• (a)

  Pour

  $$A=\left(\begin{array}{cc}\hfill 0\hfill & \hfill -1\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill \end{array}\right)\mathit{\hspace{1em}}\text{et}\mathit{\hspace{1em}}B=\left(\begin{array}{ccc}\hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill \end{array}\right)$$

  on vérifie $A^4={\mathrm{I}}_2$ et $B^3={\mathrm{I}}_3$. On en déduit $M^{12}={\mathrm{I}}_5$.
  Puisque $M$ annule le polynôme $X^{12}-1$ scindé simple sur $ℂ[X]$, la matrice $M$ est diagonalisable dans ${ℳ}_5(ℂ)$.

• (b)

  Posons $x=(\mathrm{1,0,1,0,0})$, on a $m(x)=(\mathrm{0,1,0,1,0})$, $m^2(x)=(-\mathrm{1,0,0,0,1})$, $m^3(x)=(0,-\mathrm{1,1,0,0})$ et $m^4(x)=(\mathrm{1,0,0,1,0})$. On vérifie aisément que la famille correspondante est une base de ${ℝ}^5$ en observant,par exemple, qu’elle est génératrice.

  Puisque $m^5(x)=(\mathrm{0,1,0,0,1})$, matrice de $m$ dans cette nouvelle base est

  $$\left(\begin{array}{ccccc}\hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill -1\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill \end{array}\right)\text{.}$$

• (a)

  $A^2=-{\mathrm{I}}_{2n}$.

• (b)

  On observe que $X^2+1$ est annulateur de $A$.

  Cas: $𝕂=ℂ$. La matrice $A$ est diagonalisable car annule le polynôme

  $$X^2+1=(X-\mathrm{i})(X+\mathrm{i})$$

  qui est scindé à racines simples. Cas: $𝕂=ℝ$. La matrice $A$ n’est pas diagonalisable car sans valeurs propres. En effet, une valeur propre (réelle) de $A$ doit être annulée par le polynôme $X^2+1$.

• (c)

  Puisque les valeurs propres de $A$ figurent parmi les racines de $X^2+1$, elles ne peuvent que $\mathrm{i}$ et $-\mathrm{i}$. Puisqu’une matrice admet au moins une valeur propre complexe, au moins l’un de $\mathrm{i}$ ou de $-\mathrm{i}$ est valeur propre. Aussi, puisque la matrice $A$ est réelle, $\mathrm{i}$ est valeur propre de $A$ si, et seulement si, $-\mathrm{i}$ l’est aussi. Enfin les dimensions de sous-espaces propres associés étant égales, on conclut

  $$\mathrm{Sp}(A)=\{\mathrm{i},-\mathrm{i}\}\mathit{\hspace{1em}}\text{et}\mathit{\hspace{1em}}dim{E}_{\mathrm{i}}(A)=dim{E}_{-\mathrm{i}}(A)=n\text{.}$$

Soient $P\in M_n(𝕂)$ une matrice de permutation et $\sigma$ la permutation associée. Il existe $q\in {\mathbb{N}}^{*}$ tel que ${\sigma }^q=\mathrm{Id}$ et donc $P^q={\mathrm{I}}_n$. La matrice $P$ annule alors $X^q-1$ qui est scindé à racines simples donc $P$ est diagonalisable.

On a

$${(M^2-2{\mathrm{I}}_n)}^2={({}^{t}M)}^2={}^t(M^2)=2{\mathrm{I}}_n-M\text{.}$$

On en déduit le polynôme annulateur de $M$ suivant

$$X^4-4X^2+X+2$$

qui se factorise

$$X^4-4X^2+X+2=(X-1)(X+2)(X-\alpha )(X-\beta )$$

avec

$$\alpha =\frac{1+\sqrt{5}}{2}\text{ et }\beta =\frac{1-\sqrt{5}}{2}\text{.}$$

Puisque la matrice $M$ annule un polynôme réel scindé à racines simples, cette matrice est diagonalisable.

• (a)

  Si $M$ n’est pas inversible, il existe une colonne $X$ non nulle telle que $MX=0$ et alors l’identité de l’énoncé donne ${}^{t}MX=X$ donc $1\in \mathrm{Sp}({}^{t}M)=\mathrm{Sp}(M)$.
  Inversement, si $1\in \mathrm{Sp}(M)$ alors il existe une colonne $X$ non nulle telle que $MX=X$ et alors l’identité de l’énoncé donne ${}^{t}MX=0$ et donc ${}^{t}M$ n’est pas inversible. Or $\det ({}^{t}M)=\det (M)$ donc $M$ n’est pas inversible non plus.

• (b)

  La relation donnée entraîne

  $${\left({}^{t}M\right)}^2={\left({\mathrm{I}}_n-M^2\right)}^2=M^4-2M^2+{\mathrm{I}}_n\text{.}$$

  Or

  $${\left({}^{t}M\right)}^2={}^t\left(M^2\right)={\mathrm{I}}_n-M$$

  donc

  $$M^4-2M^2+{\mathrm{I}}_n={\mathrm{I}}_n-M$$

  et donc la matrice $M$ est annulé par le polynôme

  $$P(X)=X^4-2X^2+X=X(X-1)(X^2+X-1)\text{.}$$

  C’est un polynôme scindé à racines simples donc la matrice $M$ est diagonalisable.

• (a)

  On obtient $N^2=sN$ avec $s=a_1+\mathrm{\cdots }+a_n$.

  Puisque $s>0$, $N$ annule un polynôme scindé simple et est donc diagonalisable.

• (b)

  $-1/2$ n’est pas valeur propre de $N$ car n’est pas racine du polynôme annulateur $X^2-sX$ et donc $M$ est inversible. En recherchant $M^{-1}$ de la forme $xM+y{\mathrm{I}}_n$, on obtient

  $$M^{-1}={\mathrm{I}}_n-\frac{2}{2+s}N\text{.}$$

Posons $M=X{}^{t}Y$. On a $M^2=X({}^{t}YX){}^{t}Y$. Or $\alpha ={}^{t}YX$ est un scalaire donc $M^2=\alpha X{}^{t}Y=\alpha M$.

Cas: $\alpha \ne 0$. La matrice $M$ annule le polynôme scindé simple $X(X-\alpha )$ et donc $M$ est diagonalisable.

Cas: $\alpha =0$. La matrice $M$ annule le polynôme $X^2$ et donc $0$ est la seule valeur propre possible. Si $M$ est diagonalisable alors $M$ est semblable à la matrice nulle et donc $M={\mathrm{O}}_n$. Cela est exclu car on suppose les colonnes $X$ et $Y$ non nulles.

Au final, $M$ est diagonalisable si, et seulement si, $\alpha \ne 0$.

Notons que $\alpha =\mathrm{tr}({}^{t}YX)=\mathrm{tr}(X{}^{t}Y)=\mathrm{tr}(M)$ et que $M$ est une matrice de rang $1$. On peut montrer qu’une matrice de rang $1$ est diagonalisable si, et seulement si, sa trace est non nulle.

En posant $M={(a_i{a}_j)}_{1\le i,j\le n}$, on vérifie $M^2=\lambda M$ avec $\lambda ={\sum }_{k=1}^n{a}_k^2$.

Cas: $\lambda \ne 0$. La matrice $M$ annule un polynôme scindé simple, elle est donc diagonalisable.

Cas: $\lambda =0$. On a $M^2={\mathrm{O}}_n$ et donc $M$ est diagonalisable si, et seulement si, $M={\mathrm{O}}_n$ ce qui revient à $(a_1,\mathrm{\dots },a_n)=0$.

Notons que la matrice $M$ est symétrique mais pas nécessairement réelle, le théorème spectral ne s’applique pas. Notons aussi que la matrice $M$ est de rang $1$ et qu’il est classique d’établir que les matrices de rang $1$ sont diagonalisables si, et seulement si, de trace non nulle.

• (a)

  On vérifie par le biais des relations proposées

  $$M^2-(\lambda +\mu )M+\lambda \mu {\mathrm{I}}_p={\mathrm{O}}_p\text{.}$$

  On en déduit

  $$M\left(\frac{\lambda +\mu }{\lambda \mu }{\mathrm{I}}_p-\frac{1}{\lambda \mu }M\right)={\mathrm{I}}_p\text{.}$$

  Par le théorème d’inversibilité, $M$ est inversible et

  $$M^{-1}=\frac{\lambda +\mu }{\lambda \mu }{\mathrm{I}}_p-\frac{1}{\lambda \mu }M\text{.}$$

• (b)

  $M-\mu {\mathrm{I}}_p=(\lambda -\mu )A$ et $M-\lambda {\mathrm{I}}_p=(\mu -\lambda )B$.
  Or

  $$(M-\mu {\mathrm{I}}_p)(M-\lambda {\mathrm{I}}_p)=M^2-(\lambda +\mu )M+\lambda \mu {\mathrm{I}}_p={\mathrm{O}}_p$$

  donc ${(\lambda -\mu )}^{2}AB={\mathrm{O}}_p$ puis $AB={\mathrm{O}}_p$ car $\lambda \ne \mu$.
  Puisque $A=A\times {\mathrm{I}}_p=A^2+AB=A^2$, $A$ est un projecteur.
  Il en est de même pour $B$.

• (c)

  $M$ annule le polynôme scindé simple

  $$X^2-(\lambda +\mu )X+\lambda \mu =(X-\lambda )(X-\mu )\text{.}$$

  La matrice $M$ est donc diagonalisable et $\mathrm{Sp}(M)\subset \{\lambda ,\mu \}$.
  Il se peut que cette inclusion soit stricte, c’est le cas si $M=\lambda {\mathrm{I}}_p$ avec $A={\mathrm{I}}_p$ et $B={\mathrm{O}}_p$.

  En tout cas, le spectre n’est pas vide car $M$ est diagonalisable.

On remarque

$$C^3-C^2=3A+3B=3C\text{.}$$

La matrice $C$ annule donc le polynôme

$$X^3-X^2-3X\text{.}$$

On vérifie aisément que ce polynôme est scindé à racines simples et l’on peut donc affirmer que $C$ est diagonalisable. Or

$$A=C^3-2C^2\mathit{\hspace{1em}}\text{et}\mathit{\hspace{1em}}B=C+2C^2-C^3$$

donc $A$ et $B$ sont diagonalisables.

• (a)

  Par récurrence

  $$M^k=\left(\begin{array}{cc}\hfill A^k\hfill & \hfill k{A}^k\hfill \\ \hfill (0)\hfill & \hfill A^k\hfill \end{array}\right)$$

  puis on étend par linéarité.

• (b)

  Si $M$ est diagonalisable alors $M$ annule un polynôme scindé simple $P$ et les calculs précédents montrent que $A$ annule aussi ce polynôme. Par suite, $A$ est diagonalisable. De plus, $A$ annule aussi le polynôme $X{P}^{\prime }$ de sorte que si $\lambda$ est valeur propre de $A$ alors $A$ est racine commune de $P$ et de $X{P}^{\prime }$. Or $P$ n’a que des racines simples donc $P$ et $P^{\prime }$ n’ont pas de racines communes d’où $\lambda =0$. $A$ est diagonalisable et $\mathrm{Sp}(A)=\{0\}$ donne $A={\mathrm{O}}_n$.

  Ainsi, $M$ est diagonalisable si, et seulement si, $A={\mathrm{O}}_n$.

• (a)

  Par récurrence, on obtient

  $$\forall k\in {\mathbb{N}}^{*},A^{k}B-B{A}^k=k{A}^{k-1}C\text{.}$$

  On en déduit

  $$\forall P\in 𝕂[X],P(A)B-BP(A)=P^{\prime }(A)C\text{.}$$

  Si la matrice $A$ est diagonalisable, elle annule un polynôme scindé à racine simple $P$ et donc

  $$P^{\prime }(A)C=0\text{.}$$

  Puisque les racines de $P$ sont simples, les valeurs propres de $A$ ne sont pas racines de $P^{\prime }$ et une diagonalisation de $A$ permet d’affirmer

  $$\det \left(P^{\prime }(A)\right)\ne 0\text{.}$$

  Puisque la matrice $P^{\prime }(A)$ est inversible, l’identité $P^{\prime }(A)C=0$ donne $C=0$.

• (b)

  Supposons $C$ diagonalisable.

  Notons $a,b,c$ les endomorphismes de ${ℝ}^n$ canoniquement associés aux matrices $A,B,C$. Soit $\lambda$ une valeur propre de $C$. Le sous-espace propre $E_{\lambda }(c)$ est stable par les endomorphismes $a$ et $b$ car la matrice $C$ commute avec $A$ et $B$. Notons $a_{\lambda }$ et $b_{\lambda }$ les endomorphismes induits associés. On a

  $$a_{\lambda }\circ b_{\lambda }-b_{\lambda }\circ a_{\lambda }=\lambda {\mathrm{Id}}_{E_{\lambda }(c)}\text{.}$$

  En considérant la trace, on obtient

  $$\lambda dim{E}_{\lambda }(c)=0\text{.}$$

  On en déduit que seule $0$ est valeur propre de $C$ et donc la matrice diagonalisable $C$ est nulle.

Posons $B=A-A^{-1}$.

$(⟹)$ C’est immédiat, une matrice $P\in {\mathrm{GL}}_n(ℝ)$ diagonalisant $A$ diagonalise aussi $B$.

$(⟸)$ Supposons $B$ diagonalisable. Le polynôme minimal de $B$ s’écrit

$$Q=\prod _{\lambda \in \mathrm{Sp}(B)}(X-\lambda )\text{.}$$

L’égalité $Q(B)={\mathrm{O}}_n$ se relit alors

$$\prod _{\lambda \in \mathrm{Sp}(B)}(A-A^{-1}-\lambda {\mathrm{I}}_n)={\mathrm{O}}_n\text{.}$$

En multipliant par $A^p$ avec $p=\mathrm{Card}\left(\mathrm{Sp}(B)\right)$, on obtient

$$\prod _{\lambda \in \mathrm{Sp}(B)}(A^2-\lambda A-{\mathrm{I}}_n)={\mathrm{O}}_n\text{.}$$

Cela détermine un polynôme annulateur de $A$ qui est

$$P=\prod _{\lambda \in \mathrm{Sp}(B)}(X^2-\lambda X-1)\text{.}$$

Celui-ci est scindé car les facteurs $X^2-\lambda X-1$ le sont tous puisque $\mathrm{\Delta }={\lambda }^2+4>0$. Celui-ci est à racines simples car les facteurs $X^2-\lambda X-1$ n’ont pas de racines en commun. En effet, par différence d’équations,

	$\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill x^2-\lambda x-1& =0\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill x^2-\mu x-1& =0\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$	$⟹\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill x\ne 0& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill (\mu -\lambda )x=0& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$
		$⟹\lambda =\mu \text{.}$

On en déduit que la matrice $A$ est diagonalisable.