[<] Étude d'endomorphismes vérifiant une identité polynomiale [>] Diagonalisabilité et endomorphismes induits
Soit vérifiant et .
Déterminer les valeurs propres réelles de .
Déterminer les valeurs propres complexes de .
Soit vérifiant . La matrice est-elle inversible?
Solution
Le polynôme est annulateur de . Ce polynôme n’admet qu’une seule racine réelle qui est . Celle-ci est la seule valeur propre possible de . Or est une matrice réelle de taille impaire, elle admet donc nécessairement au moins une valeur propre réelle. Ainsi, est valeur propre de et la matrice n’est donc pas inversible.
Soit telle que .
Montrer que est pair et calculer et .
Solution
Le polynôme est annulateur de : les valeurs propres complexes de en sont racines et donc égales à ou . Aussi, la matrice admet au moins une valeur propre complexe et, puisqu’il s’agit d’une matrice réelle, les valeurs propres complexes de sont deux à deux conjuguées et deux valeurs propres conjuguées ont même multiplicité. On en déduit que admet et pour valeurs propres de multiplicité commune . On a alors et, puisque est trigonalisable,
Soit telle que
Montrer que .
Solution
annule un polynôme scindé à racines simples(, et ) donc est diagonalisable dans .
Les valeurs propres possibles de sont , et . Puisque , la multiplicité de égale celle de .
Par suite, .
Soit vérifiant
Montrer que la trace de est un nombre entier.
Solution
La matrice annule le polynôme . Dans ,
Ce polynôme est scindé à racines simples, la matrice est donc diagonalisable sur semblable à une matrice . Cependant, les multiplicités et des valeurs propres conjuguées et sont égales car la matrice est réelle. On a donc
car .
Soit vérifiant et .
Montrer que et .
Solution
Le polynôme est annulateur de . Celui-ci est simplement scindé sur et la matrice est donc diagonalisable. Les valeurs propres de figurent parmi les racines de et donc .
Si alors est diagonalisable semblable à donc égale à . Cela est exclu. De même, il n’est pas possible que et donc .
Notons et les multiplicités respectives des valeurs propres et . On a
On en déduit
et, puisque ,
ce qui entraîne .
Soit vérifiant
Montrer que la matrice est de rang pair.
Solution
Le polynôme
annule la matrice . Ce polynôme étant scindé à racines simples dans , la matrice est diagonalisable dans . De plus,
Puisque la matrice est réelle, les valeurs propres et ont même multiplicité . La diagonalisation complexe de comporte alors nombres et nombres sur la diagonale, les éventuels autres coefficients diagonaux étant nuls. La matrice est alors de même rang que cette matrice diagonale, c’est-à-dire .
Soit vérifiant .
Montrer que est diagonalisable si, et seulement si, .
Solution
Si alors la matrice annule le polynôme qui est simplement scindé sur . La matrice est donc diagonalisable dans .
Si est diagonalisable, son polynôme minimal est simplement scindé sur . Or ce polynôme minimal divise car ce dernier est annulateur de . Le polynôme minimal divise donc le polynôme . Ce dernier est alors nécessairement annulateur de ce qui entraîne .
Soit avec .
Montrer que, pour avec , on a l’égalité
si, et seulement si, il existe réels positifs tels que
Déterminer toutes les matrices de telles que et
Solution
L’implication
est immédiate.
Par récurrence sur .
Cas: .
Soient tels que
En posant , on a alors (car )
En écrivant avec et en élevant au carré l’identité précédente, on obtient
et cette identité est vérifiée si, et seulement si, et ce qui permet d’écrire avec .
Supposons la propriété établie au rang .
Soient avec tels que
Par l’inégalité triangulaire
et puisque les termes extrémaux sont égaux on a
donc par hypothèse de récurrence on peut écrire pour tout
On en déduit
et puisque
l’étude du cas permet d’écrire
Récurrence établie.
Si vérifie et alors cette matrice est diagonalisable (car annule le polynôme scindé à racines simples ) et ses valeurs propres vérifient
Or les valeurs propres vérifient aussi
et elles sont donc de module 1. Nous sommes donc dans la situation où
Puisque , on peut écrire pour tout avec . Or tous les sont de module 1 donc les sont égaux à 1 et par suite
Enfin puisque la somme des valeurs propres vaut , on peut conclure
et finalement car la matrice est semblable à .
La réciproque est immédiate.
Soit une matrice vérifiant
Montrer que est un multiple de et calculer et .
Déterminer toutes les matrices de vérifiant
Déterminer toutes les matrices de vérifiant
Soit une matrice carrée de taille à coefficients entiers. On suppose que pour une certaine valeur de . Montrer que .
On fixe et l’on note
Pour , on pose
Montrer que est fini.
Solution
Si alors est diagonalisable et ses valeurs propres sont des racines de l’unité. Ces valeurs propres sont aussi racines du polynôme caractéristique de . Or les coefficients de ce polynôme sont entiers et, par les expressions des coefficients d’un polynôme scindé en fonction de ses racines complexes (ici de module 1), on peut borner les coefficients du polynôme caractéristique de . Par suite, il n’y a qu’un nombre fini de polynômes caractéristiques possibles pour un élément . Ces polynômes ont eux-mêmes qu’un nombre fini de racines et il n’y a donc qu’un nombre fini de racines de l’unité possibles pour les valeurs propres de .
On peut alors affirmer qu’il existe tel que toutes les valeurs propres des matrices vérifient . On a alors aussi (car est diagonalisable) et donc . Ainsi .
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Édité le 29-08-2023
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