Exercice 1 4308

Soient $u$ un endomorphisme d’un $𝕂$ -espace vectoriel $E$ et $P$ un polynôme de $𝕂 [X]$ .

Montrer que, si $λ \in 𝕂$ est valeur propre de $u$ , $P (λ)$ est valeur propre de $P (u)$ .

Exercice 2 4314

Soit $u$ un endomorphisme d’un $𝕂$ -espace vectoriel $E$ de dimension $n \geq 1$ .

On suppose qu’il existe un vecteur $x_{0} \in E$ tel que la famille $(x_{0}, u (x_{0}), \dots, u^{n - 1} (x_{0}))$ soit libre. Montrer que les polynômes en $u$ sont les seuls endomorphismes qui commutent avec $u$ .

Exercice 3 5783 MINES (MP)Correction

Soient $A \in ℳ_{n} (ℂ)$ diagonalisable et $P \in ℂ [X]$ non constant.

Montrer qu’il existe $M \in ℳ_{n} (ℂ)$ tel que $A = P (M)$ .

Solution

Notons $λ_{1}, \dots, λ_{m}$ les valeurs propres de $A$ et $α_{1}, \dots, α_{m}$ leurs multiplicités respectives. Puisque la matrice $A$ est diagonalisable, il existe $Q \in {GL}_{n} (ℂ)$ telle que

A = Q diag (λ_{1} I_{α_{1}}, \dots, λ_{m} I_{α_{m}}) Q^{- 1} .

Pour $k = 1, \dots, m$ , l’équation $P (z) = λ_{k}$ d’inconnue $z \in ℂ$ possède au moins une solution $μ_{k}$ . En effet, le polynôme complexe $P - λ_{k}$ est non constant et le théorème de d’Alembert-Gauss assure qu’il possède au moins une racine complexe. Considérons alors

M = Q diag (μ_{1} I_{α_{1}}, \dots, μ_{m} I_{α_{m}}) Q^{- 1} .

On vérifie

P (M) = Q diag (P (μ_{1}) I_{α_{1}}, \dots, P (μ_{m}) I_{α_{m}}) Q^{- 1} = Q diag (λ_{1} I_{α_{1}}, \dots, λ_{m} I_{α_{m}}) Q^{- 1} = A .

Exercice 4 3423

Soient $A, B \in ℳ_{n} (𝕂)$ . On suppose qu’il existe un polynôme $P \in 𝕂 [X]$ vérifiant

A B = P (A) et P (0) \neq 0 .

Montrer que $A$ est inversible et que $A$ et $B$ commutent.

Exercice 5 3033 X (MP)Correction

Soient $A$ et $B$ dans $ℳ_{n} (ℝ)$ . On suppose que $A$ est nilpotente et qu’il existe $P \in ℝ [X]$ tel que

P (0) = 1 et B = A P (A) .

Montrer qu’il existe $Q \in ℝ [X]$ tel que

Q (0) = 1 et A = B Q (B) .

Solution

On sait qu’il existe $p \in ℕ^{*}$ tel que $A^{p} = O_{n}$ .

En introduisant les coefficients de $P$ , la relation $B = A P (A)$ donne

B = A + a_{2} A^{2} + \dots + a_{p - 1} A^{p - 1} .

On en déduit

B^{2} = A^{2} + a_{3,2} A^{3} + \dots + a_{p - 1,2} A^{p - 1}, \dots, B^{p - 2} = A^{p - 2} + a_{p - 1, p - 2} A^{p - 1}, B^{p - 1} = A^{p - 1} .

En inversant ces équations, on obtient

A^{p - 1} = B^{p - 1}, A^{p - 2} = B^{p - 2} + b_{p - 1, p - 2} A^{p - 1}, \dots, A^{2} = B^{2} + b_{3,2} B^{3} + \dots + b_{p - 1,2} B^{p - 1}

et enfin

A = B + b_{2,1} B^{2} + \dots + b_{p - 1,1} B^{p - 1} .

Cela qui détermine un polynôme $Q \in ℝ [X]$ vérifiant $Q (0) = 1$ et $A = B Q (B)$ .

Exercice 6 3210 ENTPE (MP)Correction

Soient $A \in {GL}_{n} (ℂ)$ et $B \in ℳ_{n} (ℂ)$ telle que $B^{p} = O_{n}$ .

(a)

Montrer que $I_{n} + A^{- 1} B A$ est inversible et exprimer son inverse.
(b)

On pose

$H = {I_{n} + P (B) | P \in ℂ [X], P (0) = 0} .$

Montrer que $H$ est un sous-groupe commutatif de $({GL}_{n} (ℂ), \times)$ .

Solution

(a)

Posons $N = - A^{- 1} B A$ . On a

$N^{p} = {(- 1)}^{p} A^{- 1} B^{p} A = O_{n}$

donc

$I_{n} = I_{n} - N^{p} = (I - N) (I + N + N^{2} + \dots + N^{p - 1}) .$

On en déduit que $I - N = I_{n} + A^{- 1} B A$ est inversible et

${(I_{n} + A^{- 1} B A)}^{- 1} = I + N + N^{2} + \dots + N^{p - 1} .$
(b)

Soit $P \in ℂ [X]$ tel que $P (0) = 0$ . On a

$P (X) = a X + b X^{2} + \dots$

Donc

$P (B) = a B + b B^{2} + \dots$

puis

$P {(B)}^{p} = a^{p} B^{p} + b^{'} B^{p + 1} + \dots = O_{n} .$

On peut alors reprendre le raisonnement de la question précédente et affirmer que la matrice $I_{n} + P (B)$ est inversible et que son inverse est de la forme

$I_{n} - P (B) + P {(B)}^{2} + \dots + {(- 1)}^{p} P {(B)}^{p} .$

On en déduit que $H$ est inclus dans ${GL}_{n} (ℂ)$ et que l’inverse d’un élément de $H$ est encore dans $H$ .
Il est immédiat de vérifier que $H$ est non vide et stable par produit. On en déduit que $H$ est un sous-groupe de $({GL}_{n} (ℂ), \times)$ . Enfin, on vérifie que $H$ est commutatif car les polynômes en une matrice commutent entre eux.

Exercice 7 2574 Correction

Dans $ℳ_{n} (ℝ)$ , on considère la matrice

J = (\begin{matrix} 0 & 1 & (0) \\ ⋱ & ⋱ \\ ⋱ & 1 \\ (0) & 0 \end{matrix}) .

Exprimer simplement $P (a I_{n} + J)$ pour $P \in ℝ [X]$ .

Solution

Par la formule de Taylor en $a$ ,

P (X) = \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{P^{(k)} (a)}{k!} {(X - a)}^{k}

donc

P (a I_{n} + J) = \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{P^{(k)} (a)}{k!} J^{k} .

Il est facile de calculer les puissances de $J$ et l’on conclut

P (a I_{n} + J) = (\begin{matrix} P (a) & P^{'} (a) & \frac{P^{''} (a)}{2!} & \dots & \frac{P^{(n - 1)} (a)}{(n - 1)!} \\ ⋱ & ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ ⋱ & ⋱ & \frac{P^{''} (a)}{2!} \\ ⋱ & P^{'} (a) \\ (0) & P (a) \end{matrix}) .

Exercice 8 4316

Soient $λ, μ \in ℝ$ et $f, p, q$ trois endomorphismes d’un espace vectoriel réel $E$ vérifiant

{\begin{matrix} f & = λ . p & + μ . q \\ f^{2} & = λ^{2} . p & + μ^{2} . q \\ f^{3} & = λ^{3} . p & + μ^{3} . q . \end{matrix}

Exprimer $f^{n}$ en fonction de $λ$ , $μ$ , $p$ et $q$ pour tout $n \in ℕ^{*}$ .

Exercice 9 5691 CENTRALE (MP)Correction

Pour $(a_{0}, \dots, a_{n - 1}) \in ℂ^{n}$ , on pose

C (a_{0}, \dots, a_{n - 1}) = (\begin{matrix} a_{0} & a_{1} & \dots & a_{n - 1} \\ a_{n - 1} & a_{0} & \dots & a_{n - 2} \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ a_{1} & \dots & a_{n - 1} & a_{0} \end{matrix})

On pose $J = C (0,1,0, \dots,0)$ , $P = a_{0} + a_{1} X + \dots + a_{n - 1} X^{n - 1}$ et $ω = e^{2 i π / n}$ .

(a)

Écrire une fonction C(L) d’argument $L = [a_{0}, \dots, a_{n - 1}]$ et qui renvoie la matrice $C (L)$ . Pour $n = 3$ , écrire une fonction qui génère aléatoirement une matrice $C (a_{0}, a_{1}, a_{2})$ à coefficients dans $[0; 1 [$ et qui renvoie son inverse lorsqu’elle est inversible. Que conjecturer sur son inverse?
(b)

Pour $n = 3$ et $a = (1,2,3)$ , calculer avec Python la matrice $C (a) - P (J)$ . Conjecture?
(c)

Quel est le polynôme caractéristique de $J$ ? Montrer que la matrice $J$ est diagonalisable dans $ℳ_{n} (ℂ)$ et préciser ses valeurs propres et sous-espaces propres.
(d)

Justifier que $C (a_{0}, \dots, a_{n - 1})$ est diagonalisable quel que soit le multiplet $(a_{0}, \dots, a_{n - 1}) \in ℂ^{n}$ . Quelles sont ses valeurs propres?
(e)

À quelle condition la matrice $C (a_{0}, \dots, a_{n - 1})$ est-elle inversible?

Justifier que lorsque c’est le cas, son inverse est de la forme $C (b_{0}, \dots, b_{n - 1})$ avec $(b_{0}, \dots, b_{n - 1}) \in ℂ^{n}$ .

Solution

(a)

On remplit le tableau matriciel de coefficients généraux $c_{i, j} = a_{r}$ avec $r \equiv j - i [n]$ :

def C(L):
    n = len(L)
    C = np.zeros((n, n))
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            C[i, j] = L[(j-i) % n]
    return C

A = C(list(rd.random(3)))
print(alg.inv(A))

L’inverse de la matrice $C (a_{0}, \dots, a_{n - 1})$ semble être de la forme $C (b_{0}, \dots, b_{n - 1})$ .

(b)

A = C([1, 2, 3])
J = C([0, 1, 0])
print(A - np.eye(3) + 2*J + 3*np.dot(J, J))

La matrice $C (a)$ semble correspondre à $P (J)$ .

(c)

En développant le déterminant selon la première ligne, on obtient $χ_{J} = X^{n} - 1$ .

Les racines de $χ_{J}$ sont les racines $n$ -ièmes de l’unité, ce sont les $ω^{k}$ pour $k = 0, \dots, n - 1$ , il y en a exactement $n$ : la matrice $J$ est diagonalisable.

Pour $k \in ⟦ 0; n - 1 ⟧$ , on obtient après résolution

$E_{ω^{k}} (J) = Vect ((1, ω^{k}, \dots, ω^{(n - 1) k}))$
(d)

Pour $k \in ⟦ 0; n - 1 ⟧$ , on remarque $J^{k} = C ({(δ_{i, k})}_{0 \leq i \leq n - 1})$ . Par combinaison linéaire, $C (a_{0}, \dots, a_{n - 1}) = P (J)$ . Puisque la matrice $J$ est diagonalisable, $C (a_{0}, \dots, a_{n - 1})$ l’est aussi par la même matrice de passage. La diagonalisation de $C (a_{0}, \dots, a_{n - 1})$ en détermine les valeurs propres qui sont les $P (ω^{k})$ pour $k = 0, \dots, n - 1$ .
(e)

La matrice $C = C (a_{0}, \dots, a_{n - 1})$ est inversible si, et seulement si, $0$ n’en est pas valeur propre. Cela a lieu si, et seulement si, les racines $n$ -ièmes de l’unité ne sont pas racines de $P$ . Supposons que ce soit le cas.

Soit $Q$ un polynôme de $ℂ_{n - 1} [X]$ vérifiant

$\forall k \in ⟦ 0; n - 1 ⟧, Q (ω^{k}) = {(P (ω^{k}))}^{- 1}$

Un tel polynôme est possible par interpolation de Lagrange. Considérons ensuite

$D = Q (J) = C (b_{0}, \dots, b_{n - 1}) avec Q = b_{0} + b_{1} X + \dots + b_{n - 1} X^{n - 1}$

On a

$C D = P (J) Q (J) = (P Q) (J)$

Par diagonalisation de $J$ et parce que les valeurs du polynôme $P Q$ sont égales à $1$ sur les valeurs propres de $J$ , on a $(P Q) (J) = I_{n}$ . On en déduit que $C^{- 1} = D$ est de la forme proposée.

Exercice 10 5782 MINES (MP)Correction

Soit $f$ un endomorphisme d’un espace vectoriel réel $E$ de dimension finie $n \in ℕ^{*}$ . On suppose que les espaces $Ker (f)$ et $Im (f)$ sont supplémentaires.

(a)

Que dire de la matrice de $f$ dans une base adaptée à l’écriture $E = Ker (f) \oplus Im (f)$ ?
(b)

Établir que la projection sur $Ker (f)$ parallèlement à $Im (f)$ est un polynôme en $f$ .
(c)

Peut-on affirmer la même propriété pour la projection sur $Im (f)$ parallèlement à $Ker (f)$ ?

Solution

(a)

Les espaces $Ker (f)$ et $Im (f)$ sont stables par $f$ . La matrice de $f$ dans une base adaptée à la décomposition $E = Ker (f) \oplus Im (f)$ est donc diagonale par blocs de la forme

$M = (\begin{matrix} O_{n - r} & (0) \\ (0) & A \end{matrix})$

avec $A \in ℳ_{r} (ℝ)$ et $r = rg (f)$ .

Au surplus, $A$ est inversible car $r = rg (f) = rg (M) = rg (A)$ .
(b)

Puisque $A$ est inversible, $0$ n’est pas valeur propre de $A$ et n’est donc pas racine de son polynôme caractéristique $χ_{A}$ .

Considérons le polynôme $P = χ_{A} / χ_{A} (0)$ défini de sorte que $P (0) = 1$ et $P (A) = O_{r}$ en vertu du théorème de Cayley Hamilton. On observe

$P (M) = (\begin{matrix} P (0) & (0) \\ (0) & P (A) \end{matrix}) = (\begin{matrix} I_{n - r} & (0) \\ (0) & O_{r} \end{matrix})$

On reconnaît la matrice de la projection sur $Ker (f)$ parallèlement à $Im (f)$ et donc $P (f)$ est cette projection, c’est un polynôme en $f$ .
(c)

La projection sur $Im (f)$ parallèlement à $Ker (f)$ est ${Id}_{E} - P (f)$ , il s’agit d’un polynôme en $f$ .

[>] Lemme de décomposition des noyaux

Édité le 29-08-2023

Polynômes en un endomorphisme ou une matrice