Exercice 1 3425 Correction

Soient

M = (\begin{matrix} 0 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}) \in ℳ_{5} (ℝ)

et $m \in ℒ (ℝ^{5})$ canoniquement associé à $M$ .

(a)

En procédant à un calcul par bloc, déterminer $p \in ℕ^{*}$ tel que $M^{p} = I_{5}$ .
En déduire que $M$ est diagonalisable dans $ℳ_{5} (ℂ)$ .
(b)

Déterminer un vecteur $x \in ℝ^{5}$ tel que $x, m (x), m^{2} (x), m^{3} (x)$ et $m^{4} (x)$ forme une base de $ℝ^{5}$ .
Quelle est la matrice de $m$ dans cette base?

Solution

(a)

Pour

$A = (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) et B = (\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix})$

on vérifie $A^{4} = I_{2}$ et $B^{3} = I_{3}$ . On en déduit $M^{12} = I_{5}$ .
Puisque $M$ annule le polynôme $X^{12} - 1$ scindé simple sur $ℂ [X]$ , la matrice $M$ est diagonalisable dans $ℳ_{5} (ℂ)$ .
(b)

Posons $x = (1,0,1,0,0)$ , on a $m (x) = (0,1,0,1,0)$ , $m^{2} (x) = (- 1,0,0,0,1)$ , $m^{3} (x) = (0, - 1,1,0,0)$ et $m^{4} (x) = (1,0,0,1,0)$ . On vérifie aisément que la famille correspondante est une base de $ℝ^{5}$ en observant,par exemple, qu’elle est génératrice.

Puisque $m^{5} (x) = (0,1,0,0,1)$ , matrice de $m$ dans cette nouvelle base est

$(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}) .$

Exercice 2 846 Correction

Montrer qu’une matrice de permutation est diagonalisable.

Solution

Soient $P \in M_{n} (𝕂)$ une matrice de permutation et $σ$ la permutation associée. Il existe $q \in ℕ^{*}$ tel que $σ^{q} = Id$ et donc $P^{q} = I_{n}$ . La matrice $P$ annule alors $X^{q} - 1$ qui est scindé à racines simples donc $P$ est diagonalisable.

Exercice 3 2998 CCINP (MP)Correction

Soit $A \in ℳ_{n} (ℂ)$ telle que $A^{n} = I_{n}$ et $(I_{n}, A, \dots, A^{n - 1})$ est une famille libre.

(a)

Justifier que $A$ est diagonalisable.
(b)

Montrer que la trace de $A$ est nulle.
(c)

Que vaut le déterminant de $A$ ?

Solution

(a)

Le polynôme $X^{n} - 1$ est annulateur de $A$ donc le polynôme minimal $Π_{A}$ le divise. Or la famille $(I_{n}, A, \dots, A^{n - 1})$ est libre et le polynôme minimal est donc de degré au moins égal à $n$ . On en déduit $Π_{A} = X^{n} - 1$ . Ce polynôme est scindé sur $ℂ$ à racines simples, la matrice $A$ est diagonalisable.
(b)

Le polynôme $Π_{A}$ est de degré $n$ et le polynôme caractéristique de $A$ aussi car la matrice $A$ est de taille $n$ . On en déduit $χ_{A} = Π_{A}$ . Or on sait

$χ_{A} = X^{n} - tr (A) X^{n - 1} + \dots + {(- 1)}^{n} \det (A) .$

On en déduit $tr (A) = 0$ .
(c)

Par la formule ci-dessus, $\det (A) = {(- 1)}^{n - 1}$ .

Exercice 4 479 ENSTIM (MP)

Soit $A$ la matrice réelle donnée par

A = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) .

(a)

Déterminer un polynôme annulateur non trivial de la matrice $A$ .

On étudie l’équation $M^{2} - M = A$ d’inconnue $M \in ℳ_{2} (ℝ)$ .

(b)

Justifier que les solutions de cette équation sont diagonalisables et déterminer les valeurs propres possibles de celles-ci.
(c)

Déterminer les matrices $M$ solutions en s’aidant d’un polynôme annulateur.

Exercice 5 4318

Soit $M \in ℳ_{n} (ℝ)$ vérifiant $M^{2} - M^{⊤} = I_{n}$ .

Montrer que $M$ est diagonalisable.

Exercice 6 3469 Correction

Soit $M \in ℳ_{n} (ℝ)$ vérifiant $M^{2} + M^{⊤} = 2 I_{n}$ .

Montrer que la matrice $M$ est diagonalisable.

Solution

On a

{(M^{2} - 2 I_{n})}^{2} = {(M^{⊤})}^{2} = {(M^{2})}^{⊤} = 2 I_{n} - M .

On en déduit que le polynôme suivant est annulateur de $M$ :

X^{4} - 4 X^{2} + X + 2

Or ce polynôme se factorise

X^{4} - 4 X^{2} + X + 2 = (X - 1) (X + 2) (X - α) (X - β)

avec

α = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} et β = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} .

Puisque la matrice $M$ annule un polynôme réel simplement scindé, elle est diagonalisable dans $ℳ_{n} (ℝ)$ .

Exercice 7 3645 CENTRALE (PSI)Correction

Soit $M \in ℳ_{n} (ℂ)$ telle que

M^{2} + M^{⊤} = I_{n} .

(a)

Montrer

$M inversible si, et seulement si, 1 \notin Sp (M) .$
(b)

Montrer que la matrice $M$ est diagonalisable.

Solution

(a)

Si $M$ n’est pas inversible, il existe une colonne $X$ non nulle telle que $M X = 0$ et alors l’identité de l’énoncé donne $M^{⊤} X = X$ donc $1 \in Sp (M^{⊤}) = Sp (M)$ .
Inversement, si $1 \in Sp (M)$ alors il existe une colonne $X$ non nulle telle que $M X = X$ et alors l’identité de l’énoncé donne $M^{⊤} X = 0$ et donc $M^{⊤}$ n’est pas inversible. Or $\det (M^{⊤}) = \det (M)$ donc $M$ n’est pas inversible non plus.
(b)

La relation donnée entraîne

${(M^{⊤})}^{2} = {(I_{n} - M^{2})}^{2} = M^{4} - 2 M^{2} + I_{n} .$

Or

${(M^{⊤})}^{2} = {(M^{2})}^{⊤} = I_{n} - M$

donc

$M^{4} - 2 M^{2} + I_{n} = I_{n} - M$

et donc la matrice $M$ est annulé par le polynôme

$P (X) = X^{4} - 2 X^{2} + X = X (X - 1) (X^{2} + X - 1) .$

C’est un polynôme scindé à racines simples donc la matrice $M$ est diagonalisable.

Exercice 8 2595 CCINP (PSI)Correction

Soient $(a_{1}, \dots, a_{n}) \in {(ℝ_{+}^{*})}^{n}$ et

N = (\begin{matrix} a_{1} & a_{1} & \dots & a_{1} \\ a_{2} & a_{2} & \dots & a_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n} & a_{n} & \dots & a_{n} \end{matrix}) .

(a)

Calculer $N^{2}$ , la matrice $N$ est-elle diagonalisable?
(b)

Montrer que $M = 2 N + I_{n}$ est inversible et exprimer $M^{- 1}$ .

Solution

(a)

On obtient $N^{2} = s N$ avec $s = a_{1} + \dots + a_{n}$ .

Puisque $s > 0$ , $N$ annule un polynôme scindé simple et est donc diagonalisable.
(b)

$- 1 / 2$ n’est pas valeur propre de $N$ car n’est pas racine du polynôme annulateur $X^{2} - s X$ et donc $M$ est inversible. En recherchant $M^{- 1}$ de la forme $x M + y I_{n}$ , on obtient

$M^{- 1} = I_{n} - \frac{2}{2 + s} N .$

Exercice 9 794 Correction

Soient $X, Y \in ℳ_{n,1} (𝕂)$ non nuls.

À quelle condition la matrice $X Y^{⊤}$ est-elle diagonalisable?

Solution

Posons $M = X Y^{⊤}$ . On a $M^{2} = X (Y^{⊤} X) Y^{⊤}$ . Or $α = Y^{⊤} X$ est un scalaire donc $M^{2} = α X Y^{⊤} = α M$ .

Cas: $α \neq 0$ . La matrice $M$ annule le polynôme scindé simple $X (X - α)$ et donc $M$ est diagonalisable.

Cas: $α = 0$ . La matrice $M$ annule le polynôme $X^{2}$ et donc $0$ est la seule valeur propre possible. Si $M$ est diagonalisable alors $M$ est semblable à la matrice nulle et donc $M = O_{n}$ . Cela est exclu car on suppose les colonnes $X$ et $Y$ non nulles.

Au final, $M$ est diagonalisable si, et seulement si, $α \neq 0$ .

Notons que $α = tr (Y^{⊤} X) = tr (X Y^{⊤}) = tr (M)$ et que $M$ est une matrice de rang $1$ . On peut montrer qu’une matrice de rang $1$ est diagonalisable si, et seulement si, sa trace est non nulle.

Exercice 10 5635 Correction

Soit $A \in ℳ_{m} (ℂ)$ vérifiant $A^{n + 1} - (n + 1) A = I_{m}$ (avec $n \in ℕ^{*}$ ).

Montrer que $A$ est diagonalisable.

Solution

Le polynôme $P = X^{n + 1} - (n + 1) X - 1$ est annulateur de $A$ . Ce polynôme est assurément scindé sur $ℂ$ . Vérifions que toutes ses racines sont simples.

Les racines multiples de $P$ sont les racines communes à $P$ et $P^{'}$ . On ne peut pas déterminer les racines de $P$ mais celles de $P^{'} = (n + 1) (X^{n} - 1)$ sont les racines $n$ -ième de l’unité. Si $ω$ est une racine $n$ -ième de l’unité alors

P (ω) = ω^{n + 1} - (n + 1) ω - 1 = ω - (n + 1) ω - 1 = - (n ω + 1) .

Puisque $ω$ est de module $1$ , l’équation $n ω + 1 = 0$ ne peut avoir une solution de module $1$ que pour $n = 1$ . Dans ce cas, cette solution est $ω = - 1$ mais celle-ci n’est pas racine $1$ -ième de l’unité. Au final, les racines de $P^{'}$ ne sont pas racines de $P$ . Le polynôme annulateur $P$ est donc scindé à racines simples et, par conséquent, la matrice $A$ est diagonalisable.

Exercice 11 2702 MINES (MP)Correction

Soit $(a_{1}, \dots, a_{n}) \in ℂ^{n}$ . La matrice ${(a_{i} a_{j})}_{1 \leq i, j \leq n}$ est-elle diagonalisable?

Solution

En posant $M = {(a_{i} a_{j})}_{1 \leq i, j \leq n}$ , on vérifie $M^{2} = λ M$ avec $λ = \sum_{k = 1}^{n} a_{k}^{2}$ .

Cas: $λ \neq 0$ . La matrice $M$ annule un polynôme scindé simple, elle est donc diagonalisable.

Cas: $λ = 0$ . On a $M^{2} = O_{n}$ et donc $M$ est diagonalisable si, et seulement si, $M = O_{n}$ ce qui revient à $(a_{1}, \dots, a_{n}) = 0$ .

Notons que la matrice $M$ est symétrique mais pas nécessairement réelle, le théorème spectral ne s’applique pas. Notons aussi que la matrice $M$ est de rang $1$ et qu’il est classique d’établir que les matrices de rang $1$ sont diagonalisables si, et seulement si, de trace non nulle.

Exercice 12 3056 CCINP (MP)Correction

Soient $λ, μ \in ℂ^{*}$ , $λ \neq μ$ et $A, B, M \in ℳ_{n} (ℂ)$ telles que

{\begin{matrix} I_{n} & = A + B \\ M & = λ A + μ B \\ M^{2} & = λ^{2} A + μ^{2} B . \end{matrix}

(a)

Montrer que $M$ est inversible et exprimer $M^{- 1}$ .

On pourra calculer $M^{2} - (λ + μ) M + λ μ I_{n}$ .
(b)

Montrer que $A$ et $B$ sont des projecteurs.
(c)

La matrice $M$ est-elle diagonalisable? Préciser ses valeurs propres.

Solution

(a)

Par le biais des relations proposées,

$M^{2} - (λ + μ) M + λ μ I_{n}$ $= λ^{2} A + μ^{2} B - (λ + μ) (λ A + μ B) + λ μ (A + B)$

$= (λ^{2} - λ^{2} - λ μ + λ μ) A + (μ^{2} - λ μ - μ^{2} + λ μ) B = O_{n} .$

On en déduit

$M^{2} - (λ + μ) M = - λ μ I_{n}$

puis

$M ((λ + μ) I_{n} - M) = λ μ I_{n}$

et enfin

$M (\frac{λ + μ}{λ μ} I_{n} - \frac{1}{λ μ} M) = I_{n} .$

Par le théorème d’inversibilité des matrices, on peut affirmer que $M$ est inversible et

$M^{- 1} = \frac{λ + μ}{λ μ} I_{n} - \frac{1}{λ μ} M .$
(b)

On observe

$M - μ I_{n} = (λ - μ) A et M - λ I_{n} = (μ - λ) B .$

Or

$(M - μ I_{n}) (M - λ I_{n}) = M^{2} - (λ + μ) M + λ μ I_{n} = O_{n}$

donc ${(λ - μ)}^{2} A B = O_{n}$ puis $A B = O_{n}$ car $λ \neq μ$ .

Puisque $A = A \times I_{n} = A^{2} + A B = A^{2}$ , $A$ est un projecteur.
Il en est de même pour $B$ .
(c)

$M$ annule le polynôme scindé simple

$X^{2} - (λ + μ) X + λ μ = (X - λ) (X - μ) .$

La matrice $M$ est donc diagonalisable et $Sp (M) \subset {λ, μ}$ .
Il se peut que cette inclusion soit stricte, c’est le cas si $M = λ I_{n}$ avec $A = I_{n}$ et $B = O_{n}$ .

En tout cas, le spectre n’est pas vide car $M$ est diagonalisable.

Exercice 13 708 MINES (PC)Correction

Soit $(A, B, C) \in ℳ_{n} {(ℝ)}^{3}$ tel que

C = A + B, C^{2} = 2 A + 3 B et C^{3} = 5 A + 6 B .

Les matrices $A$ et $B$ sont-elles diagonalisables?

Solution

On remarque

C^{3} - C^{2} = 3 A + 3 B = 3 C .

La matrice $C$ annule donc le polynôme

X^{3} - X^{2} - 3 X .

On vérifie aisément que ce polynôme est scindé à racines simples et l’on peut donc affirmer que $C$ est diagonalisable. Or

A = C^{3} - 2 C^{2} et B = C + 2 C^{2} - C^{3}

donc $A$ et $B$ sont diagonalisables.

Exercice 14 3374 Correction

Soient $A, B, C \in ℳ_{n} (ℝ)$ vérifiant

A B - B A = C .

On suppose en outre que $C$ commute avec les matrices $A$ et $B$ .

(a)

On suppose que $A$ et diagonalisable. Montrer que la matrice $C$ est nulle.
(b)

On suppose que la matrice $C$ est diagonalisable. Montrer à nouveau que la matrice $C$ est nulle.

Solution

(a)

Par récurrence, on obtient

$\forall k \in ℕ^{*}, A^{k} B - B A^{k} = k A^{k - 1} C .$

On en déduit

$\forall P \in 𝕂 [X], P (A) B - B P (A) = P^{'} (A) C .$

Si la matrice $A$ est diagonalisable, elle annule un polynôme scindé à racine simple $P$ et donc

$P^{'} (A) C = 0 .$

Puisque les racines de $P$ sont simples, les valeurs propres de $A$ ne sont pas racines de $P^{'}$ et une diagonalisation de $A$ permet d’affirmer

$\det (P^{'} (A)) \neq 0 .$

Puisque la matrice $P^{'} (A)$ est inversible, l’identité $P^{'} (A) C = 0$ donne $C = 0$ .
(b)

Supposons $C$ diagonalisable.

Notons $a, b, c$ les endomorphismes de $ℝ^{n}$ canoniquement associés aux matrices $A, B, C$ . Soit $λ$ une valeur propre de $C$ . Le sous-espace propre $E_{λ} (c)$ est stable par les endomorphismes $a$ et $b$ car la matrice $C$ commute avec $A$ et $B$ . Notons $a_{λ}$ et $b_{λ}$ les endomorphismes induits associés. On a

$a_{λ} \circ b_{λ} - b_{λ} \circ a_{λ} = λ {Id}_{E_{λ} (c)} .$

En considérant la trace, on obtient

$λ dim E_{λ} (c) = 0 .$

On en déduit que seule $0$ est valeur propre de $C$ et donc la matrice diagonalisable $C$ est nulle.

Exercice 15 5374 NAVALE (MP)Correction

Soit $A \in {GL}_{n} (ℝ)$ . Montrer

A est diagonalisable \Leftrightarrow A - A^{- 1} est diagonalisable.

Solution

Posons $B = A - A^{- 1}$ .

$(⟹)$ C’est immédiat, une matrice $P \in {GL}_{n} (ℝ)$ diagonalisant $A$ diagonalise aussi $B$ .

$(⟸)$ Supposons $B$ diagonalisable. Le polynôme minimal de $B$ s’écrit

Q = \prod_{λ \in Sp (B)} (X - λ) .

L’égalité $Q (B) = O_{n}$ se relit alors

\prod_{λ \in Sp (B)} (A - A^{- 1} - λ I_{n}) = O_{n} .

En multipliant par $A^{p}$ avec $p = Card (Sp (B))$ , on obtient

\prod_{λ \in Sp (B)} (A^{2} - λ A - I_{n}) = O_{n} .

Cela détermine un polynôme annulateur de $A$ qui est

P = \prod_{λ \in Sp (B)} (X^{2} - λ X - 1) .

Celui-ci est scindé car les facteurs $X^{2} - λ X - 1$ le sont tous puisque $Δ = λ^{2} + 4 > 0$ . Celui-ci est à racines simples car les facteurs $X^{2} - λ X - 1$ n’ont pas de racines en commun. En effet, par différence d’équations,

	${\begin{matrix} x^{2} - λ x - 1 & = 0 \\ x^{2} - μ x - 1 & = 0 \end{matrix}$	$⟹ {\begin{matrix} x \neq 0 \\ (μ - λ) x = 0 \end{matrix}$
		$⟹ λ = μ .$

On en déduit que la matrice $A$ est diagonalisable.

Exercice 16 5867 Correction

On appelle classe de similitude d’une matrice $A \in ℳ_{n} (ℂ)$ l’ensemble des matrices semblables à $A$ .

(a)

On suppose que $A \in ℳ_{n} (ℂ)$ est diagonalisable.

Montrer que $B \in ℳ_{n} (ℂ)$ est semblable à $A$ si, et seulement si,

$χ_{A} = χ_{B} et π_{A} (B) = O_{n} .$
(b)

En déduire que la classe de similitude d’une matrice diagonalisable est une partie fermée.

Inversement, on suppose que la classe de similitude d’une matrice $A \in ℳ_{n} (ℂ)$ est une partie fermée.

(c)

Montrer que cette classe de similitude contient au moins une matrice triangulaire supérieure $T$ .
(d)

Pour $k \in ℕ^{*}$ . On introduit la matrice diagonale $D_{k} = diag (k, k^{2}, \dots, k^{n})$ . Calculer $D_{k} T D_{k}^{- 1}$ .
(e)

Établir que $A$ est diagonalisable.

Solution

(a)

Si $B$ est semblable à $A$ alors $A$ et $B$ ont le même polynôme caractéristique et le même polynôme minimal. On a donc $χ_{A} = χ_{B}$ et aussi $π_{A} (B) = π_{B} (B) = O_{n}$ .

Inversement, si $π_{A} (B) = O_{n}$ alors $B$ est diagonalisable. En effet, $π_{A}$ est simplement scindé puisqu’on suppose $A$ est diagonalisable. Si de plus $χ_{A} = χ_{B}$ alors $A$ et $B$ ont les mêmes valeurs propres comptées avec multiplicité. Les matrices $A$ et $B$ sont donc diagonalisables semblables à une même matrice diagonale, elles sont semblables entre elles.
(b)

L’application $χ : M \mapsto χ_{M}$ de $ℳ_{n} (ℂ)$ vers $ℂ_{n} [X]$ est continue. En effet, les coefficients de $χ_{M}$ sont des polynômes en les coefficients de $M$ . On en déduit que l’ensemble $χ^{- 1} ({χ_{A}})$ est une partie fermée en tant qu’image réciproque d’une partie fermée par une application continue. Aussi, l’application $π_{A} : M \mapsto π_{A} (M)$ de $ℳ_{n} (ℂ)$ vers lui-même est continue par opérations sur les fonctions continues. On en déduit que l’ensemble $π_{A}^{- 1} ({O_{n}})$ est fermée. Par intersection, la classe de similitude de $A$ qui peut se décrire comme $χ^{- 1} ({χ_{A}}) \cap π_{A}^{- 1} ({O_{n}})$ est fermée.
(c)

La matrice $A \in ℳ_{n} (ℂ)$ est assurément trigonalisable (son polynôme caractéristique est nécessairement scindé sur $ℂ$ ). Il existe donc au moins une matrice triangulaire supérieure dans sa classe de similitude.
(d)

En notant $t_{i, j}$ le coefficient général de $T$ , le coefficient général de $D_{k}^{- 1} T D_{k}$ est $k^{i} t_{i, j} k^{- j} = t_{i, j} k^{i - j}$ .
(e)

Pour $i < j$ ,

$t_{i, j} k^{i - j} \to_{k \to + \infty}^{} 0 .$

Pour $i = j$ ,

$t_{i, j} k^{i - j} = t_{i, i} \to_{k \to + \infty}^{} t_{i, i} .$

Pour $i > j$ ,

$t_{i, j} k^{i - j} = 0 \to_{k \to + \infty}^{} 0 .$

On a donc $D_{k}^{- 1} T D_{k} \to_{k \to + \infty}^{} D = diag (t_{1, 1}, \dots, t_{n, n})$ . Or les matrices $D_{k}^{- 1} T D_{k}$ sont semblables à $T$ donc à $A$ . La suite ${(D_{k}^{- 1} T D_{k})}_{k \in ℕ^{*}}$ apparaît comme une suite convergente d’éléments du fermé qu’est la classe de similitude de $A$ , sa limite $D$ est donc aussi élément de cette classe de similitude. Ainsi, il existe une matrice diagonale dans la classe de similitude de $A$ : la matrice $A$ est diagonalisable.

[<] Diagonalisabilité des endomorphismes scindés simples [>] Diagonalisabilité de matrices par blocs

Édité le 23-02-2024

	$M^{2} - (λ + μ) M + λ μ I_{n}$	$= λ^{2} A + μ^{2} B - (λ + μ) (λ A + μ B) + λ μ (A + B)$
		$= (λ^{2} - λ^{2} - λ μ + λ μ) A + (μ^{2} - λ μ - μ^{2} + λ μ) B = O_{n} .$

Diagonalisabilité des matrices scindées simples