${\mathrm{\Pi }}_u$ annule $u$ ce qui signifie

A fortiori,

Ainsi, ${\mathrm{\Pi }}_u$ annule $u_F$ et donc ${\mathrm{\Pi }}_{u_F}$ le divise.

${\mathrm{\Pi }}_u$ annule $u$ donc aussi l’endomorphisme induit $u_F$. Ainsi, ${\mathrm{\Pi }}_{u_F}\mid {\mathrm{\Pi }}_u$. De même, ${\mathrm{\Pi }}_{u_G}\mid {\mathrm{\Pi }}_u$ donc $\mathrm{ppcm}({\mathrm{\Pi }}_{u_F},{\mathrm{\Pi }}_{u_G})\mid {\mathrm{\Pi }}_u$.

Inversement, si $P=\mathrm{ppcm}({\mathrm{\Pi }}_{u_F},{\mathrm{\Pi }}_{u_G})$ alors pour tout $a\in F$, $P(u)(a)=0$ et pour tout $b\in G$, $P(u)(b)=0$. Soit $x\in E=F\oplus G$. On écrit $x=a+b$ avec $a\in F$ et $b\in G$ et l’on a

Ainsi, $P$ annule $u$ puis ${\mathrm{\Pi }}_u\mid P$.

Par double divisibilité, ${\mathrm{\Pi }}_u=\mathrm{ppcm}({\mathrm{\Pi }}_{u_F},{\mathrm{\Pi }}_{u_G})$.

Cas: $n$ est impair. Le polynôme caractéristique d’une matrice de ${ℳ}_n(ℝ)$ étant de degré impair, il possède une racine qui sera valeur propre de la matrice et aussi racine de son polynôme minimal. Celui-ci ne peut alors être le polynôme $X^2+1$.

Cas: $n$ est pair. Considérons

$A_n$ n’est pas une homothétie donc le degré de son polynôme minimal est supérieur à $2$. De plus, $A_n^2=-{\mathrm{I}}_n$ et $X^2+1$ annule donc $A_n$. Au final, $X^2+1$ est polynôme minimal de $A_n$.

Si $P$ et ${\mathrm{\Pi }}_u$ sont premiers entre eux alors, par l’égalité de Bézout, il existe $U,V\in 𝕂[X]$ tels que $UP+V{\mathrm{\Pi }}_u=1$ donc $U(u)P(u)={\mathrm{Id}}_E$. L’endomorphisme $P(u)$ est alors inversible et $P{(u)}^{-1}=U(u)\in 𝕂\left[u\right]$.

Si $P$ et ${\mathrm{\Pi }}_u$ ne sont pas premiers entre eux alors on peut écrire ${\mathrm{\Pi }}_u=QD$ avec $D$ le pgcd de $P$ et ${\mathrm{\Pi }}_u$. On a ${\mathrm{\Pi }}_u\mid PQ$ donc $P(u)\circ Q(u)=0$ alors que $Q(u)\ne 0$ puisque $\mathrm{deg}(Q)<\mathrm{deg}({\mathrm{\Pi }}_u)$. Par suite, $P(u)$ n’est pas inversible.

$A=PD{P}^{-1}$ avec $D=\mathrm{diag}(a+b,\mathrm{\dots },a+b,a-b,\mathrm{\dots },a-b)$ et

Par suite,

et les polynômes annulateurs de $A$ sont les multiples de ${\pi }_A$.

Considérons $B=A-{\mathrm{I}}_n$. On a $B^2={\mathrm{O}}_n$.
Soit $u$ l’endomorphisme de ${𝕂}^n$ dont la matrice est $B$ dans la base canonique.
On a $u^2=\tilde{0}$ donc $\mathrm{Im}(u)\subset \mathrm{Ker}(u)$.
Soit $(e_1,\mathrm{\dots },e_p)$ une base de $\mathrm{Im}(u)$ complétée en $(e_1,\mathrm{\dots },e_p,e_{p+1},\mathrm{\dots },e_q)$ base de $\mathrm{Ker}(u)$.
Pour tout $j\in \{1,\mathrm{\dots },p\}$, considérons ${\epsilon }_j\in E$ tel que $u({\epsilon }_j)=e_j$.
Supposons ${\lambda }_1{\epsilon }_1+\mathrm{\cdots }+{\lambda }_p{\epsilon }_p+{\mu }_1{e}_1+\mathrm{\cdots }+{\mu }_q{e}_q=0$.
On appliquant $u$ à cette relation, on obtient ${\lambda }_1{e}_1+\mathrm{\cdots }+{\lambda }_p{e}_p=0$ donc ${\lambda }_1=\mathrm{\dots }={\lambda }_p=0$.
La relation initiale devient ${\mu }_1{e}_1+\mathrm{\cdots }+{\mu }_q{e}_q=0$ qui entraîne ${\mu }_1=\mathrm{\dots }={\mu }_q=0$.

Finalement, la famille $({\epsilon }_1,\mathrm{\dots },{\epsilon }_p,e_1,\mathrm{\dots },e_q)$ est libre et puisque formée de $p+q=dim\mathrm{Im}(u)+dim\mathrm{Ker}(u)=n$ vecteurs de $E$, c’est une base de $E$.
La matrice de $u$ dans la base $(e_1,{\epsilon }_1,\mathrm{\dots },e_p,{\epsilon }_p,e_{p+1},\mathrm{\dots },e_q)$ a alors ses coefficients tous nuls sauf $p$ coefficients sur la sur-diagonale.
La matrice $B$ est donc semblable à la matrice précédente et $A={\mathrm{I}}_n+B$ est semblable à une matrice de la forme voulue.

Soit $P$ un un polynôme annulateur non nul de $A$,

Pour toute matrice $M$ de ${ℳ}_n(𝕂)$,

et donc

La famille $(e_0,\mathrm{\dots },e_N)$ est alors liée.

Inversement, supposons la famille $(e_0,\mathrm{\dots },e_N)$ liée et introduisons une relation linéaire

Considérons le polynôme

On constate

En particulier, cela vaut pour les matrices élémentaires $E_{i,j}$ et l’on en déduit que les coefficients de la matrice $P(A)$ sont tous nuls.

En résumé, la famille $(e_0,\mathrm{\dots },e_N)$ est libre si, et seulement si, $N$ est strictement inférieur au degré du polynôme minimal de $A$.

• (a)

  L’application $T$ est évidemment linéaire et est à valeurs dans $E$.

  Soit $g\in E$. Montrons que l’équation $T(f)=g$ admet une solution unique.

  Unicité: Si $T(f)=g$ alors $x\mapsto {\int }_0^{x}f(t)dt$ est solution sur $ℝ$ de l’équation différentielle linéaire $y^{\prime }+y=g$ vérifiant $y(0)=0$. Par le théorème de Cauchy, cela détermine $x\mapsto {\int }_0^{x}f(t)dt$ de façon unique et donc $f$ aussi.

  Existence: La dérivée de la fonction solution $y^{\prime }+y=g$ vérifiant $y(0)=0$ est solution.

• (b)

  Soit $F$ un sous-espace vectoriel de dimension finie stable par $T$. Notons $I$ l’endomorphisme de $E$ défini par

  $$I(f):x\mapsto {\int }_0^{x}f(t)dt\text{.}$$

  Puisque $F$ est stable par $T$, $F$ est aussi stable par $I$. L’endomorphisme induit par $I$ sur le sous-espace vectoriel de dimension finie $F$ admet un polynôme minimal $\mathrm{\Pi }=X^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\mathrm{\cdots }+a_0$. On a alors, pour tout $f\in F$, l’égalité

  $$I^n(f)+a_{n-1}{I}^{n-1}(f)+\mathrm{\cdots }+a_{0}f=0$$

  donc

  $$y+a_{n-1}{y}^{\prime }+\mathrm{\cdots }+a_0{y}^{(n)}=0\text{ avec }y=I^n(f)$$

  De plus, on a les conditions initiales $y(0)=\mathrm{\dots }=y^{(n-1)}(0)=0$ ce qui donne $y=0$ puis $f=y^{(n)}=0$. Ainsi, $F=\{0\}$.

  Finalement, l’espace nul est le seul espace de dimension finie stable par $T$.

• (a)

  Par récurrence,

  $$f^n\circ g-g\circ f^n=n{f}^n\text{.}$$

• (b)

  Par linéarité,

  $$P(f)\circ g-g\circ P(f)=f\circ P^{\prime }(f)\text{.}$$

  Par suite, si $P(f)=0$, alors $f\circ P^{\prime }(f)=0$.

• (c)

  Soit $\mathrm{\Pi }$ le polynôme minimal de l’endomorphisme $f$.

  $\mathrm{\Pi }$ annule $f$ donc $X{\mathrm{\Pi }}^{\prime }$ aussi. Par minimalité de $\mathrm{\Pi }$, $\mathrm{\Pi }\mid X{\mathrm{\Pi }}^{\prime }$. Pour des raisons de degré et de coefficients dominants, $\alpha \mathrm{\Pi }=X{\mathrm{\Pi }}^{\prime }$ avec $\alpha =\mathrm{deg}(\mathrm{\Pi })$. On en déduit $\mathrm{\Pi }=X^{\alpha }$ et donc $f$ est nilpotent.

• (a)

  Notons $e=(e_1,\mathrm{\dots },e_n)$ une base de diagonalisation de $u$. On écrit $u(e_i)={\lambda }_i.e_i$ avec ${\lambda }_i\in ℝ$.

  Pour $x\in E$. On écrit $x={\sum }_i{x}_i.e_i$ et l’on a $u^k(x)={\sum }_i{x}_i{\lambda }_i^k.e_i$. La famille $(x,u(x),\mathrm{\dots },u^{n-1}(x))$ est une base si, et seulement si, son déterminant est non nul.

  $${\det }_e(x,u(x),\mathrm{\dots },u^{n-1}(x))=\left|\begin{array}{cccc}\hfill x_1\hfill & \hfill x_1{\lambda }_1\hfill & \hfill \mathrm{\cdots }\hfill & \hfill x_1{\lambda }_1^{n-1}\hfill \\ \hfill \mathrm{⋮}\hfill & \hfill \hfill & \hfill \hfill & \hfill \mathrm{⋮}\hfill \\ \hfill x_n\hfill & \hfill x_n{\lambda }_n\hfill & \hfill \mathrm{\cdots }\hfill & \hfill x_n{\lambda }_n^{n-1}\hfill \end{array}\right|\text{.}$$

  Si l’endomorphisme est cyclique, il existe $x$ tel que le déterminant ci-dessus soit non nul ce qui entraîne que les ${\lambda }_i$ sont deux à deux distincts.

  Inversement, si les ${\lambda }_i$ sont deux à deux distincts, on peut déterminer un $x$ convenable en prenant par exemple $x=e_1+\mathrm{\cdots }+e_n$ de sorte que $x_1\times \mathrm{\cdots }\times x_n$ soit non nul.

• (b)

  Le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique. S’il est de degré strictement inférieur à $n$, l’identité $\pi (u)(x)=0_E$ affirme que la famille $(x,u(x),\mathrm{\dots },u^{n-1}(x))$ est liée pour tout $x$ de $E$ et l’endomorphisme n’est pas cyclique.

• (c)

  Montrons la propriété suivante:

  «  Si le polynôme minimal $\pi$ d’un endomorphisme $u$ est de degré $p$, il existe un vecteur $x$ de l’espace tel que la famille $(x,u(x),\mathrm{\dots },u^{p-1}(x))$ est libre  »

  Pour $x\in E$ fixé, il est clair que ${ℐ}_x=\{P\in ℝ[X]|P(u)(x)=0_E\}$ constitue un idéal de $ℝ[X]$. Il existe donc un polynôme ${\pi }_x$ qui le génère. Il est entendu que ${\pi }_x$ divise $\pi$ et notre objectif et d’établir qu’il existe $x\in E$ vérifiant ${\pi }_x=P^{\alpha }=\pi$.

  Commençons par le cas où $\pi =P^{\alpha }$ avec $P$ irréductible et $\alpha \in {\mathbb{N}}^{*}$. Pour tout $x\in E$, ${\pi }_x$ divisant $\pi$, il est de la forme $P^{{\beta }_x}$ avec ${\beta }_x\le \alpha$. Si ${\beta }_x<\alpha$ pour tout $x$ de $E$, on a $P^{\alpha -1}$ annulateur de $u$ ce qui contredit l’hypothèse de départ. Ainsi, il existe $x\in E$ tel que ${\pi }_x=\pi$.

  Passons au cas général $\pi =P_1^{{\alpha }_1}\times \mathrm{\cdots }\times P_m^{{\alpha }_m}$ avec $P_1,\mathrm{\dots },P_k$ polynômes irréductibles deux à deux distincts. Par le lemme des noyaux

  $$E=F_1\oplus \mathrm{\cdots }\oplus F_m\text{ avec }{F}_k=\mathrm{Ker}\left(P_k^{{\alpha }_k}(u)\right)\text{.}$$

  L’espace $F_k$ est stable par $u$, on peut introduire l’endomorphisme induit $v_k$ et son polynôme minimal ${\pi }_k$. Clairement, ${\pi }_k$ divise $P_k^{{\alpha }_k}$ et le produit des ${\pi }_k$ est divisible par $\pi$ de sorte que ${\pi }_k=P_k^{{\alpha }_k}$.

  Par l’étude particulière d’au-dessus, il existe $x_k$ dans $F_k$ tel que ${\pi }_{x_k}=P_k^{{\alpha }_k}$ (pour l’endomorphisme $v_k$). Considérons alors $x$ égal à la somme de $x_k$.

  Si $P(u)(x)=0_E$ alors

  $$\underset{\begin{array}{c}\in F_1\end{array}}{\underbrace{P(v_1)(x_1)}}+\mathrm{\dots }+\underset{\begin{array}{c}\in F_m\end{array}}{\underbrace{P(v_m)(x_m)}}=0_E\text{.}$$

  Par somme directe $P(v_k)(x_k)=0_{F_k}$ puis ${\pi }_{x_k}=P_k^{{\alpha }_k}$ divise $P$. Enfin, les $P_k$ étant deux à deux premiers entre eux, on peut conclure que $\pi$ divise $P$ et finalement ${\pi }_x=P$.

• (a)

  Dans une base adaptée à l’écriture $E=V\oplus W$, la matrice de $u$ est diagonale par blocs avec des blocs diagonaux figurant les endomorphismes induits par $u$ sur $V$ et $W$. En calculant les polynômes caractéristiques par cette représentation matricielle, la relation $\chi ={\chi }^{\prime }{\chi }^{\prime \prime }$ est immédiate.

• (b)

  Commençons par un résultat préliminaire: Si $P$ est un polynôme irréductible unitaire et si $P^{\alpha }$ annule $u$ alors le polynôme caractéristique $\chi$ de $u$ s’écrit $P^{\beta }$.

  Raisonnons matriciellement. Soit $A\in {ℳ}_n(ℝ)\subset {ℳ}_n(ℂ)$. On suppose que $P^{\alpha }$ annule $A$. Le polynôme minimal $\pi$ de $A$ divise $P^{\alpha }$, il est donc de la forme $P^{\gamma }$ avec $1\le \gamma \le \alpha$. Les valeurs propres complexes de $A$ sont exactement les racines de $\pi$ donc les racines de $P$. Les valeurs propres complexes de $A$ sont aussi les racines de $\chi$. Enfin, le polynôme $\chi$ est réel et donc, que le polynôme $P$ soit de la forme $X-\lambda$ ou de la forme $X^2+pX+q$ avec des racines conjuguées, on peut écrire $\chi =P^{\beta }$.

  Revenons au sujet. Le polynôme caractéristique de $u$ étant annulateur et les polynômes $P_i^{{\alpha }_i}$ étant deux à deux premiers entre eux, on peut appliquer le lemme de décomposition des noyaux pour écrire

  $$E=\underset{i}{\oplus }\mathrm{Ker}\left(P_i^{{\alpha }_i}(u)\right)\text{.}$$

  On peut introduire les endomorphismes $u_i$ induits par $u$ sur les espaces $E_i=\mathrm{Ker}\left(P_i^{{\alpha }_i}(u)\right)$.

  En notant ${\chi }_i$ le polynôme caractéristique de $u_i$, la question précédente donne

  $$\chi =\prod _i{\chi }_i\text{.}$$

  Sachant $P_i^{{\alpha }_i}(u_i)=0$, l’étude liminaire permet d’écrire ${\chi }_i=P_i^{{\beta }_i}$. On a donc simultanémement

  $$\chi =\prod _i{P}_i^{{\alpha }_i}\text{ et }\chi =\prod _i{P}_i^{{\beta }_i}\text{.}$$

  Par unicité de la décomposition en facteurs irréductibles, on a ${\alpha }_i={\beta }_i$. On peut alors conclure

  $$dim\mathrm{Ker}\left(P_i^{{\alpha }_i}(u)\right)=dim{E}_i=\mathrm{deg}({\chi }_i)={\alpha }_i\mathrm{deg}(P_i)\text{.}$$

• (c)

  Supposons $\pi \ne \chi$. Le polynôme $\pi$ s’écrit

  $$\pi =\prod _i{P}_i^{{\gamma }_i}\text{ avec }{\gamma }_i\le {\alpha }_i\text{ et }\sum _i{\gamma }_i<\sum _i{\alpha }_i\text{.}$$

  Par le lemme de décomposition des noyaux

  $$E=\underset{i}{\oplus }\mathrm{Ker}\left(P_i^{{\gamma }_i}(u)\right)\text{.}$$

  Il est alors impossible que $dim\mathrm{Ker}\left(P_i^k(u)\right)=k\mathrm{deg}(P_i)$ pour tout $k\le {\alpha }_i$ car alors

  $$dimE=\sum _i{\gamma }_i\mathrm{deg}(P_i)<\sum _i{\alpha }_i\mathrm{deg}(P_i)=\mathrm{deg}(\chi )=dimE\text{.}$$

  Inversement, supposons $\pi =\chi$.

  Commençons par établir que si $P$ est un polynôme irreductible unitaire

  $$dim\mathrm{Ker}\left(P^{\alpha }(u)\right)=k\mathrm{deg}(P)\text{ avec }k\in \mathbb{N}\text{.}$$

  Considérons $v$ l’endomorphisme induit par $u$ sur $F=\mathrm{Ker}\left(P^{\alpha }(u)\right)$. On a $P^{\alpha }(v)=0$ et le polynôme caractéristique de $v$ est donc de la forme $P^k$ avec $k\in \mathbb{N}$. On en déduit $dimF=k\mathrm{deg}(P)$.

  Puisque $\pi =\chi$, on a pout tout $i$

  $$\mathrm{Ker}\left(P_i^{{\alpha }_i-1}(u)\right)\ne \mathrm{Ker}\left(P_i^{{\alpha }_i}\right)$$

  (sinon, on pourrait définir un polynôme annulateur «  plus petit  » que $\pi$).

  Par l’étude classique des noyaux itérés, on sait, pour $v$ endomorphisme,

  $$\mathrm{Ker}\left(v^k\right)\subset \mathrm{Ker}\left(v^{k+1}\right)\text{ et }\mathrm{Ker}\left(v^k\right)=\mathrm{Ker}\left(v^{k+1}\right)⟹\forall \mathrm{\ell }\in \mathbb{N},\mathrm{Ker}\left(v^{k+\mathrm{\ell }}\right)=\mathrm{Ker}\left(v^k\right)\text{.}$$

  En considérant, $v=P_i(u)$, on obtient la succession

  $$0<dim\mathrm{Ker}\left(P_i(u)\right)<dim\mathrm{Ker}\left(P_i^2(u)\right)<\mathrm{\cdots }<dim\mathrm{Ker}\left(P_i^{\alpha }(u)\right)=\alpha \mathrm{deg}(P_i)$$

  où chacune des $\alpha$ dimensions est multiple de $\mathrm{deg}(P_i)$. On peut conclure

  $$\forall k\le {\alpha }_i,dim\mathrm{Ker}\left(P_i^k(u)\right)=k\mathrm{deg}(P_i)\text{.}$$

• (a)

  Si $\mathrm{Ker}(u-\lambda \mathrm{Id})=\{0\}$ alors $\mathrm{Im}(u-\lambda \mathrm{Id})=E$ car $u-\lambda \mathrm{Id}$ est inversible.
  On en déduit que $\lambda$ est séparable.
  Par contraposée, si $\lambda$ n’est pas séparable alors $\lambda$ est valeur propre de $u$.

• (b)

  Si $u$ est un endomorphisme diagonalisable alors pour tout scalaire $\lambda$, $\mathrm{Ker}(u-\lambda \mathrm{Id})=\mathrm{Ker}{(u-\lambda \mathrm{Id})}^2$.
  Par suite, $\mathrm{Im}(u-\lambda \mathrm{Id})\cap \mathrm{Ker}(u-\lambda \mathrm{Id})=\{0\}$ et l’on en déduit que $\lambda$ est séparable.
  Inversement, soit $u$ un endomorphisme scindé dont toutes les valeurs propres sont séparables.
  Puisque le polynôme caractéristique de $u$ est scindé, on peut écrire

  $${\chi }_u={(-1)}^{dimE}\prod _{\lambda \in \mathrm{Sp}(u)}{(X-\lambda )}^{m_{\lambda }}$$

  et par le lemme de décomposition des noyaux

  $$E=\underset{\lambda \in \mathrm{Sp}(u)}{\oplus }\mathrm{Ker}{(u-\lambda \mathrm{Id})}^{m_{\lambda }}\text{.}$$

  Or, pour toute valeur propre $\lambda$, $\mathrm{Im}(u-\lambda \mathrm{Id})\cap \mathrm{Ker}(u-\lambda \mathrm{Id})=\{0\}$ entraîne $\mathrm{Ker}(u-\lambda \mathrm{Id})=\mathrm{Ker}{(u-\lambda \mathrm{Id})}^2$ puis par le principe des noyaux itérés $\mathrm{Ker}(u-\lambda \mathrm{Id})=\mathrm{Ker}{(u-\lambda \mathrm{Id})}^{m_{\lambda }}$. Par suite,

  $$E=\underset{\lambda \in \mathrm{Sp}(u)}{\oplus }\mathrm{Ker}(u-\lambda \mathrm{Id})$$

  et donc $u$ est diagonalisable

• (c)

  Soit $\lambda$ une valeur propre de $u$. Le polynôme minimal de $u$ peut s’écrire

  $${\pi }_u={(X-\lambda )}^{\alpha }Q\text{ avec }Q(\lambda )\ne 0$$

  ${\pi }_u(u)=0$ donne

  $$\mathrm{Im}\left(Q(u)\right)\subset \mathrm{Ker}{(u-\lambda \mathrm{Id})}^{\alpha }\text{.}$$

  Si $\lambda$ est une valeur propre séparable alors $\mathrm{Ker}(u-\lambda \mathrm{Id})=\mathrm{Ker}{(u-\lambda \mathrm{Id})}^{\alpha }$ et donc

  $$\mathrm{Im}\left(Q(u)\right)\subset \mathrm{Ker}(u-\lambda \mathrm{Id})$$

  puis le polynôme $(X-\lambda )Q$ annule $u$. Par minimalité de ${\pi }_u$, on conclut $\alpha =1$.
  Inversement, si $\lambda$ est une racine simple du polynôme minimal, alors

  $${\pi }_u=(X-\lambda )Q\text{ avec }Q(\lambda )\ne 0\text{.}$$

  Puisque les polynômes $Q$ et $X-\lambda$ sont premiers entre eux, on peut écrire

  $$QU+(X-\lambda )V=1\text{ avec }U,V\in 𝕂[X]$$

  et en évaluant

  $$Q(u)U(u)(x)+(u-\lambda \mathrm{Id})V(u)(x)=x$$

  avec $Q(u)U(u)(x)\in \mathrm{Ker}(u-\lambda \mathrm{Id})$ (car ${\pi }_u$ est annulateur) et $(u-\lambda \mathrm{Id})V(u)(x)\in \mathrm{Im}(u-\lambda \mathrm{Id})$.
  Ainsi, $\lambda$ est une valeur propre séparable.

  Finalement, les scalaires non séparables sont les racines multiples de ${\pi }_u$.

• (d)

  $m(v)=u\circ v$, $m^2(v)=u^2\circ v$,…$P(m)(v)=P(u)\circ v$ pour tout polynôme $P$.
  Par suite, les endomorphismes $m$ et $u$ ont les mêmes polynômes annulateurs et donc le même polynôme minimal. Puisque les scalaires non séparables sont les racines multiples du polynôme minimal, les endomorphismes $u$ et $m$ ont les mêmes valeurs séparables.