[<] Théorème spectral vectoriel [>] Théorème spectral matriciel
Soit la matrice de dont tous les coefficient sont égaux à 1. Trouver et diagonale telles que .
Solution
, et .
Les matrices
et
conviennent.
Les colonnes d’indices 2 à de la matrice sont formées de coefficients de de somme nulle et de somme de carrés égale à 1.
On considère la matrice
Déterminer et diagonale telle que .
Justifier que
est diagonalisable et trouver telle que soit diagonale.
Solution
La matrice est symétrique réelle donc diagonalisable.
Après calculs,
Le sous-espace propre associé à la valeur propre 3 est le plan d’équation
Les sous-espaces propres d’une matrice symétrique réelle étant deux à deux orthogonaux, on peut affirmer que le sous-espace propre associé à la valeur propre est la droite . On en déduit une base orthonormée de diagonalisation puis une matrice convenable
On considère la matrice
Justifiez que la matrice est diagonalisable.
Déterminer et dans telles que , est diagonale et .
Solution
La matrice est symétrique réelle donc diagonalisable.
Après calculs,
Le sous-espace propre associé à la valeur propre est le plan d’équation
Les sous-espaces propres d’une matrice symétrique réelle étant deux à deux orthogonaux, on peut affirmer que le sous-espace propre associé à la valeur propre est la droite
On en déduit une base orthonormée de diagonalisation puis une matrice orthogonale convenable
pour
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Édité le 23-02-2024
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