[>] Lemme de décomposition des noyaux

 
Exercice 1  4308  

Soient u un endomorphisme d’un 𝕂-espace vectoriel E et P un polynôme de 𝕂[X].

Montrer que, si λ𝕂 est valeur propre de u, P(λ) est valeur propre de P(u).

 
Exercice 2  4314   

Soit u un endomorphisme d’un 𝕂-espace vectoriel E de dimension n1.

On suppose qu’il existe un vecteur x0E tel que la famille (x0,u(x0),,un-1(x0)) soit libre. Montrer que les polynômes en u sont les seuls endomorphismes qui commutent avec u.

 
Exercice 3  3423   

Soient A,Bn(𝕂). On suppose qu’il existe un polynôme P𝕂[X] vérifiant

AB=P(A)etP(0)0.

Montrer que A est inversible et que A et B commutent.

 
Exercice 4  3033     X (MP)Correction  

Soient A et B dans n(). On suppose que A est nilpotente et qu’il existe P[X] tel que

P(0)=1etB=AP(A).

Montrer qu’il existe Q[X] tel que

Q(0)=1etA=BQ(B).

Solution

On sait qu’il existe p* tel que Ap=On.

En introduisant les coefficients de P, la relation B=AP(A) donne

B=A+a2A2++ap-1Ap-1.

On en déduit

B2=A2+a3,2A3++ap-1,2Ap-1,,Bp-2=Ap-2+ap-1,p-2Ap-1,Bp-1=Ap-1.

En inversant ces équations, on obtient

Ap-1=Bp-1,Ap-2=Bp-2+bp-1,p-2Ap-1,,A2=B2+b3,2B3++bp-1,2Bp-1

et enfin

A=B+b2,1B2++bp-1,1Bp-1

Cela qui détermine un polynôme Q[X] vérifiant Q(0)=1 et A=BQ(B).

 
Exercice 5  3210     ENTPECorrection  

Soient AGLn() et Bn() telle que Bp=On.

  • (a)

    Montrer que In+A-1BA est inversible et exprimer son inverse.

  • (b)

    On pose

    H={In+P(B)|P[X],P(0)=0}.

    Montrer que H est un sous-groupe commutatif de (GLn(),×).

Solution

  • (a)

    Posons N=-A-1BA. On a

    Np=(-1)pA-1BpA=On

    donc

    In=In-Np=(I-N)(I+N+N2++Np-1).

    On en déduit que I-N=In+A-1BA est inversible et

    (In+A-1BA)-1=I+N+N2++Np-1.
  • (b)

    Soit P[X] tel que P(0)=0. On a

    P(X)=aX+bX2+

    Donc

    P(B)=aB+bB2+

    puis

    P(B)p=apBp+bBp+1+=On.

    On peut alors reprendre le raisonnement de la question précédente et affirmer que la matrice In+P(B) est inversible et que son inverse est de la forme

    In-P(B)+P(B)2++(-1)pP(B)p.

    On en déduit que H est inclus dans GLn() et que l’inverse d’un élément de H est encore dans H.
    Il est immédiat de vérifier que H est non vide et stable par produit. On en déduit que H est un sous-groupe de (GLn(),×). Enfin, on vérifie que H est commutatif car les polynômes en une matrice commutent entre eux.

 
Exercice 6  2574   Correction  

Dans n(), on considère la matrice

J=(01(0)1(0)0).

Exprimer simplement P(aIn+J) pour P[X].

Solution

Par la formule de Taylor en a,

P(X)=k=0+P(k)(a)k!(X-a)k

donc

P(aIn+J)=k=0+P(k)(a)k!Jk.

Il est facile de calculer les puissances de J et l’on conclut

P(aIn+J)=(P(a)P(a)P′′(a)2!P(n-1)(a)(n-1)!P′′(a)2!P(a)(0)P(a)).
 
Exercice 7  4316   

Soient λ,μ et f,p,q trois endomorphismes d’un espace vectoriel réel E vérifiant

{f=λ.p+μ.qf2=λ2.p+μ2.qf3=λ3.p+μ3.q.

Exprimer fn en fonction de λ, μ, p et q pour tout n*.

 [>] Lemme de décomposition des noyaux



Édité le 08-11-2019

Bootstrap Bootstrap 3 - LaTeXML [LOGO] - Powered by MathJax Powered by MathJax