Exercice 1 5637 Correction

Quels sont les sous-espaces caractéristiques d’un endomorphisme diagonalisable?

Solution

Soit $u$ un endomorphisme diagonalisable d’un espace vectoriel $E$ .

Pour $λ \in Sp (u)$ , notons $E_{λ} (u)$ et $F_{λ} (u)$ les sous-espaces propres et caractéristiques de l’endomorphisme $u$ associés à la valeur propre $λ$ . On sait $E_{λ} (u) \subset F_{λ} (u)$ . Aussi, les espaces $F_{λ} (u)$ sont en somme directe et, par l’hypothèse de diagonalisabilité

E = \underset{λ \in Sp (u)}{\oplus} E_{λ} (u) \subset \underset{λ \in Sp (u)}{\oplus} F_{λ} (u) \subset E .

On en déduit

dim E = \sum_{λ \in Sp (u)} dim E_{λ} (u) \leq \sum_{λ \in Sp (u)} dim F_{λ} (u) \leq dim E

puis

\forall λ \in Sp (u), dim E_{λ} (u) = dim F_{λ} (u) .

Par inclusion et égalité des dimensions, il vient

\forall λ \in Sp (u), F_{λ} (u) = E_{λ} (u) .

Exercice 2 5641 Correction

Soit $λ$ une valeur propre d’un endomorphisme $u$ d’un espace vectoriel $E$ de dimension finie.

(a)

On suppose qu’il existe $p \in ℕ$ tel que $Ker (u^{p}) = Ker (u^{p + 1})$ . Montrer que pour tout $k \in ℕ$

$Ker (u^{p + k}) = Ker (u^{p + k + 1}) .$

On note $β$ la multiplicité de $λ$ en tant que racine du polynôme minimal $π_{u}$ .

(b)

Pour $k \in ℕ$ , montrer

$Ker ({(u - λ . {Id}_{E})}^{k}) = Ker ({(u - λ . {Id}_{E})}^{k + 1}) \Leftrightarrow k \geq β .$
(c)

En déduire que le sous-espace caractéristique de $u$ associé à la valeur propre $λ$ est

$F_{λ} (u) = Ker ({(u - λ . {Id}_{E})}^{β}) .$

Solution

(a)

Soit $k \in ℕ$ . Pour $x \in E$ ,

$x \in Ker (u^{p + k})$ $\Leftrightarrow u^{p} (u^{k} (x)) = 0_{E}$

$\Leftrightarrow u^{k} (x) \in Ker (u^{p})$

$\Leftrightarrow u^{k} (x) \in Ker (u^{p + 1})$

$\Leftrightarrow u^{p + 1} (u^{k} (x)) = 0_{E}$

$\Leftrightarrow x \in Ker (u^{p + k}) .$

Ainsi, $Ker (u^{p + k}) = Ker (u^{p + k + 1})$ .
(b)

On écrit $π_{u} = {(X - λ)}^{β} Q (X)$ avec $Q (λ) \neq 0$ .

Par croissance des noyaux itérés, on sait

$Ker ({(u - λ . {Id}_{E})}^{β - 1}) \subset Ker ({(u - λ . {Id}_{E})}^{β}) \subset Ker ({(u - λ . {Id}_{E})}^{β + 1}) .$

Montrons que la première inclusion est stricte alors que la seconde est un égalité.

Par l’absurde, supposons $Ker ({(u - λ . {Id}_{E})}^{β - 1}) = Ker ({(u - λ . {Id}_{E})}^{β})$ . Pour tout $x \in E$ ,

$π_{u} (u) (x) = {(u - λ . {Id}_{E})}^{β} \circ Q (u) (x) = 0_{E}$

donc $Q (u) (x) \in Ker ({(u - λ . {Id}_{E})}^{β}) = Ker ({(u - λ . {Id}_{E})}^{β - 1})$ ce qui entraîne

${(u - λ . {Id}_{E})}^{β - 1} \circ Q (u) (x) = 0_{E} .$

Le polynôme ${(X - λ)}^{β - 1} Q$ est alors annulateur de $u$ . C’est absurde car contredit la minimalité du polynôme $π_{u}$ .

Poursuivons en montrant $Ker ({(u - λ . {Id}_{E})}^{β + 1}) \subset Ker ({(u - λ . {Id}_{E})}^{β})$ .

Soit $x \in Ker ({(u - λ . {Id}_{E})}^{β + 1})$ . Puisque $Q (λ) \neq 0$ , les polynômes $X - λ$ et $Q$ sont premiers entre eux. Il existe donc deux polynômes $V, W \in 𝕂 [X]$ tels que $V (X - λ) + W Q = 1$ et alors

${(X - λ)}^{n} = V {(X - λ)}^{n + 1} + W {(X - λ)}^{n} Q = V {(X - λ)}^{n + 1} + W π_{u} .$

En évaluant en $u$ puis en $x$ ,

$({(u - λ . {Id}_{E})}^{β}) (x) = (V (u) \circ {(u - λ . {Id}_{E})}^{β + 1}) (x) + (W (u) \circ π_{u} (u)) (x) = 0_{E} .$

Par double inclusion,

$Ker ({(u - λ . {Id}_{E})}^{β}) = Ker ({(u - λ . {Id}_{E})}^{β + 1}) .$

Enfin, par la propriété de la question précédente employée avec l’endomorphisme $u - λ . {Id}_{E}$ au lieu de $u$ , on peut conclure

$Ker ({(u - λ . {Id}_{E})}^{k}) = Ker ({(u - λ . {Id}_{E})}^{k + 1}) \Leftrightarrow k \geq β .$
(c)

Par définition, le sous-espace caractéristique $F_{λ} (u)$ est

$F_{λ} (u) = Ker ({(u - λ . {Id}_{E})}^{α})$

avec $α$ la multiplicité de $λ$ en tant que racine du polynôme caractéristique $χ_{u}$ . Or on sait que $π_{u}$ divise $χ_{u}$ et donc $β \leq α$ . Le résultat de la question précédente donne alors

$F_{λ} (u) = Ker ({(u - λ . {Id}_{E})}^{β}) .$

Exercice 3 4325

Soit $u$ un endomorphisme d’un espace vectoriel complexe $E$ de dimension finie $n \geq 1$ . On note $λ_{1}, \dots, λ_{m}$ les valeurs propres sans répétitions de $u$ et $α_{1}, \dots, α_{m}$ leurs multiplicités respectives. Montrer que pour tout $k \in ⟦ 1; m ⟧$ ,

dim Ker {(u - λ_{k} . {Id}_{E})}^{α_{k}} = α_{k} .

Exercice 4 5747 Correction

Soit $λ$ une valeur propre de multiplicité $α$ d’un endomorphisme $u$ d’un espace vectoriel $E$ de dimension finie.

Établir

dim (Ker {(u - λ . {Id}_{E})}^{α}) = α .

Solution

Puisque $α$ est la multiplicité de $λ$ en tant que racine du polynôme caractéristique, on peut écrire $χ_{u} = {(X - λ)}^{α} Q$ avec $Q \in 𝕂 [X]$ tel que $Q (λ) \neq 0$ . Les polynômes ${(X - λ)}^{α}$ et $Q$ sont premiers entre eux et, par application du théorème de Cayley-Hamilton et du lemme des noyaux,

E = Ker (χ_{u} (u)) = Ker ({(u - λ . {Id}_{E})}^{α}) \oplus Ker (Q (u)) = F \oplus G

avec $F = Ker ({(u - λ . {Id}_{E})}^{α})$ et $G = Ker (Q (u))$ . Les espaces $F$ et $G$ sont stables par $u$ car ce sont des noyaux de polynômes en $u$ et que ces derniers commutent avec $u$ . En introduisant une base adaptée à la supplémentarité précédente, la matrice représentative de $u$ est de la forme

M = (\begin{matrix} A & (0) \\ (0) & B \end{matrix})

avec $A$ et $B$ les matrices représentatives des endomorphismes $u_{F}$ et $u_{G}$ induits par $u$ sur $F$ et $G$ . On a alors

χ_{u} = χ_{M} = χ_{A} χ_{B} = χ_{u_{F}} χ_{u_{G}} .

L’endomorphisme $u_{F}$ vérifie ${(u_{F} - λ . {Id}_{F})}^{α} = {({(u - λ . {Id}_{E})}^{α})}_{F} = 0$ . L’endomorphisme $u_{F} - λ . {Id}_{F}$ est donc nilpotent et l’on peut introduire une base de $F$ dans laquelle la matrice de cet endomorphisme est triangulaire supérieure stricte. La matrice de $u_{F}$ dans cette base est alors

(\begin{matrix} λ & (*) \\ ⋱ \\ (0) & λ \end{matrix}) \in ℳ_{β} (𝕂) avec β = dim F .

On en déduit

χ_{u_{F}} = {(X - λ)}^{dim F} .

L’endomorphisme $u_{G}$ induit par $u$ sur $G$ vérifie $Q (u_{G}) = {(Q (u))}_{G} = 0$ . Puisque $λ$ n’est pas racine de $Q$ annulateur de $u_{G}$ , $λ$ n’est pas valeur p de $u_{G}$ et donc $λ$ n’est pas racine de $χ_{u_{G}}$ .

On a donc

χ_{u} = {(X - λ)}^{dim F} χ_{u_{G}} avec χ_{u_{G}} (λ) \neq 0 .

Ainsi, $dim F$ est exactement la multiplicité de $λ$ en tant que racine de $χ_{M}$ . Autrement dit, $dim F = α$ .

[<] Nilpotence

Édité le 29-08-2023

	$x \in Ker (u^{p + k})$	$\Leftrightarrow u^{p} (u^{k} (x)) = 0_{E}$
		$\Leftrightarrow u^{k} (x) \in Ker (u^{p})$
		$\Leftrightarrow u^{k} (x) \in Ker (u^{p + 1})$
		$\Leftrightarrow u^{p + 1} (u^{k} (x)) = 0_{E}$
		$\Leftrightarrow x \in Ker (u^{p + k}) .$

Sous-espaces caractéristiques