[<] Polynômes annulateurs [>] Théorème de Cayley Hamilton
Montrer que si est un polynôme annulateur d’un endomorphisme alors pour toute valeur propre de .
Montrer que si vérifie
alors est bijectif.
Solution
Soit un vecteur propre associé à la valeur propre . On a avec . Par composition puis . Or et donc .
Le polynôme est annulateur de et 0 n’en est pas racine donc . Cela suffit pour conclure si l’espace est de dimension finie. Sinon, on exploite
pour conclure.
Pour , on note .
Soit l’endomorphisme de déterminer par . Calculer puis déterminer les valeurs propres de .
Solution
On vérifie . Le polynôme est donc annulateur de et les valeurs propres de ne peuvent être que et . En prenant successivement pour une fonction paire et une fonction impaire non nulle, on montre que et sont effectivement valeurs propres de .
Soit l’endomorphisme défini par .
Montrer que est un automorphisme.
Déterminer valeurs propres de .
Solution
On vérifier donc est un automorphisme et .
Puisque annule , les valeurs propres de ne peuvent être que et . Par exemple, le polynôme est vecteur propre associé à la valeur propre et est vecteur propre associé à la valeur propre . Les valeurs propres de sont exactement et .
Soit un endomorphisme d’un -espace vectoriel de dimension quelconque. On suppose que possède un polynôme annulateur non nul et l’on introduit un polynôme annulateur non nul de de degré minimal.
Montrer que les valeurs propres de sont exactement les racines de .
Solution
Les valeurs propres de sont racines des polynômes annulateurs de donc du polynôme .
Soit une racine de . On peut écrire
car ne peut être annulateur de .
Pour , il existe tel que et l’on a donc avec .
Ainsi, est valeur propre de (et est un vecteur propre associé).
[<] Polynômes annulateurs [>] Théorème de Cayley Hamilton
Édité le 29-08-2023
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