La matrice $A$ est symétrique réelle donc diagonalisable.

Après calculs,

$${\chi }_A=(X-3){(X+3)}^2\text{.}$$

Le sous-espace propre associé à la valeur propre $-3$ est le plan d’équation

$$x-2y+z=0\text{.}$$

Les sous-espaces propres d’une matrice symétrique réelle étant deux à deux orthogonaux, on peut affirmer que le sous-espace propre associé à la valeur propre $3$ est la droite

$$\mathrm{Vect}(1,-\mathrm{2,1})\text{.}$$

On en déduit une base orthonormée de diagonalisation puis une matrice orthogonale $P$ convenable

$$P=\left(\begin{array}{ccc}\hfill 1/\sqrt{6}\hfill & \hfill 1/\sqrt{2}\hfill & \hfill 1/\sqrt{3}\hfill \\ \hfill -2/\sqrt{6}\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1/\sqrt{3}\hfill \\ \hfill 1/\sqrt{6}\hfill & \hfill -1/\sqrt{2}\hfill & \hfill 1/\sqrt{3}\hfill \end{array}\right)$$

pour

$$D=\left(\begin{array}{ccc}\hfill 3\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill -3\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill -3\hfill \end{array}\right)\text{.}$$