[<] Diagonalisabilités des polynômes en un endomorphisme [>] Trigonalisabilité et polynôme annulateur

 
Exercice 1  811  Correction  

Calculer An pour

A=(211121112).

Solution

A est diagonalisable avec Sp(A)={1,4}. On peut donc écrire

A=PDP-1

avec P inversible et D diagonale de coefficients diagonaux 1 et 4. Le calcul exact de P et D n’est pas utile (mais, par la trace, on remarque de 1 est valeur propre double et 4 valeur propre simple).

Pour Πn un polynôme vérifiant Πn(1)=1n et Πn(4)=4n, on a

Πn(A)=PΠn(D)P-1=PDnP-1=An.

Par interpolation affine, le polynôme

Πyn=1n+4n-1n3(X-1)

convient et donc

An=4n-13A+4-4n3I3.
 
Exercice 2  842   Correction  

Soit

M=(0110)n() avec n2.
  • (a)

    Montrer que M est diagonalisable.

  • (b)

    Déterminer le polynôme minimal de M.

  • (c)

    Calculer Mp pour p.

Solution

  • (a)

    1ère méthode:

    det(λIn-M)=|λ-1-1λ|=|λ-(n-1)-1-1λ-(n-1)λ-1λ-(n-1)-1λ|=(λ-(n-1))|1-1-10λ+1(0)0(0)λ+1|

    puis det(λIn-M)=(λ-(n-1))(λ+1)n-1 et donc Sp(M)={-1,(n-1)}.
    Soit f l’application linéaire canoniquement associée à M.

    f(x1,,xn)=(x1,,xn)x1++xn=0.

    Donc E-1 est l’hyperplan d’équation x1++xn=0.
    Puisque En-1 est au moins une droite vectorielle, la matrice M est diagonalisable.

    2ème méthode: Après calculs, on obverse que M2=(n-1)In+(n-2)M.
    Par suite, M annule le polynôme scindé simple (X+1)(X-(n-1)) et donc M est diagonalisable.

    3ème méthode: La matrice M est symétrique réelle donc diagonalisable.

  • (b)

    Le polynôme minimal de M est (X+1)(X-(n-1)) car en vertu de la première méthode, la connaissance des valeurs propres de M détermine son polynôme minimal sachant M diagonalisable et, pour la deuxième méthode, ce polynôme est annulateur alors que les polynômes X+1 et X-(n-1) ne le sont pas.
    Par division euclidienne Xp=(X+1)(X-(n-1))Q+αX+β
    En évaluant la relation en -1 et en n-1, on obtient
    avec

    {-α+β=(-1)pα(n-1)+β=(n-1)p.

    Après résolution

    {α=(n-1)p-(-1)pnβ=(n-1)p+(n-1)(-1)pn

    d’où

    Mp=(n-1)p-(-1)pnM+(n-1)p+(n-1)(-1)pnIn.
 
Exercice 3  812   Correction  

Soit

A=(cos(θ)2sin(θ)12sin(θ)cos(θ)).
  • (a)

    Déterminer deux réels α,β tel que A2=αA+βI2.

  • (b)

    Calculer An pour n1.

Solution

  • (a)

    α=tr(A)=2cos(θ) et β=-det(A)=-cos(2θ) conviennent.

  • (b)

    Les racines de X2-2cos(θ)X+cos(2θ) sont cos(θ)+sin(θ) et cos(θ)-sin(θ).
    Réalisons la division euclidienne Xn par X2-2cos(θ)X+cos(2θ).

    Xn=(X2-2cos(θ)X+cos(2θ))Q(X)+R(X)

    avec deg(R)<2,

    R(cos(θ)+sin(θ))=(cos(θ)+sin(θ))n

    et

    R(cos(θ)-sin(θ))=(cos(θ)-sin(θ))n.

    On obtient

    R=(cos(θ)+sin(θ))n-(cos(θ)-sin(θ))n2sin(θ)(X-cos(θ)-sin(θ))+(cos(θ)+sin(θ))n

    et donc

    An=(cos(θ)+sin(θ))n-(cos(θ)-sin(θ))n2sin(θ)(A-(cos(θ)+sin(θ))I2)+(cos(θ)+sin(θ))nIn.

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Édité le 08-11-2019

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