Exercice 1 847 Correction

Soient $n \in ℕ^{*}$ et $A \in ℳ_{2 n} (𝕂)$ définie par blocs

A = (\begin{matrix} O_{n} & I_{n} \\ - I_{n} & O_{n} \end{matrix}) \in ℳ_{2 n} (𝕂) .

(a)

Calculer $A^{2}$ .
(b)

Selon que $𝕂 = ℝ$ ou $ℂ$ , dire si la matrice $A$ est diagonalisable.
(c)

Préciser les valeurs propres complexes de $A$ et les dimensions des sous-espaces propres associés.

Solution

(a)

$A^{2} = - I_{2 n}$ .
(b)

On observe que $X^{2} + 1$ est annulateur de $A$ .

Cas: $𝕂 = ℂ$ . La matrice $A$ est diagonalisable car annule le polynôme

$X^{2} + 1 = (X - i) (X + i)$

qui est scindé à racines simples. Cas: $𝕂 = ℝ$ . La matrice $A$ n’est pas diagonalisable car sans valeurs propres. En effet, une valeur propre (réelle) de $A$ doit être annulée par le polynôme $X^{2} + 1$ .
(c)

Puisque les valeurs propres de $A$ figurent parmi les racines de $X^{2} + 1$ , elles ne peuvent que $i$ et $- i$ . Puisqu’une matrice admet au moins une valeur propre complexe, au moins l’un de $i$ ou de $- i$ est valeur propre. Aussi, puisque la matrice $A$ est réelle, $i$ est valeur propre de $A$ si, et seulement si, $- i$ l’est aussi. Enfin les dimensions de sous-espaces propres associés étant égales, on conclut

$Sp (A) = {i, - i} et dim E_{i} (A) = dim E_{- i} (A) = n .$

Exercice 2 4320

Soit $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ . À quelle condition la matrice $M$ de $ℳ_{2 n} (ℝ)$ suivante est-elle diagonalisable?

M = (\begin{matrix} 0 & A \\ - 2 A & 3 A \end{matrix}) .

Exercice 3 3138 ENSTIM (MP)Correction

Soit

M = (\begin{matrix} A & A \\ (0) & A \end{matrix})

avec $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ .

(a)

Montrer que

$P (M) = (\begin{matrix} P (A) & A P^{'} (A) \\ (0) & P (A) \end{matrix}) pour tout P \in ℝ [X] .$
(b)

Énoncer une condition nécessaire et suffisante pour que $M$ soit diagonalisable.

Solution

(a)

Par récurrence, on vérifie

$\forall k \in ℕ, M^{k} = (\begin{matrix} A^{k} & k A^{k} \\ (0) & A^{k} \end{matrix})$

On obtient ensuite la relation proposée par combinaison linéaire en écrivant le polynôme $P$ à l’aide de ses coefficients?
(b)

Si $M$ est diagonalisable alors $M$ annule un polynôme scindé simple $P$ et les calculs précédents montrent que $A$ annule aussi ce polynôme. Par suite, $A$ est diagonalisable. De plus, $A$ annule aussi le polynôme $X P^{'}$ de sorte que si $λ$ est valeur propre de $A$ alors $A$ est racine commune de $P$ et de $X P^{'}$ . Or $P$ n’a que des racines simples donc $P$ et $P^{'}$ n’ont pas de racines communes d’où $λ = 0$ . Résumons, $A$ est diagonalisable et $Sp (A) = {0}$ : cela donne $A = O_{n}$ .

Ainsi, $M$ est diagonalisable si, et seulement si, $A = O_{n}$ .

Exercice 4 3281

Soient $A, B \in ℳ_{n} (ℝ)$ vérifiant $A B = B A$ et $M$ la matrice de $ℳ_{2 n} (ℝ)$ donnée par

M = (\begin{matrix} A & B \\ 0 & A \end{matrix}) .

(a)

Montrer que pour tout polynôme $P$ de $ℝ [X]$ ,

$P (M) = (\begin{matrix} P (A) & P^{'} (A) B \\ 0 & P (A) \end{matrix}) .$
(b)

Énoncer une condition nécessaire et suffisante portant sur $A$ et $B$ pour que $M$ soit diagonalisable.

Exercice 5 5754 Correction

Soit $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ . On étudie la matrice par blocs

M = (\begin{matrix} A & A \\ 0 & 0 \end{matrix}) \in ℳ_{2 n} (ℝ)

(a)

Vérifier que pour tout polynôme $P \in ℝ [X]$

$P (M) = (\begin{matrix} P (A) & P (A) \\ 0 & 0 \end{matrix}) + P (0) (\begin{matrix} 0 & - I_{n} \\ 0 & I_{n} \end{matrix})$
(b)

En déduire une condition nécessaire et suffisante sur $A$ pour que $M$ soit diagonalisable.

Solution

(a)

Par récurrence, on vérifie facilement

$\forall k \in ℕ^{*}, M^{k} = (\begin{matrix} A^{k} & A^{k} \\ 0 & 0 \end{matrix})$

Pour $P \in ℝ [X]$ , on écrit $P = a_{N} X^{N} + \dots + a_{1} X + a_{0}$ avec $N \in ℕ$ et $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{N}$ et l’on constate

$P (M)$ $= a_{0} I_{2 n} + \sum_{k = 1}^{N} a_{k} (\begin{matrix} A^{k} & A^{k} \\ 0 & 0 \end{matrix})$

$= (\begin{matrix} P (A) & P (A) - a_{0} I_{n} \\ 0 & a_{0} I_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} A^{k} & A^{k} \\ 0 & 0 \end{matrix}) - a_{0} (\begin{matrix} 0 & - I_{n} \\ 0 & I_{n} \end{matrix})$

Sachant $P (0) = a_{0}$ , cette identité correspond à la formule voulue.
(b)

Supposons que la matrice $M$ soit diagonalisable. Il existe un polynôme $P$ simplement scindé sur $ℝ$ annulant $M$ . Par ce qui précède, on a alors $P (A) = 0$ et $P (0) = 0$ . En particulier, la matrice $A$ est diagonalisable.

Inversement, supposons que la matrice $A$ soit diagonalisable. On peut écrire $A = P D P^{- 1}$ avec $P \in {GL}_{n} (ℝ)$ et $D \in D_{n} (ℝ)$ .

Considérons ensuite la matrice

$Q = (\begin{matrix} P & - P \\ 0 & P \end{matrix})$

On vérifie que $Q$ est inversible d’inverse

$Q^{- 1} = (\begin{matrix} P^{- 1} & - P^{- 1} \\ 0 & P^{- 1} \end{matrix})$

Par produit par blocs,

$Q^{- 1} M Q$ $= (\begin{matrix} P^{- 1} & - P^{- 1} \\ 0 & P^{- 1} \end{matrix}) (\begin{matrix} A & A \\ 0 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} P & - P \\ 0 & P \end{matrix})$

$= (\begin{matrix} P^{- 1} & - P^{- 1} \\ 0 & P^{- 1} \end{matrix}) (\begin{matrix} A P & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} P^{- 1} A P & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} D & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})$

La matrice $M$ est donc semblable à une matrice diagonale, elle est diagonalisable.

Exercice 6 5870 Correction

Soient $A \in ℳ_{n} (𝕂)$ et la matrice par blocs

M = (\begin{matrix} A & A \\ A & A \end{matrix}) .

Montrer que $M$ est diagonalisable si, et seulement si, $A$ l’est.

Solution

Par récurrence, on vérifie

\forall k \in ℕ^{*}, M^{k} = (\begin{matrix} 2^{k - 1} A^{k} & 2^{k - 1} A^{k} \\ 2^{k - 1} A^{k} & 2^{k - 1} A^{k} \end{matrix})

de sorte que, pour tout $P \in 𝕂 [X]$ ,

P (M) = (\begin{matrix} \frac{1}{2} P (2 A) & \frac{1}{2} P (2 A) - P (0) I_{n} \\ \frac{1}{2} P (2 A) - P (0) I_{n} & \frac{1}{2} P (2 A) \end{matrix})

Si $M$ est diagonalisable, il existe $P$ polynôme simplement scindé annulant $M$ . Ce polynôme annule aussi la matrice $2 A$ et donc $2 A$ est diagonalisable. On en déduit que $A$ est diagonalisable.

Inversement, si $A$ est diagonalisable, on peut écrire $A = P D P^{- 1}$ avec $D$ diagonale et $P$ inversible. Considérons alors

Q = (\begin{matrix} P & - P \\ P & P \end{matrix}) .

La matrice $Q$ est inversible avec

Q^{- 1} = \frac{1}{2} (\begin{matrix} P^{- 1} & P^{- 1} \\ - P^{- 1} & P^{- 1} \end{matrix})

et l’on remarque

Q^{- 1} M Q = \frac{1}{2} (\begin{matrix} P^{- 1} & P^{- 1} \\ - P^{- 1} & P^{- 1} \end{matrix}) (\begin{matrix} A & A \\ A & A \end{matrix}) (\begin{matrix} P & - P \\ P & P \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 D & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) .

La matrice $M$ est donc diagonalisable.

Exercice 7 5869 Correction

Soient $A \in ℳ_{n} (ℂ)$ et la matrice par blocs

M = (\begin{matrix} 0 & I_{n} \\ A & 0 \end{matrix}) .

(a)

Exprimer le polynôme minimal de $M$ en fonction du polynôme minimal de $A$ .
(b)

À quelle condition la matrice $M$ est-elle diagonalisable?

Solution

(a)

On calcule les premières puissances de $M$ ,

$M^{2} = (\begin{matrix} A & 0 \\ 0 & A \end{matrix}), M^{3} = (\begin{matrix} 0 & A \\ A^{2} & 0 \end{matrix}), M^{4} = (\begin{matrix} A^{2} & 0 \\ 0 & A^{2} \end{matrix}), \dots$

Plus généralement, pour $p \in ℕ$ ,

$M^{2 p} = (\begin{matrix} A^{p} & 0 \\ 0 & A^{p} \end{matrix}) et M^{2 p + 1} = (\begin{matrix} 0 & A^{p} \\ A^{p + 1} & 0 \end{matrix}) .$

Pour $P \in ℂ [X]$ s’écrivant

$P = \sum_{k = 0}^{N} a_{k} X^{k}$

on a

$P (M) = (\begin{matrix} Q (A) & R (A) \\ A R (A) & Q (A) \end{matrix})$

avec

$Q = \sum_{p = 0}^{⌊ N / 2 ⌋} a_{2 p} X^{p} et R = \sum_{p = 0}^{⌊ (N - 1) / 2 ⌋} a_{2 p + 1} X^{p} .$

Pour que $P$ annule $M$ , il faut et il suffit que $Q$ et $R$ annulent $A$ , c’est-à-dire qu’ils soient tous deux multiples du polynôme minimal $π_{A}$ . Sachant $P = Q (X^{2}) + X R (X^{2})$ , les polynômes annulateurs de $M$ sont ceux multiples de $π_{A} (X^{2})$ . Le polynôme minimal de $M$ est donc $π_{M} = π_{A} (X^{2})$ .
(b)

La matrice $M$ est diagonalisable si, et seulement si, $π_{M}$ est simplement scindé.

Si $π_{A}$ possède une racine multiple, $π_{M}$ aussi.

Si $0$ est racine de $π_{A}$ , $0$ est racine au moins double de $π_{M}$ .

Pour que $π_{M}$ soit simplement scindé, il faut que $π_{A}$ soit simplement scindé et que $0$ n’en soit pas racine, c’est-à-dire que $0$ ne soit pas valeur propre de $A$ . Ainsi, pour que $M$ soit diagonalisable, il faut que $A$ soit diagonalisable et inversible.

Inversement, si $A$ est diagonalisable et inversible, $π_{A}$ est simplement scindé et $0$ n’en est pas racine. En notant $λ_{1}, \dots, λ_{m}$ les racines de $π_{A}$ ,

$π_{A} = \prod_{k = 1}^{m} (X - λ_{k}) et π_{M} = \prod_{k = 1}^{m} (X^{2} - λ_{k}) = \prod_{k = 1}^{m} (X - μ_{k}) (X + μ_{k})$

avec $μ_{k}$ une des deux racines carrées de $λ_{k}$ . Les racines de $π_{M}$ sont les $\pm μ_{1}, \dots, \pm μ_{p}$ et celles-ci sont deux à deux distinctes. Le polynôme $π_{M}$ est donc simplement scindé et on en déduit que $M$ diagonalisable.

En résumé, $M$ est diagonalisable si, et seulement si, $A$ est diagonalisable et inversible.

Exercice 8 5751 MINES (MP)Correction

Soit $A \in {GL}_{n} (ℝ)$ . Étudier la diagonalisabilité de

M = (\begin{matrix} A & A^{2} \\ A^{- 1} & I_{n} \end{matrix}) .

Solution

Pour

P = (\begin{matrix} I_{n} & 0 \\ 0 & A \end{matrix}) \in {GL}_{2 n} (ℝ) avec P^{- 1} = (\begin{matrix} I_{n} & 0 \\ 0 & A^{- 1} \end{matrix})

on obtient

P M P^{- 1} = (\begin{matrix} A & A \\ I_{n} & I_{n} \end{matrix}) .

Pour

Q = (\begin{matrix} I_{n} & I_{n} \\ 0 & I_{n} \end{matrix}) \in {GL}_{2 n} (ℝ) avec Q^{- 1} = (\begin{matrix} I_{n} & - I_{n} \\ 0 & I_{n} \end{matrix})

on obtient

N = (Q P) M {(Q P)}^{- 1} = (\begin{matrix} A + I_{n} & 0 \\ I_{n} & 0 \end{matrix}) .

Par similitude, la matrice $M$ est diagonalisable si, et seulement si, $N$ l’est. Étudions alors la diagonalisabilité de

N = (\begin{matrix} B & 0 \\ I_{n} & 0 \end{matrix}) avec B = A + I_{n} .

Par récurrence, on vérifie

\forall k \in ℕ^{*}, N^{k} = (\begin{matrix} B^{k} & 0 \\ B^{k - 1} & 0 \end{matrix}) .

On obtient donc

\forall P \in ℝ [X], P (N) = (\begin{matrix} P (B) & 0 \\ P^{*} (B) & P (0) I_{n} \end{matrix}) avec P^{*} (X) = \frac{P (X) - P (0)}{X} .

Si $N$ est diagonalisable, il existe un polynôme $P \in ℝ [X]$ simplement scindé pour lequel $P (N) = 0$ ce qui donne

P (B) = P^{*} (B) = 0 et P (0) = 0 .

Le polynôme $P$ étant simplement scindé et $0$ en étant racine. Le polynôme $P^{*}$ est lui aussi simplement scindé et $0$ n’en est pas racine. On en déduit que $B$ est diagonalisable et $0$ n’est pas valeur de $B$ . En d’autres termes, $A = B - I_{n}$ est diagonalisable et $- 1$ n’est pas valeur propre de $A$ .

Inversement, supposons que $A$ soit diagonalisable et que $- 1$ n’en soit pas valeur propre. La matrice $B = A + I_{n}$ est alors diagonalisable et $0$ n’est pas valeur propre de $B$ . On peut introduire $Q \in ℝ [X]$ polynôme annulateur de $B$ , simplement scindé et dont $0$ n’est pas valeur propre. Le polynôme $P = X Q \in ℝ [X]$ est alors simplement scindé et annule $N$ . La matrice $N$ est donc diagonalisable.

Pour conclure, $M$ est diagonalisable si, et seulement si, $A$ l’est et $- 1 \notin Sp (A)$ .

[<] Diagonalisabilité des matrices scindées simples [>] Étude d'endomorphismes vérifiant une identité polynomiale

Édité le 23-02-2024

	$P (M)$	$= a_{0} I_{2 n} + \sum_{k = 1}^{N} a_{k} (\begin{matrix} A^{k} & A^{k} \\ 0 & 0 \end{matrix})$
		$= (\begin{matrix} P (A) & P (A) - a_{0} I_{n} \\ 0 & a_{0} I_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} A^{k} & A^{k} \\ 0 & 0 \end{matrix}) - a_{0} (\begin{matrix} 0 & - I_{n} \\ 0 & I_{n} \end{matrix})$

	$Q^{- 1} M Q$	$= (\begin{matrix} P^{- 1} & - P^{- 1} \\ 0 & P^{- 1} \end{matrix}) (\begin{matrix} A & A \\ 0 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} P & - P \\ 0 & P \end{matrix})$
		$= (\begin{matrix} P^{- 1} & - P^{- 1} \\ 0 & P^{- 1} \end{matrix}) (\begin{matrix} A P & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} P^{- 1} A P & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} D & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})$

Diagonalisabilité de matrices par blocs