[<] Diagonalisabilité des endomorphismes scindés simples [>] Étude d'endomorphismes vérifiant une identité polynomiale

 
Exercice 1  3425  Correction  

Soient

M=(0-100010000000010010000010)5()

et m(5) canoniquement associé à M.

  • (a)

    En procédant à un calcul par bloc, déterminer p* tel que Mp=I5.
    En déduire que M est diagonalisable dans 5().

  • (b)

    Déterminer un vecteur x5 tel que x,m(x),m2(x),m3(x) et m4(x) forme une base de 5.
    Quelle est la matrice de m dans cette base?

Solution

  • (a)

    Pour

    A=(0-110)etB=(001100010)

    on vérifie A4=I2 et B3=I3. On en déduit M12=I5.
    Puisque M annule le polynôme X12-1 scindé simple sur [X], la matrice M est diagonalisable dans 5().

  • (b)

    Posons x=(1,0,1,0,0), on a m(x)=(0,1,0,1,0), m2(x)=(-1,0,0,0,1), m3(x)=(0,-1,1,0,0) et m4(x)=(1,0,0,1,0). On vérifie aisément que la famille correspondante est une base de 5 en observant,par exemple, qu’elle est génératrice.

    Puisque m5(x)=(0,1,0,0,1), matrice de m dans cette nouvelle base est

    (0000110000010010010-100010).
 
Exercice 2  847  Correction  

Soient n* et A2n(𝕂) définie par blocs

A=(OnIn-InOn)2n(𝕂).
  • (a)

    Calculer A2.

  • (b)

    Selon que 𝕂= ou , dire si la matrice A est diagonalisable.

  • (c)

    Préciser les valeurs propres complexes de A et les dimensions des sous-espaces propres associés.

Solution

  • (a)

    A2=-I2n.

  • (b)

    On observe que X2+1 est annulateur de A.

    Cas: 𝕂=. La matrice A est diagonalisable car annule le polynôme

    X2+1=(X-i)(X+i)

    qui est scindé à racines simples. Cas: 𝕂=. La matrice A n’est pas diagonalisable car sans valeurs propres. En effet, une valeur propre (réelle) de A doit être annulée par le polynôme X2+1.

  • (c)

    Puisque les valeurs propres de A figurent parmi les racines de X2+1, elles ne peuvent que i et -i. Puisqu’une matrice admet au moins une valeur propre complexe, au moins l’un de i ou de -i est valeur propre. Aussi, puisque la matrice A est réelle, i est valeur propre de A si, et seulement si, -i l’est aussi. Enfin les dimensions de sous-espaces propres associés étant égales, on conclut

    Sp(A)={i,-i}etdimEi(A)=dimE-i(A)=n.
 
Exercice 3  846  Correction  

Montrer qu’une matrice de permutation est diagonalisable.

Solution

Soient PMn(𝕂) une matrice de permutation et σ la permutation associée. Il existe q* tel que σq=Id et donc Pq=In. La matrice P annule alors Xq-1 qui est scindé à racines simples donc P est diagonalisable.

 
Exercice 4  479    ENSTIM (MP)

Soit A la matrice réelle donnée par

A=(1111).
  • (a)

    Déterminer un polynôme annulateur non trivial de la matrice A.

On étudie l’équation M2-M=A d’inconnue M2().

  • (b)

    Justifier que les solutions de cette équation sont diagonalisables et déterminer les valeurs propres possibles de celles-ci.

  • (c)

    Déterminer les matrices M solutions en s’aidant d’un polynôme annulateur.

 
Exercice 5  4318  

Soit Mn() vérifiant M2-Mt=In. Montrer que M est diagonalisable.

 
Exercice 6  3469  Correction  

Soit Mn() vérifiant M2+Mt=2In. Montrer que cette matrice M est diagonalisable.

Solution

On a

(M2-2In)2=(Mt)2=(M2)t=2In-M.

On en déduit le polynôme annulateur de M suivant

X4-4X2+X+2

qui se factorise

X4-4X2+X+2=(X-1)(X+2)(X-α)(X-β)

avec

α=1+52 et β=1-52.

Puisque la matrice M annule un polynôme réel scindé à racines simples, cette matrice est diagonalisable.

 
Exercice 7  3645    CENTRALE (PSI)Correction  

Soit Mn() telle que

M2+Mt=In.
  • (a)

    Montrer

    M inversible si, et seulement si, 1Sp(M).
  • (b)

    Montrer que la matrice M est diagonalisable.

Solution

  • (a)

    Si M n’est pas inversible, il existe une colonne X non nulle telle que MX=0 et alors l’identité de l’énoncé donne MtX=X donc 1Sp(Mt)=Sp(M).
    Inversement, si 1Sp(M) alors il existe une colonne X non nulle telle que MX=X et alors l’identité de l’énoncé donne MtX=0 et donc Mt n’est pas inversible. Or det(Mt)=det(M) donc M n’est pas inversible non plus.

  • (b)

    La relation donnée entraîne

    (Mt)2=(In-M2)2=M4-2M2+In.

    Or

    (Mt)2=(M2)t=In-M

    donc

    M4-2M2+In=In-M

    et donc la matrice M est annulé par le polynôme

    P(X)=X4-2X2+X=X(X-1)(X2+X-1).

    C’est un polynôme scindé à racines simples donc la matrice M est diagonalisable.

 
Exercice 8  2595    CCP (PSI)Correction  

Soient (a1,,an)(+*)n et

N=(a1a1a1a2a2a2ananan).
  • (a)

    Calculer N2, la matrice N est-elle diagonalisable?

  • (b)

    Montrer que M=2N+In est inversible et exprimer M-1.

Solution

  • (a)

    On obtient N2=sN avec s=a1++an.

    Puisque s>0, N annule un polynôme scindé simple et est donc diagonalisable.

  • (b)

    -1/2 n’est pas valeur propre de N car n’est pas racine du polynôme annulateur X2-sX et donc M est inversible. En recherchant M-1 de la forme xM+yIn, on obtient

    M-1=In-22+sN.
 
Exercice 9  794   Correction  

Soient X,Yn,1(𝕂) non nuls.

À quelle condition la matrice XYt est-elle diagonalisable?

Solution

Posons M=XYt. On a M2=X(YtX)Yt. Or α=YtX est un scalaire donc M2=αXYt=αM.

Cas: α0. La matrice M annule le polynôme scindé simple X(X-α) et donc M est diagonalisable.

Cas: α=0. La matrice M annule le polynôme X2 et donc 0 est la seule valeur propre possible. Si M est diagonalisable alors M est semblable à la matrice nulle et donc M=On. Cela est exclu car on suppose les colonnes X et Y non nulles.

Au final, M est diagonalisable si, et seulement si, α0.

Notons que α=tr(YtX)=tr(XYt)=tr(M) et que M est une matrice de rang 1. On peut montrer qu’une matrice de rang 1 est diagonalisable si, et seulement si, sa trace est non nulle.

 
Exercice 10  2702     MINES (MP)Correction  

Soit (a1,,an)n. La matrice (aiaj)1i,jn est-elle diagonalisable?

Solution

En posant M=(aiaj)1i,jn, on vérifie M2=λM avec λ=k=1nak2.

Cas: λ0. La matrice M annule un polynôme scindé simple, elle est donc diagonalisable.

Cas: λ=0. On a M2=On et donc M est diagonalisable si, et seulement si, M=On ce qui revient à (a1,,an)=0.

Notons que la matrice M est symétrique mais pas nécessairement réelle, le théorème spectral ne s’applique pas. Notons aussi que la matrice M est de rang 1 et qu’il est classique d’établir que les matrices de rang 1 sont diagonalisables si, et seulement si, de trace non nulle.

 
Exercice 11  3056     CCP (MP)Correction  

Soient λ,μ*, λμ et A,B,Mp() telles que

{Ip=A+BM=λA+μBM2=λ2A+μ2B.
  • (a)

    Montrer que M est inversible et exprimer M-1.

    On pourra calculer M2-(λ+μ)M+λμIp.

  • (b)

    Montrer que A et B sont des projecteurs.

  • (c)

    La matrice M est-elle diagonalisable? Déterminer son spectre.

Solution

  • (a)

    On vérifie par le biais des relations proposées

    M2-(λ+μ)M+λμIp=Op.

    On en déduit

    M(λ+μλμIp-1λμM)=Ip.

    Par le théorème d’inversibilité, M est inversible et

    M-1=λ+μλμIp-1λμM.
  • (b)

    M-μIp=(λ-μ)A et M-λIp=(μ-λ)B.
    Or

    (M-μIp)(M-λIp)=M2-(λ+μ)M+λμIp=Op

    donc (λ-μ)2AB=Op puis AB=Op car λμ.
    Puisque A=A×Ip=A2+AB=A2, A est un projecteur.
    Il en est de même pour B.

  • (c)

    M annule le polynôme scindé simple

    X2-(λ+μ)X+λμ=(X-λ)(X-μ).

    La matrice M est donc diagonalisable et Sp(M){λ,μ}.
    Il se peut que cette inclusion soit stricte, c’est le cas si M=λIp avec A=Ip et B=Op.

    En tout cas, le spectre n’est pas vide car M est diagonalisable.

 
Exercice 12  708     MINES (PC)Correction  

Soit (A,B,C)n()3 tel que

C=A+B,C2=2A+3BetC3=5A+6B.

Les matrices A et B sont-elles diagonalisables?

Solution

On remarque

C3-C2=3A+3B=3C.

La matrice C annule donc le polynôme

X3-X2-3X.

On vérifie aisément que ce polynôme est scindé à racines simples et l’on peut donc affirmer que C est diagonalisable. Or

A=C3-2C2etB=C+2C2-C3

donc A et B sont diagonalisables.

 
Exercice 13  3138     ENSTIM (MP)Correction  

Soit

M=(AA(0)A)

avec An().

  • (a)

    Montrer que

    P(M)=(P(A)AP(A)(0)P(A))pour tout P[X].
  • (b)

    Énoncer une condition nécessaire et suffisante pour que M soit diagonalisable.

Solution

  • (a)

    Par récurrence

    Mk=(AkkAk(0)Ak)

    puis on étend par linéarité.

  • (b)

    Si M est diagonalisable alors M annule un polynôme scindé simple P et les calculs précédents montrent que A annule aussi ce polynôme. Par suite, A est diagonalisable. De plus, A annule aussi le polynôme XP de sorte que si λ est valeur propre de A alors A est racine commune de P et de XP. Or P n’a que des racines simples donc P et P n’ont pas de racines communes d’où λ=0. A est diagonalisable et Sp(A)={0} donne A=On.

    Ainsi, M est diagonalisable si, et seulement si, A=On.

 
Exercice 14  3281   

Soient A,Bn() vérifiant AB=BA et M la matrice de 2n() donnée par

M=(AB0A).
  • (a)

    Montrer que pour tout polynôme P de [X],

    P(M)=(P(A)P(A)B0P(A)).
  • (b)

    Énoncer une condition nécessaire et suffisante portant sur A et B pour que M soit diagonalisable.

 
Exercice 15  4320   

Soit An(). À quelle condition la matrice M de 2n() suivante est-elle diagonalisable?

M=(0A-2A3A).
 
Exercice 16  3374   Correction  

Soient A,B,Cn() vérifiant

AB-BA=C.

On suppose en outre que C commute avec les matrices A et B.

  • (a)

    On suppose que A et diagonalisable. Montrer que la matrice C est nulle.

  • (b)

    On suppose que la matrice C est diagonalisable. Montrer à nouveau que la matrice C est nulle.

Solution

  • (a)

    Par récurrence, on obtient

    k*,AkB-BAk=kAk-1C.

    On en déduit

    P𝕂[X],P(A)B-BP(A)=P(A)C.

    Si la matrice A est diagonalisable, elle annule un polynôme scindé à racine simple P et donc

    P(A)C=0.

    Puisque les racines de P sont simples, les valeurs propres de A ne sont pas racines de P et une diagonalisation de A permet d’affirmer

    det(P(A))0.

    Puisque la matrice P(A) est inversible, l’identité P(A)C=0 donne C=0.

  • (b)

    Supposons C diagonalisable.

    Notons a,b,c les endomorphismes de n canoniquement associés aux matrices A,B,C. Soit λ une valeur propre de C. Le sous-espace propre Eλ(c) est stable par les endomorphismes a et b car la matrice C commute avec A et B. Notons aλ et bλ les endomorphismes induits associés. On a

    aλbλ-bλaλ=λIdEλ(c).

    En considérant la trace, on obtient

    λdimEλ(c)=0.

    On en déduit que seule 0 est valeur propre de C et donc la matrice diagonalisable C est nulle.

 
Exercice 17  5374     NAVALE (MP)Correction  

Soit AGLn(). Montrer

A est diagonalisable A-A-1 est diagonalisable.

Solution

Posons B=A-A-1.

() C’est immédiat, une matrice PGLn() diagonalisant A diagonalise aussi B.

() Supposons B diagonalisable. Le polynôme minimal de B s’écrit

Q=λSp(B)(X-λ).

L’égalité Q(B)=On se relit alors

λSp(B)(A-A-1-λIn)=On.

En multipliant par Ap avec p=Card(Sp(B)), on obtient

λSp(B)(A2-λA-In)=On.

Cela détermine un polynôme annulateur de A qui est

P=λSp(B)(X2-λX-1).

Celui-ci est scindé car les facteurs X2-λX-1 le sont tous puisque Δ=λ2+4>0. Celui-ci est à racines simples car les facteurs X2-λX-1 n’ont pas de racines en commun. En effet, par différence d’équations,

{x2-λx-1=0x2-μx-1=0 {x0(μ-λ)x=0
λ=μ.

On en déduit que la matrice A est diagonalisable.

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Édité le 08-11-2019

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