Exercice 1 4309

Montrer qu’un endomorphisme nilpotent d’un espace non réduit au vecteur nul admet une et une seule valeur propre qui est $0$ .

Exercice 2 5150

Montrer qu’une matrice carrée complexe est nilpotente si, et seulement si, $0$ est sa seule valeur propre¹¹ 1 On retrouve ici un résultat déjà évoqué dans le sujet 5158..

Exercice 3 783 Correction

Soit $A \in ℳ_{n} (ℂ)$ nilpotente.

(a)

Calculer $χ_{A}$ .
(b)

Même question avec $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ .

Solution

(a)

Puisque $A$ est nilpotente, $A$ ne peut avoir que des valeurs propres nulles. Les valeurs propres étant les racines du polynôme caractéristique et ce dernier étant scindé sur $ℂ$ , $χ_{A} = X^{n}$ .
(b)

Pour $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ , on a aussi $A \in ℳ_{n} (ℂ)$ et le polynôme caractéristique est calculé par la même formule dans les deux cas.

Exercice 4 837 Correction

Soit $u$ un endomorphisme d’un $ℂ$ -espace vectoriel $E$ de dimension finie.
Montrer que $u$ possède une seule valeur propre si, et seulement si, il existe $λ \in ℂ$ tel que $u - λ {Id}_{E}$ soit nilpotent.

Solution

Si $u$ possède une unique valeur propre $λ$ alors celle-ci est la seule racine de son polynôme caractéristique qui est alors ${(X - λ)}^{dim E}$ . Ce dernier annulant $u$ , on peut affirmer $u - λ {Id}_{E}$ est nilpotent.
Si $u - λ {Id}_{E}$ est nilpotent alors il existe $p \in ℕ$ tel que ${(X - λ)}^{p}$ soit annulateur de $u$ . Les valeurs propres de $u$ étant racine de ce polynôme, elles ne peuvent qu’être égale à $λ$ . De plus, $λ$ est assurément valeur propre car un endomorphisme d’un $ℂ$ -espace vectoriel de dimension finie possède au moins une valeur propre.

Exercice 5 4979 MINES (PSI)

Soit $A \in ℳ_{n} (ℂ)$ .

Déterminer les polynômes $P$ de $ℂ [X]$ tels que la matrice $P (A)$ soit nilpotente.

Exercice 6 3253

Soit $E$ un espace vectoriel complexe de dimension finie $n \geq 1$ .

(a)

Montrer qu’il existe un polynôme réel $P_{n}$ vérifiant

$\sqrt{1 + x} \underset{x \to 0}{=} P_{n} (x) + O (x^{n})$
(b)

Établir que $X^{n}$ divise alors le polynôme $P_{n}^{2} - X - 1$ .
(c)

Soit $f$ un endomorphisme de $E$ nilpotent. Montrer qu’il existe un endomorphisme $g$ de $E$ vérifiant $g^{2} = {Id}_{E} + f$ .
(d)

Soit maintenant $f$ un endomorphisme de $E$ ne possédant qu’une seule valeur propre $λ$ non nulle¹¹ 1 Lorsque $λ = 0$ , l’équation étudiée peut ne pas avoir de solutions, voir le sujet 1956.. Montrer qu’il existe un endomorphisme $g$ de $E$ vérifiant $g^{2} = f$ .

Exercice 7 4955

Soient $a \in ℂ$ et $M \in ℳ_{n} (ℂ)$ . Montrer que, si les matrices $M$ et $a M$ sont semblables, alors $a$ est une racine de l’unité ou $M$ est une matrice nilpotente.

Exercice 8 2690 MINES (MP)Correction

Soient $A$ et $B$ des matrices complexes carrées d’ordre $n$ . On suppose les matrices $A + 2^{k} B$ nilpotentes pour tout entier $k$ tel que $0 \leq k \leq n$ . Montrer que les matrices $A$ et $B$ sont nilpotentes.

Solution

Rappelons qu’une matrice $M$ carrée de taille $n$ qui est nilpotente vérifie $M^{n} = O_{n}$ (l’ordre de nilpotence est au plus égal à la taille de la matrice). On a

\forall k \in {0, \dots, n}, {(A + 2^{k} B)}^{n} = O_{n} .

Considérons alors la matrice

{(A + X B)}^{n} \in ℳ_{n} (𝕂 [X]) .

Celle-ci est à coefficients polynomiaux de degrés inférieurs à $n$ . Puisque $1,2, \dots {,2}^{n}$ sont $n + 1$ racines distinctes de ces coefficients, ceux-ci sont tous nuls. On en déduit

A^{n} = O_{n}

car les coefficients constants sont nuls, et

B^{n} = O_{n}

car les coefficients des termes $X^{n}$ sont aussi nuls.

Exercice 9 938 X (MP)Correction

Soient $n \in ℕ^{*}$ , $A$ et $B$ dans $ℳ_{n} (ℂ)$ et $λ_{1}, \dots, λ_{n}, λ_{n + 1}$ deux à deux distincts dans $ℂ$ . On suppose, pour $1 \leq i \leq n + 1$ , que $A + λ_{i} B$ est nilpotente.
Montrer que $A$ et $B$ sont nilpotentes.

Solution

Une matrice $M \in ℳ_{n} (ℂ)$ nilpotente vérifie $M^{n} = O_{n}$ . Considérons la matrice ${(A + x B)}^{n}$ . Les coefficients de cette matrice sont des polynômes de degrés inférieurs à $n$ s’annulant chacun en les $λ_{1}, \dots, λ_{n}, λ_{n + 1}$ , ce sont donc des polynômes nuls. Ainsi, pour tout $x \in ℂ$ , ${(A + x B)}^{n} = O_{n}$ . En particulier, les coefficients constants sont nuls et l’on obtient $A^{n} = O_{n}$ . Aussi, les coefficients de $x^{n}$ sont nuls et l’on a $B^{n} = O_{n}$ .

Exercice 10 3477 X (MP)Correction

Soit $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ .

(a)

On suppose $A^{3} = A^{2}$ . Montrer que $A^{2}$ est diagonalisable et que $A^{2} - A$ est nilpotente.
(b)

Plus généralement on suppose $A^{k + 1} = A^{k}$ pour un certain entier $k > 0$ .
Établir l’existence d’un entier $p > 0$ tel que $A^{p}$ est diagonalisable et $A^{p} - A$ nilpotente.

Solution

(a)

On remarque

$\forall k \geq 2, A^{k} = A^{2} .$

En particulier, $A^{4} = A^{2}$ et $X^{2} - X = X (X - 1)$ annule $A^{2}$ . Ce polynôme étant scindé à racines simples, la matrice $A^{2}$ est diagonalisable. De plus,

${(A^{2} - A)}^{2} = A^{4} - 2 A^{3} + A^{2} = O_{n}$

et la matrice $A^{2} - A$ est nilpotente.
(b)

On remarque

$\forall i \geq k, A^{i} = A^{k}$

et donc $A^{2 k} = A^{k}$ ce qui assure comme au dessus que $A^{k}$ est diagonalisable et

${(A^{k} - A)}^{k} = \sum_{i = 0}^{k} {(- 1)}^{i} (\binom{k}{i}) A^{k (k - i) + i} = \underset{\begin{matrix} = 0 \end{matrix}}{\underset{⏟}{\sum_{i = 0}^{k} {(- 1)}^{i} (\binom{k}{i})}} A^{k} = O_{n} .$

Exercice 11 865 Correction

Soient $E$ un $ℂ$ -espace vectoriel de dimension $n \in ℕ^{*}$ et $f \in ℒ (E)$ .

(a)

Montrer que l’endomorphisme $f$ est nilpotent si, et seulement si,

$Sp (f) = {0} .$
(b)

Montrer que l’endomorphisme $f$ est nilpotent si, et seulement si,

$\forall 1 \leq k \leq n, tr (f^{k}) = 0 .$

Solution

(a)

Supposons qu’il existe $p \in ℕ^{*}$ tel que $f^{p} = 0$ .

Le polynôme $X^{p}$ est annulateur de $f$ donc $Sp (f) \subset {0}$ . Or $Sp (f) \neq \emptyset$ donc $Sp (f) = {0}$ .

Inversement, si $Sp (f) = {0}$ alors seule $0$ est racine de son polynôme caractéristique. Or $χ_{f}$ est scindé dans $ℂ [X]$ , unitaire et degré $n$ donc $χ_{f} = X^{n}$ puis $f^{n} = 0$ en vertu du théorème de Cayley Hamilton. On en déduit que $f$ est nilpotente.
(b)

Supposons $f$ nilpotent.

Par l’étude ci-dessus, $f$ est trigonalisable stricte et donc

$\forall 1 \leq k \leq n, tr (f^{k}) = 0$

car les puissances de $f$ pourront aussi être représentées par des matrices triangulaires strictes.
Inversement, supposons

$\forall 1 \leq k \leq n, tr (f^{k}) = 0 .$

En notant $λ_{1}, \dots, λ_{n}$ les valeurs propres de $f$ comptées avec multiplicité, on obtient le système

${\begin{matrix} λ_{1} + \dots + λ_{n} & = 0 \\ λ_{1}^{2} + \dots + λ_{n}^{2} & = 0 \\ ⋮ \\ λ_{1}^{n} + \dots + λ_{n}^{n} & = 0 . \end{matrix}$

La résolution de ce système est délicate.

En raisonnant par récurrence, nous allons établir que la seule solution est $λ_{1} = \dots = λ_{n} = 0$ ce qui permettra de conclure que $f$ est nilpotente car alors $χ_{f} = X^{n}$ et l’on sait que le polynôme caractéristique est annulateur de $f$ .

Pour $n = 1$ , la propriété est immédiate.

Supposons la propriété vraie au rang $n - 1$ .

Soit $(λ_{1}, \dots, λ_{n}) \in ℂ^{n}$ vérifiant

${\begin{matrix} λ_{1} + \dots + λ_{n} & = 0 \\ λ_{1}^{2} + \dots + λ_{n}^{2} & = 0 \\ ⋮ \\ λ_{1}^{n} + \dots + λ_{n}^{n} & = 0 . \end{matrix}$

Considérons le polynôme

$P (X) = (X - λ_{1}) \dots (X - λ_{n}) .$

On introduit les coefficients de $P$ :

$P (X) = X^{n} + a_{n - 1} X^{n - 1} + \dots + a_{1} X + a_{0} .$

Comme $P (λ_{i}) = 0$ , on a

$\sum_{i = 1}^{n} P (λ_{i}) = 0 .$

Or

$\sum_{i = 1}^{n} P (λ_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} λ_{i}^{n} + a_{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} λ_{i}^{n - 1} + \dots + a_{1} \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} + n a_{0} = n a_{0} .$

On en déduit $a_{0} = 0$ et donc $0$ est racine de $P$ .

Il existe alors $i \in {1, \dots, n}$ tel que $λ_{i} = 0$ . Par symétrie du problème, on peut supposer $λ_{n} = 0$ et le système initial fournit alors

${\begin{matrix} λ_{1} + \dots + λ_{n - 1} & = 0 \\ λ_{1}^{2} + \dots + λ_{n - 1}^{2} & = 0 \\ ⋮ \\ λ_{1}^{n - 1} + \dots + λ_{n - 1}^{n - 1} & = 0 . \end{matrix}$

Par application de l’hypothèse de récurrence, on obtient $λ_{1} = \dots = λ_{n - 1} = 0$ .

La récurrence est établie.

Exercice 12 3023 X (MP)Correction

Soient $E$ un $ℂ$ -espace vectoriel de dimension finie et $u \in ℒ (E)$ .
On note

ℐ_{1} = {P \in ℂ [X] | P (u) = 0} et ℐ_{2} = {P \in ℂ [X] | P (u) est nilpotent} .

(a)

Montrer que $ℐ_{1}$ et $ℐ_{2}$ sont des idéaux non nuls de $ℂ [X]$ .

On note $P_{1}$ et $P_{2}$ leurs générateurs unitaires respectifs.

(b)

Établir un lien entre $P_{1}$ et $P_{2}$ .
(c)

Montrer l’existence de $Q \in ℐ_{2}$ tel que $u - Q (u)$ est diagonalisable

Solution

(a)

$ℐ_{1}$ est l’idéal des polynômes annulateurs de $u$ , il est engendré par $P_{1} = Π_{u}$ polynôme minimal de $u$ .

La somme de deux endomorphismes nilpotents commutant est encore nilpotent car la formule du binôme de Newton s’applique et il suffit de travailler avec un exposant assez grand. On obtient alors facilement que $ℐ_{2}$ est un sous-groupe de $(𝕂 [X], +)$ . La stabilité par absorption étant immédiate, $ℐ_{2}$ est un idéal de $𝕂 [X]$ . Comme il contient $ℐ_{1}$ , l’idéal $ℐ$ n’est pas réduit à l’élément nul.
(b)

Puisque $ℐ_{1} \subset ℐ_{2}$ , $P_{1} \in P_{2} 𝕂 [X]$ et donc $P_{2} ∣ P_{1}$ .

Aussi, en posant $n$ la dimension de $E$ , on sait que pour tout endomorphisme nilpotent de $v$ de $E$ , on a $v^{n} = 0$ . Puisque $P_{2} (u)$ est nilpotent, on en déduit que ${(P_{2})}^{n} (u) = 0$ et donc $P_{1} ∣ P_{2}^{n}$ .
(c)

Cette question est immédiate avec la décomposition de Dunford mais cette dernière est hors-programme…Procédons autrement!

Puisque $P_{2} ∣ P_{1}$ et $P_{1} ∣ P_{2}^{n}$ , les racines de $P_{2}$ sont exactement celles de $P_{1}$ , c’est-à-dire les valeurs propres de l’endomorphisme $u$ . On peut donc écrire

$P_{2} = \prod_{λ \in Sp (u)} {(X - λ)}^{α_{λ}} .$

Or $P_{2} (u)$ étant nilpotent, il est immédiat que l’endomorphisme $\prod_{λ \in Sp (u)} (u - λ {Id}_{E})$ l’est aussi. On en déduit que

$P_{2} = \prod_{λ \in Sp (u)} (X - λ)$

et ce polynôme est donc scindé à racines simples.

Déterminons maintenons un polynôme $R \in 𝕂 [X]$ tel que pour $Q = P_{2} R$ , on ait $P_{2} (u - Q (u)) = 0$ .

On en déduira que $u - Q (u)$ est diagonalisable avec $Q (u) \in ℐ_{2}$ .

L’identité $P_{2} (u - Q (u)) = 0$ est obtenue dès que $P_{1}$ divise le polynôme

$P_{2} (X - P_{2} (X) R (X)) = \prod_{λ \in Sp (u)} (X - λ - P_{2} (X) R (X)) .$

Or $P_{1} = \prod_{λ \in Sp (u)} {(X - λ)}^{β_{λ}}$ et il suffit donc que pour chaque $λ \in Sp (u)$ , le facteur ${(X - λ)}^{β_{λ}}$ divise le facteur $X - λ - P_{2} (X) R (X)$ pour pouvoir conclure. On a

$X - λ - P_{2} (X) R (X) = (X - λ) (1 - \prod_{μ \neq λ} (X - μ) R (X)) .$

La condition voulue est assurément vérifiée si $β_{λ} = 1$ .

Pour $β_{λ} \geq 2$ , la condition voulue est satisfaite si $\prod_{μ \neq λ} (λ - μ) R (λ) = 1$ et si pour tout $k \in {1, \dots, β_{λ} - 2}$ , la dérivée $k$ -ième du polynôme $\prod_{μ \neq λ} (X - μ) R (X)$ s’annule en $λ$ . Cela fournit des équations déterminant pleinement $R (λ), R^{'} (λ), \dots, R^{β_{λ} - 2} (λ)$ car $\prod_{μ \neq λ} (λ - μ) \neq 0$ .

Sachant qu’il est possible de construire un polynôme prenant des valeurs données ainsi que ses dérivées en des éléments deux à deux distincts de $𝕂$ , on peut déterminer un polynôme résolvant notre problème.

[<] Trigonalisabilité et polynôme annulateur [>] Sous-espaces caractéristiques

Édité le 29-08-2023

Nilpotence