[<] Polynômes annulateurs et valeurs propres [>] Polynôme minimal

 
Exercice 1  834  Correction  

Déterminer un polynôme annulateur de

A=(abcd)2(𝕂).

En déduire une expression de A-1 en fonction de A et I2 lorsque A est inversible.

Solution

χA=X2-(a+d)X+(ad-bc) annule matrice A.
On en déduit

A-1=1ad-bc((a+d)I2-A).
 
Exercice 2  4311  
  • (a)

    Déterminer un polynôme annulateur non trivial11 1 Le polynôme nul est assurément annulateur, on le qualifie de trivial et ce n’est pas celui qui nous intéresse ici. de chacune des matrices

    A=(1-214)etB=(1-113).
  • (b)

    Exploiter ces polynômes annulateurs pour exprimer An et Bn pour n.

 
Exercice 3  835  Correction  

Soit

A(λ1(*)0λn)n(𝕂).

Montrer que (X-λ1)(X-λn) est annulateur de A.

Solution

χA=(X-λ1)(X-λn) annule A en vertu du théorème de Cayley Hamilton.

 
Exercice 4  3019  

Soit u un endomorphisme bijectif d’un espace de dimension finie n1. Montrer que son inverse u-1 est un polynôme en u.

 
Exercice 5  3185     CENTRALE (PC)Correction  
  • (a)

    Soit u un endomorphisme inversible d’un 𝕂-espace vectoriel E de dimension finie.
    Montrer qu’il existe un polynôme Q𝕂[X] vérifiant

    u-1=Q(u).
  • (b)

    Soit u l’endomorphisme de 𝕂[X] qui envoie le polynôme P(X) sur P(2X).
    Montrer que u est un automorphisme et déterminer ses éléments propres.
    Existe-t-il Q𝕂[X] tel que

    u-1=Q(u)?

Solution

  • (a)

    Par le théorème de Cayley Hamilton, on a

    χu(u)=0~

    avec χu polynôme de coefficient constant det(u)0.
    En écrivant

    χu(X)=XP(X)+det(u)

    le polynôme

    Q(X)=-1det(u)P(X)

    est solution.

  • (b)

    Considérons l’endomorphisme v de 𝕂[X] qui envoie le polynôme P(X) sur P(X/2).
    On vérifie aisément uv=vu=Id ce qui permet d’affirmer que u est inversible d’inverse v.
    Soit P=anXn++a1X+a0 un polynôme de degré exactement n.
    Si u(P)=λP alors par identification des coefficients de degré n, on obtient

    λ=2n

    puis on en déduit

    P=anXn.

    La réciproque étant immédiate, on peut affirmer

    Sp(u)={2n|n}etE2n(u)=Vect(Xn).

    Si par l’absurde il existe Q𝕂[X] tel que

    u-1=Q(u)

    alors le polynôme non nul

    XQ(X)-1

    est annulateur de u. Les valeurs propres de u sont alors racines de celui-ci ce qui donne une infinité de racines.
    C’est absurde.

 
Exercice 6  4321  

(Endomorphisme unipotent)

Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel complexe E de dimension n1. On suppose que f possède 1 pour seule valeur propre.

Justifier que l’endomorphisme f-IdE est nilpotent.

 
Exercice 7  836  Correction  

Soit f un endomorphisme d’un -espace vectoriel E de dimension n. On suppose que f possède une unique valeur propre λ.

  • (a)

    À quelle condition l’endomorphisme est-il diagonalisable?

  • (b)

    Calculer le polynôme caractéristique de f.

  • (c)

    Justifier que l’endomorphisme f-λId est nilpotent.

Solution

  • (a)

    Si f est diagonalisable alors f est représenté par λIn dans une certaine base et donc f est une homothétie vectorielle. La réciproque est immédiate.

  • (b)

    Calculé dans une base de triangulation, χf(x)=(x-λ)n.

  • (c)

    χf est annulateur de f dans (f-λId)n=0~.

 
Exercice 8  4327   

Soit (un) une suite réelle vérifiant, pour tout n,

un+3+4un+2+5un+1+2un=0.

Pour n, on pose Xn3,1() la colonne de coefficients un,un+1,un+2.

  • (a)

    Déterminer une matrice A3() telle que Xn+1=AXn.

  • (b)

    Exprimer un en fonction de u0,u1,u2 et n.

 
Exercice 9  3693     CCP (MP)Correction  

Soit la matrice

A=(0-bab0-c-ac0)3().
  • (a)

    A est-elle diagonalisable dans 3()?

  • (b)

    A est-elle diagonalisable dans 3()?

  • (c)

    Soit λ un réel non nul. La matrice B=A+λI3 est-elle inversible?

  • (d)

    Montrer qu’il existe trois réels α,β,γ tels que

    B-1=αA2+βA+γI3.

Solution

Par Sarrus,

χA=X(X2+(a2+b2+c2)).
  • (a)

    Si (a,b,c)(0,0,0) alors a2+b2+c2>0 et la matrice A n’est pas diagonalisable sur car son polynôme caractéristique n’est pas scindé.
    Si (a,b,c)=(0,0,0) alors A est la matrice nulle.

  • (b)

    Si (a,b,c)(0,0,0) alors la matrice A diagonalisable dans 3() car possède trois valeurs propres distinctes à savoir 0 et ±ia2+b2+c2.
    Si (a,b,c)=(0,0,0) alors A est la matrice nulle.

  • (c)

    Puisque 0 est la seule valeur propre réelle de A et puisque B est inversible si, et seulement si, -λ n’est pas valeur propre de A, on peut conclure que B est inversible pour tout λ0.

  • (d)

    Puisque le polynôme caractéristique est annulateur de A, on a

    A3+(a2+b2+c2)A=O3

    donc

    (B-λI3)3+(a2+b2+c2)(B-λI3)=O3.

    Il suffit de développer et de réorganiser pour obtenir une expression du type

    B(uB2+vB+wI3)=I3

    et conclure

    B-1=uB2+vB+wI3=αA2+βA+γI3.
 
Exercice 10  3755     MINES (MP)Correction  

Soit An(𝕂) une matrice inversible.
Montrer que A est triangulaire supérieure si, et seulement si, Ak l’est pour tout k2.
Donner un contre-exemple dans le cas où l’on ne suppose plus la matrice A inversible.

Solution

L’implication directe est immédiate: elle découle de la stabilité par produit de l’espace des matrices triangulaires supérieures. Inversement, supposons Ak triangulaire supérieure pour tout k2. Introduisons le polynôme caractéristique de A

P(X)=anXn++a1X+det(A).

Puisque celui-ci est annulateur de A, on peut écrire

anAn++a1A+det(A)In=On.

En multipliant la relation par A et en réorganisant

A=-1det(A)(a1A2++anAn+1)

et la matrice A est donc triangulaire supérieure.
Pour

A=(1-11-1)

nous obtenons un contre-exemple où Ak=O2 pour tout k2.

 
Exercice 11  2667     MINES (MP)Correction  

Montrer qu’il existe (a0,,an-1)n tel que:

Pn-1[X],P(X+n)+k=0n-1akP(X+k)=0.

Solution

Considérons T:P(X)P(X+1). T est un endomorphisme de n-1[X] qui est annulé par son polynôme caractéristique de la forme

χT=Xn+k=0n-1akXk.

Cela fournit directement la propriété voulue.

 
Exercice 12  839   Correction  

Soit f un endomorphisme d’un 𝕂-espace vectoriel de dimension n.
On suppose qu’il existe xE et N tels que (x,f(x),,fN-1(x)) soit une famille génératrice de E.

  • (a)

    Montrer que la famille (x,f(x),,fn-1(x)) est une base de E.

  • (b)

    Démontrer que les endomorphismes commutant avec f sont les polynômes en f.

Solution

  • (a)

    Le polynôme caractéristique de f est un polynôme de degré n annulant f. Ainsi, fnVect(Id,f,,fn-1). Par récurrence, on montre alors que pour tout mn, fmVect(Id,f,,fn-1).
    Par suite, fn(x),,fN-1(x)Vect(x,f(x),,fn-1(x)) puis E=Vect(x,f(x),,fN-1(x)) donne E=Vect(x,f(x),,fn-1(x)). La famille (x,f(x),,fn-1(x)) est alors génératrice et formée de n=dimE vecteurs de E, c’est donc une base de E.

  • (b)

    Les polynômes en f commute avec f.

    Inversement, supposons que g(E) commute avec f. Puisque g(x)E, on peut écrire

    g(x)=a0x+a1f(x)++an-1fn-1(x).

    Puisque f et g commutent, on a encore

    g(fk(x))=a0fk(x)+a1fk+1(x)++an-1fn+k-1(x)

    de sorte que les endomorphismes g et a0Id+a1f++an-1fn-1 coïncident sur une base de E et c’est donc égaux. Au final, g est un polynôme en f.

 
Exercice 13  3299     CCP (MP)Correction  

Soient n2, A et B des matrices de n() de déterminants non nuls et premiers entre eux.
Montrer qu’il existe U et V dans n() telles que

UA+VB=In

On pourra écrire χA(X)=XQA(X)±det(A).

Solution

Puisque les entiers det(A) et det(B) sont premiers entre eux, on peut écrire par l’égalité de Bézout

u.det(A)+v.det(B)=1 avec u,v.

On écrit χA(X)=XQA(X)+(-1)ndet(A) et de même χB(X) (ces écritures sont possibles car le déterminant est au signe près le coefficient constant d’un polynôme caractéristique).
Posons alors

U=(-1)n-1uQA(A)etV=(-1)n-1vQB(B).

Puisque χA et χB sont à coefficients entiers, on a U,Vn().
Puisque χA et χB sont annulateurs, on a

QA(A)A=(-1)n-1det(A).InetQB(B)B=(-1)n-1det(B).In.

On observe alors

UA+VB=(u.det(A)+v.det(B))In=In.

Remarquons que prendre

U=uComt(A) et V=vComt(B)

était sans doute plus simple…

 
Exercice 14  4325    

Soit u un endomorphisme d’un espace vectoriel complexe E de dimension finie n1. On note λ1,,λm les valeurs propres sans répétitions de u et α1,,αm leurs multiplicités respectives. Montrer que, pour tout k1;m,

dimKer(u-λk.IdE)αk=αk.
 
Exercice 15  5138   Correction  

Soient A,B,M trois matrices de n() telles que AM=MB avec MOn.

  • (a)

    Montrer que pour tout P[X], on a P(A)M=MP(B).

  • (b)

    Montrer que A et B ont au moins une valeur propre en commun.

  • (c)

    Inversement, soient A,Bn() deux matrices ayant une valeur propre en commun. Déterminer une matrice Mn() non nulle tel que AM=MB.

    On pourra rechercher M de la forme XYt pour X,YMn,1(C) colonnes bien choisies.

Solution

  • (a)

    Méthode: On vérifie l’identité pour P=Xk avec k avant de généraliser à tout polynôme.

    Montrons par récurrence AkM=MBk pour tout k.

    Lorsque k=0, la relation A0M=MB0 se relit simplement M=M. Supposons la propriété vraie au rang k0. Au rang suivant,

    Ak+1M=A(AkM)=A(MBk)=(AM)Bk=(MB)Bk=MBk+1.

    La récurrence est établie.

    Considérons ensuite P un polynôme de [X]. En introduisant ses coefficients, on peut écrire

    P=a0+a1X++aNXN=k=0NakXk

    et alors

    P(A)M=k=0NakAkM=k=0NakMBk=MP(B).
  • (b)

    Méthode: On considère le polynôme P=χB qui est annulateur de B ().

    Pour P=χB, la relation P(A)M=MP(B) entraîne P(A)M=On. La matrice P(A) ne peut être inversible car, sinon, M=(P(A))-1P(A)M=On ce que le sujet exclut. On en déduit la nullité du déterminant de P(A). Or l’étude est menée dans le cadre des nombres complexes et le polynôme caractéristique de B peut se factoriser

    P=i=1n(X-λi)

    avec λi les valeurs propres de B comptées avec multiplicité. L’égalité det(P(A))=0 donne alors

    det(i=1n(A-λiIn))=i=1ndet(A-λiIn)=(-1)nχA(λi)=0.

    Par conséquent, il existe i1;n tel que det(A-λiIn)=0. Le scalaire λi est alors valeur propre de A: les matrices A et B ont une valeur propre commune11 1 Cette étude sera généralisée dans le sujet 4986..

  • (c)

    Méthode: Une matrice et sa transposée ont les mêmes valeurs propres.

    Soit λ une valeur propre commune à A et B. Il existe une colonne Xn,1() non nulle telle que AX=λX. Puisque les valeurs propres de B sont aussi celles de Bt, il existe une colonne Yn,1() non nulle telle que BtY=λY soit encore YtB=λYt. Considérons alors M=XYt. La matrice M est élément de n() et son coefficient d’indice (i,j) est xiyj. Les colonnes X et Y étant non nulles, il existe au moins un indice (i,j) tel que xiyj0: la matrice M n’est pas nulle. Au surplus,

    AM=AXYt=(λX)Yt=λMetMB=XYtB=X(λYt)=λM.

    On a donc déterminé Mn() non nulle telle que AM=MB.

 
Exercice 16  4986    

Soient A et B deux matrices de n() et Φ l’endomorphisme de n() déterminé par

Φ(M)=AM-MBpour tout Mn().
  • (a)

    Soient α une valeur propre de A et β une valeur propre de B. Montrer que α-β est valeur propre de Φ.

  • (b)

    Soit Mn(). À quelle condition la matrice χA(M) n’est-elle pas inversible?

  • (c)

    Soit λ une valeur propre de Φ. Montrer qu’il existe α valeur propre de A et β valeur propre de B telles que λ=α-β.

 
Exercice 17  4322    

Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel complexe E de dimension finie n1 vérifiant

rg(f-λ.IdE)=rg(f-λ.IdE)2pour tout λSp(f).

Montrer que f diagonalisable.

 
Exercice 18  4329    

Soit u un endomorphisme d’un espace vectoriel complexe E de dimension n1. On note λ1,,λm les valeurs propres sans répétitions de u et α1,,αm leurs multiplicités respectives. On suppose que les sous-espaces propres de u sont tous de dimension 1.

  • (a)

    Soit k1;m. Montrer que, pour tout p1;αk, le noyau de (u-λk.IdE)p est de dimension p.

  • (b)

    Soit F un sous-espace vectoriel de E stable par u. Montrer qu’il existe un polynôme unitaire Q de [X] tel que F=Ker(Q(u)).

  • (c)

    Combien l’endomorphisme u possède-t-il de sous-espaces vectoriels stables?

 
Exercice 19  4330    

(Décomposition de Dunford)

Soit u un endomorphisme d’un espace vectoriel E de dimension finie non nulle dont le polynôme caractéristique est scindé. On souhaite établir l’existence et l’unicité d’un couple (d,n) d’endomorphismes de E avec d diagonalisable et n nilpotent vérifiant

u=d+netdn=nd.

On note λ1,,λm les valeurs propres sans répétitions de u et α1,,αm leurs multiplicités respectives.

  • (a)

    Justifier

    E=k=1mKer(u-λk.IdE)αk.

    Établir que les projecteurs11 1 L’endomorphisme pk est la projection sur Ker(u-λk.IdE)αk parallèlement à la somme directe des autres noyaux. pk associés à cette écriture sont des polynômes en u.

  • (b)

    On pose d=λ1.p1++λm.pm et n=u-d. Vérifier que le couple (d,n) est solution du problème posé.

  • (c)

    Montrer que c’est le seul couple possible.

[<] Polynômes annulateurs et valeurs propres [>] Polynôme minimal



Édité le 08-11-2019

Bootstrap Bootstrap 3 - LaTeXML [LOGO] - Powered by MathJax Powered by MathJax