[<] Étude de matrices vérifiant une identité polynomiale [>] Diagonalisabilités des polynômes en un endomorphisme
Soit un endomorphisme diagonalisable d’un -espace vectoriel de dimension finie.
Montrer que la restriction de à tout sous-espace vectoriel stable est diagonalisable.
Solution
annule un polynôme scindé à racines simple et aussi.
Soit l’endomorphisme de dont la matrice est
dans la base canonique.
Déterminer les sous-espaces vectoriels stables par .
Solution
, , et avec , , .
Si est un sous-espace vectoriel stable alors l’endomorphisme induit est diagonalisable et possède donc une base de vecteurs propres de . Ainsi, , avec , avec ou .
Soit un endomorphisme d’un -espace vectoriel pour lequel il existe une base vérifiant
L’endomorphisme est-il diagonalisable?
Solution
Le sous-espace vectoriel est stable par et l’endomorphisme induit par sur a pour matrice dans
Or cette matrice n’est pas diagonalisable donc l’endomorphisme induit par sur n’est pas diagonalisable. Par conséquent, l’endomorphisme n’est pas diagonalisable.
Soit un endomorphisme diagonalisable d’un espace de dimension finie .
Montrer qu’un sous-espace vectoriel non nul de est stable par si, et seulement si, il possède une base formée de vecteurs propres de .
Soient un espace vectoriel de dimension finie, et dans tels que et . Les endomorphismes et sont-ils diagonalisables? codiagonalisables?
Solution
On a
L’endomorphisme est donc un projecteur. De même, est un projecteur. On en déduit que les endomorphismes et sont diagonalisables.
Si et sont codiagonalisables alors et commutent et donc
La réciproque est immédiate.
Soient et deux endomorphismes diagonalisables d’un -espace vectoriel de dimension finie.
Montrer que et sont simultanément diagonalisables si, et seulement si, chaque sous-espace propre de l’un est stable par l’autre.
Solution
Si et sont simultanément diagonalisables alors on peut former une base de chaque sous-espace propre de à l’aide de vecteurs propres de . Par suite, les sous-espaces propres de sont stables par et inversement.
Supposons que les sous-espaces propres de soient stables par . L’endomorphisme étant diagonalisable, est la somme directe des sous-espaces propres de . Sur chaque sous-espace propre de , la restriction de définit un endomorphisme diagonalisable car annulé par un polynôme scindé à racines simples (puisque diagonalisable). Cela permet de construire une base de diagonalisation simultanée.
Soient et deux endomorphismes diagonalisables d’un espace vectoriel de dimension finie non nulle. Montrer que et commutent si, et seulement si, et sont simultanément11 1 Cela signifie l’existence d’une base de diagonalisation commune aux endomorphismes et . diagonalisables. Établir qu’alors et sont diagonalisables.
Soit un endomorphisme d’un espace vectoriel réel de dimension finie .
On suppose . Montrer que .
Soit tel que . Donner un endomorphisme tel que et .
Soit un endomorphisme de commutant avec .
Montrer que si admet valeurs propres distinctes alors et admettent une base commune de diagonalisation.
Montrer que si et sont diagonalisables alors et admettent une base commune de diagonalisation.
Solution
Si alors . Par la formule du rang, avec . Cela donne .
L’endomorphisme figuré dans une base de par la matrice
convient. En effet, la condition assure ce qui entraîne .
L’endomorphisme est assurément diagonalisable car il possède valeurs propres distinctes. De plus, les sous-espaces propres de sont des droites vectorielles. Or celles-ci sont stables par car et commutent. Les sous-espaces propres de sont donc engendrés par des vecteurs propres de . On en déduit qu’une base diagonalisant diagonalise aussi .
Les sous-espaces propres de sont stables par . On peut introduire les endomorphismes induits par sur chacun de ceux-ci. Ces endomorphismes induits sont assurément diagonalisables car l’est. On peut alors former, pour chaque sous-espaces propres de , une base constituée de vecteurs propres de . En accolant ces différentes bases, on forme une base de diagonalisant conjointement et .
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Édité le 29-08-2023
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