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Exercice 1  2757    MINES (MP)Correction  

Soit J la matrice de n() dont tous les coefficient sont égaux à 1. Trouver POn() et Dn() diagonale telles que PtJP=D.

Solution

Sp(J)={0,n}, E0(J):x1++xn=0 et En(J):x1==xn.
Les matrices

D=diag(n,0,,0)

et

P=(1/n1/21/61/n2-n-1/21/6-2/61/n2-n1/n(0)-(n-1)/n2-n)

conviennent.
Les colonnes d’indices 2 à n de la matrice P sont formées de coefficients de a,a,b,0,,0 de somme nulle et de somme de carrés égale à 1.

 
Exercice 2  4270  

On considère la matrice

A=(2-12-12222-1).

Déterminer PO3() et D3() diagonale telle que A=PDPt.

 
Exercice 3  3398    CCP (MP)Correction  

Justifier que

A=(1-2-2-21-2-2-21)

est diagonalisable et trouver P telle que PtAP soit diagonale.

Solution

La matrice A est symétrique réelle donc diagonalisable.

Après calculs,

χA=-(X+3)(X-3)2.

Le sous-espace propre associé à la valeur propre 3 est le plan d’équation

x+y+z=0.

Les sous-espaces propres d’une matrice symétrique réelle étant deux à deux orthogonaux, on peut affirmer que le sous-espace propre associé à la valeur propre -3 est la droite x=y=z. On en déduit une base orthonormée de diagonalisation puis une matrice P convenable

P=(1/31/21/61/3-1/21/61/30-2/6).
 
Exercice 4  2413    CCP (MP)Correction  

On considère la matrice

A=(-2-21-21-21-2-2).
  • (a)

    Justifiez que la matrice A est diagonalisable.

  • (b)

    Déterminer P et D dans 3() telles que Pt=P-1, D est diagonale et PtAP=D.

Solution

  • (a)

    La matrice A est symétrique réelle donc diagonalisable.

  • (b)

    Après calculs,

    χA=(X-3)(X+3)2.

    Le sous-espace propre associé à la valeur propre -3 est le plan d’équation

    x-2y+z=0.

    Les sous-espaces propres d’une matrice symétrique réelle étant deux à deux orthogonaux, on peut affirmer que le sous-espace propre associé à la valeur propre 3 est la droite

    Vect(1,-2,1).

    On en déduit une base orthonormée de diagonalisation puis une matrice orthogonale P convenable

    P=(1/61/21/3-2/601/31/6-1/21/3)

    pour

    D=(3000-3000-3).

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Édité le 08-11-2019

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