$\mathrm{Sp}(J)=\{0,n\}$, $E_0(J):x_1+\mathrm{\cdots }+x_n=0$ et $E_n(J):x_1=\mathrm{\dots }=x_n$.
Les matrices

et

conviennent.
Les colonnes d’indices 2 à $n$ de la matrice $P$ sont formées de coefficients de $a,\mathrm{\dots }a,b\mathrm{,0},\mathrm{\dots }\mathrm{,0}$ de somme nulle et de somme de carrés égale à 1.

La matrice $A$ est symétrique réelle donc diagonalisable.

Après calculs,

Le sous-espace propre associé à la valeur propre 3 est le plan d’équation

Les sous-espaces propres d’une matrice symétrique réelle étant deux à deux orthogonaux, on peut affirmer que le sous-espace propre associé à la valeur propre $-3$ est la droite $x=y=z$. On en déduit une base orthonormée de diagonalisation puis une matrice $P$ convenable

• (a)

  La matrice $A$ est symétrique réelle donc diagonalisable.

• (b)

  Après calculs,

  $${\chi }_A=(X-3){(X+3)}^2\text{.}$$

  Le sous-espace propre associé à la valeur propre $-3$ est le plan d’équation

  $$x-2y+z=0\text{.}$$

  Les sous-espaces propres d’une matrice symétrique réelle étant deux à deux orthogonaux, on peut affirmer que le sous-espace propre associé à la valeur propre $3$ est la droite

  $$\mathrm{Vect}(1,-\mathrm{2,1})\text{.}$$

  On en déduit une base orthonormée de diagonalisation puis une matrice orthogonale $P$ convenable

  $$P=\left(\begin{array}{ccc}\hfill 1/\sqrt{6}\hfill & \hfill 1/\sqrt{2}\hfill & \hfill 1/\sqrt{3}\hfill \\ \hfill -2/\sqrt{6}\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1/\sqrt{3}\hfill \\ \hfill 1/\sqrt{6}\hfill & \hfill -1/\sqrt{2}\hfill & \hfill 1/\sqrt{3}\hfill \end{array}\right)$$

  pour

  $$D=\left(\begin{array}{ccc}\hfill 3\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill -3\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill -3\hfill \end{array}\right)\text{.}$$