[<] Polynômes annulateurs [>] Théorème de Cayley Hamilton

 
Exercice 1  3191    CCP (MP)Correction  
  • (a)

    Montrer que si P est un polynôme annulateur d’un endomorphisme f alors P(λ)=0 pour toute valeur propre λ de f.

  • (b)

    Montrer que si f vérifie

    f3+2f2-f-2Id=0

    alors f est bijectif.

Solution

  • (a)

    Soit x un vecteur propre associé à la valeur propre λ. On a f(x)=λx avec x0E. Par composition fn(x)=λnx puis P(f)(x)=P(λ)x. Or P(f)(x)=0E et x0E donc P(λ)=0.

  • (b)

    Le polynôme X3+2X2-X-2 est annulateur de f et 0 n’en est pas racine donc 0Sp(f). Cela suffit pour conclure si l’espace est de dimension finie. Sinon, on exploite

    f(12(f2+2f-Id))=(12(f2+2f-Id))f=IdE

    pour conclure.

 
Exercice 2  831  Correction  

Pour fE=(,), on note f~:xf(-x).

Soit φ l’endomorphisme de E déterminer par φ(f)=f~. Calculer φ2 puis déterminer les valeurs propres de φ.

Solution

On vérifie φ2=Id. Le polynôme X2-1 est donc annulateur de φ et les valeurs propres de φ ne peuvent être que 1 et -1. En prenant successivement pour f une fonction paire et une fonction impaire non nulle, on montre que 1 et -1 sont effectivement valeurs propres de φ.

 
Exercice 3  832  Correction  

Soit T:[X][X] l’endomorphisme défini par T(P)=P(1-X).

  • (a)

    Montrer que T est un automorphisme.

  • (b)

    Déterminer valeurs propres de T.

Solution

  • (a)

    On vérifier T2=Id donc T est un automorphisme et T-1=T.

  • (b)

    Puisque T annule X2-1, les valeurs propres de T ne peuvent être que 1 et -1. Par exemple, le polynôme 1 est vecteur propre associé à la valeur propre 1 et X-1/2 est vecteur propre associé à la valeur propre -1. Les valeurs propres de T sont exactement 1 et -1.

 
Exercice 4  833   Correction  

Soit u un endomorphisme d’un 𝕂-espace vectoriel E de dimension quelconque. On suppose que u possède un polynôme annulateur non nul et l’on introduit Π un polynôme annulateur non nul de u de degré minimal.

Montrer que les valeurs propres de u sont exactement les racines de Π.

Solution

Les valeurs propres de u sont racines des polynômes annulateurs de u donc du polynôme Π.

Soit a une racine de Π. On peut écrire

Π=(X-a)PetP(u)0

car P ne peut être annulateur de u.

Pour yIm(P(u)){0E}, il existe xE tel que y=P(u)(x) et l’on a Π(u)(x)=0E donc (u-aId)(y)=0E avec y0E.

Ainsi, a est valeur propre de u (et y est un vecteur propre associé).

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Édité le 08-11-2019

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