[<] Calcul de puissances d'une matrice [>] Nilpotence

 
Exercice 1  3239  Correction  

Soit f(3) vérifiant

f2=f3etdimKer(f-Id)=1.

Montrer l’existence d’une base de 3 dans laquelle la matrice de f est de la forme

(10000α000) avec α{0,1}.

Solution

Puisque le polynôme X3-X2=X2(X-1) annule f le lemme de décomposition des noyaux donne

3=Ker(f2)Ker(f-Id).

Sachant dimKer(f-Id)=1, on a dimKer(f2)=2.
On ne peut avoir dimKer(f)=0 et puisque Ker(f)Ker(f2), on a

dimKer(f)=1 ou 2.

Si dimKer(f)=2 alors

3=Ker(f-Id)Ker(f)

et dans une base adaptée à cette supplémentarité, la matrice de f est

(100000000).

Si dimKer(f)=1 alors considérons e3Ker(f2)Ker(f) et e2=f(e3).
On vérifie aisément que (e2,e3) est une base de Ker(f2) et en considérant un vecteur e1Ker(f-Id) non nul, on obtient une base (e1,e2,e3) dans laquelle la matrice de f est

(100001000).
 
Exercice 2  1948     ENSTIM (MP)Correction  

Trouver les matrices M de n() vérifiant

tr(M)=0etM3-4M2+4M=On.

Solution

Le polynôme

X3-4X2+4X=X(X-2)2

est annulateur de M.
On en déduit Sp(M){0,2} et M trigonalisable (car M annule un polynôme scindé).
Par suite, tr(M) est la somme des valeurs propres de M comptées avec multiplicité et puisque tr(M)=0, seule 0 est valeur propre de M.
On en déduit que la matrice M-2In est inversible et puisque

M(M-2In)2=On

on obtient

M=On.
 
Exercice 3  2713     MINES (MP)Correction  

Trouver les A de n() telles que

A3-4A2+4A=0ettr(A)=8.

Solution

Si A est solution alors P=X(X-2)2 est annulateur de A et les valeurs propres de A figurent parmi {0,2}. Par la trace, on peut alors affirmer que 2 est valeur propre de multiplicité 4.
Par le lemme de décomposition des noyaux, Ker(A-2Id)2 et Ker(A) sont supplémentaires.
Par multiplicité des valeurs propres, leurs dimensions respectives sont 4 et n-4.
Ainsi A est semblable à

(2I4+M00On-4)

avec M4() vérifiant M2=0.

En raisonnant sur le rang, on montre que M est semblable à

O4,(0001000000000000)ou(0010000100000000).

La réciproque est immédiate.

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Édité le 08-11-2019

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