[<] Étude de matrices vérifiant une identité polynomiale [>] Diagonalisabilités des polynômes en un endomorphisme

 
Exercice 1  854  Correction  

Soit f un endomorphisme diagonalisable d’un 𝕂-espace vectoriel E de dimension finie.
Montrer que la restriction de f à tout sous-espace vectoriel F{0} stable est diagonalisable.

Solution

f annule un polynôme scindé à racines simple et f|F aussi.

 
Exercice 2  856  Correction  

Soit f l’endomorphisme de 3 dont la matrice est

(51-124-21-13)

dans la base canonique.
Déterminer les sous-espaces vectoriels stables par f.

Solution

Sp(f)={2,4,6}, E2(A)=Vect(e1), E4(A)=Vect(e2) et E6(A)=Vect(e3) avec e1=(0,1,1), e2=(1,0,1), e3=(1,1,0).
Si V est un sous-espace vectoriel stable alors l’endomorphisme induit fV est diagonalisable et possède donc une base de vecteurs propres de f. Ainsi, V={0}, Vect(ei) avec i{1,2,3}, Vect(ej,ek) avec jk{1,2,3} ou V=3.

 
Exercice 3  3038  Correction  

Soit u un endomorphisme d’un 𝕂-espace vectoriel pour lequel il existe une base e=(e1,,en) vérifiant

u(e1)=e1etu(e2)=e1+e2.

L’endomorphisme u est-il diagonalisable?

Solution

Le sous-espace vectoriel F=Vect(e1,e2) est stable par u et l’endomorphisme induit par u sur F a pour matrice dans (e1,e2)

(1101)

Or cette matrice n’est pas diagonalisable donc l’endomorphisme induit par u sur F n’est pas diagonalisable. Par conséquent, l’endomorphisme u n’est pas diagonalisable.

 
Exercice 4  4313  

Soit u un endomorphisme diagonalisable d’un espace E de dimension finie n1.

Montrer qu’un sous-espace vectoriel non nul de E est stable par u si, et seulement si, il possède une base formée de vecteurs propres de u.

 
Exercice 5  2939    X (MP)Correction  

Soient E un espace vectoriel de dimension finie, p et q dans (E) tels que pq=q et qp=p. Les endomorphismes p et q sont-ils diagonalisables? codiagonalisables?

Solution

On a

pp=p(qp)=(pq)p=qp=p

L’endomorphisme p est donc un projecteur. De même, q est un projecteur. On en déduit que les endomorphismes p et q sont diagonalisables.

Si p et q sont codiagonalisables alors p et q commutent et donc

p=qp=pq=q.

La réciproque est immédiate.

 
Exercice 6  857   Correction  

Soient f et g deux endomorphismes diagonalisables d’un 𝕂-espace vectoriel E de dimension finie.

Montrer que f et g sont simultanément diagonalisables si, et seulement si, chaque sous-espace propre de l’un est stable par l’autre.

Solution

Si f et g sont simultanément diagonalisables alors on peut former une base de chaque sous-espace propre de f à l’aide de vecteurs propres de g. Par suite, les sous-espaces propres de f sont stables par g et inversement.

Supposons que les sous-espaces propres de f soient stables par g. L’endomorphisme f étant diagonalisable, E est la somme directe des sous-espaces propres de f. Sur chaque sous-espace propre de f, la restriction de g définit un endomorphisme diagonalisable car annulé par un polynôme scindé à racines simples (puisque g diagonalisable). Cela permet de construire une base de diagonalisation simultanée.

 
Exercice 7  858   

Soient u et v deux endomorphismes diagonalisables d’un espace vectoriel E de dimension finie non nulle. Montrer que u et v commutent si, et seulement si, u et v sont simultanément11 1 Cela signifie l’existence d’une base de diagonalisation commune aux endomorphismes u et v. diagonalisables.

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Édité le 08-11-2019

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