• (a)

  Une base de vecteur propre de $u$ est aussi une base de vecteur propre de $P(u)$.

• (b)

  La réciproque n’est pas vraie en toute généralité comme le montre le cas d’un polynôme constant.
  En revanche, on peut montrer que la réciproque est vraie si $\mathrm{deg}(P)=1$.

Soient ${\lambda }_1,\mathrm{\dots },{\lambda }_n$ les valeurs propres deux à deux distinctes de $P(u)$.
Posons

$Q$ est un polynôme annulateur de $P(u)$ donc

Posons $Q_k=P-{\lambda }_k$. Le polynôme ${\prod }_{k=1}^n{Q}_k$ est annulateur de $u$ et les racines d’un polynôme $Q_k$ sont distinctes de celles d’un polynôme $Q_{\mathrm{\ell }}$ avec $k\ne \mathrm{\ell }$ car ${\lambda }_k\ne {\lambda }_{\mathrm{\ell }}$.
De plus, si $\alpha$ est racine multiple de $Q_k$ alors $P(\alpha )={\lambda }_k$ et $Q_k^{\prime }(\alpha )=P^{\prime }(\alpha )=0$ ce qui est exclu par hypothèse.
Par conséquent, le polynôme ${\prod }_{k=1}^n{Q}_k$ est scindé simple donc $u$ est diagonalisable.

$(⟸)$ C’est immédiat car des polynômes en une même matrice commutent entre eux.

$(⟹)$ Supposons que $A$ et $B$ commutent. On sait alors que les matrices $A$ et $B$ sont simultanément diagonalisables. Il existe donc $U\in {\mathrm{GL}}_n(𝕂)$ telle que

avec $D=\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\mathrm{\dots },{\lambda }_n)$ et $D^{\prime }=\mathrm{diag}({\mu }_1,{\mu }_2,\mathrm{\dots },{\mu }_n)$.

Considérons alors

La matrice $C$ est diagonalisable. Si l’on introduit $P\in 𝕂[X]$ un polynôme interpolateur de Lagrange tel que $P(i)={\lambda }_i$ pour $i=1,\mathrm{\dots },n$, on observe $P(C)=A$. De la même façon, on forme $Q\in 𝕂[X]$ tel que $Q(C)=B$.

Si $A$ est diagonalisable, on peut écrire $A=PD{P}^{-1}$ avec $P$ inversible et $D$ diagonale. On a alors $B=A^p=P^{-1}{D}^{p}P$ avec $D^p$ diagonale et donc $B$ est diagonalisable.
Inversement, si $B$ est diagonalisable alors il existe un polynôme annulateur de $B$ scindé à racines simple de la forme

De plus, puisque $B$ est inversible, on peut supposer les ${\lambda }_k$ tous non nuls.

Sachant $B=A^p$, le polynôme

est annulateur de $A$. Or ce dernier est scindé à racines simples car

• —

  les facteurs $X^p-{\lambda }_k$ et $X^p-{\lambda }_{\mathrm{\ell }}$ (avec $k\ne \mathrm{\ell }$) ont des racines deux à deux distinctes;

• —

  les racines de $X^p-{\lambda }_k$ sont toutes simples (car ${\lambda }_k\ne 0$).
  

On en déduit que $A$ est diagonalisable.

• (a)

  Deux énoncés possibles:

  • —

    $u$ est diagonalisable si, et seulement si, $u$ annule un polynôme scindé à racines simples;

  • —

    $u$ est diagonalisable si, et seulement si, le polynôme minimal de $u$ est scindé à racines simples.

• (b)

  Si $u$ est diagonalisable, il est clair que $u^2$ l’est aussi.

  Inversement, si $u^2$ est diagonalisable alors son polynôme minimal est scindé à racines simples. Il s’écrit $(X-{\lambda }_1)\mathrm{\dots }(X-{\lambda }_p)$ avec ${\lambda }_1,\mathrm{\dots },{\lambda }_p$ les valeurs propres de $u$. Puisque $u\in \mathrm{GL}(E)$, $0$ n’est pas valeur propre de $u$ et donc aucun des ${\lambda }_i$ n’est nul.

  Notons ${\alpha }_i$ et ${\beta }_i$ les deux solutions (distinctes) complexes de l’équation $z^2={\lambda }_i$.

  Puisque

  $$(u^2-{\lambda }_1\mathrm{Id})\circ \mathrm{\dots }\circ (u^2-{\lambda }_p\mathrm{Id})=0$$

  on a

  $$(u-{\alpha }_1\mathrm{Id})\circ (u-{\beta }_1\mathrm{Id})\circ \mathrm{\dots }\circ (u-{\alpha }_p\mathrm{Id})\circ (u-{\beta }_p\mathrm{Id})=0\text{.}$$

  Ainsi, $u$ annule un polynôme scindé à racines simples. Par suite, $u$ est diagonalisable.

• (c)

  Si $u$ est diagonalisable alors $P(u)$ l’est aussi.

  Inversement, si $P(u)$ est diagonalisable alors son polynôme minimal est scindé à racines simples. Il s’écrit $(X-{\lambda }_1)\mathrm{\dots }(X-{\lambda }_p)$ où les ${\lambda }_i$ sont les valeurs propres de $P(u)$.

  Le polynôme $(P(X)-{\lambda }_1)\mathrm{\dots }(P(X)-{\lambda }_p)$ est alors annulateur de $u$.

  Les facteurs $P(X)-{\lambda }_i$ sont sans racines communes.

  Le polynôme minimal $M$ de $u$ divise $(P(X)-{\lambda }_1)\mathrm{\dots }(P(X)-{\lambda }_p)$.

  Si $\omega$ est racine au moins double de $M$ alors $\omega$ est racine au moins double de l’un des facteurs $P(X)-{\lambda }_i$ donc racine de $P^{\prime }$.

  Or $\omega$ est aussi valeur propre de $u$ donc $P^{\prime }(\omega )=0$ est valeur propre de $P^{\prime }(u)$. Cependant, $P^{\prime }(u)\in \mathrm{GL}(E)$, et cela est donc impossible.

  Par suite, les racines de $M$ sont simples et $u$ est diagonalisable.