Exercice 1 811 Correction

Calculer $A^{n}$ pour

A = (\begin{matrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix}) .

Solution

$A$ est diagonalisable avec $Sp (A) = {1,4}$ . On peut donc écrire

A = P D P^{- 1}

avec $P$ inversible et $D$ diagonale de coefficients diagonaux $1$ et $4$ . Le calcul exact de $P$ et $D$ n’est pas utile (mais, par la trace, on remarque de $1$ est valeur propre double et $4$ valeur propre simple).

Pour $Π_{n}$ un polynôme vérifiant $Π_{n} (1) = 1^{n}$ et $Π_{n} (4) = 4^{n}$ , on a

Π_{n} (A) = P Π_{n} (D) P^{- 1} = P D^{n} P^{- 1} = A^{n} .

Par interpolation affine, le polynôme

Π_{y} n = 1^{n} + \frac{4^{n} - 1^{n}}{3} (X - 1)

convient et donc

A^{n} = \frac{4^{n} - 1}{3} A + \frac{4 - 4^{n}}{3} I_{3} .

Exercice 2 842 Correction

Soit

M = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ ⋱ \\ 1 & 0 \end{matrix}) \in ℳ_{n} (ℝ) avec n \geq 2 .

(a)

Montrer que $M$ est diagonalisable.
(b)

Déterminer le polynôme minimal de $M$ .
(c)

Calculer $M^{p}$ pour $p \in ℕ$ .

Solution

(a)

1ère méthode:

$\det (λ I_{n} - M)$ $= | \begin{matrix} λ & - 1 \\ ⋱ \\ - 1 & λ \end{matrix} | = | \begin{matrix} λ - (n - 1) & - 1 & \dots & - 1 \\ λ - (n - 1) & λ & - 1 \\ ⋮ & ⋱ \\ λ - (n - 1) & - 1 & λ \end{matrix} |$

$= (λ - (n - 1)) | \begin{matrix} 1 & - 1 & \dots & - 1 \\ 0 & λ + 1 & (0) \\ ⋮ & ⋱ \\ 0 & (0) & λ + 1 \end{matrix} |$

puis $\det (λ I_{n} - M) = (λ - (n - 1)) {(λ + 1)}^{n - 1}$ et donc $Sp (M) = {- 1, (n - 1)}$ .
Soit $f$ l’application linéaire canoniquement associée à $M$ .

$f (x_{1}, \dots, x_{n}) = (x_{1}, \dots, x_{n}) \Leftrightarrow x_{1} + \dots + x_{n} = 0 .$

Donc $E_{- 1}$ est l’hyperplan d’équation $x_{1} + \dots + x_{n} = 0$ .
Puisque $E_{n - 1}$ est au moins une droite vectorielle, la matrice $M$ est diagonalisable.

2ème méthode: Après calculs, on obverse que $M^{2} = (n - 1) I_{n} + (n - 2) M$ .
Par suite, $M$ annule le polynôme scindé simple $(X + 1) (X - (n - 1))$ et donc $M$ est diagonalisable.

3ème méthode: La matrice $M$ est symétrique réelle donc diagonalisable.
(b)

Le polynôme minimal de $M$ est $(X + 1) (X - (n - 1))$ car en vertu de la première méthode, la connaissance des valeurs propres de $M$ détermine son polynôme minimal sachant $M$ diagonalisable et, pour la deuxième méthode, ce polynôme est annulateur alors que les polynômes $X + 1$ et $X - (n - 1)$ ne le sont pas.
(c)

Par division euclidienne $X^{p} = (X + 1) (X - (n - 1)) Q + α X + β$
En évaluant la relation en $- 1$ et en $n - 1$ , on obtient
avec

${\begin{matrix} - α + β & = {(- 1)}^{p} \\ α (n - 1) + β & = {(n - 1)}^{p} . \end{matrix}$

Après résolution

${\begin{matrix} α & = \frac{{(n - 1)}^{p} - {(- 1)}^{p}}{n} \\ β & = \frac{{(n - 1)}^{p} + (n - 1) {(- 1)}^{p}}{n} \end{matrix}$

d’où

$M^{p} = \frac{{(n - 1)}^{p} - {(- 1)}^{p}}{n} M + \frac{{(n - 1)}^{p} + (n - 1) {(- 1)}^{p}}{n} I_{n} .$

Exercice 3 812 Correction

Soit

A = (\begin{matrix} \cos (θ) & 2 \sin (θ) \\ \frac{1}{2} \sin (θ) & \cos (θ) \end{matrix}) .

(a)

Déterminer deux réels $α, β$ tel que $A^{2} = α A + β I_{2}$ .
(b)

Calculer $A^{n}$ pour $n \geq 1$ .

Solution

(a)

$α = tr (A) = 2 \cos (θ)$ et $β = - \det (A) = - \cos (2 θ)$ conviennent.
(b)

Les racines de $X^{2} - 2 \cos (θ) X + \cos (2 θ)$ sont $\cos (θ) + \sin (θ)$ et $\cos (θ) - \sin (θ)$ .
Réalisons la division euclidienne $X^{n}$ par $X^{2} - 2 \cos (θ) X + \cos (2 θ)$ .

$X^{n} = (X^{2} - 2 \cos (θ) X + \cos (2 θ)) Q (X) + R (X)$

avec $\deg (R) < 2$ ,

$R (\cos (θ) + \sin (θ)) = {(\cos (θ) + \sin (θ))}^{n}$

et

$R (\cos (θ) - \sin (θ)) = {(\cos (θ) - \sin (θ))}^{n} .$

On obtient

$R = \frac{{(\cos (θ) + \sin (θ))}^{n} - {(\cos (θ) - \sin (θ))}^{n}}{2 \sin (θ)} (X - \cos (θ) - \sin (θ)) + {(\cos (θ) + \sin (θ))}^{n}$

et donc

$A^{n} = \frac{{(\cos (θ) + \sin (θ))}^{n} - {(\cos (θ) - \sin (θ))}^{n}}{2 \sin (θ)} (A - (\cos (θ) + \sin (θ)) I_{2}) + {(\cos (θ) + \sin (θ))}^{n} I_{n} .$

Exercice 4 1721 Correction

Soit

A = (\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 2 & 4 \end{matrix}) \in ℳ_{2} (ℝ) .

Calculer $A^{n}$ pour tout $n \in ℕ$ .

Solution

Le polynôme caractéristique de $A$ est

χ_{A} = X^{2} - 5 X + 6 = (X - 2) (X - 3) .

Celui-ci est annulateur de $A$ .

On réalise la division euclidienne de $X^{n}$ par $χ_{A}$ . Celle-ci s’écrit

X^{n} = (X - 2) (X - 3) Q + a X + b avec Q \in ℝ [X] et a, b \in ℝ .

On détermine $a$ et $b$ en évaluant en $2$ et $3$ :

{\begin{matrix} 2^{n} & = 2 a + b \\ 3^{n} & = 3 a + b \end{matrix}

ce qui donne

a = 3^{n} - 2^{n} et b = 3 \cdot 2^{n} - 2 \cdot 3^{n} .

En évaluant la relation $X^{n} = (X - 2) (X - 3) Q + a X + b$ en la matrice $A$ , on obtient

A^{n} = (3^{n} - 2^{n}) A + (3 \cdot 2^{n} - 2 \cdot 3^{n}) I_{2} .

	$\det (λ I_{n} - M)$	$= \| \begin{matrix} λ & - 1 \\ ⋱ \\ - 1 & λ \end{matrix} \| = \| \begin{matrix} λ - (n - 1) & - 1 & \dots & - 1 \\ λ - (n - 1) & λ & - 1 \\ ⋮ & ⋱ \\ λ - (n - 1) & - 1 & λ \end{matrix} \|$
		$= (λ - (n - 1)) \| \begin{matrix} 1 & - 1 & \dots & - 1 \\ 0 & λ + 1 & (0) \\ ⋮ & ⋱ \\ 0 & (0) & λ + 1 \end{matrix} \|$

Calcul de puissances d'une matrice