Exercice 1 852

Soit $f$ un endomorphisme d’un espace vectoriel réel $E$ de dimension $3$ .

On suppose que $1$ et $- 1$ sont valeurs propres de $f$ et que $f^{4} = f^{2}$ .

Montrer que $f$ est diagonalisable.

Exercice 2 851 ENSTIM (MP)Correction

Soient $E$ un $𝕂$ -espace vectoriel de dimension $n \in ℕ$ et $f \in ℒ (E)$ tel que $f^{2}$ soit un projecteur.

(a)

Quelles sont les valeurs propres possibles pour $f$ ?
(b)

Montrer que $f$ est diagonalisable si, et seulement si, $f^{3} = f$ .

Solution

(a)

Puisque $f^{4} = f^{2}$ , une valeur propre $λ$ doit vérifier $λ^{4} = λ^{2}$ donc $λ \in {- 1,0,1}$ .
(b)

Si $f$ est diagonalisable alors sa matrice $A$ dans une base de vecteurs propres sera diagonale avec des $- 1,0$ ou 1 sur la diagonale. Comme alors $A^{3} = A$ on a $f^{3} = f$ .

Si $f^{3} = f$ alors $f$ est annulé par un polynôme scindé à racines simples donc $f$ est diagonalisable.

Exercice 3 849 Correction

Soient $E$ un $ℝ$ -espace vectoriel de dimension finie et $f$ un endomorphisme de $E$ vérifiant $f^{3} = 4 f$ . Montrer que la trace de $f$ est un entier pair.

Solution

$f$ est diagonalisable car annule le polynôme

X^{3} - 4 X = X (X - 2) (X + 2)

scindé simple. Les valeurs propres de $f$ figurent parmi ${- 2,0,2}$ et donc la trace de $f$ qui est la somme de ses valeurs propres comptées avec multiplicité est paire.

Exercice 4 2513 CCINP (MP)Correction

Soit $u$ un endomorphisme d’un $ℝ$ -espace vectoriel $E$ de dimension finie tel qu’il existe deux réels non nuls distincts $a$ et $b$ vérifiant

(u - a {Id}_{E}) \circ (u - b {Id}_{E}) = 0 .

Soient

p = \frac{1}{b - a} (u - a {Id}_{E}) et q = \frac{1}{a - b} (u - b {Id}_{E}) .

(a)

Calculer $p + q$ , $p \circ p$ , $q \circ q$ et $q \circ p$ .
(b)

Montrer que $E = Ker (p) \oplus Ker (q)$ .
(c)

Trouver les éléments propres de $u$ . L’endomorphisme $u$ est-il diagonalisable?

Solution

(a)

$p + q = {Id}_{E}$ , $p \circ q = 0$ car $(u - a {Id}_{E}) \circ (u - b {Id}_{E}) = 0$ , $p = p \circ {Id}_{E} = p \circ p + p \circ q = p \circ p$ , aussi $q \circ q = q$ via $q \circ p = 0$ .
(b)

$Ker (p) = Ker (u - a {Id}_{E})$ , $Ker (q) = Ker (u - b {Id}_{E})$ et $(u - a {Id}_{E}) (u - b {Id}_{E}) = 0$ donne par le lemme de décomposition des noyaux, $E = Ker (p) \oplus Ker (q)$ .
(c)

$u$ est diagonalisable car annule un polynôme simplement scindé.

$Sp (u) = {a, b}$ , $E_{a} (u) = Ker (p)$ , $E_{b} (u) = Ker (q)$ à moins que $u = a {Id}_{E}$ ou $u = b {Id}_{E}$ .

Exercice 5 2720 MINES (MP)Correction

Soit $n \in ℕ^{*}$ , $u \in ℒ (ℝ^{2 n + 1})$ . On suppose $u^{3} = u$ , $tr (u) = 0$ et $tr (u^{2}) = 2 n$ . On note

C (u) = {v \in ℒ (ℝ^{2 n + 1}) | u v = v u} .

(a)

Calculer la dimension $C (u)$ .
(b)

Quels sont les $n$ tels que $C (u) = ℝ [u]$ ?

Solution

(a)

Puisque $u^{3} = u$ , par annulation d’un polynôme scindé simple, on peut affirmer que $u$ est diagonalisable de valeurs propres possibles $0,1, - 1$ . Par les égalités $tr (u) = 0$ et $tr (u^{2}) = 2 n$ on peut affirmer qu’il existe une base de $ℝ^{2 n + 1}$ dans laquelle la matrice de $u$ est de la forme

$A = (\begin{matrix} I_{n} & 0 & 0 \\ 0 & - I_{n} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) .$

Les matrices commutant avec $A$ étant celle de la forme

$(\begin{matrix} M & 0 & 0 \\ 0 & N & 0 \\ 0 & 0 & α \end{matrix})$

avec $M, N \in ℳ_{n} (ℝ)$ , on peut affirmer

$dim C (u) = 2 n^{2} + 1 .$
(b)

$Π_{u} = X^{3} - X$ donc $dim ℝ [u] = 3$ et par suite $C (u) = ℝ [u]$ si, et seulement si, $n = 1$ .

Exercice 6 4942 CCINP (MP)Correction

Soit $f$ un endomorphisme non nul de $ℝ^{3}$ vérifiant $f^{3} + f = 0$ .

(a)

Justifier que $0$ est la seule valeur propre possible de $f$ .

En déduire que l’endomorphisme $f$ n’est pas diagonalisable.
(b)

L’endomorphisme $f$ est-il surjectif?
(c)

Montrer que $ℝ^{3} = Im (f) \oplus Ker (f)$ .
(d)

Justifier que, pour tout $x \in E ∖ Ker (f)$ , la famille $(f (x), f^{2} (x))$ est une base de $Im (f)$ . Calculer la trace de $f$ .

Solution

(a)

Le polynôme $X^{3} + X$ est annulateur de $f$ et sa seule racine réelle est $0$ . Celle-ci est donc la seule valeur possible pour $f$ .

Si l’endomorphisme $f$ est diagonalisable, il est figuré par la matrice nulle et c’est donc l’endomorphisme nul: le sujet exclut cette possibilité.
(b)

Puisque $ℝ^{3}$ est de dimension impaire, l’endomorphisme $f$ admet au moins une valeur propre. Celle-ci étant nulle, l’endomorphisme $f$ n’est pas injectif. En vertu du théorème d’isomorphisme, $f$ ne peut pas être non plus surjectif.
(c)

Soit $x \in Im (f) \cap Ker (f)$ . On peut écrire $x = f (a)$ et l’on a alors

$x = x + f (\underset{\begin{matrix} = 0 \end{matrix}}{\underset{⏟}{f (x)}}) = x + f^{2} (x) = f (a) + f^{3} (a) = 0 .$

Les espaces $Im (f)$ et $Ker (f)$ sont donc en somme directe et par conséquent supplémentaires car la formule du rang donne $dim Im (f) + dim Ker (f) = dim ℝ^{3}$ .
(d)

Soit $x \in E ∖ Ker (f)$ . Les vecteurs $f (x)$ et $f^{2} (x)$ appartiennent à $Im (f)$ .

Soit $(λ, μ) \in ℝ^{2}$ . Supposons

$λ f (x) + μ f^{2} (x) = 0 .$ (1)

En appliquant $f$ aux deux membres

$λ f^{2} (x) - μ f (x) = 0 .$ (2)

La combinaison $λ \times (1) - μ \times (2)$ , donne

$(λ^{2} + μ^{2}) f (x) = 0 .$

Puisque $f (x) \neq 0$ , on obtient $λ^{2} + μ^{2} = 0$ et donc $(λ, μ) = (0,0)$ .

La famille $(f (x), f^{2} (x))$ est donc libre et constitue une base de $Im (f)$ qui est de dimension inférieure à $2$ car $f$ n’est pas surjectif.

Enfin, en complétant cette famille d’un vecteur non nul de $Ker (f)$ , on forme une base de $ℝ^{3}$ dans laquelle la matrice de $f$ est

$(\begin{matrix} 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) .$

On conclut $tr (f) = 0$ .

[<] Diagonalisabilité de matrices par blocs [>] Étude de matrices vérifiant une identité polynomiale

Édité le 29-08-2023

Étude d'endomorphismes vérifiant une identité polynomiale