Exercice 1 5638 Correction

Soit $u$ un endomorphisme d’un $𝕂$ -espace vectoriel $E$ de dimension finie. Établir

π_{u} est scindé sur 𝕂 \Leftrightarrow χ_{u} est scindé sur 𝕂 .

Solution

Si $π_{u}$ est scindé alors l’endomorphisme $u$ est trigonalisable et donc $χ_{u}$ est scindé sur $𝕂$ . La réciproque est identique.

Exercice 2 3239 Correction

Soit $f \in ℒ (ℝ^{3})$ vérifiant

f^{2} = f^{3} et dim Ker (f - Id) = 1 .

Montrer l’existence d’une base de $ℝ^{3}$ dans laquelle la matrice de $f$ est de la forme

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & α \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) avec α \in {0,1} .

Solution

Puisque le polynôme $X^{3} - X^{2} = X^{2} (X - 1)$ annule $f$ le lemme de décomposition des noyaux donne

ℝ^{3} = Ker (f^{2}) \oplus Ker (f - Id) .

Sachant $dim Ker (f - Id) = 1$ , on a $dim Ker (f^{2}) = 2$ .
On ne peut avoir $dim Ker (f) = 0$ et puisque $Ker (f) \subset Ker (f^{2})$ , on a

dim Ker (f) = 1 ou 2.

Si $dim Ker (f) = 2$ alors

ℝ^{3} = Ker (f - Id) \oplus Ker (f)

et dans une base adaptée à cette supplémentarité, la matrice de $f$ est

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) .

Si $dim Ker (f) = 1$ alors considérons $e_{3} \in Ker (f^{2}) ∖ Ker (f)$ et $e_{2} = f (e_{3})$ .
On vérifie aisément que $(e_{2}, e_{3})$ est une base de $Ker (f^{2})$ et en considérant un vecteur $e_{1} \in Ker (f - Id)$ non nul, on obtient une base $(e_{1}, e_{2}, e_{3})$ dans laquelle la matrice de $f$ est

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) .

Exercice 3 5868 Correction

Soit $f$ un endomorphisme d’un $ℝ$ -espace vectoriel $E$ de dimension finie. On suppose ${(f - {Id}_{E})}^{2} = 0$ .

(a)

On introduit $g = f - {Id}_{E}$ . Comparer $Im (g)$ et $Ker (g)$ .
(b)

Établir qu’il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $f$ est diagonale par blocs de blocs diagonaux égaux à

$(\begin{matrix} 1 \end{matrix}) ou (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) .$

Solution

(a)

L’égalité ${(f - {Id}_{E})}^{2} = 0$ donne $g^{2} = 0$ ce qui entraîne $Im (g) \subset Ker (g)$ .
(b)

Posons $r = dim Im (g)$ et $n = dim E$ . Par la formule du rang, $r + dim Ker (g) = n$ .

Soit $S$ un sous-espace vectoriel supplémentaire de $Ker (g)$ dans $E$ . Celui-ci est de dimension $r$ . Notons $(e_{1}, \dots, e_{r})$ une base de $S$ . Pour $i = 1, \dots, r$ , posons $e_{i}^{'} = g (e_{i})$ . On vérifie que $(e_{1}^{'}, \dots, e_{r}^{'})$ est une famille libre de vecteurs de $Ker (g)$ . On la complète en une base $(e_{1}^{'}, \dots, e_{r}^{'}, e_{r + 1}^{'}, \dots, e_{n - r}^{'})$ . Puisque $S$ et $Ker (g)$ sont supplémentaires dans $E$ , la famille $(e_{1}, \dots, e_{r}, e_{1}^{'}, \dots, e_{r}^{'}, e_{r + 1}^{'}, \dots, e_{n - r}^{'})$ est une base de $E$ . On entremêle les vecteurs pour former la base $e = (e_{1}^{'}, e_{1}, \dots, e_{r}^{'}, e_{r}, e_{r + 1}^{'}, ., e_{n - r}^{'})$ . Puisque $g (e_{i}^{'}) = 0$ pour $i = 1, \dots, n - r$ et $g (e_{i}) = e_{i}^{'}$ pour $i = 1, \dots, r$ , la matrice de $g$ dans $e$ est diagonale par blocs constituée de $r$ blocs

$(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix})$

poursuivis de $n - 2 r$ blocs

$(\begin{matrix} 1 \end{matrix}) .$

La matrice de $f = {Id}_{E} + g$ dans la base $e$ est alors de la forme voulue.

Exercice 4 1948 ENSTIM (MP)Correction

Trouver les matrices $M$ de $ℳ_{n} (ℝ)$ vérifiant

tr (M) = 0 et M^{3} - 4 M^{2} + 4 M = O_{n} .

Solution

Le polynôme

X^{3} - 4 X^{2} + 4 X = X {(X - 2)}^{2}

est annulateur de $M$ .
On en déduit $Sp (M) \subset {0,2}$ et $M$ trigonalisable (car $M$ annule un polynôme scindé).
Par suite, $tr (M)$ est la somme des valeurs propres de $M$ comptées avec multiplicité et puisque $tr (M) = 0$ , seule 0 est valeur propre de $M$ .
On en déduit que la matrice $M - 2 I_{n}$ est inversible et puisque

M {(M - 2 I_{n})}^{2} = O_{n}

on obtient

M = O_{n} .

Exercice 5 2713 MINES (MP)Correction

Trouver les $A$ de $ℳ_{n} (ℂ)$ telles que

A^{3} - 4 A^{2} + 4 A = 0 et tr (A) = 8 .

Solution

Si $A$ est solution alors $P = X {(X - 2)}^{2}$ est annulateur de $A$ et les valeurs propres de $A$ figurent parmi ${0,2}$ . Par la trace, on peut alors affirmer que 2 est valeur propre de multiplicité 4.
Par le lemme de décomposition des noyaux, $Ker {(A - 2 I d)}^{2}$ et $Ker (A)$ sont supplémentaires.
Par multiplicité des valeurs propres, leurs dimensions respectives sont $4$ et $n - 4$ .
Ainsi $A$ est semblable à

(\begin{matrix} 2 I_{4} + M & 0 \\ 0 & O_{n - 4} \end{matrix})

avec $M \in ℳ_{4} (ℂ)$ vérifiant $M^{2} = 0$ .

En raisonnant sur le rang, on montre que $M$ est semblable à

O_{4}, (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) ou (\begin{matrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) .

La réciproque est immédiate.

Trigonalisabilité et polynôme annulateur