x\mid u^{*}(y))=\mu (x\mid y)\text{.}$$

  Puisque $\lambda \ne \mu$, on obtient $(x\mid y)=0$.

  Les espaces $E_{\lambda }(u)$ et $E_{\mu }(u)$ sont donc orthogonaux.

Notons $E_{\lambda }$ les sous-espaces propres de l’endomorphisme $u$. Puisqu’il est diagonalisable, on peut écrire

Nous allons montrer que les espaces de cette décomposition sont deux à deux orthogonaux.
Soit $\lambda$ une valeur propre de $u$. L’espace

est un supplémentaire de $E_{\lambda }$. Puisque, les endomorphismes $u$ et $u^{*}$ commutent, chaque espace propre $E_{\mu }$ est stable $u^{*}$ et donc $F_{\lambda }$ est stable par $u^{*}$. On en déduit que $F_{\lambda }^{\perp }$ est stable par $u$. Puisque l’endomorphisme induit par $u$ sur $F_{\lambda }^{\perp }$ est diagonalisable, il existe une base de $F_{\lambda }^{\perp }$ formé de vecteurs propres de $u$. Or aucun de ces vecteurs propres ne peut être élément de $F_{\lambda }$. On en déduit l’inclusion $F_{\lambda }^{\perp }\subset E_{\lambda }$ puis l’égalité par un argument de dimensions.
Ainsi, les sous-espaces propres de $u$ sont deux à deux orthogonaux. En introduisant une base orthonormée de chaque sous-espace propre, on forme alors une base orthonormée de $E$ diagonalisant $u$. L’endomorphisme $u$ est donc autoadjoint car représenté par une matrice symétrique en base orthonormée.