[<] Diagonalisabilité et endomorphismes induits [>] Calcul de puissances d'une matrice

 
Exercice 1  859  Correction  

Soient P𝕂[X] et u un endomorphisme d’un 𝕂-espace vectoriel E de dimension finie.

  • (a)

    On suppose que u est diagonalisable, montrer que P(u) l’est aussi.

  • (b)

    Que dire de la réciproque?

Solution

  • (a)

    Une base de vecteur propre de u est aussi une base de vecteur propre de P(u).

  • (b)

    La réciproque n’est pas vraie en toute généralité comme le montre le cas d’un polynôme constant.
    En revanche, on peut montrer que la réciproque est vraie si deg(P)=1.

 
Exercice 2  862   Correction  

Soient E un -espace vectoriel de dimension finie et u un endomorphisme de E.
Soit P un polynôme complexe, on suppose que P(u) est diagonalisable et que la valeur prise par P sur toute racine complexe de P n’est pas valeur propre de l’endomorphisme P(u).
Montrer que u est diagonalisable.

Solution

Soient λ1,,λn les valeurs propres deux à deux distinctes de P(u).
Posons

Q=k=1n(X-λk)

Q est un polynôme annulateur de P(u) donc

k=1n(P(u)-λkIdE)=0~.

Posons Qk=P-λk. Le polynôme k=1nQk est annulateur de u et les racines d’un polynôme Qk sont distinctes de celles d’un polynôme Q avec k car λkλ.
De plus, si α est racine multiple de Qk alors P(α)=λk et Qk(α)=P(α)=0 ce qui est exclu par hypothèse.
Par conséquent, le polynôme k=1nQk est scindé simple donc u est diagonalisable.

 
Exercice 3  2524     CCP (MP)Correction  

Soient A,BGLn() telles que B=Ap.
Montrer que A est diagonalisable si, et seulement si, B l’est.

Solution

Si A est diagonalisable, on peut écrire A=PDP-1 avec P inversible et D diagonale. On a alors B=Ap=P-1DpP avec Dp diagonale et donc B est diagonalisable.
Inversement, si B est diagonalisable alors il existe un polynôme annulateur de B scindé à racines simple de la forme

k=1m(X-λk).

De plus, puisque B est inversible, on peut supposer les λk tous non nuls.

Sachant B=Ap, le polynôme

k=1m(Xp-λk)

est annulateur de A. Or ce dernier est scindé à racines simples car

  • les facteurs Xp-λk et Xp-λ (avec k) ont des racines deux à deux distinctes;

  • les racines de Xp-λk sont toutes simples (car λk0).

On en déduit que A est diagonalisable.

 
Exercice 4  861   Correction  

Soient E un -espace vectoriel de dimension finie n* et u(E).

  • (a)

    Énoncer un critère de diagonalisabilité en terme de polynôme annulateur.

  • (b)

    On suppose uGL(E). Montrer que u est diagonalisable si, et seulement si, u2 l’est.

  • (c)

    Généralisation: Soit P[X]. On suppose P(u)GL(E)
    Montrer que u est diagonalisable si, et seulement si, P(u) l’est.

Solution

  • (a)

    Deux énoncés possibles:

    • u est diagonalisable si, et seulement si, u annule un polynôme scindé à racines simples;

    • u est diagonalisable si, et seulement si, le polynôme minimal de u est scindé à racines simples.

  • (b)

    Si u est diagonalisable, il est clair que u2 l’est aussi.
    Inversement, si u2 est diagonalisable alors son polynôme annulateur est scindé à racines simples: (X-λ1)(X-λp).
    Puisque uGL(E)

    1ip,λi0

    car 0 n’est pas valeur propre de u.

    Notons αi et βi les deux solutions de l’équation z2=λi.
    Puisque (u2-λ1Id)(u2-λpId)=0 on a (u-α1Id)(u-β1Id)(u-αpId)(u-βpId)=0.
    Ainsi u annule un polynôme scindé à racines simples. Par suite, u est diagonalisable.

  • (c)

    Si u est diagonalisable alors P(u) l’est aussi.
    Inversement, si P(u) est diagonalisable alors son polynôme minimal est scindé à racines simples (X-λ1)(X-λp) où les λi sont les valeurs propres de P(u).
    Le polynôme (P(X)-λ1)(P(X)-λp) est alors annulateur de u.
    Les facteurs P(X)-λi sont sans racines communes.
    Le polynôme minimal M de u divise (P(X)-λ1)(P(X)-λp).
    Si ω est racine au moins double de M alors ω est racine au moins double de l’un des facteurs P(X)-λi donc racine de P.
    Or ω est aussi valeur propre de u donc P(ω)=0 est valeur propre de P(u). Cependant P(u)GL(E), c’est donc impossible.
    Par suite, les racines de M sont simples et u est donc diagonalisable.

 
Exercice 5  860    

Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel complexe E de dimension finie n1.

  • (a)

    On suppose que f est diagonalisable. Montrer que f2 est diagonalisable et que les noyaux de f et f2 sont égaux.

On étudie désormais la propriété réciproque.

  • (b)

    Par un exemple, montrer que, si f2 est diagonalisable, f n’est pas nécessairement diagonalisable.

  • (c)

    On suppose f2 diagonalisable et f inversible. Montrer que f est diagonalisable.

  • (d)

    On suppose f2 diagonalisable et Ker(f)=Ker(f2). Montrer à nouveau que f est diagonalisable.

[<] Diagonalisabilité et endomorphismes induits [>] Calcul de puissances d'une matrice



Édité le 08-11-2019

Bootstrap Bootstrap 3 - LaTeXML [LOGO] - Powered by MathJax Powered by MathJax