Exercice 1 854 Correction

Soit $f$ un endomorphisme diagonalisable d’un $𝕂$ -espace vectoriel $E$ de dimension finie.
Montrer que la restriction de $f$ à tout sous-espace vectoriel $F \neq {0}$ stable est diagonalisable.

Solution

$f$ annule un polynôme scindé à racines simple et ${f |}_{F}$ aussi.

Exercice 2 856 Correction

Soit $f$ l’endomorphisme de $ℝ^{3}$ dont la matrice est

(\begin{matrix} 5 & 1 & - 1 \\ 2 & 4 & - 2 \\ 1 & - 1 & 3 \end{matrix})

dans la base canonique.
Déterminer les sous-espaces vectoriels stables par $f$ .

Solution

$Sp (f) = {2,4,6}$ , $E_{2} (A) = Vect (e_{1})$ , $E_{4} (A) = Vect (e_{2})$ et $E_{6} (A) = Vect (e_{3})$ avec $e_{1} = (0,1,1)$ , $e_{2} = (1,0,1)$ , $e_{3} = (1,1,0)$ .
Si $V$ est un sous-espace vectoriel stable alors l’endomorphisme induit $f_{V}$ est diagonalisable et possède donc une base de vecteurs propres de $f$ . Ainsi, $V = {0}$ , $Vect (e_{i})$ avec $i \in {1,2,3}$ , $Vect (e_{j}, e_{k})$ avec $j \neq k \in {1,2,3}$ ou $V = ℝ^{3}$ .

Exercice 3 3038 Correction

Soit $u$ un endomorphisme d’un $𝕂$ -espace vectoriel pour lequel il existe une base $e = (e_{1}, \dots, e_{n})$ vérifiant

u (e_{1}) = e_{1} et u (e_{2}) = e_{1} + e_{2} .

L’endomorphisme $u$ est-il diagonalisable?

Solution

Le sous-espace vectoriel $F = Vect (e_{1}, e_{2})$ est stable par $u$ et l’endomorphisme induit par $u$ sur $F$ a pour matrice dans $(e_{1}, e_{2})$

(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) .

Or cette matrice n’est pas diagonalisable donc l’endomorphisme induit par $u$ sur $F$ n’est pas diagonalisable. Par conséquent, l’endomorphisme $u$ n’est pas diagonalisable.

Exercice 4 4313

Soit $u$ un endomorphisme diagonalisable d’un espace $E$ de dimension finie $n \geq 1$ .

Montrer qu’un sous-espace vectoriel non nul de $E$ est stable par $u$ si, et seulement si, il possède une base formée de vecteurs propres de $u$ .

Exercice 5 2939 X (MP)Correction

Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie, $p$ et $q$ dans $ℒ (E)$ tels que $p \circ q = q$ et $q \circ p = p$ . Les endomorphismes $p$ et $q$ sont-ils diagonalisables? codiagonalisables?

Solution

On a

p \circ p = p \circ (q \circ p) = (p \circ q) \circ p = q \circ p = p .

L’endomorphisme $p$ est donc un projecteur. De même, $q$ est un projecteur. On en déduit que les endomorphismes $p$ et $q$ sont diagonalisables.

Si $p$ et $q$ sont codiagonalisables alors $p$ et $q$ commutent et donc

p = q \circ p = p \circ q = q .

La réciproque est immédiate.

Exercice 6 857 Correction

Soient $f$ et $g$ deux endomorphismes diagonalisables d’un $𝕂$ -espace vectoriel $E$ de dimension finie.

Montrer que $f$ et $g$ sont simultanément diagonalisables si, et seulement si, chaque sous-espace propre de l’un est stable par l’autre.

Solution

Si $f$ et $g$ sont simultanément diagonalisables alors on peut former une base de chaque sous-espace propre de $f$ à l’aide de vecteurs propres de $g$ . Par suite, les sous-espaces propres de $f$ sont stables par $g$ et inversement.

Supposons que les sous-espaces propres de $f$ soient stables par $g$ . L’endomorphisme $f$ étant diagonalisable, $E$ est la somme directe des sous-espaces propres de $f$ . Sur chaque sous-espace propre de $f$ , la restriction de $g$ définit un endomorphisme diagonalisable car annulé par un polynôme scindé à racines simples (puisque $g$ diagonalisable). Cela permet de construire une base de diagonalisation simultanée.

Exercice 7 5972 CCINP (MP)Correction

(a)

Soit

$A = (\begin{matrix} 0 & a \\ b & 0 \end{matrix}) \in ℳ_{2} (ℝ) .$

Montrer que $A$ est diagonalisable si, et seulement si, $a b > 0$ ou $a = b = 0$ .

Soit

M = (\begin{matrix} 0 & \dots & 0 & a_{1} \\ ⋮ & \cdot & \cdot & 0 \\ 0 & \cdot & \cdot & ⋮ \\ a_{2 n} & 0 & \dots & 0 \end{matrix}) \in ℳ_{2 n} (ℝ) .

On note $u$ l’endomorphisme de $ℝ^{2 n}$ figuré par $M$ dans la base canonique $(e_{1}, \dots, e_{2 n})$ .

(b)

Déterminer des plans stables par $u$ .
(c)

Montrer que $u$ est diagonalisable si, et seulement si,

$\forall i \in ⟦ 1; n ⟧, a_{i} a_{2 n + 1 - i} > 0 ou a_{i} = a_{2 n + 1 - i} = 0 .$

Solution

(a)

Le polynôme caractéristique de $A$ est $χ_{A} = X^{2} - a b$ .

Cas: $a b < 0$ . Le polynôme caractéristique n’est pas scindé sur $ℝ$ et $A$ n’est donc pas diagonalisable (dans $ℳ_{2} (ℝ)$ ).

Cas: $a b > 0$ . Le polynôme caractéristique est scindé à racines simples sur $ℝ$ : $A$ est diagonalisable semblable à $D = diag (\sqrt{a b}, - \sqrt{a b})$ .

Cas: $a b = 0$ . La matrice $A$ admet une seule valeur propre $0$ . Elle est alors diagonalisable si, et seulement si, elle est égale à la matrice nulle c’est-à-dire si, et seulement si, $a = b = 0$ .
(b)

Pour $i = 1, \dots, n$ , les plans $P_{i} = Vect (e_{i}, e_{2 n + 1 - i})$ sont stables par $u$ . En effet, $u (e_{i}) = a_{2 n + 1 - i} . e_{2 n + 1 - i} \in P_{i}$ et $u (e_{2 n + 1 - i}) = a_{i} . e_{i} \in P_{i}$ .
(c)

$(⟹)$ Supposons $u$ diagonalisable. L’endomorphisme induit par $u$ sur $P_{i}$ est alors aussi diagonalisable. Or la matrice de cet endomorphisme induit dans la base $(e_{i}, e_{n + 1 - i})$ est

$(\begin{matrix} 0 & a_{i} \\ a_{2 n + 1 - i} & 0 \end{matrix})$

et donc $a_{i} a_{2 n + 1 - i} > 0$ ou $a_{i} = a_{2 n + 1 - i} = 0$ .

$(⟸)$ Supposons $a_{i} a_{2 n + 1 - i} > 0$ ou $a_{i} = a_{2 n + 1 - i} = 0$ pour $i = 1, \dots, n$ . Sur chaque plan $P_{i}$ , l’endomorphisme induit par $u$ est diagonalisable. En accolant des bases de diagonalisation de ces différents plans, on forme une base diagonalisant $u$ puisque $ℝ^{2 n} = P_{1} \oplus \dots \oplus P_{n}$ .

Exercice 8 858

Soient $u$ et $v$ deux endomorphismes diagonalisables d’un espace vectoriel $E$ de dimension finie non nulle. Montrer que $u$ et $v$ commutent si, et seulement si, $u$ et $v$ sont simultanément¹¹ 1 Cela signifie l’existence d’une base de diagonalisation commune aux endomorphismes $u$ et $v$ . diagonalisables. Établir qu’alors $u \circ v$ et $u + v$ sont diagonalisables.

Exercice 9 5670 CCINP (MP)Correction

Soit $u$ un endomorphisme d’un espace vectoriel réel $E$ de dimension finie $n \geq 1$ .

(a)

On suppose $u^{2} = 0$ . Montrer que $rg (u) \leq n / 2$ .
(b)

Soit $r \in ℕ$ tel que $r \leq n / 2$ . Donner un endomorphisme $f \in ℒ (E)$ tel que $f^{2} = 0$ et $rg (f) = r$ .

Soit $v$ un endomorphisme de $E$ commutant avec $u$ .

(c)

Montrer que si $u$ admet $n$ valeurs propres distinctes alors $u$ et $v$ admettent une base commune de diagonalisation.
(d)

Montrer que si $u$ et $v$ sont diagonalisables alors $u$ et $v$ admettent une base commune de diagonalisation.

Solution

(a)

Si $u^{2} = 0$ alors $Im (u) \subset Ker (u)$ . Par la formule du rang, $rg (u) + dim Ker (u) = n$ avec $rg (u) \leq dim Ker (u)$ . Cela donne $2 rg (u) \leq n$ .
(b)

L’endomorphisme $f$ figuré dans une base de $E$ par la matrice

$M = (\begin{matrix} 0 & I_{r} \\ 0 & 0 \end{matrix}) \in ℳ_{n} (ℝ)$

convient. En effet, la condition $r \leq n / 2$ assure $Im (M) \subset Ker (M)$ ce qui entraîne $f^{2} = 0$ .
(c)

L’endomorphisme $u$ est assurément diagonalisable car il possède $n = dim E$ valeurs propres distinctes. De plus, les sous-espaces propres de $u$ sont des droites vectorielles. Or celles-ci sont stables par $v$ car $u$ et $v$ commutent. Or lorsqu’une droite vectorielle est stable par un endomorphisme, celle-ci est engendrée par un vecteur propre de cet endomorphisme. Les sous-espaces propres de $u$ sont donc engendrés par des vecteurs propres de $v$ . On en déduit qu’une base diagonalisant $u$ diagonalise aussi $v$ .
(d)

Les sous-espaces propres de $u$ sont stables par $v$ . On peut introduire les endomorphismes induits par $v$ sur chacun de ceux-ci. Ces endomorphismes induits sont assurément diagonalisables car $v$ l’est. On peut alors former, pour chaque sous-espaces propres de $u$ , une base constituée de vecteurs propres de $v$ . En accolant ces différentes bases, on forme une base de $E$ diagonalisant conjointement $u$ et $v$ .

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Édité le 28-05-2025

Diagonalisabilité et endomorphismes induits